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文档简介
专题04垂径定理
Iy∖∙,ʌ
9经注泉做题(
一.选择题(共4小题)
1.(2021春•柳南区校级期末)如图,圆弧形桥拱的跨度AB=12米,拱高CC=4米,则拱
桥的半径为()
\、I,
ADR
A.6.5米B.9米C.13米D.15米
【分析】根据垂径定理的推论,知此圆的圆心在Co所在的直线上,设圆心是。.
连接OA.根据垂径定理和勾股定理求解.
【解答】解:根据垂径定理的推论,知此圆的圆心在C7)所在的直线上,设圆心是。
连接04.根据垂径定理,得Ao=6(米),
设圆的半径是r,根据勾股定理,得J=36+("4)2,解得r=6.5
故选:A.
【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理.注意构造由半径、半弦、弦心距组成
的直角三角形进行有关的计算.
2.(2021秋•滦阳市期末)《九章算术》是我国古代著名数学著作,书中记载:“今有圆材,
埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表
述为:“如图,C。为G)O的直径,弦AB_LoC于E,EZ)=I寸,AB=IO寸,求直径Cz)
的长.”则CD=()
A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸
【分析】连接04构成直角三角形,先根据垂径定理,由。E垂直A8得到点E为A8的
中点,由AB=Io可求出AE的长,再设出圆的半径OA为X,表示出0E,根据勾股定理
建立关于X的方程,求出方程的解即可得到X的值,即为圆的半径,把求出的半径代入
即可得到答案.
【解答】解:连接。4,∙.∙A8LCZλ且AB=IO,
.'.AE=BE=5,
设圆。的半径。4的长为X寸,则OC=OD=X寸,
VDE=I,
.∙.0E=x-1,
在直角三角形40E中,根据勾股定理得:
X2-(X-I)2=52,化简得:X2-X2+2X-I=25,
即2x=26,
解得:X—13
所以CD=26(寸).
【点评】此题考查了垂径定理的应用,注意利用圆的半径,弦的一半及弦心距所构成的
直角三角形来解决实际问题,做此类题时要多观察,多分析,才能发现线段之间的联系.
3.(2021秋•句容市期末)如图,。。的半径为4,将劣弧沿弦AB翻折,恰好经过圆心O,
点C为优弧AB上的一个动点,则AABC面积的最大值是()
C.4√3D.8+8√2
【分析】如图,过点C作C7_L4B于点7,过点。作O"›L∕18于点”,交。。于点K,
连接A。,AK.解直角三角形求出AB,求出CT的最大值,可得结论.
【解答】解:如图,过点C作CTLAB于点7,过点。作OHLAB于点H,交。。于点
K,连接40,AK.
由题意A8垂直平分线段OK,
:.AO=AK,
VOA=OK,
:.OA=OK=AKf
・・・N。AK=NAOK=60°.
J.AH=0A*sin60o=4×ɪ=2√3,
.∖AH=BH,
ΛAβ=2ΛW=4√3,
∖"OC+OH^CT,
.∙.CT≤4+2=6,
.∙.CT的最大值为6,
,△ABC的面积的最大值为]X4√3×6=12√3,
故选:A.
【点评】本题考查垂径定理,勾股定理,三角形的面积,垂线段最短等知识,解题的关
键是求出CT的最大值,属于中考常考题型.
4.(2021春•射阳县校级期末)如图,在半径为闻的。。中,弦AB与Co交于点E,Z
DEB=15Q,AB=10,AE=I,则CD的长是()
A.6√2B.2√30C.2√33D.12
【分析】过点。作O凡LC。于点F,OGLAB于G,连接08、OD.OE,由垂径定理得
出DF=CF,AG=BG=g∕18=5,得出EG=AG-4E=4,由勾股定理得出OG=
>JOB2-BG2=4,证出AEOG是等腰直角三角形,得出NOEG=45°,OE=√2OG=4√2,
求出/OEF=30°,由直角三角形的性质得出OF=∣OE=2√2,由勾股定理得出。F=√33,
即可得出答案.
【解答】解:过点O作OF_LCZ)于点F,OGlAB于G,连接OB、OD、OE,如图所示:
1
则力尸=CRAG=BG=^AB=5,
.∙.EG=4G-4E=4,
在RtABOG中,OG=y∕0B2-BG2=√41-25=4,
EG=OG,
.♦.△EOG是等腰直角三角形,
ΛZOEG=45o,OE=√2OG=4√2,
":ADEB=ISo,
.∙.NOEF=3(Γ,
JOF=∣f>E=2√2,
在R∕ΔODF中,DF=√0D2-OF2=√41-8=√33,
ΛCD=2DF=2√33;
故选:C.
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质,根据题意作出辅助
线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
二.填空题(共4小题)
5.(2021秋•祁江区期末)如图,以CO为直径的。。中,弦AB_LC。于M.AB=I6,CM
=16.则MD=4.
【分析】连接OA,如图,设。。的半径为r,则OA=r,OM=I6-〃根据垂径定理得
到AM=8M=8,再根据勾股定理得到82+(16-r)2=r2,解方程求出r=10,然后计算
CD-CM即可.
【解答】解:连接OA,如图,设。。的半径为r,则。A=r,0M=∖6-r,
∖'ABlCD,
.,.AM=BM=^AB=S,
在RrZkAOM中,82+(16-r)2=r2,
解得r=10,
...CC=2r=20,
LMD=CD-CM=20-16=4.
故答案为:4.
【点评】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也
考查了勾股定理.
6.(2020秋•宝应县期末)往直径为52cτn的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图,若
水面宽AB=4Scm,则水的最大深度为16cm.
【分析】连接。8,过点。作OCLAB于点£>,交。。于点C,先由垂径定理求出8。的
长,再根据勾股定理求出O4的长,进而得出CD的长即可.
【解答】解:连接。8,过点。作OCLAB于点D,交。。于点C,如图所示:
VAB=48C7∕I,
:.BD=^AB=ɪ×48=24(cm),
O的直径为52cm,
OB=OC=IGcm,
在中,。
R∕Z∖O8DOD=√0R2-82=yj262_242=10(cw),
8=OC-OQ=26-10=16Ccm),
即水的最大深度为∖6cm,
故答案为:16.
【点评】本题考查J'垂径定理、勾股定理等知识:根据题意作出辅助线,构造出直角三
角形是解答此题的关键.
7.(2020秋•高邮市期末)如图,把一只篮球放在高为16c〃z的长方体纸盒中,发现篮球的
一部分露出盒,其截面如图所示.若量得EF=24C",则该篮球的半径为12.5cm.
[分析]取EF的中点M,作MNLAD于点M,取MN上的球心O,连接OF,设OF=
X,则OM=I6-X,MF=I2,在RrZsMO尸中利用勾股定理求得O尸的长即可.
【解答】解:EF的中点M,作MNl.AO丁点取MN上的球心。,连接。尸,
•••四边形A8CZ)是矩形,
NC=/0=90°,
.∙.四边形CDWN是矩形,
.∙.MN=CD=16CTH,
设OF=xcιn,则ON=OF,
:.OM=MN-ON=16-X,MF=12cm,
在直角三角形OMF中,0Λ∕2+M/=。产
即:(16-x)2+122-X2
解得:X=I2.5(cm),
故答案为:12.5.
【点评】本题上考查垂径定理、矩形的性质及勾股定理的应用,正确作出辅助线构造直
角三角形是解题的关键.
8.(2021秋•崇川区期末)如图,在半径为5的。。中,M为弦AB的中点,若OM=1,则
AB的长为4√6
【分析】连接OM,OA,根据垂径定理得出OM_LAB,根据勾股定理求出AM,再求出
A8即可.
【解答】解:连接。M,0A,
YM为A8的中点,0过圆心0,
:.OMlAB,
NOMA=90°,
由勾股定理得:BM=AM=-JOA2-OM2=√52-I2=2√6,
ΛAB=AM+BΛ7=2√6+2√6=4√6,
故答案为:4y∕b.
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理,能熟记平分弦(弦不是直径)的直径垂直于
弦是解此题的关键.
Ξ.解答题(共4小题)
9.(2021秋•鼓楼区校级期末)如图,AB是。O的直径,弦C£>J_4B于点E,若8E=5,
【分析】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径,进而求出AE的长即可.
【解答】解:如图,连接OC,
7CD±AB,A8是直径,
1
CE=DE=*CD=3,
在RfZ∖COE中,设半径为r,则。E=5-r,OC=r,由勾股定理得,
OE1+CE1^OC2,
即(5-r)2+32-r2,
解得r=3.4,
.".AE=AB-BE=3.4×2-5=1.8,
答:AE的长为1.8.
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理,掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提.
10.(2020秋•高邮市期末)如图,在RfZXABC中,ZACB=90O,AB=5,BC=3,点、D
在AB的延长线上,且BD=3,过点。作OEJ_4。,交Ae的延长线于点E,以。E为直
径的。。交AE于点F.
(1)求。O的半径及圆心。到弦EF的距离;
(2)设Cf)交。。于点G,试说明G是CZ)的中点.
【分析】(1)过点。作O"J∙EF于77,根据勾股定理求出Ae,证明AAC8SZ∖ADE,根
据相似三角形的性质求出QE,再证明△£:“OS求出。H即可;
(2)连接EG,根据等腰三角形的三线合一证明结论.
【解答】解:(1)过点。作04,EF于”,
由勾股定理得,AC=y∕AB2-BC2=4,
':DELAD,∕ACB=90°,
.∙.ZACB=ZADE,
,:ZC=ZC,
ACBC,,43
/.--=---,r即r-=---,
ADDE8DE
解得,Z)E=6,
二。。的半径为3,
AE=∖∣AD2+DE2=10,
':AEHO=AEDA,ZOEH=ZAED,
:•丛EHOS丛EDA,
EOOHL3OH
/.—=,即rt—=,
EAAD108
解得,OH=导,
.∙.点。到E尸距离为当;
(2)连接EG,
VAE=10>AC=4,
.".EC=6,
LEC=ED,
:DE是。。的直径,
J.EGVCD,
.∙.G是C。的中点.
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、
等腰三角形的性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
11.(2015春•兴化市校级期末)已知在以点。为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小
圆于点C,D(如图).
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=Io,小圆的半径r=8,且圆心O到直线A8的距离为6,求AC
【分析】(1)过。作OE_LA8,根据垂径定理得到4E=BE,CE=DE,从而得到AC=
BD;
(2)由(1)可知,OELAB且OELCD,连接OC,OA,再根据勾股定理求出CE及
AE的长,根据AC=AE-CE即可得出结论.
【解答】(1)证明:过。作OELAB于点E,
则CE=DE,AE=BE,
:.BE-DE=AE-CE,即AC=BD;
(2)解:由(I)可知,0E_LA8且OEJLC。,连接。C,0A,
.∖OE=6,
:.CE=√0C2-OE2=√82-62=2√7,AE=∖∣0A2-OE2=√102-62=8,
:.AC=AE-CE=8-2√7.
【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题
的关键.
12.(2010秋•常州期末)如图,Oo的半径为6,点C在。。上,将圆折叠,使点C与圆
心。重合,折痕为AB且点A、B在。。上,E、F是AB上两点(点E、尸不与点A、B
重合且点E在点尸的右边),且AF=BE.
(1)判定四边形OEC尸的形状;
(2)当AF为多少时,四边形OECF为正方形?
【分析】(1)四边形OEC尸为菱形,连接OC,交AB于点先由折叠的性质得到0。
=CD,且。C垂直于AB,利用垂径定理得到。为AB的中点,利用等式的性质得到FQ
=ED,利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到OEFC为平行四边形,再由尸。
=ED,且。。垂直于EF,得到OE=OF,即可得到四边形OEC尸为菱形;
(2)四边形OEFC要为正方形,必须FO=EO=OO=CD由半径求出OC的长,得到
。尸的长,在直角三角形AOO中,利用勾股定理求出4。的长,由Ao-D尸即可求出此
时AF的长.
【解答】解:(1)四边形OEre为菱形,理由为:
连接。C,交AB于点。,
由折叠的性质得到。力=CD,OC±AB,
则D为AB的中点,即AD=BD,
:A尸=BE,
:.AD-AF=BD-BE,即FD=ED,
:.四边形OEFC为平行四边形,
,:ODA.EF,
则四边形。EFC为菱形;
1
(2)':OD=DC=^0C=3,
,在RtΔ,AOD中,根据勾股定理得:AD=>JAO2-OD2=3√3,
要使四边形OEFC为正方形,必须FD=OD=3,
则此时AF=AD-FD=3√3-3.
【点评】此题考查了垂径定理,勾股定理,平行四边形、菱形、正方形的判定,熟练掌
握垂径定理是解本题的关键.
色产逡提升题]Q
选择题(共4小题)
1.(2022秋•高邮市期中)如图,已知。。的直径为26,弦AB=24,动点P、Q在。O上,
弦PQ=I0,若点M、N分别是弦AB、PQ的中点,则线段MN的取值范围是()
A.7≤MN≤17B.14≤MN≤34C.7<MN<I7D.6≤MN≤16
【分析】连接。M、ON、OA、OP,由垂径定理得OM_LAB,ON±PQ,AM=^AB=12,
PN=∣PQ=5,由勾股定理得0M=5,ON=12,当AB〃PQ时,M、0、N三点共线,
当AB、PQ位于O的同侧时,线段MN的长度最短=ON-OM=7,当AB、PQ位于O
的两侧时,线段EF的长度最长=OM+ON=17,便可得出结论.
【解答】解:连接OM、ON、OA>OP,如图所示:
Q
AOA=OP=13,
;点M、N分别是弦AB、PQ的中点,AB=24,PQ=IO,
Λ0M±AB,ONlPQ,AM=∣AB=12,PN=∣PQ=5,
,OM=√132-122=5,ON=√132-52=12,
当AB〃PQ时,M、0、N三点共线,
当AB、PQ位于O的同侧时,线段MN的长度最短=OM-ON=I2-5=7,
当AB、PQ位于O的两侧时,线段MN的长度最长=OM+ON=12+5=17,
线段MN的长度的取值范围是7WMNW17,
故选:A.
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题,熟练掌握垂径定理和勾
股定理是解题的关键.
2.(2022秋•如皋市校级月考)如图,CD是ΘO的直径,AB是弦,CD,AB于E,DE=2,
A.8B.10C.4√5D.4√3
【分析】连接OA,设③O的半径为R,则OA=R,OE=R-2,根据垂径定理求出AE
=BE=4,根据勾股定理求出OA2=OE2+AE2,得出R2=(R-2)2+42,求出R,再求
出CE,最后根据勾股定理求出AC即可.
【解答】解:连接OA,设。O的半径为R,则OA=R,OE=R-2,
VCD±AB,CD过圆心O,AB=8,
ΛAE=BE=4,ZAEC=90o,
由勾股定理得:OA2=OE2+AE2,
即R2=(R-2)2+42,
解得:R=5,
即OA=OC=5,OE=5-2=3,
.∙.CE=OC+OE=5+3=8,
ΛAC=>JCE2+AE2=√82+42=4√5,
故选:C.
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理,能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题
的关键.
3.(2022秋•灌云县月考)如图,在。O中,直径AB=8,弦DE_LAB于点C,若AD=DE,
A.2√3B.4√3C.1D.2
【分析】根据垂径定理求出DC=CE,求出DC=aAD,求出NDAB=30°,求出/CDB
=30°,根据含30°角的直角三角形性质求出BD=拼B,BC=%D,再求出BC即可.
【解答】解:DELAB,AB过圆心O,
1
ΛDC=CE=^DE,NACD=NBCD=90”,
VAD=DE,
1
,DC=5AD,
ΛZDAC=30°,
VAB是(Do的直径,
ΛZADB=90°,
.".BD=;AB=;X8=4,
VZADB=90o,ZDAB=30o,
ΛZABD=60o,
VZDCB=90°,
ΛZCDB=30°,
ΛBC=∣BD=ɪ×4=2,
故选:D.
【点评】本题考查J'垂径定理,直角三角形的性质和圆周角定理等知识点,能根据垂径
定理求出DC=CE是解此题的关键,注意:在直角三角形中,如果有一个角等于30。,
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
4.(2020秋•金坛区月考)如图,AC是G)O的直径,弦BDLAo于E,连接BC,过点O
作OF_L.BC于F,若BD=8αn,AE=2an,则AOFC的面积是()
A.40cm2B.20cm2C.1OCZM2D.5c∕n2
【分析】连接OB,设半径为则OE=(r-2)cm,先由勾股定理构建方程求出半
径的长,再由三角形面积和垂径定理即可解决问题.
【解答】解:连接OB,如图所示:
设。O的半径为rc∕n,则OE=(r-2)cm,
:AC是。。的直径,弦BDJ_Ao于E,BD=8cro,
.∙.BE=DE=4(cm),
在R∕Δ0BE中,TOE2+BE2=OB2,
(r-2)2+42=r2
解得:r=5,
V∆BOC的面积=#)CXBE=∕x4X5=10(cm2),
VOFlBC,
.∙.BF=CF,
ΛΔOFC的面积=∣∆BOC的面积=5(cw2),
故选:D.
【点评】本题考查」'垂径定理,勾股定理以及三角形面积等知识,解题的关键是熟练掌
握垂径定理和勾股定理,属于中考常考题型.
二.填空题(共4小题)
5.(2022秋•姜堰区期中)如图,半圆O的直径AB=4,弦CD=2√Σ弦CD在半圆上滑
动,点C从点A开始滑动,到点D与点B重合时停止滑动,若M是CD的中点,则在
TT
整个滑动过程中线段BM扫过的面积为ɪ.
【分析】根据勾股定理的逆定理可得ACOD是直角三角形,进而得出OM长等于CD的
一半,再根据旋转可得OM旋转的圆心角为90°,半径OM=√Σ,根据扇形面积的计算
方法进行计算即可.
【解答】解:如图,连接OC、OD,OM,
VOC=OD=∣AB=2,
X,.,CD=2√2,
VCD2=8,OC2+OD2=22+22=8,
ΛCD2=OC2+OD2,
ΛZCOD=90o,
又;点M是CD的中点,
ΛOM=∣CD=√2,
;弦CD在半圆上滑动,点C从点A开始滑动,到点D与点B重合时停止滑动,OM就
绕着点O逆时针旋转90°,
90TΓ×(Λ∕2)2Tr
.∙.在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为=?
【点评】本题考查勾股定理及逆定理,扇形面积的计算,掌握扇形面积的计算方法以及
勾股定理的逆定理是正确解答的前提.
6.(2022秋•工业园区校级月考)如图,在。O中,AD±BC,连接AB、CD,当AB=2,
CD=6时,则。。半径长为
【分析】如图,连接CO,延长CO交。。于H,连接BH,DH,BD.首先证明DH=
BA=2,利用勾股定理求出CH即可.
【解答】解:如图,连接CO,延长CC)交Θ0于H,连接BH,DH,BD.
VCH是直径,
ΛZCBH=ZCDH=90o,
ΛCB±BH,
VCB±AD,
ΛAD/7BH,
ΛZADB=ZDBH,
:.AB=DH,
ΛDH=BA=2,
而CD=6,
根据勾股定理CH=√CD2+DH2=2√ιo,
...OO半径长为同.
故答案为国.
【点评】此题主要考查了圆周角定理及其推论,同时也利用了勾股定理,作出正确的辅
助线是解题的关键.
7.(2022秋•吴江区校级月考)如图,。。的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,AB=
13
6,则G)O半径为—.
4
【分析】根据垂径定理求出BE=AE=3,根据勾股定理得出0B2=BE2+0E2,再求出R
即可.
【解答】解:VCD±AB,CD过圆心O,AB=6,
ΛAE=BE=3,ZOEB=90o,
设G)O的半径为R,
由勾股定理得:0B2=BE2+0E2,
即R2=32+(R-2)2,
解得:R=苧,
即。O的半径为二,
4
13
故答案为:—.
4
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理,能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题
的关键.
8.(2021秋•江都区月考)如图,圆形纸片。O半径为病,先在其内剪出2个边长相等的最
大正方形,再在剩余部分剪出2个边长相等的最大正方形,则第二次剪出的正方形的边
长是.
【分析】连接AB、OE,过O作OF_LDE于F,设BC=x,DE=y,由圆周角定理得AB
是。O的直径,AB=2OA=2√5,再在R/4ABC中,由勾股定理得出方程,求出尤=2,
然后在RfAOEF中,由勾股定理得出方程,求解即可.
【解答】解:如图,连接AB、OE,过O作OFJ_DE于F,
贝IJDF=EF,
设BC=X,DE=y,
由题意得:ZC=90o,AC=2BC=2r,
ΛAB是直径,
ΛAB=2OA=2√5,
在R∕Z∖ABC中,由勾股定理得:/+⑵)2=(2√5)2,
解得:x—2,
则BC=2,
21
在RAOEF中,由勾股定理得:gx2+y)+(-y)2=(V≡)2,
2`
解得:)=二竽为(负值已舍去),
即第二次剪出的正方形的边长是一—4+ɪ4
—4+4∖∕6
故答案为:-------
圆周角定理、勾股定理、正方形的性质;熟练掌握圆周
角定理和勾股定理是解题的关键.
三.解答题(共4小题)
9.(2022秋•东台市期中)如图,已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、
C.若A点的坐标为(0,4),C点的坐标为(6,2),
(1)根据题意,画出平面直角坐标系;
(2)在图中标出圆心M的位置,写出圆心M点的坐标(2,0)
【分析】(1)根据给出的点的坐标画出平面直角坐标系;
(2)根据垂径定理、三角形外心的性质解答.
【解答】解:(1)平面直角坐标系如图所示:
(2)由平面直角坐标系可知,
圆心M点的坐标为(2,0),
故答案为:(2,0).
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理,掌握垂直于弦的直径平分这条弦,并且平
分弦所对的两条弧是解题的关键.
10.(2020秋•东台市月考)如图所示,要把残破的轮片复制完整,已知弧上的三点A,B,
C.
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)设AABC是等腰三角形,底边BC=8cm,腰AB=5c%,求圆片的半径R.
【分析】(1)作两弦的垂直平分线,其交点即为圆心O;
(2)构建直角4B0E,利用勾股定理列方程可得结论.
【解答】解:(1)作法:分别作AB和AC的垂直平分线,设交点为0,则0为所求圆
的圆心;
(2)连接AO、BO,AO交BC于E,
VAB=AC.
.∙.AE±BC,
11
ΛBE=5BC=/8=4,
在R∕∆ABEΦ>AE=>∣AB2
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