上海浦东新区2023年高一上学期《数学》期末试卷与参考答案

上海市浦东新区2023年高一上学期《数学》期末试卷与参考答案一、填空题本大题满分36分。本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.____________.（用符号“”或“”填空）答案：2.已知集合，且，则实数a的值为____________.答案：或3.函数的定义域是__________.答案：4.是2的倍数，是6的倍数，则是的____________条件（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）.答案：必要非充分5.用有理数指数幂的形式表示（其中）____________.答案：6.设，则关于x的不等式的解集是____________.答案：7.已知一元二次方程的两个实根为，则____________.答案：38.请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式的所有正整数解.答案：①②④9.设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是____________.①如果，且，那么；②如果，且，那么；③如果，那么；④如果，那么.答案：①③④10.已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是____________.答案：911.已知正数a和b满足，用a及b表示____________.答案：12.某同学在学习了基本不等式和幂指对运算后，通过查阅资料发现了一个不等式“，当且仅当时等号成立”，请借助这个不等式，解答下题：对任意，恒成立，则b的取值范围____________.答案：二、选择题本大题满分12分。本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13.下列函数与函数相同的是（）A. B. C. D.答案：B14.下列函数中，值域是的是（）A. B. C. D.答案：D15.关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（）A.幂函数的图象一定经过和B.幂函数的图象一定关于y轴或原点对称C.幂函数的图象一定不经过第四象限D.两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点答案：C16.已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（）A.在上是严格增函数 B.若，则C.若，则 D.函数的最小值为2答案：A三、解答题本大题满分52分。本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.解不等式.答案：18.已知集合，集合，用列举法表示集合.答案：19.要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽x（单位：m）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度）答案：居室的宽为5m时，居室的最大总面积是.20.小明在学习“用函数的观点求解方程与不等式”时，灵光一动，为课本上一道习题“已知为正数，求证：.”得到以下解法：构造函数，因为，当且仅当时取等号；所以对于函数可得，当且仅当时，即，当且仅当时可取等号.阅读上述材料，解决下列两个问题：（1）若实数不全相等，请判断代数式“”的取值是正还是负；（直接写出答案，无需理由）（2）求证：，并指出等号成立的条件.答案：（1）正（2）由（1）知：（当且仅当时取等号），，即（当且仅当时取等号）21.已知是定义在上的函数，对于上任意给定的两个自变量的值，当时，如果总有，就称函数为“可逆函数”.（1）判断函数是否为“可逆函数”，并说明理由；（2）已知函数在区间上是增函数，证明：是“可逆函数”；（3）证明：函数是“可逆函数”的充要条件为“”.答案：（1）在上单调递减，在上单调递增，，则与恒有两个不同的交点，记为，则，，不符合“可逆函数”定义，不是“可逆函数”.（2）任取，则；在区间上是增函数，，又，，，在区间上是增函数，则当时，恒成立，是“可逆函数”.（3）先证明充分性：当时，，则的定义域为；任取且，则，即，为“可逆函数”，