2022年湖南省岳阳市县新墙镇第二中学高二数学理月考试题含解析

2022年湖南省岳阳市县新墙镇第二中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题p：?x∈R，x3＋3x>0，则p是(

)A．?x∈R，x3＋3x≥0

B．?x∈R，x3＋3x≤0C．?x∈R，x3＋3x≥0

D．?x∈R，x3＋3x≤0参考答案：B略2.设a，b∈R，则“a＞b＞1”是“a﹣b＜a2﹣b2”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答： 解：设命题p：a＞b＞1；则a﹣b＞0，命题q：a﹣b＜a2﹣b2化简得（a﹣b）＜（a+b）（a﹣b），又∵a，b∈R，∴p?q，q推不出p，∴P是q的充分不必要条件，即“a＞b＞1”是“a﹣b＜a2﹣b2”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用，属于中档题3.已知向量=(2,4,5),=(3,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则A．x=6,y=15

B．x=3,y=

C．x=3,y=15

D．x=6,y=参考答案：D4.已知函数f（x）=﹣x2+2lnx的极大值是函数g（x）=x+的极小值的﹣倍，并且，不等式≤1恒成立，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数得出函数f（x）的极大值，再求出g（x）的极小值，得到关于a的方程即可得出a的值，通过对k﹣1分正负讨论，把要证明的不等式变形等价转化，再利用导数研究其极值与最值即可．【解答】解：f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）极大值=f（1）=﹣1；g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，故g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故g（x）极小值=g（）=2，由函数f（x）的极大值是函数g（x）的极小值的﹣倍，得：2?（﹣）=﹣1，解得：a=﹣1；令h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2+2lnx﹣x﹣，x∈[，3]．则h′（x）=﹣2x+﹣1+=﹣，令h′（x）=0，解得x=1．当x∈[，1）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（1，3]时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．∴当x=1时，函数h（x）取得极大值h（1）=﹣3．h（3）=﹣+2ln3，h（）=﹣e﹣2﹣，可知：h（3）＜h（）．①当k﹣1＞0时，对于?x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max，∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣3，∴k≥﹣3+1=﹣2，又k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0时，对于?x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min，∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣+2ln3，∴k≤﹣+2ln3，又∵k≤1，∴k≤﹣+2ln3．综上可知：实数k的取值范围是（﹣∞，﹣+2ln3]∪（1，+∞）．故选：B．5.已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是（）A.(1,－4,2) B. C. D.(0,－1,1)参考答案：D试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0满足垂直，故正确；选项B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0满足垂直，故正确；选项C，（2，1，1）（-，1，?）=0，（0，2，4）（-，1，?）=0满足垂直，故正确；选项D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故错误．考点：平面的法向量6.右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则a2017=（）A．2016 B．2017 C．4032 D．4034参考答案：B【考点】8H：数列递推式．【分析】，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为：，即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣，化为：，∴=…==1，∴an=n．则a2017=2017．故选：B．8.已知，，那么（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D9.若正实数满足，则+的最小值是A．4

B．6

C．8

D．9参考答案：D10.若过椭圆内一点P(3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（

）．A．3x+4y－13=0 B．3x－4y－5=0 C．4x+3y－15=0 D．4x－3y－9=0参考答案：A解：设弦的两端点为，，为中点得，，在椭圆上有两式相减得，则，且过点，有，整理得．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知且，则的最小值为____________．参考答案：试题分析：由题意得，因为且，则，所以，当且仅当，即时等号是成立的，所以的最小值为.考点：基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式求最值，其中解答中涉及到构造思想的应用和求解最值的方法的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中根条件且，化简得到是解答的关键，同时注意基本不等式成立的条件.12.已知，，且，则的值为

．参考答案：1213.若，则等于

▲

.参考答案：略14.复数满足（是虚数单位），则复数对应的点位于复平面的第_______象限．参考答案：四；15.执行如右图所示的程序框图，如果输入

.参考答案：9.略16.下面给出的四个命题中：①以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1；②点（1，2）关于直线L：X﹣Y+2=0对称的点的坐标为（0，3）．③命题“?x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“?x∈R，都有x2+3x+4≠0”；④命题：过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有2条．其中是真命题的有

（将你认为正确的序号都填上）．参考答案：①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．【分析】①以抛物线y2=4x的焦点（1，0）为圆心，且过坐标原点的圆的半径为1，可得原点方程，即可判断出正误；②设点（1，2）关于直线L：X﹣Y+2=0对称的点的坐标为（x，y），则，解得即可判断出正误．③利用命题的否定定义即可判断出正误；④这样的直线有3条，分别为x=0，y=1，y=x+1，即可判断出正误．【解答】解：①以抛物线y2=4x的焦点（1，0）为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，正确；②设点（1，2）关于直线L：X﹣Y+2=0对称的点的坐标为（x，y），则，解得，因此所求对称点为（0，3），正确．③命题“?x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“?x∈R，都有x2+3x+4≠0”，正确；④命题：过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有3条，分别为x=0，y=1，y=x+1，因此不正确．其中是真命题的有①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查了圆锥曲线的判定方法、命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17.曲线在点处的切线方程为________．参考答案：或【分析】先求得导数，根据导数的意义求得斜率，再由点斜式即可求得切线方程。【详解】将x=1代入解得坐标为(1,1)，所以斜率由点斜式方程可得切线方程为【点睛】本题考查了导数与切线方程的简单应用，属于基础题。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，，，AB=13，求BC．参考答案：19.已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0．（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有实根的概率；（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．参考答案：【考点】几何概型．【分析】（1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个满足条件的事件是二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有实根，根据实根与系数的关系式，得到概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}，做出两者的面积，得到概率【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有实根，等价于△=4（a﹣2）2+4（b2﹣16）≥0，即（a﹣2）2+b2≥16，“方程有两个根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（1，6），（1，5）．（1，4），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4），（6，5），（6，6），共22个∴所求的概率为P（A）=；（2）由题意知本题是一个几何概型，；试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}其面积为S（B）=×π×42=4π∴所求的概率P（B）=；【点评】本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目20.设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式。（2）求数列的前n项和.

参考答案：21.某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0．2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分l期付款，其利润为l万元；分2期或3期付款其利润为1．5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用77表示经销一辆汽车的利润，

（I）求上表中，b的值；

（II）若以频率作为概率，求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有l位采用3期付款”的概率；

（III）求的分布列及数学期望E．

参考答案：22.如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由椭圆的定义可知：|MF|=m+=4，及16=2pm，联立即可求得p的值，求得抛物线C的标准方程；（2）由题意设直线EA：x=ky﹣1，代入抛物线方程，根据△=0，求得斜率k，求得A点坐标，同理求得B点坐标，求得直线AB的方程，即可求得直线AB是否经过焦点FF（0，2）．【解答】解：