垂径定理九年级数学上学期期末考试真题汇编（苏科版）

专题04垂径定理

Iy∖∙,ʌ

9经注泉做题（

一.选择题（共4小题）

1.（2021春•柳南区校级期末）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CC=4米，则拱

桥的半径为（）

\、I,

ADR

A.6.5米B.9米C.13米D.15米

【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在Co所在的直线上，设圆心是。.

连接OA.根据垂径定理和勾股定理求解.

【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在C7）所在的直线上，设圆心是。

连接04.根据垂径定理，得Ao=6（米），

设圆的半径是r,根据勾股定理，得J=36+（"4）2,解得r=6.5

故选：A.

【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理.注意构造由半径、半弦、弦心距组成

的直角三角形进行有关的计算.

2.（2021秋•滦阳市期末）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，

埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表

述为：“如图，C。为G）O的直径，弦AB_LoC于E,EZ）=I寸，AB=IO寸，求直径Cz）

的长.”则CD=（）

A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸

【分析】连接04构成直角三角形，先根据垂径定理，由。E垂直A8得到点E为A8的

中点，由AB=Io可求出AE的长，再设出圆的半径OA为X,表示出0E,根据勾股定理

建立关于X的方程，求出方程的解即可得到X的值，即为圆的半径，把求出的半径代入

即可得到答案.

【解答】解：连接。4,∙.∙A8LCZλ且AB=IO,

.'.AE=BE=5,

设圆。的半径。4的长为X寸，则OC=OD=X寸,

VDE=I,

.∙.0E=x-1,

在直角三角形40E中，根据勾股定理得:

X2-(X-I)2=52,化简得：X2-X2+2X-I=25,

即2x=26,

解得：X—13

所以CD=26（寸）.

【点评】此题考查了垂径定理的应用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的

直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系.

3.（2021秋•句容市期末）如图，。。的半径为4,将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O,

点C为优弧AB上的一个动点，则AABC面积的最大值是（)

C.4√3D.8+8√2

【分析】如图,过点C作C7_L4B于点7,过点。作O"›L∕18于点”，交。。于点K,

连接A。，AK.解直角三角形求出AB,求出CT的最大值，可得结论.

【解答】解：如图，过点C作CTLAB于点7,过点。作OHLAB于点H,交。。于点

K,连接40,AK.

由题意A8垂直平分线段OK,

：.AO=AK,

VOA=OK,

：.OA=OK=AKf

・・・N。AK=NAOK=60°.

J.AH=0A*sin60o=4×ɪ=2√3,

.∖AH=BH,

ΛAβ=2ΛW=4√3,

∖"OC+OH^CT,

.∙.CT≤4+2=6,

.∙.CT的最大值为6,

,△ABC的面积的最大值为］X4√3×6=12√3,

故选：A.

【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关

键是求出CT的最大值，属于中考常考题型.

4.（2021春•射阳县校级期末）如图，在半径为闻的。。中，弦AB与Co交于点E,Z

DEB=15Q,AB=10,AE=I,则CD的长是（）

A.6√2B.2√30C.2√33D.12

【分析】过点。作O凡LC。于点F,OGLAB于G,连接08、OD.OE,由垂径定理得

出DF=CF,AG=BG=g∕18=5,得出EG=AG-4E=4,由勾股定理得出OG=

>JOB2-BG2=4,证出AEOG是等腰直角三角形,得出NOEG=45°,OE=√2OG=4√2,

求出/OEF=30°,由直角三角形的性质得出OF=∣OE=2√2,由勾股定理得出。F=√33,

即可得出答案.

【解答】解：过点O作OF_LCZ)于点F,OGlAB于G,连接OB、OD、OE,如图所示：

1

则力尸=CRAG=BG=^AB=5,

.∙.EG=4G-4E=4,

在RtABOG中，OG=y∕0B2-BG2=√41-25=4,

EG=OG,

.♦.△EOG是等腰直角三角形，

ΛZOEG=45o,OE=√2OG=4√2,

"：ADEB=ISo,

.∙.NOEF=3(Γ,

JOF=∣f>E=2√2,

在R∕ΔODF中，DF=√0D2-OF2=√41-8=√33,

ΛCD=2DF=2√33;

故选：C.

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助

线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

二.填空题（共4小题）

5.（2021秋•祁江区期末）如图，以CO为直径的。。中，弦AB_LC。于M.AB=I6,CM

=16.则MD=4.

【分析】连接OA,如图，设。。的半径为r,则OA=r,OM=I6-〃根据垂径定理得

到AM=8M=8,再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2,解方程求出r=10,然后计算

CD-CM即可.

【解答】解：连接OA,如图，设。。的半径为r,则。A=r,0M=∖6-r,

∖'ABlCD,

.,.AM=BM=^AB=S,

在RrZkAOM中，82+(16-r)2=r2,

解得r=10,

...CC=2r=20,

LMD=CD-CM=20-16=4.

故答案为:4.

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也

考查了勾股定理.

6.(2020秋•宝应县期末)往直径为52cτn的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若

水面宽AB=4Scm,则水的最大深度为16cm.

【分析】连接。8,过点。作OCLAB于点£>,交。。于点C,先由垂径定理求出8。的

长，再根据勾股定理求出O4的长，进而得出CD的长即可.

【解答】解：连接。8,过点。作OCLAB于点D,交。。于点C,如图所示：

VAB=48C7∕I,

：.BD=^AB=ɪ×48=24(cm),

O的直径为52cm,

OB=OC=IGcm,

在中，。

R∕Z∖O8DOD=√0R2-82=yj262_242=10(cw),

8=OC-OQ=26-10=16Ccm),

即水的最大深度为∖6cm,

故答案为：16.

【点评】本题考查J'垂径定理、勾股定理等知识：根据题意作出辅助线，构造出直角三

角形是解答此题的关键.

7.（2020秋•高邮市期末）如图，把一只篮球放在高为16c〃z的长方体纸盒中，发现篮球的

一部分露出盒，其截面如图所示.若量得EF=24C",则该篮球的半径为12.5cm.

［分析］取EF的中点M,作MNLAD于点M,取MN上的球心O,连接OF,设OF=

X,则OM=I6-X,MF=I2,在RrZsMO尸中利用勾股定理求得O尸的长即可.

【解答】解：EF的中点M,作MNl.AO丁点取MN上的球心。，连接。尸,

•••四边形A8CZ）是矩形，

NC=/0=90°,

.∙.四边形CDWN是矩形,

.∙.MN=CD=16CTH,

设OF=xcιn,则ON=OF,

：.OM=MN-ON=16-X,MF=12cm,

在直角三角形OMF中，0Λ∕2+M/=。产

即：(16-x)2+122-X2

解得：X=I2.5(cm),

故答案为：12.5.

【点评】本题上考查垂径定理、矩形的性质及勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直

角三角形是解题的关键.

8.（2021秋•崇川区期末）如图，在半径为5的。。中，M为弦AB的中点，若OM=1,则

AB的长为4√6

【分析】连接OM,OA,根据垂径定理得出OM_LAB,根据勾股定理求出AM,再求出

A8即可.

【解答】解：连接。M,0A,

YM为A8的中点，0过圆心0,

：.OMlAB,

NOMA=90°,

由勾股定理得：BM=AM=-JOA2-OM2=√52-I2=2√6,

ΛAB=AM+BΛ7=2√6+2√6=4√6,

故答案为：4y∕b.

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记平分弦（弦不是直径）的直径垂直于

弦是解此题的关键.

Ξ.解答题（共4小题）

9.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是。O的直径，弦C£>J_4B于点E,若8E=5,

【分析】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出AE的长即可.

【解答】解：如图，连接OC,

7CD±AB,A8是直径，

1

CE=DE=*CD=3,

在RfZ∖COE中，设半径为r,则。E=5-r,OC=r,由勾股定理得,

OE1+CE1^OC2,

即(5-r)2+32-r2,

解得r=3.4,

.".AE=AB-BE=3.4×2-5=1.8,

答：AE的长为1.8.

【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提.

10.（2020秋•高邮市期末）如图，在RfZXABC中，ZACB=90O，AB=5,BC=3,点、D

在AB的延长线上，且BD=3,过点。作OEJ_4。，交Ae的延长线于点E,以。E为直

径的。。交AE于点F.

（1）求。O的半径及圆心。到弦EF的距离;

（2）设Cf）交。。于点G,试说明G是CZ）的中点.

【分析】（1）过点。作O"J∙EF于77,根据勾股定理求出Ae,证明AAC8SZ∖ADE,根

据相似三角形的性质求出QE,再证明△£：“OS求出。H即可;

（2）连接EG,根据等腰三角形的三线合一证明结论.

【解答】解：（1）过点。作04，EF于”,

由勾股定理得，AC=y∕AB2-BC2=4,

'：DELAD,∕ACB=90°,

.∙.ZACB=ZADE,

,:ZC=ZC,

ACBC,,43

/.--=---,r即r-=---,

ADDE8DE

解得，Z）E=6,

二。。的半径为3,

AE=∖∣AD2+DE2=10,

'：AEHO=AEDA,ZOEH=ZAED,

：•丛EHOS丛EDA,

EOOHL3OH

/.—=，即rt—=,

EAAD108

解得，OH=导,

.∙.点。到E尸距离为当；

(2)连接EG,

VAE=10>AC=4,

.".EC=6,

LEC=ED,

：DE是。。的直径,

J.EGVCD,

.∙.G是C。的中点.

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、

等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

11.（2015春•兴化市校级期末）已知在以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小

圆于点C,D（如图）.

（1）求证：AC=BD;

（2）若大圆的半径R=Io,小圆的半径r=8,且圆心O到直线A8的距离为6,求AC

【分析】（1）过。作OE_LA8,根据垂径定理得到4E=BE,CE=DE,从而得到AC=

BD；

（2）由（1）可知，OELAB且OELCD,连接OC,OA,再根据勾股定理求出CE及

AE的长，根据AC=AE-CE即可得出结论.

【解答】（1）证明：过。作OELAB于点E,

则CE=DE,AE=BE,

：.BE-DE=AE-CE,即AC=BD;

（2）解：由（I）可知，0E_LA8且OEJLC。，连接。C,0A,

.∖OE=6,

：.CE=√0C2-OE2=√82-62=2√7,AE=∖∣0A2-OE2=√102-62=8,

：.AC=AE-CE=8-2√7.

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题

的关键.

12.（2010秋•常州期末）如图，Oo的半径为6,点C在。。上，将圆折叠，使点C与圆

心。重合，折痕为AB且点A、B在。。上，E、F是AB上两点（点E、尸不与点A、B

重合且点E在点尸的右边），且AF=BE.

（1）判定四边形OEC尸的形状；

（2）当AF为多少时，四边形OECF为正方形？

【分析】（1）四边形OEC尸为菱形，连接OC,交AB于点先由折叠的性质得到0。

=CD,且。C垂直于AB,利用垂径定理得到。为AB的中点，利用等式的性质得到FQ

=ED,利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到OEFC为平行四边形，再由尸。

=ED,且。。垂直于EF,得到OE=OF,即可得到四边形OEC尸为菱形；

（2）四边形OEFC要为正方形，必须FO=EO=OO=CD由半径求出OC的长，得到

。尸的长，在直角三角形AOO中，利用勾股定理求出4。的长，由Ao-D尸即可求出此

时AF的长.

【解答】解：（1）四边形OEre为菱形，理由为：

连接。C,交AB于点。，

由折叠的性质得到。力=CD,OC±AB,

则D为AB的中点，即AD=BD,

：A尸=BE,

：.AD-AF=BD-BE,即FD=ED,

：.四边形OEFC为平行四边形，

,：ODA.EF,

则四边形。EFC为菱形；

1

（2）'：OD=DC=^0C=3,

，在RtΔ,AOD中，根据勾股定理得：AD=>JAO2-OD2=3√3,

要使四边形OEFC为正方形，必须FD=OD=3,

则此时AF=AD-FD=3√3-3.

【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形、菱形、正方形的判定，熟练掌

握垂径定理是解本题的关键.

色产逡提升题］Q

选择题（共4小题）

1.（2022秋•高邮市期中）如图，已知。。的直径为26,弦AB=24,动点P、Q在。O上,

弦PQ=I0,若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（）

A.7≤MN≤17B.14≤MN≤34C.7<MN<I7D.6≤MN≤16

【分析】连接。M、ON、OA、OP,由垂径定理得OM_LAB,ON±PQ,AM=^AB=12,

PN=∣PQ=5,由勾股定理得0M=5,ON=12,当AB〃PQ时，M、0、N三点共线，

当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短=ON-OM=7,当AB、PQ位于O

的两侧时，线段EF的长度最长=OM+ON=17,便可得出结论.

【解答】解：连接OM、ON、OA>OP,如图所示：

Q

AOA=OP=13,

；点M、N分别是弦AB、PQ的中点,AB=24,PQ=IO,

Λ0M±AB,ONlPQ,AM=∣AB=12,PN=∣PQ=5,

,OM=√132-122=5,ON=√132-52=12,

当AB〃PQ时，M、0、N三点共线，

当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短=OM-ON=I2-5=7,

当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长=OM+ON=12+5=17,

线段MN的长度的取值范围是7WMNW17,

故选：A.

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾

股定理是解题的关键.

2.（2022秋•如皋市校级月考）如图，CD是ΘO的直径，AB是弦，CD,AB于E,DE=2,

A.8B.10C.4√5D.4√3

【分析】连接OA,设③O的半径为R,则OA=R,OE=R-2,根据垂径定理求出AE

=BE=4,根据勾股定理求出OA2=OE2+AE2,得出R2=(R-2)2+42,求出R,再求

出CE,最后根据勾股定理求出AC即可.

【解答】解：连接OA,设。O的半径为R,则OA=R,OE=R-2,

VCD±AB,CD过圆心O,AB=8,

ΛAE=BE=4,ZAEC=90o,

由勾股定理得：OA2=OE2+AE2,

即R2=(R-2)2+42,

解得：R=5,

即OA=OC=5,OE=5-2=3,

.∙.CE=OC+OE=5+3=8,

ΛAC=>JCE2+AE2=√82+42=4√5,

故选：C.

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题

的关键.

3.(2022秋•灌云县月考)如图，在。O中，直径AB=8,弦DE_LAB于点C,若AD=DE,

A.2√3B.4√3C.1D.2

【分析】根据垂径定理求出DC=CE,求出DC=aAD,求出NDAB=30°,求出/CDB

=30°,根据含30°角的直角三角形性质求出BD=拼B,BC=%D,再求出BC即可.

【解答】解：DELAB,AB过圆心O,

1

ΛDC=CE=^DE,NACD=NBCD=90”,

VAD=DE,

1

,DC=5AD,

ΛZDAC=30°,

VAB是（Do的直径，

ΛZADB=90°,

.".BD=；AB=；X8=4,

VZADB=90o,ZDAB=30o,

ΛZABD=60o,

VZDCB=90°,

ΛZCDB=30°,

ΛBC=∣BD=ɪ×4=2,

故选：D.

【点评】本题考查J'垂径定理，直角三角形的性质和圆周角定理等知识点，能根据垂径

定理求出DC=CE是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30。，

那么它所对的直角边等于斜边的一半.

4.（2020秋•金坛区月考）如图，AC是G）O的直径，弦BDLAo于E,连接BC,过点O

作OF_L.BC于F,若BD=8αn,AE=2an,则AOFC的面积是（）

A.40cm2B.20cm2C.1OCZM2D.5c∕n2

【分析】连接OB,设半径为则OE=（r-2）cm,先由勾股定理构建方程求出半

径的长，再由三角形面积和垂径定理即可解决问题.

【解答】解：连接OB,如图所示：

设。O的半径为rc∕n,则OE=(r-2)cm,

：AC是。。的直径，弦BDJ_Ao于E,BD=8cro,

.∙.BE=DE=4(cm),

在R∕Δ0BE中，TOE2+BE2=OB2,

(r-2)2+42=r2

解得：r=5,

V∆BOC的面积=#)CXBE=∕x4X5=10(cm2),

VOFlBC,

.∙.BF=CF,

ΛΔOFC的面积=∣∆BOC的面积=5（cw2）,

故选：D.

【点评】本题考查」'垂径定理，勾股定理以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌

握垂径定理和勾股定理，属于中考常考题型.

二.填空题（共4小题）

5.（2022秋•姜堰区期中）如图，半圆O的直径AB=4,弦CD=2√Σ弦CD在半圆上滑

动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在

TT

整个滑动过程中线段BM扫过的面积为ɪ.

【分析】根据勾股定理的逆定理可得ACOD是直角三角形，进而得出OM长等于CD的

一半，再根据旋转可得OM旋转的圆心角为90°,半径OM=√Σ,根据扇形面积的计算

方法进行计算即可.

【解答】解：如图，连接OC、OD,OM,

VOC=OD=∣AB=2,

X,.,CD=2√2,

VCD2=8,OC2+OD2=22+22=8,

ΛCD2=OC2+OD2,

ΛZCOD=90o,

又；点M是CD的中点，

ΛOM=∣CD=√2,

；弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，OM就

绕着点O逆时针旋转90°,

90TΓ×（Λ∕2）2Tr

.∙.在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为=?

【点评】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及

勾股定理的逆定理是正确解答的前提.

6.（2022秋•工业园区校级月考）如图，在。O中，AD±BC,连接AB、CD,当AB=2,

CD=6时，则。。半径长为

【分析】如图，连接CO,延长CO交。。于H,连接BH,DH,BD.首先证明DH=

BA=2,利用勾股定理求出CH即可.

【解答】解：如图，连接CO,延长CC）交Θ0于H,连接BH,DH,BD.

VCH是直径,

ΛZCBH=ZCDH=90o,

ΛCB±BH,

VCB±AD,

ΛAD/7BH,

ΛZADB=ZDBH,

：.AB=DH,

ΛDH=BA=2,

而CD=6,

根据勾股定理CH=√CD2+DH2=2√ιo,

...OO半径长为同.

故答案为国.

【点评】此题主要考查了圆周角定理及其推论，同时也利用了勾股定理，作出正确的辅

助线是解题的关键.

7.(2022秋•吴江区校级月考)如图，。。的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,AB=

13

6,则G)O半径为—.

4

【分析】根据垂径定理求出BE=AE=3,根据勾股定理得出0B2=BE2+0E2,再求出R

即可.

【解答】解：VCD±AB,CD过圆心O,AB=6,

ΛAE=BE=3,ZOEB=90o,

设G)O的半径为R,

由勾股定理得：0B2=BE2+0E2,

即R2=32+(R-2)2,

解得：R=苧，

即。O的半径为二，

4

13

故答案为：—.

4

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题

的关键.

8.(2021秋•江都区月考)如图，圆形纸片。O半径为病，先在其内剪出2个边长相等的最

大正方形，再在剩余部分剪出2个边长相等的最大正方形，则第二次剪出的正方形的边

长是.

【分析】连接AB、OE,过O作OF_LDE于F,设BC=x,DE=y,由圆周角定理得AB

是。O的直径，AB=2OA=2√5,再在R/4ABC中，由勾股定理得出方程，求出尤=2,

然后在RfAOEF中，由勾股定理得出方程，求解即可.

【解答】解：如图，连接AB、OE,过O作OFJ_DE于F,

贝IJDF=EF,

设BC=X,DE=y,

由题意得：ZC=90o,AC=2BC=2r,

ΛAB是直径，

ΛAB=2OA=2√5,

在R∕Z∖ABC中，由勾股定理得：/+⑵)2=(2√5)2,

解得：x—2,

则BC=2,

21

在RAOEF中，由勾股定理得：gx2+y）+(-y)2=(V≡)2,

2`

解得：）=二竽为（负值已舍去）,

即第二次剪出的正方形的边长是一—4+ɪ4

—4+4∖∕6

故答案为：-------

圆周角定理、勾股定理、正方形的性质；熟练掌握圆周

角定理和勾股定理是解题的关键.

三.解答题（共4小题）

9.（2022秋•东台市期中）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、

C.若A点的坐标为（0,4）,C点的坐标为（6,2）,

（1）根据题意，画出平面直角坐标系；

（2）在图中标出圆心M的位置，写出圆心M点的坐标（2,0）

【分析】（1）根据给出的点的坐标画出平面直角坐标系;

（2）根据垂径定理、三角形外心的性质解答.

【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示：

（2）由平面直角坐标系可知，

圆心M点的坐标为（2,0）,

故答案为：（2,0）.

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平

分弦所对的两条弧是解题的关键.

10.（2020秋•东台市月考）如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A,B,

C.

（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）设AABC是等腰三角形，底边BC=8cm,腰AB=5c%,求圆片的半径R.

【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；

(2)构建直角4B0E,利用勾股定理列方程可得结论.

【解答】解：(1)作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为0,则0为所求圆

的圆心；

(2)连接AO、BO,AO交BC于E,

VAB=AC.

.∙.AE±BC,

11

ΛBE=5BC=/8=4,

在R∕∆ABEΦ>AE=>∣AB2