2022-2023学年宁夏某中学高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年宁夏吴忠中学高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.函数y=半萼的定义域为（）

VX-L

A.（1,2）B.[1,2）C.（1,2]D.[1,2]

2.设复数z满足z（l+i）=2,i为虚数单位，则复数z的虚部是（）

A.1B.-1C.iD.—i

3.命题uVxER,/一%+i之o”的否定是（）

2

A.Vxe/?,x-x+1<0B.3x0e/?,%Q—x0+1<0

C.3x06/?,XQ—x0+1>0D.3x0ER,%Q—x0+1<0

4-若/（'）=｛蓝2蓝设，则"（T）]的值为（）

A.1B.2C.-1D.0

5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）

A.2

£3

6.已知等差数列｛aj中，a2=-l,前5项和Ss=-15,则数列｛6｝的公差为（）

A.—3B.—C.—2D.-1

7.抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M到y轴的距离是（）

AEB.ZC.lD.l|

8.已知平面向量出B的夹角为:，若|初=1，|21一山=Qd则面的值为()

A.。B.5C.2y/~2D.3V-2

9.某学校一同学研究温差双冤)与本校当天新增感冒人数y(人)的关系，该同学记录了5天的

数据：

X568912

y1720252835

经过拟合，发现基本符合经验回归方程y=2.6x+a，则下列结论错误的是()

A.样本中心点为(8,25)

B.a=4.2

C.x=5时，残差为—0.2

D.若去掉样本点(8,25),则样本的相关系数r增大

10.已知双曲线％2一9=1，过点P(2,l)作直线与双曲线交于A,B两点，且点P恰好是线段

AB的中点，则直线AB的方程是()

A.4x—y-7=0B,4x+y-9=0C.x—4y+2=0D.x+4y-6=0

11.分形几何学是一门以不规则儿何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自

然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一

个树形图,若记图2中第n行黑圈的个数为即，则。7=()

第1行

笫2行

第3行

图1图2

A.110B.128C.144D.89

12.定义域R的奇函数〃x),当％e(一8,0)时/(%)+xf(x)＜。恒成立，若a=3/(3),b=

/(l)，c=-2/(-2),贝i」()

A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知/(%)=loga(x-1)一1,则恒过定点P的坐标为

14.函数f(%)=靖一2%的图象在％=0处的切线方程为.

15.若y=cos(2x+今的图象向右平移卬(9>0)个单位长度得到丫=cos2%的图象，则》的值

可以是.(写出满足条件的一个值即可)

16.已知Q(4,0),P(x,y)为椭圆1上一动点，点R满足|丽|=2且乐•丽=0，则

2516

I而I的最大值是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为『

(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=4s讥仇

(I)求曲线C的直角坐标方程:

(II)已知点P的直角坐标为(0,1),2与曲线C交于4,B两点，求|PA|+|PB|.

18.(本小题12.0分)

2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开，为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者

服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下：K

是否愿意提供志愿者服务

愿意不愿意

性别

男生205

女生1015

(I)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？

(H)在(I)中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率；

(III)你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？

下面的临界值表供参考：

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

独立性检验统计量K?=…图蓝)c)i，其中…+b+C+d-

19.(本小题12.0分)

如图，四凌锥S-4BCD中，S4J_底面ABC。，AB//CD,AADC=90°,AD=DC=^AB,E是

SB的中点.

(1)求证：CE〃平面SAD；

(2)求证：平面SAC_L平面SBC

20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=cos(^-2x)-2>/-3COS2X+V-3.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)在A/IBC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且爬)==1,求b的值.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆C：刍+4=l(a>b>0)的左、右焦点分别为0,F2,|a卸|=2,且C过点(1,目).

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点P(o£),过三且与坐标轴不垂直的直线2与椭圆C交于4，B两点,\PA\=\PB\,求

直线I的方程.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=)x-?

(1)若/(x)存在最小值且最小值为2,求a的值：

(2)设g(>)=Inx-a,若g(x)</在(0,e］上恒成立，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由题意得

解得1<x<2,

故函数的定义域(1,2).

故选：A.

根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基

础题目.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

把己知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

【解答】

解：由z(l+i)=2,得z=4=(；景?j)=1-i,

二复数z的虚部是-1.

故选：B.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键.根据

全称命题的否定是特称命题进行判断即可.

【解答】

解：根据全称命题的否定是特称命题，

则原命题的否定是：3x06R,xl-xo+l<O

故选:B.

4.【答案】D

【解析】解：北

•••/(—I)=-1+2=1

•1•/1/(-1)]=/(I)=log2l=0,

故选：D.

根据分段函数的对应法则，即可得到结果.

本题考查分段函数的应用，考查学生对法则的理解，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：模拟程序的运行，可得

k=0,s=1

满足条件kV3,执行循环体，k=l,s=2

满足条件k<3,执行循环体，k=2,s=|

满足条件k<3,执行循环体，fc=3,s=|

不满足条件k<3,退出循环，输出s的值为|.

故选：B.

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行

过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是

基础题.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式以及等差数列的前项和公式.

根据题意，设等差数列｛aj的公差为d,由等差数列的前n项和公式可得S5=回苧小=5a3=

-15,计算可得。3=-3,进而由等差数列的通项公式计算可得答案.

【解答】

解：根据题意，设等差数列｛5｝的公差为d,

等差数列｛即｝中，=-1，其前5项和S5=-15,即S5=叱臂=5(a：3-2dja3+2d)=5a3=一4,

解可得=-3,

则d=a3-a2=-3—(-1)=-2,

故选C.

7.【答案】D

【解析】解：抛物线y2=[x的准线方程为％=-卷

•.・抛物线*=*%上的一点M到焦点的距离为1,

・•・根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为登，

•••点M到y轴的距离为抵

1O

故选。.

根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标，即可求得结论.

本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题.

8.【答案】。

【解析】解：已知平面向量出6的夹角为%|初=1，

则五b=|a||&|cos^=?\b\>

X|2a-d|=/IU，

则4苍2一4日不+或=I。，

即『一2，7|3|一6=0,

又|方|>0)

则的=3/1，

故选：D.

由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题.

9.【答案】D

【解析】解:x-=-5-+-6-+-8-+-9-+--12=80,y-=--17-+--2-0+-2-5-+-2-8-+-3-5=25.

.••样本中心点为(8,25),故A正确;

把(8,25)代入y=2.6x+a，得25=2.6X8+a，可得a=4.2，故B正确;

x=5时，y=2.6x5+4,2=17,2，则残差为17-17.2=-0.2,故C正确；

由相关系数公式可知，去掉样本点(8,25)后，x与y的样本相关系数r不变，故。错误.

故选：D.

由已知求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求出a的值，即可判断AB；求出x=5时y的

预测值，结合残差的定义判断C；由相关系数公式判断D.

本题考查线性回归方程，考查相关系数与残差的概念，是基础题.

10.【答案】A

【解析】解：设4(%1%),B(x2,y2)＞且与#%2,

Z*

2

X

U1-2

由

1

秃＞消兀可得：后—/?—冬,

2

1X一

2-2=1

即(%+g)(%一"2)=色也2普出，

因为P为中点，所以与+小=4,yt+y2=2,

即&B=泞2=号管2=4,

xl-x2百十丫2

故直线48方程为：y—1=4(%—2),EP4X—y—7=0,

(4x—y—7=0

由y2可得：14x2—56%4-51=0,

%92-V=1

则4=562-4X14X51=280>0,满足题意,

所以直线AB的方程为：4x—y—7=0.

故选：4

利用点差法可求得直线AB斜率，进而得到直线力B的方程，与双曲线联立检验即可确定结果.

本题考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.

11.【答案】C

【解析】解：即表示第n行中的黑圈个数，设%表示第n行中白圈个数，

由题意知Q九+1—2a九+，。九+1=Qn+bi，

•・•=0,瓦=1,

Q，2=1,匕2=1,

a3=2x14-1=3,%=1+1=2，

a4=2x34-2=8,九=3+2=5,

cz5=2x8+5=21,%=8+5=13,

=2x21+13=55,/?6=21+13=34,

a7=2X55+34=144.

故选：C.

即表示第n行中的黑圈个数，设当表示第n行中白圈个数，由题意知0n+i=2即+勾，bn+1=an+

bn,根据初始值，利用递推思想能求出结果.

本题考查简单的归纳推理、递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

12.【答案】A

【解析】

【分析】

本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识，

考查运算求解能力，考查化归与转化思想.属于中档题.

先构造函数g(%)=%/(%),依题意得g(%)是偶函数，且g'(%)<0恒成立，从而故g(x)在久e(一8,0)

单调递减，根据偶函数的对称性得出9(%)在(0,+8)上递增，即可比较a,b,c的大小.

【解答】

解:设g(x)=依题意得g(x)是偶函数，

当％G(—00,0)时,f(x)+xf(x)<0,

即g'(%)<0恒成立，故g(%)在％e(-8,0)单调递减，

则g(%)在(0,+8)上递增，

又a=3f⑶=g(3),b=f(l)=g⑴，c=-2/(-2)=g(-2)=g(2),

故a>c>b.

故选：A.

13,【答案】(2,-1)

【解析】解:对于/(x)=loga(x—1)-1，(a>o,aH1)，

令x—1=1,求得x=2,/(x)=-1,

可得该直线经过的定点P的坐标为(2,-1).

故答案为:(2,-1).

令对数的真数等于1,求出工、的值，可得该直线经过的定点P的坐标.

本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题.

14.【答案】x+y-1=0

【解析】解：因为/。)=蜡-2x,所以尸(x)=/一2.

则/'(0)=1,1(0)=—1,

所以f(x)的图象在％=0处的切线方程为y-1=-x.

故答案为：x+y-1=0.

求解导数，得到切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题.

15.【答案】卷+卜兀，k€Z,(k取任意一个整数皆可)

【解析】解：由题意得：y=cos(2x+2)=COS[2(X+2)],

结合原函数的周期为7=兀，

故只需将y=cos(2x+》的图象向右平移着+而，(fcGZ)个单位长度得到y=cos2x的图象.

故答案为：l+kn,k€Z,(k取任意一个整数皆可).

将y=cos(2x+弱化为y-cos[2(x+^)],然后根据左加右减求出卬的一个取值.

本题考查三角函数图像的变换方法，属于基础题.

16.【答案】yT77

【解析】解：由|诙1=2,知R在以Q为圆心，2为半径的圆上，如图,

又已知丽•丽=0，PRA.QR,

\'PR\2=\PQ\2-\QR\2=\'PQ\2-4,

由图可知，当P点为椭圆的左顶点时.，|而|取最大值，

,••椭圆看+4=1的左顶点坐标为(-5,0),圆心Q(4,0)，

2516

|可|的最大值为4-(一5)=9,则|而|最大值是V92-4=

故答案为：＜77.

由己知得至小而『=|而|2一|而|2=|而|2一4,可知|而|越大，|而|越大，由图可知，当P点

为椭圆的左顶点时，可取得最大值.

本题考查椭圆的儿何性质，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题.

X=pcosO

y=psine,转换为直角坐标

%2+y2=2

{p

方程为/+y2_4y=0,整理得％2+(y_2)2=4.

(H)将直线I的参数方程为{2(t为参数)，代入/+y2-4y=(),

(y=i+?t

得到t2一，7t-3=0,

所以ti+J=V""2,t[tz——3,

2

故|P4|+\PB\=|tx-t2|=V(ti+t2)-4txt2=V^4.

【解析】(I)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

(H)直接利用直线与曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数

关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

18.【答案】解：(/)由题意，男生抽取6x七=4人，女生抽取6x,=2人;

4UIXMaUIX

11

(〃)在(/)中抽取的6人中任选2人，恰有一名女生的概率。=呼=4；

2

2=5°x(2°xl5-5xi())=8.333,由于8.333>6.635,所以有99%的把握认为该校高中生是

'730x20x25x25

否愿意提供志愿者服务与性别有关.

【解析】(1)根据分层抽样的定义，写出比例式，得到男生抽取人数即可.

(〃)由题意知本题是一个等可能事件的概率，本题解题的关键是利用排列组合写出所有事件的事

件数，及满足条件的事件数，得到概率.

(/〃)计算K2,同临界值表进行比较，得到有多大把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与

性别有关.

本题考查分层抽样方法和等可能事件的概率，独立性检验的应用，属于中档题.

19.【答案】证明：（1）取4B中点F,连结EF,CF,

•••四凌锥S-ABCD中，AB〃CD,4ADC=90°,

AD=DC=^AB,E是SB的中点.

EF//SA,CF//AD,

SAC\AD=A,EFnCF=F,.•.平面S4D//平

面EFC,

•••CEu平面CEF,〃平面SAC.

⑵〈Sa1底面ABC。，BCu平面ABC。，,SAJ_BC,

vAB11CD,/.ADC=90°,AD=DC=^AB,•.AC1BC,

•：SAC\AC=A,BC_L平面S4C,

BCu平面SBC,•♦.平面SAC_L平面SBC.

【解析】(1)取4B中点F,连结EF,CF,推导出EF〃SA,CF//AD,从而平面£4D〃平面EFC,

由此能证明CE〃平面£4D.

(2)推导出S4_LBC,AC1BC,从而BC_L平面S4C,由此能证明平面SAC_L平面SBC.

本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,

考查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：(l)f(x)=cos©-2%)-2/3COS2%+C

=sin2x—V-3(l+cos2x)+=sin2x—V_3cos2x

=2(|sin2x—cos2x)=2sin(2x—

即f(x)=2sin(2x

令2/CTT—542%—g+*kEZ,解得上兀一白W%W々九+驾kEZ,

43，141Z

故f(x)的单调递增区间为际-刍而+颗kez.

(2)因为胫)=2sin(A一刍=G则sinQl一勺=孕，

因为46(0,7T),所以4一？€(—果等)，所以4*即4=亭,

JJJ>5<53

又a=，3,c=1，由余弦定理a?=b2+c2-26ccos4得3=b2+1-2b-(-1),

即炉+6—2=0,解得b=1或b=—2(舍去)，所以b=1.

【解析】(1)先利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式把函数/(x)变形成正弦型函数，再结合正

弦函数的单调性求其单调区间即可；

(2)把x=?代入函数/(x),并结合46(0㈤，可解得4=字再利用余弦定理即可得解.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算

能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为=2，

所以尸式一1,0),尸2(1,0),C=1,

2

ICFJ+|CF2|=J2+^+J0+；=4=2a，所以a=2,

又。2一/=c2,

所以Z?2=a2—c2=3,

所以椭圆C的方程为1+4=1；

43

(2)由(1)椭圆C的方程为'+[=1，

因为0+/<1'

所以p(o£)在椭圆c的内部，

O

由已知设2的直线方程为y=k(x-l)(/c*0),

做工”1)，3(%2，%)，

(y=k(x—1)

由e+已_］，得(3+41)%2—8々2%+轨2-12=0,zl=144(/c2+l)>0,

.43

所以X1+&=得'

2

%+，2=kN+&-2)=取$-2)=