中考数学《勾股定理的应用》练习（附答案解析）

中考数学《勾股定理的应用》专题练习(附答案解析)

一、综合题

1.如图，在平面直角坐标系xθy中，抛物线y=%2+α%+b经过点4(一2,0),

B(-l,3).

4-

B

•3h

2，

4

A

八▲▲♦▲:

-5-4-3-2-IO∖I2X

-I∣∙

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为C,直接写出点C的坐标和ZBOC的度数.

2.如图1,已知0为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F,OD到点E,使0F=20A,

0E=20D,连结EF,将aFOE绕点0逆时针旋转α角得到aF'OE,(如图2).

(1)探究AE'与BF'的数量关系，并给予证明；

(2)当a=30°时，求证：4A0E'为直角三角形.

3.设ZXABC的三边长为a,b,c,其中a,b是方程χZ-(c+2)x+2(c+l)=0的两个实数根。

(1)判断^ABC是否为直角三角形？是说明理由。

(2)若AABC是等腰三角形，求a,b,C的值。

4.有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、

9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写

着5cm的卡片.所有卡片的形状、大小都完全相同.现随机从甲、乙两个盒子中各取出

一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度.

(1)请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；

(2)求这三条线段能组成直角三角形的概率.

5.已知aABC在平面直角坐标系中的位置如图，4(0,4),B(4,4),C(6,2),00’为

ΔABC的外接圆.

(2)设瓠AC与线段AB、BC所围成的封闭图形的面积为S(图中阴影部分)，嘉琪说

S>l,请通过计算判断嘉琪的说法是否符合题意；

(3)我们把横纵坐标都是整数的点叫做格点.直线1与0。’相切于点B,直接写出

直线1经过的图中格点坐标.(切点除外)

6.下面是6X6的正方形网格，每个小正方形边长都是1,正方形的顶点称为格点，如

图1,△?!BC的顶点均为网格上的格点.

图2

⑴48=,BC=,AC=

(2)ZABC=°.

(3)在格点上是否存在点P(点P不与点B重合)，使/4PC=90。，请在图中标

出所有满足条件的格点P(用Pl、P2∙∙∙表示).

(4)请在图2中画出一个三角形，使三边长分别为3,√Tθ,5,并求此三角形的面

积.

7.在如图的网格中建立平而直角坐标系，XABC的顶点坐标分别为½(0,l),8(2,5),

C(4,4),仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下

列问题：

(1)直接写出4ABC的形状；

(2)画出ZC边上的高线BE；

(3)画出点B关于AC的对称点F；

(4)D(2,l),点P在AB上，若ZDPA=450,直接写出点P的坐标.

8.已知在△力BC中，ZA,/B,/C的对边分别是α,b,c,关于X的方程/+2bx+

a2+c2=0有两个相等实根.

(1)试判断△4BC的形状；

(2)若3b=α+3c,求COS4

9.如图，抛物线与X轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点，于y轴交于点C(0,3),

顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)请计算以A、13、D、C为顶点的四边形的面积;

(3)在X坐标轴上是否存在点Q,使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，

请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由.

10.如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点4(0,4)、B(4,4)、C

(6,2)

(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心"的位置，并标出"点的坐标；

(2)若〃点的坐标为(7,0),想一想直线切与。材有怎样的位置关系，并证明你

的猜想.

11.如图，A(4,3)是反比例函数y=［在第一象限图象上一点，连接0A,过A作AB

〃x轴，截取AB=OA(B在A右侧)，连接0B,交反比例函数y=1的图象于点P.

(1)求反比例函数y=［的表达式；

(2)求点B的坐标；

(3)求aOAP的面积.

12.已知：如图，双曲线y=1(k≠0)与直线y=πιx(m≠0)交于A(2,4)、B两点,

点D是X轴上一点，C在双曲线上且是AD的中点.

(1)求双曲线和直线AB的函数表达式；

(2)连结BC,求aABC的面积.

13.如图1是一款“雷达式”懒人椅。当懒人椅完全展开时，其侧面示意图如图2所示，

金属杆AB,CD在点O处连接，且分别与金属杆EF在点B,D处连接，金属杆CD的OD

部分可以伸缩(即OD的长度可变).已知0A=50cm,0B=20cm,0C=30cm,DE=BF=5cm.当

把懒人椅完全叠合时，金属杆AB,CD,EF重合在一条直线上(如图3所示)，此时点E

和点A重合。

(1)如图2,已知NBOD=6N0DB,Z0BF=140o。

①求NAOC的度数。

②求点A,C之间的距离。

(2)如图3,当懒人椅完全叠合时，求CF与CD的长。

14.如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是某市实验中学，AP=160米，点A

到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响.

，Q

(I)火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；

(2)如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时，那么学校受到影响的时间是

多久？

15.矩形ABCD中，点C(3,8),E、F为AB、CD边上的中点，如图1,点A在原点处，

点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿X轴向右以每秒1个单

位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2,设

运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动.

(1)当t=0时，点F的坐标为；

(2)当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；

(3)求运动过程中，点F到点0的最大距离；

(4)当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值.

16.如图，在AABC中，内角力、B、C所对的边分别为a、b、c.

B

A

(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出NA与/B的和与NC的大

小关系；

(2)求证：ΔABC的内角和等于180。;

(3)若a=∕α+b+c),求证：δabc是直角三角形.

a—b+cc

参考答案与解析

1.【答案】(1)解：：抛物线y=x2+ax+b经过点A(-2,O),B(-l,3),

・(4-2α+b=0,

I1-α+b=3.

解得(α=6,

Lb=8.

'.y=X2+6x+8.

(2)解：C(-3,-l),ZBOC=90°

2.【答案】(1)证明：为正方形ABCD的中心，

ΛOA=OD,

V0F=20A,0E=20D,

OE=OF,

：将AEOF绕点0逆时针旋转ɑ角得到△£'0F,,

.∙.0E'=OF,,

VZF,0B=ZE,0A,OA=OB,

在△£'AO和aF'BO中，

(OE,=OF,

∖ZF,OB=ZE,OA，

IOA=OB

ΛΔE,A0^ΔF,BO(SAS),

ΛAEz=BF'；

(2)证明：：取OE'中点G,连接AG,

,.∙ZΛ0D=90o,α=30o,

.∙.NE'0A=90o-a=60°,

V0E,=20A,

二OA=OG,

,NE'OA=NAGO=NoAG=60°,

ΛAG=GEz,

ΛZGAE,=NGE'A=30o,

ΛZE/A0=90o,

ΛΔΛ0E,为直角三角形.

3.【答案】(1)4ABC是直角三角形

理由：：a,b是方程χ2-(c+2)x+2(c+l)=0的两个实数根

a+b=c+2,ab=2(c+l)

.,.(a+b)2=(c+2)2,

a2+2ab+b~-c'+4c+4

a2+2×2(c+l)+b2=c2+4c+4,

整理得a2+b2=c2,

Va,b,C是aABC的三边，

/.△ABC是直角三角形.

(2)解：∙.∙∕∖ABC是以C为斜边的直角三角形，

当aABC时等腰三角形时，则a=b

.∙.<√=2a2则C=√20

∙*∙α+α=y∕2α+2

解之：α=b=2+V∑

∙".c=2+2√2

4.【答案】(1)解：画树状图得：

开始

379

∕√Vx.∕√V∖∕√Vx

246R24682468

共有12种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7种情况,

.∙.这三条线段能组成三角形的概率为：ɪ

(2)解：:这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm,4cm,5cm；

.∙.这三条线段能组成直角三角形的概率为：ɪ

5.【答案】(1)(2,0)

（2）解：如图2,连接.'z、O'c，

图2

由勾股定理可知，。'/I=彳=2√5,OC=√22+42=2√5,

ΛC2=62+22=40,

∙"∙θ'A2+OC2=(2√5)2+(2√5)2=40=AC2^

AO'C为直角三角形，ZAO,C=90°,

S'=iθA-OC=i×2Λ∕5×2∙∖∕5=10,SΛ=⅛×4×2=4,

△4。C2ZAAAbLBC2

则阴影部分的面积S=S扇形AO,c~S^AO'c—SAABC=5ττ-10-4≈1,7>1,

所以嘉琪的说法符合题意；

(3)解：(6,3)和(2,5).

6.【答案】(1)√5;2√5;5

(2)90

BC=3,AB=√10,AC=5,

19

∙,∙S^ABC=]X3X3=2

7.【答案】（1）解：ZSABC是直角三角形

（4）P.,⅛）,

8.【答案】（1）解：由题意，=4b2-4a2-4c2=0,

.*.b2-a2-c2=0,

Λb2=a2+c2,

...△ABC是直角三角形；

⑵解：=a+3c,

.".a=3b—3c,

Vb⅛2+c2,

Λb2=(3b-3c)2+c2,

4b2+5c2-9bc=0,

.5c29c.

..至一万+4=0,

5cc

“万—4)(6_1)=0，

ʌsɪr或W=1，

∙.∙∕B=90°,cos4=半，NR为直角三角形ABC的内角，

言=1舍去

•∙CoSA=Nb=H5.

9.【答案】(1)解：•；设抛物线的表达式为y=a∕+bx+c,

■a+b+c=0

将点A、B、C的坐标代入抛,物线表达式得：9a-3b+c=0，

c=3

a=-1

解得b=-2

.C=3

二抛物线的表达式为y=-X2-2X+3,

；抛物线的对称轴为X=-1,当X=-I时，y=-X2-2x+3=4,

点D的坐标为(-1,4)

(2)解:：由点B、C、D的坐标可知,BC2=18,CD2=2,BD2=20,

ΛBC2+CD2=BD-,

/.ΔBCD为直角三角形，

二四边形ABCD的面积=^×BC×CD+^×AB×OC=ɪ×3√2×√2+∣×4×3=9

(3)解：存在，Q(-I,0),如图

作点C关于X轴的对称点E(0,-3),连接DE交X轴于点Q,则点Q为所求点,

；设直线ED的表达式为y=kx+b,将D、E两点坐标代入可得,

[-3=0+6

U=-k+b'

解得仁二〉

直线DE的表达式为y=-7χ-3,

令y=-7χ-3=0,解得X=-j,

点Q的坐标为(-,,0).

10.【答案】(1)解：如图所示，点M即为所求，且M(2,0).

(2)解：直线CD是OM的切线，由A(0,4),可得小正方形的边长为1,

设过C点与X轴垂直的直线与X轴的交点为E,连接MC,作直线CD,

ΛCE=2,ME=4,ED=I,MD=5,在RtZ∖CEM中，ZCEM=90°,

MC2=ME2+CE2=42+22=20,

在RtZXCED中，NCED=90°,

.∙.CD2=ED2+CE2=l2+22=5,

ΛMD2=MC2+CD2,

ΛZMCD=90°,

又「MC为半径,

二直线CD是。M的切线.

IL【答案】(1)解：将点A(4,3)代入y=],得：k=12,

则反比例函数解析式为y=ɪ

(2)解：如图，过点A作ACjLX轴于点C,

则OC=4、AC=3,

AOA=√42+32=5,

：AB〃x轴，且AB=OA=5,

点B的坐标为(9,3)；

(3)解：••♦点B坐标为(9,3),

AOB所在直线解析式为y=ɪX,

由

2),(负值舍去),

过点P作PD±x轴，延长DP交AB于点E,

则点E坐标为(6,3),

；.AE=2、PE=LPD=2,

则aOAP的面积=；×(2+6)×3-ɪ×6×2-ɪ×2×1=5.

12.【答案】(1)解：：双曲线y=((k≠0)与直线y=mx(πr≠0)交于A(2,4),

hr、

解得ff≡8，

∙∙.双曲线的解析式为y=-,直线AB的解析式为y=2x；

zX

(2)解：设C(Jn,ɪ),D(n,0),

是AD的中点,

；.C(争，誓)即ɛ(ɪ,2)

：

.m-=2

Λm=4,

ΛC(4,2),

_8

联立y=3,

y=2χ

解得二;或(舍去)，

/.B(-2,^4),

：.AC2=(4-2)2+(2—4)2=8,BC2=(-2-4)2+(-4-2)2=72,AB2=

(-2-2)2+(-4-4)2=80,

：.AC2+BC2=AB2,

.1△ABC是直角三角形，

：.S“BC=∖AC∙BC=∣×√8×√72=12.

13.【答案】(1)①解：设NODB=X度，贝INBOD=6X度.OBF=NB0D+NODB=140°

6x+x=140,解得％=20；.NA0C=NB0D=120°.②解：如图2,连结AC,作AHj_

CD于点H.VZA0C=ZB0D=120o,ZΛ01l=60oΛ0H=25,AH=

25V3∙*∙∕ic=y∕CH2+AH2=552+Γ25A∕3)2二70，点A,C之间的距离为70Cm.

（2）解:如图3,当懒人椅完全叠合时，0E=0A=50cm.

^—2MN)V0B=20cm,0C=30cm,DE=BF=5cm.

CF=OC-OB-BF=5cm.CD=OC+OE-DE=30+50-5=75cm.

14.【答案】（1）解：会受到影响.过点A作AELMN于点E,

点A到铁路MN的距离为80米，AE=80m,

周围IOO米以内会受到噪音影响，80<100,

学校会受到影响；

（2）解：以点A为圆心，IOO米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB.AC。

O

A

则AB=AC=IOOm,

在Rt∆ΛBE中,

AB=IOOm,AE=80m

BE=y∣AB2-AE2=√1002-802=60m，

BC=2BE=120m,

火车的速度是180千米/时=50m/S,

=^-1204S

t150-50=2s∙

答：学校受到影响的时间是2.4秒.

15.【答案】(1)F(3,4)

(2)解：当t=4时，0A=4.在RtZ∖ABO中，AB=8,ZA0B=90