2023-2024学年上海市西延安中学数学九年级上册期末综合测试试题(含解析)

2023-2024学年上海市西延安中学数学九上期末综合测试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"O

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.关于二次函数y=2χ2+4,下列说法错误的是（

A.它的开口方向向上B.当x=0时,y有最大值4

C.它的对称轴是y轴D.顶点坐标为（0,4）

2.如图，AD是aABC的中线，点E在AD上，AD=4DE,连接BE并延长交AC于点F,则AF：FC的值是（）

B.4：3C.2：1D.2：3

3.如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡上的“点出发，走了13米到达N处，此时他在铅直方向升高了5米.则该

斜*坡的坡度i为（）

A.1:2.4B.1:1.2C.lr√3D.1:2

4.池塘中放养了鲤鱼2000条，雏鱼若干条，在几次随机捕捞中，共捕到鲤鱼200条，雏鱼300条，估计池塘中原来

放养了鲤鱼（）

A.10()00条B.200()条C.3000条D.4000条

5.如图，AABC中，DE//BC,则下列等式中不成立的是（)

ADDEADAEADAE

C.D.

~DB~~BCDBECΛB^AC

6.已知X=-2是一元二次方程χ2+wu∙+4=0的一个解，则,"的值是（）

A.-4B.4C.0D.0或4

7.有四张背面一模一样的卡片，卡片正面分别写着一个函数关系式，分别是

二=二,二=二；一"二二I=M二二=一三二V0,将卡片顺序打乱后，随意从中抽取一张，取出的

卡片上的函数是二随二的增大而增大的概率是（）

A.“-B.-1C.-“D.1

8.把抛物线/=-2/+4》+1的图象绕着其顶点旋转180。，所得抛物线函数关系式是（）

A.y=2Y—4x—1B.y——2JC—4x+5C.y——2x?+4x—1D.y——2x?—4x+5

9.小苏和小林在如图所示①的跑道上进行4x50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑

步时间t（单位：S）的对应关系如图所示②.下列叙述正确的是（）

A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点

B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度;

C小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程;

D.小林在跑最后IOOm的过程中，与小苏相遇2次;

10.一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，有人统（总）计一共握了45次手，这次参加会议到会的人数是

X人，可列方程为：（）

A.X(X+1)=45B.ɪx(x-1)=45C.]x(x+1)=45D.X(X-I)=45

11.如图，保持A45C的三个顶点的横坐标不变，纵坐标都乘-1,画出坐标变化后的三角形，则所得三角形与原三

角形的关系是（）

A.关于X轴对称

B.关于y轴对称

C.将原图形沿X轴的负方向平移了1个单位

D.将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位

12.二次函数j=x2-2x+2的顶点坐标是()

A.(1,1)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,3)

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如图所示，小明在探窕活动“测旗杆高度”中，发现旗杆的影子恰好落在地面和教室的墙壁上，测得CD=4m,

DB=2m，而且此时测得1/»高的杆的影子长2m，则旗杆AC的高度约为.

14.如图，二次函数y=(x+2)?+机的图象与)'轴交于点C,与X轴的一个交点为A(-l,0),点8在抛物线上，且与

点C关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数y=依+8的图象经过AB两点,根据图象,则满足不等式

(x+2)2+m≤kx+b的X的取值范围是

3

15.在RtAABC中，若NO90。，cosA=-,则SinA=.

16.请将二次函数y=-2X2+4x+6改写y^a(x-h^+k的形式为.

17.当一2WxWl时，二次函数y=-(x-根-+,后+I有最大值4,则实数比的值为

18.小明与父母国庆节从杭州乘动车回台州，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中

间的概率是.

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，在AABC中，ADVBC,BElAC,垂足分别为。，石，A。与BE相交于点尸.

(1)求证：FD；

2

(2)当tanNABD=-,AC=3时，求B尸的长.

3

ΛΓ)Λ(^

20.(8分)如图所示，AD,BE是钝角AABC的边BC,AC上的高，求证：——

BEBC

21.(8分)如图，在平面直角坐标系Xoy中，直线y=x-2与反比例函数y=-(A为常数，Λ≠0)的图象在第一象

X

限内交于点A,点A的横坐标为L

(1)求反比例函数的表达式；

(2)设直线y=x-2与y轴交于点C,过点A作轴于点E,连接。4,CE.求四边形OCEA的面积.

22.(10分)在平面直角坐标系Xoy中，已知抛物线P=-'/-*+2,其顶点为A.

4

(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；

(2)直线BC平行于X轴，交这条抛物线于B、C两点(点B在点C左侧)，且COtNABC=2,求点B坐标.

■y

23.(10分)如图，AB是。。的直径，点C在圆。上，BELCZ)垂足为E,C8平分NABE,连接8C

(1)求证：。为。。的切线；

(2)若COSNCAB=£■,CE=y∕5,求AO的长.

24.(10分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1,AABC的三个顶点都在格点(即这些小正方形的顶点)

上，且它们的坐标分别是A(2,-3),B(5,-1),C(1,3),结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题：

♦x

(1)请在如图坐标系中画出AABC；

(2)画出AABC关于y轴对称的AA，B，C',并写出AA，IrC各顶点坐标。

25.(12分)在正方形ABC。和等腰直角ASGE中，NBGF=90°,P是OE的中点，连接PG、PC.

(1)如图1,当点G在BC边上时，延长GP交。C于点E.求证：PG=PC;

(2)如图2,当点尸在AB的延长线上时，(1)中的结论是否成立？请证明你的结论；

(3)如图3,若四边形ABC。为菱形，且NABC=60°,ABGF为等边三角形，点尸在CB的延长线上时，线段尸C、

PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线.

26.如图，某足球运动员站在点0处练习射门.将足球从离地面0.5,"的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的

飞行高度y(单位：m)与飞行时间f(单位：s)之间满足函数关系y=αP+5f+c,己知足球飞行0.8S时，离地面的高

度为3.5m.

(1)a=,c=；

(2)当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？

(3)若足球飞行的水平距离X(单位：加)与飞行时间”单位：S)之间具有函数关系X=IOf,已知球门的高度为2.44”?,

如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28股，他能否将球直接射入球门？

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【分析】根据二次函数的图象及性质与各项系数的关系，逐一判断即可.

【详解】解：A.因为2>0,所以它的开口方向向上，故不选A；

B.因为2>0,二次函数有最小值，当x=0时,y有最小值4,故选B；

C∙该二次函数的对称轴是y轴，故不选C；

D.由二次函数的解析式可知：它的顶点坐标为(0,4),故不选D.

故选：B.

【点睛】

此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键.

2、A

【分析】过点D作DG〃AC,根据平行线分线段成比例定理，得FC=IDG,AF=3DG,因此得到AF：FC的值.

解：过点D作DG〃AC,与BF交于点G.

VAD=4DE,

ΛAE=3DE,

YAD是AABC的中线,

BD1

•••一——

BC2

VDG/7AC

AFAE3DE

即

~DG~DE~~DE=3,AF=3DG

DGBDI

即

~FC~~BC~2FC=IDG,

ΛAF:FC=3DG:1DG=3:1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线充分利用对应线段成比例的性质是解题的关键.

3、A

【分析】如图，过点M做水平线，过点N做直线垂直于水平线垂足为点A,则4MAN为直角三角形，先根据勾股定

理，求出水平距离，然后根据坡度i定义解答即可.

【详解】解：如图，过点M做水平线，过点N做垂直于水平线交于点A.

2222

在RtAMNA中，Λ14=√M∕V+Λ64=Λ∕13-5=12,

二坡度,=5:12=1:2.1.

故选：A

【点睛】

本题考查的知识点为：坡度=垂直距离：水平距离，通常写成1：n的形式，属于基础题.

4、C

【分析】根据题意求出鲤鱼与雏鱼的比值，进而利用池塘中放养了鲤鱼2000条除以鲤鱼与雏鱼的比值即可估计池塘中

原来放养了鲤鱼的条数.

【详解】解：由题意可知鲤鱼与鲤鱼的比值为：离200=2§，

23

所以池塘中原来放养了^鱼：2000÷-=2000×-=3000（条）.

32

故选：C.

【点睛】

本题考查的是通过样本去估计总体，熟练掌握通过样本去估计总体的方法，只需将样本“成比例地放大”为总体即可.

5、B

【分析】根据两直线平行，对应线段成比例即可解答.

【详解】∙∙∙OE"BC,

,ADAE

.∙∆aAΛ）fico∆λΛBC>----=------，

DBEC

.ADAEDE

"'~AB~~AC~~BC'

二选项A,C,D成立，

故选：B.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.

6、B

【分析】直接把X=-2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可.

【详解】Yx=-2是一元二次方程x2+∕nx+4=0的一个解，

：・4-2m÷4=0,

：・m=4.

故选B.

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将X=-2代入已知方程.

7、C

【解析】分析：从四张卡片中，抽出二随二的增大而增大的有二=二二=二;Td:二=一§二一共3个,

即从四个函数中，抽取到符合要求的有3个。

Y四张卡片中，抽出「随二的增大而增大的有二二二.二二二;-E1二二。二=-⅛(-一共3个，

.∙.取出的卡片上的函数是二随二的增大而增大的概率是—二。

8、B

【分析】根据图象绕顶点旋转180°,可得函数图象开口方向相反，顶点坐标相同，可得答案.

【详解】∙.∙y=-2f+4χ+l

=-2(X2-2X+1-1)+1

=-2(Λ-1)2+3,

.∙.该抛物线的顶点坐标是(1,3),

.∙.在旋转之后的抛物线解析式为：

y=2(xT)2+3=2f—4x+5.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移和旋转，解决本题的关键是理解绕抛物线的顶点旋转180°得到新函数的二次项的系

数符号改变，顶点不变.

9、D

【分析】依据函数图象中跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系，即可得到正确结

论.

【详解】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；

根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，所以小苏跑全

程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；

小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故C错误；

小林在跑最后IoOm的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知2次，故D正确；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，

结合实际意义得到正确的结论.

10、B

【分析】设这次会议到会人数为X,根据每两个参加会议的人都相互握了一次手且整场会议一共握了45次手，即可得

出关于X的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：设这次会议到会人数为X,

依题意，得：→（x-l）=45.

2

故选:B.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

11、A

【分析】根据“关于X轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于X轴对称.

【详解】解:•••纵坐标乘以-1,

.∙.变化前后纵坐标互为相反数，

又；横坐标不变，

.∙.所得三角形与原三角形关于X轴对称.

故选：A.

【点睛】

本题考查平面直角坐标系中对称点的规律.解题关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于X轴对称的点，横坐标相

同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标

与纵坐标都互为相反数.

12>A

【分析】根据顶点坐标公式，可得答案.

【详解】解：y=χ2-2x+2的顶点横坐标是-匚=1,纵坐标是4xlx2-(-2)-=1,

24×1

y=X?-2x+2的顶点坐标是(1,1).

故选A.

【点睛】

'b4ac—b^、

本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是一丁，「一.

2a4a

二、填空题(每题4分，共24分)

13、1

【分析】作BE,AC于E,可得矩形CDBE,利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE的长度，加上CE的长度即

为旗杆的高度

【详解】解：作BE_LAC于E,

D

：BDJ_CD于D,AC_LCD于C,

.∙.四边形CDBE为矩形，

BE=CD=Im,CE=BD=Zm,

V同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，

AE1UAE1

：.—=一,即rl——=:

BE242

解得AE=2(m),

ΛAC=AE+EC=2+2=1(m).

故答案为：L

【点睛】

本题考查相似三角形的应用；作出相应辅助线得到矩形是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的

比一定.

14、-4<x≤-l

【分析】将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B的

坐标，点A、B之间部分的自变量X的取值范围即为不等式的解集.

【详解】解：抛物线丁=（》+2）2+加经过点4（—1,（））

/.O=l÷m

2

，抛物线解析式为y=（x+2p-1=X+4X+3

•••点C坐标(0,3)

对称轴为x=-2,B、C关于对称轴对称,

，点B坐标（-4,3）

由图象可知，满足（x+2p+机≤Ax+b的X的取值范围为Y≤χMT

故答案为:TMXM-L

【点睛】

本题考查了利用二次函数的性质来确定系数m和图象上点B的坐标,而根据图象可知满足不等式（x+2）2+m≤乙+8

的X的取值范围是在B、A两点之间.

4

15、

【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1,即可求解.

【详解】解：sin2A+cos2A=I>BPsin2A+Sj=1,

∖sin2A=—,

25

44

.∙.sinA=g或一M（舍去），

44

二.smA=—.

5

4

故答案为：）.

【点睛】

此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角夕，都有

si♦n2α+cos2e=1L

[6、,y=-2(x-l)2+8

【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式.

【详解】解：y=-2x2+4x÷6=-2(x2-2x+l)+2+6=-2(x-l)2+8;

故答案为：y=-2(x-I)2+8.

【点睛】

本题考查了二次函数解析式的三种形式：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a>b、C为常数)；

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k;

(3)交点式(与X轴)：y=a(x-xι)(x-xz).

17、2或一至I

【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m,再分mV-2,-2≤m≤l,m>l三种情况，根据二次函数的增减性列方程求

解即可.

【详解】解：二次函数y=-(工一加)2+m2+1的对称轴为直线*=111,且开口向下，

①mV∙2时，x=∙2取得最大值，・(-2-m)2+m2+l=4,

,7

解得〃2二-二,

4

4

*e•不符合题意，

②-2gmWl时，x=m取得最大值，m2+l=4,

解得m=±Λ∕3，

所以〃2=—6,

③m>l时，x=l取得最大值，-(l-m)2+m2+l=4,

解得m=2,

综上所述，m=2或-K时，二次函数有最大值.

故答案为：2或—G.

【点睛】

本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键.

1

18、—

3

【分析】根据题意列树状图解答即可.

【详解】由题意列树状图：

第一个人：爸爸妈妈"

/\/\

第二个人：小明妈妈爸爸妈妈爸爸小明

IIII

第三个人：妈妈小明妈妈爸爸小明爸爸

他们的座位共有6种不同的位置关系，其中小明恰好坐在父母中间的2种,

21

：.小明恰好坐在父母中间的概率=-=

63

故答案为：

3

【点睛】

此题考查事件概率的计算,正确列树状图解决问题是解题的关键.

三、解答题（共78分）

9

19、（1）证明见解析；（2）BF=L

2

【分析】（1）只要证明NDBF=NDAC,即可判断.

（2）利用相似三角形的性质即可解决问题.

【详解】（1）∙∙∙AO,8C,BELAC,

，NBDF=ZADC=ZBEC=90°,

ΛZC+ZDβF=90o,zc+zmc=90°,

：.ADAC=ZDBF,

ΛΔACD^ΔJBFD;

2∆∏3

（2）由tan∕ABO=W,可得——

3BD2

∖'ΛACD^ΛBFD,

.ACAD_2

"~BF~~BD~3

33

.∖BF=-×AC=-×3=

2

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的应用，相似三角形的性质和判定，同角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题

的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题.

20、见解析.

【分析】根据两角相等的两个三角形相似证明AADCS^BEC即可.

【详解】证明：TAD,BE分别是BC,AC上的高

二ND=NE=90

又ZACD=ZBCE(对顶角相等)

Λ∆ADCSABEC

.ADAC

•・---=----♦

BEBC

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握形似三角形的判定方法是解答本题的关键.①有两个对应角相等的三角形相；

②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.

8

21、(1)J=-；(2)2.

X

【分析】(1)先求出点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出结论；

(2)先求出点C的坐标，然后求出点E的坐标，最后利用四边形OCEA的面积=SOAE+S℃£即可得出结论.

【详解】解：(1)当x=l时，y—x-2=1-2=2,

则A(1,2),

把4(1,2)代入y=勺得

X

k=l×2=2,

O

二反比例函数解析式为y=2；

X

(2)当X=O时，y=x-2=-2,

则C(0,-2),

YAELr轴于点E,

：.E(1,0),

.∙.四边形OCEA的面积=S0ae+Soce=XlX2+g×1×2=2.

【点睛】

此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式和三角形的面积公式是解

决此题的关键.

22、(1)开口方向向下，点A的坐标是(-2,3),在对称轴直线χ=-2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；(2)点

B的坐标为(-4,2)

【分析】(1)先化为顶点式，然后由二次函数的性质可求解；

(2)如图，设直线BC与对称轴交于点。，则AD_LB。，设线段AO的长为加，则BD=ADCotNABC=2加,

可求点8坐标，代入解析式可求m的值，即可求点B坐标.

【详解】解：(1)抛物线v=-!χ2-χ+2=-'(x+2)2+3的开口方向向下，

44

顶点A的坐标是(-2,3),

抛物线的变化情况是：在对称轴直线X=-2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；

(2)如图，设直线BC与对称轴交于点。，则Az)_LBO.

设线段AD的长为m,则BD=ADcotZABC=2m,

，点B的坐标可表示为(-2m-2,3-m),

1,1,

代入y=—X_x+2,得3―/”=—(-2/72—2)^—(―27?/_2)÷2.

44

解得“21=0(舍),m2=l,

；•点8的坐标为(Y,2).

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用参数求点B坐标是本题的关键.

23、(1)见解析；(2)A0=%6.

6

【分析】(1)连接OC,根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得NoCB=NEBC,则OC〃BE,从而证得

OC±CD,即CD是。O的切线；

(2)根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【详解】证明：(1)连接OC

'：OC=OB,

Λ/ABC=NOCB,

又•；NEBC=NABC,

工NOCB=NEBC,

：.OC//BE,

•：BELCD,

：.OCA.CD,

，C。是。。的切线；

(2)设AB=X,

:A3是。。的直径,

：•NACb=90。，

•：NBCE+NBCO=NCAB+NABC=90。,

VOC=OB9

ZOCB=ZOBCf

：.ZCAB=ZBCE9

TNE=NACb=90。，

：,AACBSACEB,

.AC_AB

••在一茄’

√5xX

，

-5=2Λ∕5x

√L5--5-

..5√5

•X~~------9

2

∙.AB=^~,BC=5,

2

.,ΔACB<×>ΔCEB,

CE

,.ZCAB=ZECB=cosZCAB=——

BC

∖BE=2亚,

JOC//BE,

∙.ADOCsADBE,

•OC_OD

"BE-BD(

5√5AD+~

~—

-λ--_____4

‰βAD十座

【点睛】

本题考查了切线的判定，三角函数以及圆周角定理，相似三角形的判定及性质等，证明切线的问题常用的思路是转化

成证明垂直问题.

24、(1)图见解析；(2)图见解析；A'(-2,-3),Bg〉),C,(-l,3)

【分析】(1)在坐标系内描出各点，顺次连接各点即可；

(2)分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出各点坐标即可；

【详解】(1)如图，AABC为所求；

(2)如图，AAK'为所求；A,(-2,-3),B,(-5,-1),C,(-l,3)

【点睛】

本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键.

25、(1)证明见解析；(2)成立，证明见解析；(3)PG=y∕3PC,图详见解析.

【分析】(1)利用已知条件易证ADPE3AFPG,则有PE=PG,DE=GF,从而有CE=CG,再利用直角三角

形的斜边中线的性质即可得出结论；

(2)由已知条件易证△7)PEMAEPG,由全等三角形的性质证明AC。EMACBG,最后利用直角三角形的斜边中线

的性质即可得出结论；

(3)由已知条件易证ADPE三AFPG,由全等三角形的性质证明.Cr)EM-CBG,最后利用等腰三角形的性质和特

殊角的三角函数值即可求出答案.

【详解】(1)证明：FGlBC,DClBC

.-.DCHGF

:.NEDP=NGFP

又QDP=PF,4DPE=∕FPG

..ΔE>PEMAFPG(ASA)

.∙.PE=PG,DE=GF

又QGF=GB,DC=BC,

..CE=CG

在用AECG中，

QPE=PG

.-.PC=PG

(2)成立，证明如下：

延长GP到£,使PE=PG,连接OE、CE、CG.

QDP=PF,ZDPE=ZFPG,PE=PG

.-.ADPE^FPG

：.PE=PG、DE=GF、乙EDP=/GFP

QGF=GB

.-.DE=