2022年初升高数学衔接讲义（第1套）汇总（学生版）

专题Ol数与式的运算

Z敢嫁述

初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同

点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.

二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，

对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简

与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最

后一章，是式的变形的终结章.

当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.

本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数塞运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数

幕逼近无理数指数幕），掌握运算性质，能够区别折与（折）”的异同.

通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数塞的概念，进而学习指数事的性质，掌握分数指数募和根

式之间的互化，掌握分数指数幕的运算性质.

*程要求

《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有

顺序性，知道字母表示数的基本代数思想

2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法

3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式,

掌握了不超过三步的数的混合运算

4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了

解了整数指数基的含义_________________________________________

《高中课程要求》1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打

基础，会运算字母代表数的式子

2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技

巧

3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两

数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步

4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比

较，会把整数指数累的运算及其性质推广到分数指数累___________

知徂器■神

高中必备知识点1：绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是

零.即：

。，a>0,

I〃I=<O,Q=0,

-a,a<0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：∣6Z-⅛∣表示在数轴上，数。和数b之间的距离.

高中必备知识点2：乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

⑴平方差公式(α+b)(α-份；

⑵完全平方公式(。±历2=/±2昉+/.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

⑴立方和公式(α+b)(α?-而+/)=/+/?；

⑵立方差公式(。一历("+而+/)=/-^；

(3)三数和平方公式(α+b+c)2=a2+b2+c2+2(ah+bc+ac~)；

(4)两数和立方公式(。+33=/+3。％+3。/+/；

(5)两数差立方公式(Q-份3=/-3α2+3ab2-U.

高中必备知识点3：二次根式

一般地，形如ʌt(ɑ'θ)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子

称为无理式.例如节。，炉工等是无理式，而2

3α+T∑+2√Σ^+*χ+ι,X+√2Λ>∙+/,

等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化

因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两

个代数式互为有理化因式，例如，万与"5,3后与,也+α与#)-«),26-3及与

2Λ^+3Λ∕2,等等.一般地，°α与,a4x+byfyay[x-hy[y,a&+b与a&-b互为

有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子

有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

而扬=疯(Q20力20)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有

理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同

类二次根式.

2.二次根式后的意义

∕TII∫β`fl≥0'

Va-=Ial=I

11-a,a<0.

高中必备知识点4：分式

I.分式的意义

ΔAΔ

形如—的式子，若3中含有字母，且则称一为分式.当M≠0时，分式—具有下列性质：

BBB

A_AxM_

~B~B×M'

A^A÷M

~B~B÷M'

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a»27+〃+o

像一J,—ʒ~~L这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2加

n+p

工例剧析

高中必备知识点1：绝对值

【典型例题】

阅读下列材料:

我们知道IM的几何意义是在数轴上数X对应的点与原点的距离，即∣M=k-o∣,也就是说，N表示在数轴上

数X与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为|七-々|表示在数轴上数X与数超对应的点之间的

距离；

例1解方程IXl=2.因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2,所以方程IXI=2的解为x=±2.

例2解不等式IX-1∣>2.在数轴上找出IX-1∣=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2

的点对应的数为一1或3,所以方程|X—1|=2的解为X=-1或x=3,因此不等式∣X—1|>2的解集为X<

-1或x>3.

";b—卜r一彳―IT

—5—101>a4

例3解方程IX—1∣+∣X+2∣=5.由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和一2对应的点的距离

之和等于5的点对应的X的值.因为在数轴上1和一2对应的点的距离为3（如图），满足方程的X对应的点

在1的右边或一2的左边.若X对应的点在1的右边，可得％=2；若X对应的点在一2的左边，可得X=-3,

因此方程∣x-l∣+∣x+2∣=5的解是％=2或X=-3.

参考阅读材料，解答下列问题：

⑴方程IX+21=3的解为；

⑵解不等式：|X-2|<6；

⑶解不等式：∣x-3∣+∣x+4∣≥9;

⑷解方程：Ix-2∣+∣x+2∣+∣%-5∣=15.

【变式训练】

实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简后+设-加-也-可.

------------------------------11-----------►

ao-⅛

【能力提升】

已知方程组卜：：；;的解X、y的值的符号相同.

⑴求a的取值范围；

(2)化简:∖2a+2|-2∖a-3|.

高中必备知识点2：乘法公式

【典型例题】

(1Y2

⑴计算：一一+2016°+(-2)3÷(-2)2

、

(2)化简：(a+2b)(a-20)-(a-2Z?)2

【变式训练】

计算：

(1)(^-3.14)O+M)2-(∣Γ2

(2)(x-3)2-(x+2)(x-2)

【能力提升】

已知10x=σ,5x=b,求：

⑴50*的值；

(2)2,的值;

(3)2OX的值.(结果用含a、b的代数式表示)

高中必备知识点3：二次根式

【典型例题】

计算下面各题.(1)(后一2√Ii)xJI-

(2)J4x+2J2X—>∣8x—Ayfx

2

【变式训练】

小颖计算比彳，+5］时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算:

1

解：原式=JiE÷-∕=+Ji5

√3

=√15×√3+^5×√5

=3√5+5√3∙

她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.

【能力提升】

先化简，再求值：（生?--1）+匕孚，其中a=&+G，b=√2-√3.

a+ba-ba+b

高中必备知识点4：分式

【典型例题】

γ4-1γ∙-U921'+工

先化简，再求值（士一士）÷，入十X，其中X满足χ2+χ-l=0.

Xx—1X-2x+1

【变式训练】

4χ2-4xy+y2

2

化简:÷(4X2—y)

2x-y

【能力提升】

a-2ab-b

已-知：一1-=2,则的值等于多少？

ab2a-2b+lab

对卤器称

1.下列运算正确的是（）

xyX

A.2=B.λ^+√7=710

xy-yX-y

C.3x3-5χ3=-2D.8x3÷4x=2x3

2.下列计算结果正确的是（）

A.-------+--------=--------B.(χ^Γ=X

X—22-XX—2

C.(-ιy)5÷(-孙F=-X2y2D.3X2y-5xy2=-Ixy

X

3.若式子——有意义，则下列说法正确的是()

%+1

A.x>—1且XwOB.x>-lC.x≠—1D.χ≠0

Λ在笆34_____LMJ结里臬/\

4∙H舁-----------ITJ孑口不ZEl)

a-la-∖

a1

A.3B.0C.-------D.-------

a-∖a-l

5.若IaI=4,∖b∖=2,且α+b的绝对值与相反数相等，则a—5的值是（）

A.-2B.-6C.-2或-6D.2或6

6.设有理数a、b、C满足α>b>c（αc<O）,且同<同Cla则X"二一|+|六三+的最小

值是（）

a-ca+h+2c2a+b+c2α+b-

A________D________________r_____________∏

rΛ∙D.---------------------------L.L√∙

2222

abcahc

7.如果。，b，C是非零有理数，那么同+同+,+西的所有可能的值为（）.

A.-4,-2,0,2,4B.-4,-2,2,4

C.0D.-4,0,4

8.如图是一个按某种规律排列的数阵：

ɪ72第1行

√I2R第2行

√72√23∕io/ɪɪ2√3第3行

/BTH√154√π3√2/192√5第4行

根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（）.

22

A∙√H-1B∙J”2—2C.yJH-3D.—4

9.与百（M-百）最接近的整数是（）

A.3B.4C.5D.6

__________________________21

10.设a为J3+石-43-石的小数部分，b为76+36-«-3后的小数部分，则g—7的值为(

A.√6+√2-lB.√6-√2+lc.√6-√2-lD.√6+√2+l

—*11d∣∣z<→2a+3ab-2b

11.右——7=3m,则分式---——=______•

aba-2ab-b

12.若分式X的值为零,则尤的值为.

X—2

13.已知整数。满足l<α?3,则分式卜一2]._J的值为______.

Ia)a-4

14.计算(26-√Σ)2的结果等于.

计算

15.(√Σ-l>+√i=--.

16.化简：3a2b2.~—=

∖9ab

17.化简J6-病的结果为.

18.若有理数X,y,z满足(∣x+l∣+∣x-2∣)(Iy-Il+∣y-3∣)(∣z-3∣+∣z+3∣)=36,则x+2y+3z的最小值是

19.已知|x+2|+|l_x|=9_J(y_5)2_J(l+y>，则无+丁的最小值为

20.已知式子∣x+l∣+∣x-2∣+∣y+3∣+∣y-4|=10,则x+y的最小值是.

21.⑴计算：(_2)。+|&-2|-IJJ-(一2)3；

上+㈡1

⑵先化简，再求值:其中X=-1.

X+2X—2y"√-4

22.计算：√3(√3-l)+∣√2-√3∣.

23.已知α,b,3商足|4+3|+而万+(。-5)2=0,请回答下列问题:

(1)直接写出α,b,C的值.a=,b=，C=.并在数轴上表示.

(2)α,b,C所对应的点分别为A,B,C,若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向

左运动；

①运动1.5秒后，4C两点相距几个单位长度.

②几秒后，NC两点之间的距离为4个单位长度.

24.同学们都知道，R-(-2)|表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应

的两点之间的距离：问理|*-3|也可理解为X与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：

(I)I4-(-2)I-.

⑵找出所有符合条件的整数X,使∣x-4∣+∣x+2=6成立，并说明理由

⑶由以上探索猜想，对于任何有理数X,|x-3∣+∣x-6∣是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，

说明理由.

25.⑴己知尤2一5%一6=0,求代数式2炉_IOAG的值；

尤2+6x+9X

(2)化简:

X2-9--x≡3

(2-2x∖X2-Xr-

26∙先化简’再求值：其中龙=底

27.如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚.

Aia1-4a+6Bx+2a-3

甲乙

⑴嘉嘉认为污染的数为-3,计算"A+3"的结果；

(2)若α=3+√L淇淇认为存在一个整数，可以使得“A-3"的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的

这个数.

28.⑴计算：一代(m+i—Bi+^janBOO—W-QOZl—mO+lg)

(3\尤2-4-4元+4

(2)先化简再求值：--x+l÷--------------,其中χ=2∙

IX+1)x+1

(4、a-2

29.已知4+2。—ι=o,求代数式a——÷—厂的值.

30.计算：

⑴㈤3..门(_叫5

(2)(-34)2./+(-2/)3

(3)(x-y)3∙(j-x)4

(4)(-l)2°∣9+(乃_3.14)°

专题02分解因式

"屡.嫁述

因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广

泛的应用，通过本专题的学习，不仅能使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解做

好了充分的准备.

因此，它起到了初、高中承上启下的作用.

分组分解法在初中数学中的应用：分式的约分与通分、解一元二次方程、分式方程；在高中数学中的应用

更加广泛：如无理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函数式的恒等变形，不等式证明，因

此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义，代数方面在数学计算、化简、证明题

中的应用较多，在几何学中同样有应用.

用十字相乘法分解因式，首先分解二次项系数、常数项，然后交叉相乘再相加，看是否为一次项系数，还

要注意避免出现以下两种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由

十字相乘法写出的因式漏写字母.

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定

系数法.

A福要求

《初中课程要求》1、大大弱化了十字相乘法的

学习.一般只接触过二次

项系数为1的十字相乘法

2、初中重点学习了提取公因式法、公式法，针对aχ2+bx+c(a≠0)

的因式分解，只学习了二次项系数为1的因式分解_____________

《高中课程要求》1、有大量二次项系数不为1的十字相乘法，会拆分多项式，用十

字相乘法因式分解

2、对于项数比较多的多项式，要综合使用提取公因式法、分组分

解法、十宇相乘法、公式法来进行因式分解，还会接触到拆项法、

添项法等.针对ax2+bx+c(a≠0)的因式分解要用公式法或十字相

乘法因式分解________________________________________________

K钠晶讲

高中必备知识点1：十字相乘法

要点一、十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式χ2+for+C,

∖pq=c,.、/、

若存在<b，则X+∕zr+c∙=(x+")(x+<y).

要点诠释：(1)在对f+hx+c分解因式时，要先从常数项c∙的正、负入手，若c>0,

则〃、4同号(若c<0,则〃、q异号)，然后依据一次项系数6的正负再确定p、4的符号；

(2)若/+法+。中的氏C为整数时，要先将C分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看

这两个整数之和能否等于b,直到凑对为止.

要点二、首项系数不为1的十字相乘法

在二次三项式0√+bχ+c(q≠o)中，如果二次项系数。可以分解成两个因数之积，即

a-a}a2,常数项C可以分解成两个因数之积，即C=ClC把α∣,a2,cl,c2排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到若它正好等于二次三项式+bx+C的一次项系数匕，即

aic2+tz2c,=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式αlx+cl与a2x+c2之积，即

ax1

+Zzr+c=(αlx+cl)(Λ2X+C2).

要点诠释：(1)分解思路为“看两端，凑中间”

(2)二次项系数。一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号

里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法

L提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成

公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

2.符号语言：ma+mb+me=m(a+b+c)

3.提公因式的步骤：

(1)确定公因式(2)提出公因式并确定另一个因式(依据多项式除以单项式)

原多项式

另一个因式

公因式

4.注意事项：因式分解一定要彻底

高中必备知识点3：关于X的二次三项式aχ2+bx+c(a≠0)的因式分解

J

若关于X的方程or?+fcr+c=0(。≠0)的两个实数根是玉、x2,则二次三项式G+hx+c(a≠0)

就可分解为a(x-x↑)(x-x2).

入例周折

高中必备知识点1：十字相乘法

【典型例题】

阅读与思考：将式子--6x+8分解因式.

法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.

由M+(p+q)χ+pq=(%+p)(χ+q)得(%+p)(x+q)=X2+(p+q)x+pq,；

分析：这个式子的常数项8=(—2)×(—4),一次项系数一6=(-2)+(—4),

所以％2-6%+8=%2+[(-2)+(-4)]x÷(一2)×(-4).

解：X2—6x÷8=(%—2)(%—4).

法二：配方的思想./一6%+8

-X2—6%+9—9+8

=(%一3)2-1

=(%—3+1),(%—3-1)

=(x-2)•(%-4).

请仿照上面的方法，解答下列问题：

⑴用两种方法分解因式：%2-IOx+21；

(2)任选一种方法分解因式：(%?—6)2-2(x2-6)-3.

【变式训练】

阅读材料题：在因式分解中，有一类形如χ2+(m+n)x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次

项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+(m+n)x+mn=(×+m)(x+n).

例如:x2+5x+6=×2+(2+3)×+2×3=(×+2)(x+3).

运用上述方法分解因式：

(l)×2+6×+8;

(2)x2-X-6；

(3)×2-5×y+6y2;

⑷请你结合上述的方法，对多项式X3-2χ2-3x进行分解因式.

【能力提升】

由多项式的乘法：(×+a)(x+b)=×2+(a+b)×+ab,将该式从右到左使用，即可得到用"十字相乘法”进行因式

分解的公式：

x2+(a÷b)x÷ab=(x÷a)(x÷b).

实例分解因式：x2÷5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).

⑴尝试分解因式：X2+6X+8;

(2)应用请用上述方法解方程：X2—3x—4=0.

高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法

【典型例题】

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

l+x+x(x+l)+x(x+l)2=(l+x)[l+x+x(x+1)]

=(l+x)2(l+x)

=(l÷x)3

⑴上述分解因式的方法是，共应用了次.

⑵若分解1+X+X(X+1)+X(X+1)2+...+X(X+1)2004,则需应用上述方法次，结果是,

⑶分解因式：l+x+x(x+l)+x(x+l)2+...+x(x+l)π(n为正整数).

【变式训练】

因式分解：

(l)16α2-4h2

(2)x3-2x2+x

(3)(a2-2b)2-(1-2b)2

【能力提升】

分解因式：

(l)-4ab-Qb2+IOb

(2)2(n—m)2—m(m—n)

(3)15y(α-Z?)2—3y(b—a)

(4)6(m—n)3—12(n—m)2

⑸产+3%÷l=0,求2/01。+6χ2009+2/008的值

高中必备知识点3：关于X的二次三项式aχ2+bx+c(a≠0)的因式分解

【典型例题】

因式分解：(χ2+2x)2—7(χ2+2x)-8

【变式训练】

分解因式：(%2-X)2+(χ2-%)-6.

【能力提升】

阅读材料：

对于多项式x2+2σx+o2可以直接用公式法分解为(x+α)2的形式.但对于多项式x2+2αχ-3α2就不能直接用

公式法了，我们可以根据多项式的特点，在χ2+2αχ-3α2中先加上一项再减去这项，使整个式子的

值不变.

解题过程如下：

×2+2a×-3a2

=*2+2"—3。2+q2一£72(第一步)

=χ2+20χ+02-02—3。2(第二步)

=(x+o)2-(20)2(第三步)

=（x+3Co（X—α）.（第四步）

参照上述材料，回答下列问题：

⑴上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法（）

A.提公因式法B.平方差公式法

C.完全平方公式法D.没有因式分解

（2）从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：；

⑶请你参照上述方法把m2-6mn+8n2因式分解.

"Λ4稼

1.对于：

①X2-4=(x-2)2；

②—九2+l=(χ+l)(l-χ);

③X3+2x-4=(x+2)2；

④;χ2-Jt+l=(gχτ).

其中因式分解正确的是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

2.代数式42因式分解为(

A.(2m-π)(2m+π)B.4(m-π)(m+π)

C.(4加一〃D.(加一2/7)(/2+2/2)

3.若多项式5f+17x-12可因式分解为（x+α）（云+c）,其中。、b、C均为整数，则”c的值是（

A.1B.7C.11D.13

4.下列因式分解正确的是()

A.a(a-b)-b(a—b)=(Q—/?)(〃+/?)B.Cr—9b~=—(，—3力P

C.cr+4。力+4〃2=(Q+2⅛)~D.a~—ah+a=a(a-h)

5.已知∕⅛.A5C中，NC=90。，若BC=a,AC=b,AB=c,且/一〃人一劝2二。，则。：。：。二（

A.1:2:75B.2:1:75C.1:2:6D.2:1:73

6.下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）

A.X2+y2+2%+2）?B.X2+y^+2xy-2c.x2-y2+4x+4j,D.%2-γ2+4y-4

7.如图，AABC中，AB=a,BC=2a,ZB=9Q,将AABC沿BC方向平移方个单位得3E∕F其中

A,8,C的对应点分别是DE,F）,设Z）E交AC于点G,若AAOG的面积比ACEG的大8,则代数式

α（α-b）的值为（）

C.16D.-16

H999"+1999222+l

8.ha~999222+l则。与〃的大小关系为（）

999333+l

A.a>hB.a-bC.a<bD.无法确定

9.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数如4=22-02,12=42

-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘数'；则下面哪个数是"神秘数"（）

A.56B.60C.62D.88

10.某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价,现有3种方案：①第一次提价"2%,第二次提价〃%;

②第一次提价〃%,第二次提价加％；③第一次、第二次提价均为三一%.其中加和〃是不相等的正数.

下列说法正确的是（）

A.方案①提价最多B.方案②提价最多

C.方案③提价最多D.三种方案提价一样多

11.若。〃=3,a+b=-∖,则代数式/匕+的值等于—

12.若a-b=2,ab=∖,则α%一2//+.

13.分解因式：X3-4xy2ɪ.

14.边长为。，b的长方形的周长为10,面积为5,则a?/;+,//的值为

15.已知x+y=5,xy=-l,则代数式dy+盯?的值为.

16.已知abc=∖,a+b+c=2,a2+h2+c2=16,则---------1------------------1----------------的值是_______

ab+3c+3bc+3a+3ca+3b+3

,十…曲(x2—l)(j,^-1)(j2-l)(ɪ2^1)(z?-1)(炉—1)

17.已知正头数X,y,aZtYπ两足：xy+yz+zx≠l,α且ʌ---------------ʌ+--------------------+--------------------=4.求

xyyzzx

111

一+一+一的值为____•

xyyzzx

18.已知F+22+32+..+〃2++那么22+42+6?++502=

22

19.通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：a+3ab+2h

21.已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示.

⑴若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方

形(如图2).请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式；

(2)请通过拼图的方式画出一个面积为2片+5出?+2〃的长方形示意图，并写出其因式分解的结果；

⑶在⑵的条件下，若拼成的长方形周长为66,图1中小长方形的面积为24,则拼成的长方形面积是多少？

22.若一个正整数。可以表示为α=S+1)3—2),其中b为大于2的正整数，则称。为"十字数？b为a

的"十字点？例如28=(6+1)X(6-2)=7X4.

⑴"十字点"为7的"十字数"为：130的"十字点"为；

(2)若b是。的“十字点7且。能被S-1)整除，其中b为大于2的正整数，求α的值；

⑶m的“十字点”为p,n的"十字点"为q,当阳-〃=18时，求〃+4的值.

23.发现与探索：

⑴根据小明的解答将下列各式因式分解

小明的解答：6〃+5=∕-6α+9-9+5=(。-3)2—4=(a—5)(a—1)

①02一12“+20

(2)(α-l)2-8(6z-l)+7

@a2-6ab+5b2

(2)根据小丽的思考解决下列问题：

小丽的思考：代数式(α-3y+4无论。取何值(α-3)2都大于等于0,再加上4,则代数式(。-3)2+4大于

等于4,则(a—3)2+4有最小值为4.

①说明：代数式/一12a+20的最小值为一16.

②请仿照小丽的思考解释代数式-(a+l)2+8的最大值为8,并求代数式—/+12a-8的最大值.

24.把下列多项式分解因式：

(l)a2+4ab+Ab2—ac—2bc

(2)ax2+bx1+hx+ax+cx2+ex

(3)cΓ—b~_Y+)广_2ay+2bx

25.如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都

为n的小正方形，五块是长为m,宽为n的全等小矩形，且〃?>〃.(以上长度单位：cm)

⑴观察图形，可以发现代数式2，7+5〃?〃+2〃2可以因式分解，请写出因式分解的结果;

(2)若每块小矩形的面积为IOCm2，四个正方形的面积和为88cπ√，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.

26.因式分解：

(1)—2Oa—15aX

(2)(“-3)--(2tz-6)

27.因式分解：

(l)mx+my；

(2)m2-6m+9-

⑶八/；

(4)9α2(x-y)+⅛2(y-x)

28.分解因式：

W-3ah2+27a

(2)(f+χ)2-8,+,+12

⑶9(m-2n)^-(/«+2n)~

29.用因式分解法解一元二次方程χ2-5χ=6,下列是排乱的解题过程：

①x+l=0或X-6=0,②χ2-5x-6=0,③Xl=-1,×2=6,④(x+l)(x-6)=0

⑴解题步骤正确的顺序是;

⑵请用因式分解法解方程：(x+3XX-I)=12

3x2—4x+4

30.先化简，再求值：(1---------)÷λ√λ,其中X=-3.

x+lx2-l

专题03一元二次方程

Z敢嫁述

1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关

系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.

2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探

索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.

3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是

考试的热点，它是方程理论的重要组成部分.

4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而

其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.

A程要求

《初中课程要求》能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数，简单地介

绍了韦达定理_________________________________________________

《高中课程要求》熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的处理能力，会灵活使

用韦达定理解决各种问题______________________________________

笈徂鼎■讲

高中必备知识点1：根的判别式

我们知道，对于一元二次方程加+hx+C=O(O≠0),用配方法可以将其变形为

b2^-4QC

/b、2

F).①

4/

因为所以，4〃2>0.于是

(1)当/-4αc>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

-b±y∣b2-4ac

X[.2=-----------------------------;

2a

(2)当从一4αc=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

h

X∖=X2=—-；

2a

b

(3)当从一4αc<0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(X+—--定大于或等于零，因此，原方

2a

程没有实数根.

由此可知，一元二次方程加+Zλr+c=O(存0)的根的情况可以由h2-4ac来判定，我们把〃2—4〃C叫做一

元二次方程加+⅛r+c=0m≠0)的根的判别式，通常用符号“△”来表示.

综上所述，对于一元二次方程OX2+hx+c=0(α≠0),有

(1)当A>0时，方程有两个不相等的实数根

-b±y∣b2-4ac

Xl.2=---------------：

2a

(2)当A=O时，方程有两个相等的实数根

b

Xl=%2=———；

2〃

(3)当AVO时，方程没有实数根.

高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)

若一元二次方程加+fer+c=03≠0)有两个实数根

-b+y∣h2-4ac-h-y∣b2-4ac

则有

-b+y∣b2-4ac-b-y∣b2-4ac-2bb

X+X=------------------------H---------------------------=-------=——

102a2a2aa

-b+y∣b2-4ac—b—y∣b2-4acb2—(b2-4ac)4acc

x'X2=五亢=―—F二/

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

be.

如果4Λ2+fex+c=0(4≠0)的两根分别是X],X2,那么Xl+X2=-----,Xl也=—.这一关系也被称为韦达定理.

aa

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若即，X2是其两根，由韦达定理可知

X∖+x2=-pfXvX2=q,

即P=—(汨+%2),q=X∖'X2,

2

所以，方程χ2+pχ+q=o可化为X—(X1+X2)x+Xi∙x2=0,由于Xi,X2是一元二次方程χ2+px+q=0的两根,

所以，Xl,X2也是一元二次方程χ2-(χ]+χ2)x+Xl∙X2=O∙

"例剧折

高中必备知识点1：根的判别式

【典型例题】

关于％的一元二次方程一一(6一1)%+2m-1=0,其根的判别式为16,求m的值.

【变式训练】

已知关于X的一元二次方程Znx2-(m+2)x+2=0

(1)若方程的一个根为3,求m的值及另一个根；

(2)若该方程根的判别式的值等于1,求τn的值.

【能力提升】

方程(X-5)(2×-1)=3的根的判别式b2-4ac=_.

高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)

【典型例题】

如果关于X的一元二次方程αχ2+bχ+c=O(α≠O)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的

方程为“倍根方程

⑴请问一元二次方程χ2-6x+8=0是倍根方程吗？如果是，请说明理由.

(2)若一元二次方程χ2+bx+c=O是倍根方程，且方程有一个根为2,求b、C的值.

【变式训练】

求方程X2-2x-2=0的根Xl,X2(X1>X2)，并求×I2+2×2的值.

【能力提升】

己知关于×的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两根α,β

(1)求m的取值范围；

(2)若a+B+aB=O.求m的值.

,对点晶称

1.若直线y=n截抛物线y=χ2+bχ+c所得线段AB=4,且该抛物线与X轴只有一个交点，则C的值为()

A.-1B.2C.25D.4

2.若实数a(awθ)满足a-b=3,a+fa+l<0,则方程aχ2+bx+l=0根的情况是()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.有两个实数根

3.已知二次函数y=aχ2+bx+c的图象与X轴交于(xι,0)、(x2,0)两点，且0<xι<l,1<×2<2,与y轴交于

点(O,-2).下列结论：(T)2a+b>l;②3o+b>0;③Q-bV2；④GV-L其中正确结论的个数为(

A.4B.3C.2D.1

4.如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第〃行

有〃个点…，前〃行的点数和不能是以下哪个结果()

A.741B.600C.465D.300

5.如图，二次函数y=0χ2+区+c(α≠0)的图象与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且0C=20B

则下列结论：①abc<0;(2)a+b+c>0;③ac—»+4=0；④OAOB=--,其中正确的结论

a

有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

42

6.对于函数y=x"+∙√",我们定义y'=∕u"T+〃优”“(加，〃为常数).例如：y=χ+χ,贝IJ

>'=4d+2x.已知：y=^x3