2023届新高考一轮复习基础检测数学试题（解析版）

2023届新高考一轮复习基础检测数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合'I>,'I>,则AD3=（）

A.{x|0Wx<2}B.C.{x|xN0}D.{x|x<2}

（答案DB

K解析》因为集合4={%|—I<x<2},B={%|%>0},

所以AD8={X|X>—1}.

故选：B.

2.在复平面内，复数（2-i）i的共粗复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

R答案2D

K解析U（2-i）i=l+2i,其共规复数为l—2i,对应坐标为（1,-2）,在第四象限.

故选：D.

3.已知a=（sin15。,cos15。），h=（cos30°,sin30°）,则二（）

A^25/2「_Ln__J_

2222

K答案》A

后

K解析Ud-Z?=sinl5cos30+cos15sin30=sin（15+30）=sin45°=—,

故选：A.

4.2020年11月24H4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦

娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全

着陆，“绕、落、回''三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基

M

础.己知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=%/n一计算火箭

m

的最大速度n（m/s）,其中%（m/s）是喷流相对速度，加（kg）是火箭（除推进剂外）的质

量，M(右)是推进剂与火箭质量的总和，?■称为“总质比”.若A型火箭的喷流相对速度

为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为(Igea0.434,

1g2«0.301)()

A.4890m/sB.5790m/sC.6219m/sD.6825m/s

R答案WC

K解析Uv=vIn—=1000x1n500=1000x=1000x«6219m/5.

0mIgeIge

故选：C.

5.一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1,另一个数由6改为9,其余数不

变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为()

A.2B.3C.4D.5

K答案UB

R解析》一个数由4改为1,另一个数由6改为9,故该组数据的平均数[不变，

设没有改变的八个数分别为％,々，七，，/，

原先一组数的方差

-x)-+(%2—x)~+(X3—X)-++(4—X)-+(4—x)~+(6—x)-]，

新数据的方差

————[(X|—X)~+(Xj—x)~+(X3—x)~++(4-x)~+(1—x)~+(9—x)~

所以522_*2=卡[(1_[)2+(9_分2_(4_42_(6_62]

—(1-2x+x+81-18x+x-16+8x-x-36+12元-x)=3,

故选：B.

6.已知函数/(X)=GCOS[2X-5)-COS2X,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函

数/(x)的图象()

A.向左平移g个单位长度B.向右平移?个单位长度

66

TTTT

C.向左平移一个单位长度D.向右平移一个单位长度

1212

K答案HC

K解析》由题意可得，函数f(x)=J5sin2x—cos2x=2sin(2x—¥),设平移量为8,得到

6

TT7T

函数g*)=2sin(2%+26—三),又g(x)为奇函数，所以2。一二二£Z,即

66

IT

e=—+—,kez,,所以选c

122

7.已知。=20-2,。=2°汽C=1.302,则()

A.h>a>cB,a>b>cC.b>c>aD.a>c>b

K答案UA

K解析H由y=2'为单调递增函数，

则2°3>202>2°=1>

所以〃>“，

由y=3口为增函数，所以2°2>1,30-2,

所以b>c,

综上所述，b>a>c.

故选：A.

8.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆

柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘

米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的

D总

K答案XD

K解析W设圆柱的高为/?,

S_Q_r>2

则5=27cA2+2兀Rh，所以/?=

2nR

酒杯的体积乂='X±7lR3+nR%=-兀R3+兀斤S二2叫==R」R3,

12332成23

半球的体积K=2兀RM

3

因为酒杯的容积不大于半球体积的2倍，

所以w竺R3,解得R2户,

233VlOn

又因h=U°'所以R’底'

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得()分.

9.已知A,B,C三点均在球。的表面上，AB=BC=CA=2,且球心O到平面A5C的距离等

于球半径的g,则下列结论正确的是()

3

A.球O的半径为一B.球。的表面积为6万

2

C.球。的内接正方体的棱长为"D.球。的外切正方体的棱长为逐

K答案UBD

K解析》设球。的半径为r,JL8C的外接圆圆心为O',半径为凡则R=2v5,

3

1,1,4,3

因为球心。到平面ABC的距离等于球。半径的二，所以「一=4,得厂=一，所以

3932

A不正确；

_3

所以球。的表面积S=4兀尸=4兀x—=6兀，选项B正确；

2

球。的内接正方体的棱长。满足氐=2r，显然选项C不正确；

球。的外切正方体的棱长6满足b=2尸，显然选项D正确.

故选：BD.

10.若VxwR,/(x+l)=/(l-x),当％士1时，/(X)=X2-4X,则下列说法错误的是

()

A.函数为奇函数

B.函数“X)在(1,+8)上单调递增

C/(比厂

D.函数“X)在(一8,1)上单调递减

K答案》ABD

K解析》由VxeR,〃x+l)=/(l-x)可知VxeR,f(x)=f(2-x),

可知关于直线x=l对称，当时，〃x)=x2_4x=(x—2)2-4,

当工<1时，2—x>l,/(2—x)=(2—x—2)2—4=X2一4,

“、\x2-4x,x>1

所以/(x)={2,，

x--4,x<1

所以/(x)在(0,1),(2,+8)上单调递增，在(—8,0),(1,2)上单调递减,

/(x)min=T，〃X)不是奇函数，故ABD错误，C正确：

故选：ABD

11.已知。为坐标原点，过点P（a,-D作两条直线分别与抛物线C：f=4）,相切于点

A、B,的中点为“，则下列结论正确的是（）

A.直线AB过定点（0,2）；

B.PM的斜率不存在；

c.y轴上存在一点N,使得直线脑与直线NB关于v轴对称；

D.A、3两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.

R答案DBCD

K解析U设4%,X）、B（x„%）,­：y=-X2,：.y'=-X,

42

117117

・,・过点A的切线方程为y-M=5%（工一七），即V-[芍=a%，「・

11o

?=2X,X-4X,J

119

同理过点B的切线方程为y=-x2x--xj,

将3,-1）分别代入上式，得-1=会一y,-\=^x2-y2,

直线A3的方程为£x—y+l=0，.••直线AB过定点（0，D，A选项错误，

f=4y

联立方程得：/_2以一4=0，A=4a2+16>0.则芯+无2=2。，

一x-y+1=0

12•

x1-x2=-4,

.•.点”的横坐标为出土三=a,轴，B选项正确，

2

设N（0,b）,由题意得当工0、/工°，设直线附、N8的斜率分别为4、k2,

则仁+&=修+〜=2仆-1）,

X]X2%）-x2-4

当力=-1时，匕+%2=0，即直线N4与直线NB关于）'轴对称，C选项正确，

,/点A到准线的距离为y+1,点8到准线的距离为为+1，

[+]=一+必+2=乂+%+2=y+%+2

y+1y+\(y+l)(%+l)*•%+M+%+l(N?)|

2y+%+1

16

选项正确，

故选：BCD.

12.以下数量关系比较的命题中，正确的是()

2,C2In7i1In2In7t

A./、OB.In2>—C.---<—D.——>——

e>237ie2兀

K答案DABC

K解析》对于A：设/(x)=elnx-x(x>0),M/，(x)=--l=^—^(x>0),

当0<x<e时，盟x)>0,函数单调递增；当%〉e时，f'(x)<0,函数单调递减;

所以/(x)</(e)=elne-e=O,所以/(2)=eln2-2</(e)=0,即2>eln2,

所以e=>2,故A正确;

2

对于B：因为8>e2,所以In8>lne2,所以31n2>2,即ln2>§,故B正确;

对于CD：设8(%)=3^(%>0),gr(x)=-~学，

当0<x<e时，g'(x)>0,函数单调递增；当x>e时，g'(x)<0,函数单调递减；

所以g(e)>g(7r),即则<L故c正确；

兀e

「/\/\/八In兀In4In25

又g(e)>g(兀)>g(4),所以'——>-^-=—故D错误；

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.六元一次方程玉+々++/=10的正整数解有组.

K答案』126

9xXx7x6

K解析》玉+々++/=10的正整数解的组数为。；=二^_^=126,

故K答案》为：126.

14.过原点的直线/与双曲线/一丁=6交于4B两点，点P为双曲线上一点，若直线

PA的斜率为2,则直线PB的斜率为.

R答案』!

K解析》由题意可设4（加,〃）,3（一加,一〃）,P（x,y）,

则nr-n2=6>x2-y2=6,

即有nr-n2=x2-y2,也即y2-n2=x2-nr,

29

所以［二〃=1,

X-ITT

,7y-n.y+n

ffikpA=,KpB=，

x-mx+m

22

所以•kPB-7-1，

x-m~

又3=2,

所以即8=（，

故K答案U为：3

15.已知曲线y=x+lnx在点（1,1）处的切线与曲线y=G；2+（Q+2）x+l相切，则

a=.

K答案D8

K解析》函数y=x+lnx在（1,1）处的导数为y'LT=l+&i=2,所以切线方程为

X

,、>=L-1；曲线y=a?+（a+2）x+l的导函数的为二々“界㈤士士，因，与该曲线相

切，可令>'=24+。+2=2=巧=-!,。=0,当4=0时，曲线为直线，与直线7平行，

不符合题意；当丫=-工时，代入曲线方程可求得切点（-1,-3）,代入切线方程即可求得

224

<7=8-

2

16.已知点P为椭圆事+;/=1上任一点，点。是抛物线1=2而y的准线上的任意一

11

点，以PQ为直径的圆过原点0,试判断研"+国7=

K答案H1

K解析』抛物线C的标准方程为％2=2#门其准线方程为：丁=-半，

设？(4,%),Q(q,—

因为以PQ为直径的圆过原点，所以OP_LOQ,所以/WO,

所以与%-粤^=0，即

11113+2/

------T----------------T---------=----------

所以10Pl2\OQ\2焉+次3y<33（焉+近），

242

-）2

又因为£+/=1,片=1一方，

3+2xp3+2xp]

所以3（场+次）3（片+1—片旦]，

k3）

所以溢p+潟F定值，且定值为i-

故K答案』为：1

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，公差为"，已知q=1,§3=9

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若勿=（一1）".为2,求数列｛0“｝的前〃项和7“.

解：(1)由题意得S3=3q+3d=3+3d=9,解得d=2,

数列｛凡｝的通项公式为4=1+2(〃-1)=2〃—1.

-（2“-if,”为奇数

22

(2)bn=(-1)"-a,,=(-1)"(2n-l)=<

（2〃-Ip,”为偶数

当〃为奇数时,

222222

Tn=-l+3-5+7-9+---+(2/?-3)-(2n-l)

=2(1+3+5+7+---+2??-3)-(2»-1)2=2x(/?-1X1+2/Z-3)-(2n-l)2=-2n2+l,

当〃为偶数时，

222222

Tn=-l+3-5+7-9+----(2n-3)+(2n-l)

n(l+2n-l)

2(l+3+5+7+…+2〃-3+2〃-l)=2x2"

2

-2n2+1,〃为奇数

为偶数

18.在一ABC中，内角A,8,C的对边分别为a,/?,c,bsinA=acos(B-E

(1)求角8的大小；

(2)设点。是AC的中点，若BD=6，求a+c的取值范围.

nh

解：(1)在ABC中，由正弦定理----=-----,可得〃sinA=〃sin5,

sinAsinB

又由bsin4=acos|j,可得asinB=acos[)，

即sinB=cosIB--j,即sin8=—cos—sinB,可得tanB=>/3，

I6j22

TT

又因为5e(0,兀)，所以B=色.

3

(2)如图，延长5。到E，满足DE=BD，连接AE、CE,

则ABCE为平行四边形，且BE=26,NBAE=与,AB=c,AE=8C=a

84E中，由余弦定理得(2百>=a2+c2-2accos]^,

即a?+02+ac=12，可得(a+c)?-ac=12,即ac=(a+c)?-12,

/、/a

由基本不等式得：ac^(a+c)2-12<—，即二(a+c)2«12,

I2J4

BP(n+c)2<16,可得a+cK4，(当且仅当。=c=2取等号号)

又由AE+AB>3£，即a+c>20，

故a+c的取值范围是(26,4].

19.如图，A6是圆。的直径，点C是圆。上异于月，8的点，直线尸C1平面ABC,

E,尸分别是Q4，PC的中点.

(1)记平面8印与平面A8C的交线为/,试判断直线/与平面PAC的位置关系，并加

以证明；

(2)设PC=2AB,求二面角E—/—。大小的取值范围.

解：(1)〃/平面尸AC.

证明如下：；瓦7伏。，ACu平面ABC,EFa平面ABC,

二E尸〃平面ABC.

又EFu平面BEF,平面巫尸与平面ABC的交线为/,

EFHI.而/z平面PAC，EEU平面PAC，

；./〃平面PAC.

D

(2)解法一：设直线/与圆。的另一个交点为£>,连结。E，FB.

由(1)知，BD//AC.而8。，3c.

：PC1平面ABC,PC_L.

而尸CcBC=C,BO_L平面P3C,

又：FBu平面PBC,：.BD人BF,

...NEBC是二面角E—/—。的平面角.

./用。=生=空1

BCBCcosZABC

TT

注意到0<ZA8C<一,...0<cosZABC<l,tanZFBC>L

2

■：Q<ZFBC<~,AZFBC

2142)

即二面角七一/一。的取值范围是

解法二：由题意，AC-LBC,以C4为x轴，CB为)，轴，CP为z轴建立空间直角坐标

系，

设AB=2，BC=t[O<t<2),则3(0/0),-0,0,2),D(j4—5/0卜

=((),-/,2),友)=("-户,0,0).

设平面DBF的法向量为加=(x,y,z),

,取y=2得机=(0,2,r).

易知平面BCD的法向量”=(0,0,1),

设二面角七一/一。的大小为e,易知。为锐角.

\m-n\t1（万

\m\-\n\V4+?（4^（2

.••E<e<W，即二面角七一/—c的取值范围是

42142）

20.某鲜花店根据以往某品种鲜花销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图

所示.将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立.

（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概

率；

（2）用《表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量占的分布列和数学

期望.

解：（1）设日销量为x,有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件

A.PIOP（x<100）=0.002x50+0.006x50=0.4,P（x>150）=0.005x50=0.25,

0（A）=仁x0.42xO.252=0.06.

（2）日销售量不低于100枝的概率尸=0.6,则J~B（4,0.6）,于是

尸（J=左）=C•0.6*•0.4=0,1,2,3,4）,

则分布列为

401234

169621621681

P

625625625625625

…c16,96c216.216，81，

=0x----klx---+2x---+3x----P4X----=2.4

625625625625625

耳+普=1（0＞。＞0）的离心率为孝,

21.已知椭圆C：过左焦点尸的直线与椭圆交于

2]_

A,B两点，且线段AB的中点为

3'3

（1）求椭圆。的方程;

（2）设M为。上一个动点，过点M与椭圆C只有一个公共点的直线为（，过点F与

闻尸垂直的直线为心求证：4与4的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.

（1）解：由题可知/（-c,。），直线AB的斜率存在.

设A（芭,乂），3（程％），由于点A,B都在椭圆上，

2222

所以2+与=i①，4+4=1@,

222

ab-ab

①-②，化简得一（=耳二4③

a~x]-x2

又因为离心率为立，所以匕=」.

2a22

21、

又因为直线AB过焦点/，线段AB的中点为

353,

1

42

WL'lr+r-v+v