2023-2024学年广东省汕头市潮南区九年级（上）期末数学试卷（附答案）

2023-2024学年广东省汕头市潮南区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.以下是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是（）

2.下列事件为必然事件的是（）

A.中秋节晚上一定能看到月亮

B.明天的气温一定会比今天的高

C.某彩票中奖率是1%,买100张彩票一定会中奖

D.地球上，上抛的篮球一定会下落

3.抛物线y=（x+3）2+1的对称轴是（）

A.直线x=3B.直线x=-3C.直线x=-1D.直线x=1

4.一元二次方程/一4%+3=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

5.如图，A8是。。的直径，四边形ABCQ内接于O0,若BC=CD==2k------

4cm,则。。的直径48为（）0\\

A.5cmQ1B

B.4cm）

C.6cm

D.8cm

6.若关于x的一元二次方程a/+_4=0的一个根是％=1,则代数式2027-a-b的值为（）

A.-2023B.2023C.-2024D.2024

7.如图，将4绕点。逆时针旋转80。，得到△OCD.若乙4=2zD=100°,贝此a的度数是()

A.50°B.60°C.40°D.30°

8.已知二次函数y=(x+l)2-2的图象上有三点4(1,%)，B(2,y2)，C(-2,y3),则%,y2,乃的大小关系

为()

A.71>y2>y3B.y2>yt>为C.%>%>y2D.y3>y2>为

9.如图，四边形ABC。内接于OO,如果48。。的度数为122。，则ADCE的度数为A

C.62°

D.60°

10.已知三角形的两条边分别是3和8,第三边是方程/—13》+42=0的根，则这个三角形的周长为()

A.17或18B.17C.18D.不能确定

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.在平面直角坐标系中，点(-3,2)关于原点对称的点的坐标是

12.如图，在。。中，AB=AC，^AOB=40°,点。在。。上，连结CO,AD,则

4DC的度数是.

13.已知一个布袋里装有2个黑球、机个白球，这些球除颜色外其余均相同.若从该布袋里任意摸出1个球

是黑球的概率为看，则m的值为.

14.如图，尸是。。外一点，PA,PB分别和。。相切于点A、B,C是弧A8上任意

一点，过C作。。的切线分别交PA、PB于点、D、E,若PA=12,则APDE的周长

为.

15.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞

的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米.

16.如图，在平行四边形ABC。中，己知4B=4,BC=6,乙ABC=

60。，点尸是8C边上一动点（点尸不与2,C重合），连接AP,作点B

关于直线AP的对称点。，则线段QC的最小值为.

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

用适当的方法解下列方程：/-4x-2=0.

18.（本小题8分）

“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种.某葡萄种植基地2020年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2022

年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩.求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率.

19.（本小题8分）

如图，是△力BC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点。、E、F,NDEF=50。.求NA的大小.

20.（本小题8分）

2023年第19届亚运会在杭州举办.小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务.现有如图所示

“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A,B,C,

（1）小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到B（宸宸）的概率是.

（2）小蔡从中随机抽取两盒.请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是4（琮琮）和C（莲莲

）的概率.

BA

21.（本小题8分）

如图，在平面直角坐标系中，△48<7各顶点的坐标分别为4（一1,一4）,5（0,-5）,C（2,-2）.

⑴将△ABC绕点。逆时针旋转180。后对应得到△AB'C',请写出点4,B',C'的坐标.

（2）请在图中画出AABC绕点。顺时针旋转90。后的并求出旋转过程中点A所经过的路径长（结

果保留根号和兀）.

22.（本小题8分）

如图，矩形ABC。中，。。经过点A,且与边8c相切于M点，。。过C。边上的点N,且CM=CN.

(1)求证：co与。。相切；

(2)若BE=2,AE=6,求8c的长.

23.(本小题8分)

鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面(如图1)

和截面示意图(如图2),攻球员位于点0,守门员位于点A,0A的延长线与球门线交于点2,且点A,B均

在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表：

s/m0912151821・・・

h/m04.24.854.84.2・・・

(1)根据表中数据可得，当$=加时，〃达到最大值______m；

(2)求/z关于s的函数解析式；

(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2,6机时，视为防守成功，若一

次防守中，守门员位于足球正下方时，s=24zn,请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明.

图1图2

24.(本小题8分)

圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形.

⑴如图1,四边形ABC。为等邻边圆内接四边形，AD=CD,/.ADC=60。，则乙4BD=

(2)如图2,四边形AO8C内接于。。，A8为。。的直径，AB=10,AC=6,若四边形AD8C为等邻边圆

内接四边形，求的长;

(3)如图3,四边形A8CD为等邻边圆内接四边形，BC=CD,AB为。。的直径，且=48.设BC=x,

四边形ABC。的周长为y,试确定y与x的函数关系式，并求出y的最大值.

D

图1图2

25.(本小题8分)

在平面直角坐标系中,二次函数，=a/+bx+c的图象与无轴交于A、B两点，与y轴交于点C,过点

图1

(1)求二次函数的解析式;

(2)如图1,若点M是二次函数图象上的点，且在直线的上方，连接MC,MD.求△MCD面积的最大值

及此时点M的坐标;

(3)如图2,设点。是抛物线对称轴上的一点，连接QC,将线段QC绕点。逆时针旋转90。，点C的对应

点、为F,连接PE交抛物线于点E,求点E的坐标.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解:选项A、B、。都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，

所以不是中心对称图形，

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：C.

根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重

合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

2.【答案】D

【解析】解：A、可能发生，也可能不发生，是随机事件，不符合题意；

3、可能发生，也可能不发生，是随机事件，不符合题意；

C、可能发生，也可能不发生，是随机事件，不符合题意；

。、是一定会发生的事件，是必然事件，符合题意；

故选：D.

必然事件的就是一定会发生的事件，即发生概率是1的事件，依据定义即可作出判断.

关键是理解必然事件是一定会发生的事件.

解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数

学素养.

3.【答案】B

【解析】解:抛物线y=(x+3)2+1的对称轴是直线x=-3.

故选：B.

二次函数的顶点式y=Q-h)2+k,对称轴为x=h.

本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式y=。一位2+卜中，对称轴为％=儿

4.【答案】B

【解析】解：••・J=(-4产-4xlx3=4>0,

.•.方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0（a片0）的根与4=b2-4ac有如下关系：当4>0

时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当/<0时，方程无实数根.

5.【答案】D

【解析】解：如图，连接。D、OC,

BC=CD=DA=4cm,

・•・^AOD=乙DOC=乙BOC=60°.

又。4=OD,

.•.△a。。是等边三角形，

OA=AD=4cm,

.,.O。的直径为8cm.

故选：D.

如图，连接OC.根据圆心角、弧、弦的关系证得△4。。是等边三角形，则。。的半径长为4cm,求出

直径即可.

本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定，解题的关键是利用“有一内角是60度的等腰三

角形为等边三角形”证得△2。。是等边三角形.

6.【答案】B

【解析】解：将％=1代入a/+bx—4=0,得a+6—4=0,

a+b=4,

.­.2027-a-b=2027一（a+b）=2027-4=2023,

故选：B.

根据方程的解的定义，求出a+6=4,可得结论.

本题考查一元二次方程的根，代数式求值，先将x=l代入+4=0,求出a+b的值，再代入

2027—a-6即可.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的

夹角等于旋转角是解决本题的关键.

根据旋转的性质得知N4=NC,N40C为旋转角等于80。，则可以利用三角形内角和度数为180。列出式子进

行求解.

【解答】

解：•.•将AOAB绕点。逆时针旋转80。，

/.A=Z.C,Z.AOC=80°,

Z.DOC=80°—a,

■：乙4=24。=100°,

•••乙D=50°,

•••ZC+ZD+ADOC=180°,

A100°+50°+80°-a=180°,解得a=50",

故选：A.

8.【答案】B

【解析】解：•••二次函数y=(x+l)2—2,

a=1>0,开口向上，对称轴为直线刀=一1,

.•・当》<—1时，y随尤的增大而减小，当光>一1时，y随尤的增大而增大，

V1<2,

•••y2>无，

•••1-(-1)=2,-1-(-2)=1,2>1,

••­yi>乃，

•••y2>yi>y3'

故选：B.

根据二次函数解析式得出a=1>0,开口向上，对称轴为直线x=-1,再根据二次函数的增减性判断即

可得到答案.

本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：••・AB。。的度数为122。，

1

・•・乙4="BOD=61°,

••・四边形A8CD内接于。。，

・•・乙BCD=180°-ZX=119°,

・•・乙DCE=180°-乙BCD=61°,

故选：B.

根据圆周角定理求出N&，根据圆内接四边形的性质得到NBCD,根据邻补角的概念求出NDCE即可.

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：•••三角形的两条边分别是3和8,设第三边为0,

8—3<a<6+3,

即5<a<11,

解方程M-13x+42=0,得：久1=6,久2=7,

该方程的两个根都在。的取值范围内，

・・・当x=6时，该三角形的周长为：3+8+6=17,

当％=7时，该三角形的周长为：3+8+7=18.

故选：A.

首先设第三边为。，根据三角形三边之间的关系得5<a<11,再解方程一一13久+42=0,得：久】=

6,*2=7,由此可得出该三角形的周长.

此题主要考查了三角形三边之间的关系，解一元二次方程，三角形的周长等，理解三角形三边之间的关

系，熟练掌握解一元二次方程是解决问题的关键.

11.【答案】(3,—2)

【解析】解：根据平面直角坐标系内，两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，

.••点(-3,2)关于原点对称的点的坐标是(3,-2),

故答案为(3,-2).

根据平面直角坐标系内，两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，即可得出答案.

本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称的坐标特点，熟记关于原点对称的两点的横、纵坐标

互为相反数是解题关键.

12.【答案】20。

【解析】解：连接OC.

,.筋=g

.­.4AOB=^AOC=40°,八''、/y/)

AADC==20°,\\lJ

D

故答案为20°

根据等弧所对的圆周角相等，求出乙4。。即可解决问题.

本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用

所学知识解决问题.

13.【答案】3

【解析】解：根据题意得：/=|，

2+m5

解得：m=3,

经检验zn=3是原方程的解，

故答案为：3.

利用概率公式列式计算即可.

此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.【答案】24

【解析】解：••・P4尸8分别和。。相切于点A、B,且P4=12.

PA=PB=12,

•.•过C作。。的切线分别交尸4、PB于点、D、E,

DC=DA,EC=EB,

PD+DE+PEPD+DC+EC+PEPD+DA+EB+PE=PA+PB12+1224,

・•.△PDE的周长为24,

故答案为：24.

由PA、PB分别和O。相切于点A、B,得PA=PB=12；因为过C作。。的切线分别交PA、PB于点

D、E,所以DC=ZM,EC=EB,所以RD+DE+PE=PA+PB,即可求出APDE的周长，得出问题的

答案.

此题重点考查切长定理，根据题中所给的条件及切线长定理将△PDE的周长转化为PA与尸8的和是解题的

关键.

15.【答案】276

【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过A8,纵轴y通过48中点O且通过C点，则通过画图可

得知。为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A,8两点，0A和OB可求出为A8的一半2米，抛物线顶点C坐标为

(0,2),

通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中。可通过代入A点坐标(一2,0),

到抛物线解析式得出：a=-0.5,所以抛物线解析式为y=-0.5/+2,

当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：

—1=―0.5/+2,

解得：x=±-\/-6,

所以水面宽度增加到2幅米，

故答案为：2，^.

根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度,

即可得出答案.

此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键.

16.【答案】2/7-4

【解析】解：如图3,过点A作4"18C于X,

•••AB=4,BC=6,AABC=60°,

则4"=AB-sinzXBC=4sin60°=2门，BH=AB-coszXBC=4cos60°=2,

：.CH=BC-BH=6-2=4,

在RtA4CH中，AC=yjAH2+CH2=J(2AA3)2+42=2口，

•・•点B与点。关于直线AP对称，

AQ=AB=4,

.•.点。在以A为圆心AB为半径的04上，

.•.当C、。、A三点共线时。C最小，QC的最小值="—4Q=2/7-4,

故答案为：2，7-4.

过点A作4"1BC于H,利用解直角三角形得力”=AB-sin乙4BC=273,BH=AB-cos^ABC=2,

CH=BC-BH=4,由勾股定理得AC=2，7,再由4Q=48=4,可得点。在以A为圆心43为半径的

04上，即当C、。、4三点共线时。C最小，QC的最小值=ac—2Q=2犷—4.

本题考查了圆的有关知识，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题

的关键.

17.【答案】解：/一4久一2=0,

x2—4x—2,

久2—4久+4=2+4,

(x-2)2=6,

%—2=

久1=2+y/-6,x2=2—y/-6.

【解析】利用配方法解方程即可.

本题主要考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法解方程.

18.【答案】解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x,

根据题意得：300(1+久/=432,

解得：%1=0.2=20%,x2=一2.2(不符合题意，舍去).

答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%；

【解析】设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x,利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种

植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积x(l+该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率

/，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

19.【答案】解：连结"＞、IF,如图，

•••乙DEF=50°,

•••ZD/F=2乙DEF=100",

•••G）/是AABC的内切圆，与A3、CA分别相切于点。、F,

：.IDYAB,IFIAC,

•••^ADl=4AFI=90°,

ZX+乙DIF=180°,

ZX=180°-100°=80°.

答：乙4的大小为80°.

【解析】连结〃＞、IF,如图，先根据圆周角定理得到ND/F=2NDEF=100。，再根据切线的性质得/D1

AB,IFLAC,则乙4。/=乙2口=90。，然后根据四边形内角和计算的度数.

本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心

叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.

20.【答案吗

【解析】解：（1）由题意得，恰好抽到B（宸宸）的概率是9.

故答案为：

（2）画树状图如下：

开始

共有6种等可能的结果，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是4（琮琮）和C（莲莲）的结果有2种，

.••小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是4（琮琮）和C（莲莲）的概率为a=i

o3

（1）直接利用概率公式可得答案.

（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是4（琮琮）和C（莲莲）的结果数，再利

用概率公式可得出答案.

本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

21.【答案】解：⑴由题意得，4(1,4),4(0,5),C'(—2,2).

(2)如图,△A'B〃C〃即为所求.

由勾股定理得，。2=VI2+42=V17，

••・旋转过程中点A所经过的路径长为吗二=坦

【解析】(1)根据旋转的性质可得答案.

(2)先利用勾股定理求出OA的长，再利用弧长公式计算即可.

本题考查作图-旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键.

22.【答案】⑴证明：连接OM,ON,MN,

•••CM=CN,OM=ON,

Z.CMN=Z.CNM,乙OMN=ZJJNM,

・・・。。与3。相切于“，

・•・OM1BC,

・••乙OMC=乙OMN+乙CMN=90°,

Z.ONC=乙ONM+Z.CNM=90°,

•••ON1CD,

又ON是O。的半径，

CD与。。相切；

(2)解：过点。作。G14B于G,连接OE,

1

GE=-AE=3,

，BG—BE+GE=5,

•••四边形ABC。是矩形，

，Z-B=Z.C=90°,

又OM1BC,

••・四边形0G8M是矩形，

•••BM=OG,OM=BG=5=OE=ON,

OG=OE2-GE2=4,

BM=4,

•••ZC=90°,OM1BC,ON1CD,

四边形OMCN是矩形，

MC=ON=5,

BC=BM+CM=9.

【解析】(1)连接。M，ON,MN,根据等腰三角形的性质得出“MN="NM,乙OMN=々ONM,根据切

线的性质可得NOMC=NOMN+NCMN=90。，进而可证明。N1CD,最后根据切线的判定即可证明；

(2)过点。作。G于G,连接OE,根据垂径定理求出CG,OE,然后证明四边形ABC。、OMCN是矩

形，则可求BM,CM,即可求解.

本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

23.【答案】155

【解析】2解：(1)由表格可知，5=9时和$=21时，相等，s=12时，s=18时，力相等，

抛物线关于s=15对称，s=15小时，/z达到最大值5加；

故答案为：15,5；

(2)由(1)知，抛物线关于s=15对称，设九=a(s-15产+5,

把(12,4.8)代入上述解析式，

.­.a(12-15)2+5=4.8,解得a=—上，

••・h=-*(s-15)2+5,

即八二-^TS2+|S；

453

(3)不能防守成功，

理由如下：当s=24m时，h=——s2+-s=——x242+-X24=3.2(m),

453453

3.2>2.6,

・•.这次守门员不能防守成功.

(1)根据抛物线的对称轴可直接得出结论；

(2)根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入(12,4.8)可求出参数，由此可解答;

(3)根据s的值，求出人再与最大防守高度2.6/n比较即可.

本题考查二次函数的实际应用，理解题意，掌握抛物线的性质是解题的关键.

24.【答案】60。

【解析】解：⑴--AD=CD,

AD=CD，

.­•乙ABD="BD=jzCBX,

又：/.ADC=60",

.­.乙ABC=180°-60°=120°,

.­.4ABD=^ABC=60°,

故答案为：60。；

(2)为直径，

.­.乙ACB=4ADB=90°,

又,:AB=10,AC=6,

由勾股定理得，BC=8,

•.•四边形AOBC为等邻边圆内接四边形，

•••AD=BD=AB-cos45°=5<2,

Z4=45°=N3,

如图，过点A作4"1CD于H,贝UC”=4f/,

又41=N2,

DHrcBC8

.-.-=coSzl-cosz2=-=-)

。x5/2=4<2,

AH..c4。6

■.--=sinzl=sinz2=--->

AH=。x5~\/~2—3A/-2=CH,

：.CD=CH+DH=7A42;

(3)如图3,连接8。、OC交于点H,

CD=BC=x,

・•・OC1BD于H,且。H=BH,

又A3为直径，

・•・^ADB=90°=Z.OHB,

・•.OH//AD,

•・・。为A3中点,

1

・•.OH=^AD,

又乙COB=2乙CDB,直径ZB=48,半径08=OC=24,

过点。作。G1BC于G,

1ii

・•・乙BOG="COB=乙CDB,BG=^BC=

号=S&CDB=sinzBOG备为X

届'

x2

・•.CH=1CD

森'

OH=OC-CH=24-*，

48

AD=20H=2(24-=48-||，

丫21-

y=AB+BC+CD+AD=48+2x+(48一言)=一言+2x+96=-壶。―24)2+120-

y的最大值为120.

(1)利用圆周角定理可得N4BC=18(T-6(r=120。，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案；

⑵首先利用勾股定理求出AC和A。、8。的长，过点A作4H1CD于区则CH=2H,解△"£)即可；

(3)连接8。、OC交于点H,过点。作。G1BC于G,利用三角函数表示出CH的长