2023-2024学年北京市大兴区高一年级下册期中数学质量检测模拟试题

2023-2024学年北京市大兴区高一下册期中数学质量检测模拟试题

一、单选题

ɪ.复数Z=LU(i是虚数单位)在复平面内对应的点在

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正确答案】D

【详解】试题分析：Z=w=α*=ir∙,对应点的坐标为a,-。，在第四象限内.

Il×l

1.复数的计算；2.复数与点的对应关系.

2.已知向量α=(lj),6=(3,9),若；〃力，则，=(

【正确答案】C

【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数，的等式，即可得解.

【详解】因为"/力，则3f=9,解得£=3.

故选：C.

3.已知根，〃为异面直线，mu平面α,“u平面尸、aβ=l,则/()

A.与〃?，"都相交B.与切，“至少一条相交

C.与相，“都不相交D.至多与根，w中的一条相交

【正确答案】B

【分析】由题意画出满足条件的图象，结合异面直线的定义，得到正确选项.

【详解】若/与都不相交，则〃∕m,IHn,则机〃〃，这与北〃是异面直线矛盾;

故C不正确；

如图，/与”,〃中的一条相交，另一条不相交，

也可以与两条都相交，但不交于同一点,

α

m

如图

综上：/与"，”中的至少一条相交.

故选：B

本题考查判断直线与直线的位置关系，意在考查空间想象能力，属于基础题型.

4.将函数F（X）=Sin2x的图像向左平移TT9个单位后，与函数g（x）的图像重合，则函数g（x）=∙

O

A.sin（2x-^）B.Sin（2x+e）C.sin（2x-1）D.sin（2x+］）

【正确答案】D

【详解】分析：根据图像平移即得g（x）解析式.

详解：由题意可知8。）=/1+弓卜皿21+胃=$始（2%+曰），故选D.

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以

也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母X而言.

5.已知tana=2,则sin2α=()

【正确答案】C

应用二倍角公式变形后再转化为关于Sina,cosa的二次齐次式，化为tan，的式子，然后代入计算.

,口、.CC-2sinσcosα2tana_2×2_4

［详解］sɪn2a=2sin«cos«=——--------—

sinSα+co5s^atan2α+I22+15

故选：C.

6.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,则“a=b”是“acosB=bcosA”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】由正弦定理分别检验问题的充分性和必要性，可得答案.

【详解】解：充分性：在AABC中，由α=6,可得NA=N3,所以αcosB=ACOSA,故充分性成立；

必要性：在AABC中，由“cos3=AcosA及正弦定理，可得SinACoS3=sinBcosA,

可得Sin(A-8)=0,NA=NB,故α=6,必要性成立；

故可得:在AABC中,角A,B,C所对的边分别为α,b,c,则是“αcos3=6COSA”的充

分必要条件，

故选C.

本题主要考查充分条件、必要条件的判断，相对不难，注意正弦定理的灵活运用.

7.已知ABC外接圆的圆心为。，且AO=g(AB+AC),则AS与AC的夹角为()

ʌπC花「.兀一兀

A.-B.—C.—D.一

6432

【正确答案】D

【分析】由中线的向量公式得。是BC中点，它又是三角形的外心，从而得三角形为直角三角形.

【详解】如图，取BC中点£>,连接AD,则

11.1

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-(AB+AC),

222

又AO=；(AB+AC),所以AO=AO,即。与D重合，

所以。是BC中点，又。是45C外接圆的圆心，

所以AB14C,

即AB与AC的夹角为:.

故选：D.

8.若A、B是锐角AABC的两个内角，则点P(COSB-SinA,SinB-COSA)在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【正确答案】B

【详解】因为^∙(A+8(›τ,.∙.m;A)5-B>0,.∙.sinA>sin(5-B)=cos8,

.∙.cosB-sinA(0,同理sinB-SA)0,所以点P在第二象限.

9.如图，已知某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（5+°）+h（其中A>0,

ω>0<∣<^<π）,那么12时温度的近似值（精确到1℃）是（

D.28℃

【正确答案】C

【分析】利用图象求出三角函数解析式，然后求函数值.

r`MAnI-Z-→.30—10八j30+10ʌʌ

【详解】由H题意CAΛ=---=10,b=---=20,

22

T=2×(14-6)=16,=-=-

ωT8f

TrTrjr3

6×-+φ=2kπ——，R∈Z,又一<φ<τt,所以°=一兀，

8224

TT3Jr

所以y=10sin(-X+2—)+20,

84

X=12时，y=10sin(-×12+-)+20=10sin-+20=5√2+20≈27(oC).

844

故选：C.

10.如图，正方形ABCz）的边长为6,点E、F分别在边A。、Be上，且DE=2AE,CF=IBF,

如果对于常数2,在正方形ABS的四条边上，有且只有6个不同的点P使得尸E∙PF=>l成立，那么

2的取值范围是（）

A.(0,7)B.(4,7)

C.(0,4)D.(-5,16)

【正确答案】C

由题画出图形,设瓦'的中点为。,则PE+"=?。。，可解得BOI=Jl再，讨论点P在每一条边上

[PE-PF=FE11

时，忸。|的取值范围，进而求解即可得选项.

【详解】如图所示，

PE+PF=2PO

设EF的中点为0,则〈r,,两式平方相减得4PE∙PF=4PO2-EF2,所以

PE-PF=FE

PE-PF=PO2-9=λ<即尸02=4+9,所以∣P°∣==4+9，

①当点P在。C上时，

当P在。C的中点处时，卜。∣="iW=4,此时；1=7,

当P在。C的中点两侧(非端点A、。)时，4<∣PO∣=√Σ+9<5,此时7<>l<16,

②当点P在AB上时，

当P在AB的中点处时，∣PQ∣=√ΓiW=2,此时几=—5,

当P在AB的中点两侧(非端点A、8)时，2<∣PO∣=√Σ+9<√B,此时-5<2<4,

③当点尸在AO上时，

当P在点E处时，IPOI=J币=3,此时4=0,

当3<卜0|=反？<JB,此时0<∕l<4,点P有2个满足3<pO∣=√ΓiK<Ji3的点；

当Ji5<pO∣=JI再<5,此时4<2<16,点P有1个满足而<∣PO∣="^<5的点;

④当点P在BC上时，

当P在点尸处时，IM=J占+9=3,此时4=0,

当3<∣PO∣=√ΣT^<√i5,此时0<4<4,点P有2个满足3<pO∣=√ΣT^<√^的点；

当√ii<po∣=√Γ^<5,此时4<2<16,点P有1个满足√H<po∣=√Γ^<5的点；

⑤当P在点A处时，IPoI=Jl再=内，此时/1=4,当P在点B处时，IPoI=Jr^=瓦，此时;I=4,

当P在点C处时，IPOI=√^=5,此时;1=16,当P在点Q处时，卜0∣=√Γ百=5,此时2=16,

综上得：当4=-5时，有1个满足条件的点P；

当-5<2<O时，有2个满足条件的点尸；

当2=0时，有4个满足条件的点P；

当0<∕l<4时，有6个满足条件的点P；

当4=4时，有4个满足条件的点尸；

当4<2<7时，有2个满足条件的点P；

当4=7时，有3个满足条件的点P；

当7<2<16时，有4个满足条件的点P；

当几=16时，有2个满足条件的点P；

故选:C.

本题考查数量积的应用，考查数形结合思想，属于中档题.

二、填空题

11.已知复数Z=i(2+i),则IZI=—.

【正确答案】√5

【分析】先计算复数，再根据复数的模的定义求结果.

【详解】由z=i(2+i)=2i-l,故IZl=J22+(-1)2=石.

故石

12.已知正方形ABCZ)的边长为2,则AB∙AC=.

【正确答案】4

【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.

【详解】因为正方形ABCD的边长为2,所以NC4fi=45。，∣A3∣=2,∖AC∖=y∣∖AB^+∖BCf=2√2,

所以W=M∙kc∣cosNCA8=2x2√Σx拳=4.

故4

13.若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是.（只需写

出一个可能的值）

【正确答案】26+'叵或α或独亘如

24

【分析】由题意画出一种满足条件的图形,求解表面积即可

【详解】由四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体如图，

①四面体各棱中有一条为1，另五条为2,

不妨取三条侧棱长均为2,底面边长BC=Bg.,CD=I.

A

C

其表面积为2x,x2X百+2XLXIX=26+，叵.

22V42

故其表面积为26+恒.

2

②四面体各棱中有两条为1,四条为2,

由三角形两边之和大于第三边，可知边长为1的必为对棱.

如图示，

A

C

四个面全等，所以表面积为4χ1χlX∖%]]=√im.

2V4

③四面体各棱中有三条为1,三条为2,

由三角形两边之和大于第三边，可知边长为1的必在同一个面内.

如图不:

A

C

匚匕I、1-4--7—χʌrz,11∣~.1^1I"1"3Jl5+ʌ/ɜ

所以表f面积π为3×-×1×∕4——+—xlXJl——=-------------.

2ΛV42V44

故答案为：2出+叵或屈或士叵正

24

14.已知函数"x)=sin(2x+e),若/(卷)-/(一普)=2,则函数/(x)的单调递增区间为

【正确答案】f⅛π-⅞,⅛π+^l⅛∈Z

【分析】先求出函数解析式/(x)=sin0x+g],再列不等式组求单增区间.

【详解】因为函数/(x)=sin(2x+e)的最大值为1,最小值为-1,且/闾Ti-If)=2=1-(-1),

所以dS)=l∙∙∙∕+9=9+25(%eZ)∙

∖IZyOZ

所以*=g+2k万(AeZ).∙.f(x)=Sin(2x+g+2k;r)=sin(2%+小.

要求函数/(x)的单调递增区间，只需

2x+-&\--+2kπ,-+2kπ∖,keZ=>xe∖--+kτt,-+kτr∖,kGZ

3(22J(1212)

所以单调增区间为。π-罢,Aπ+=],kwZ.

三、双空题

15.如图，在棱长为2的正方体A88-A耳GP中，E为对角线司。上一点，M,N为对角线Ae上

的两个动点，且线段MN的长度为1.(1)当N为对角线AC的中点且OE=&时，则三棱锥E-ZMzN的

体积是;(2)当三棱锥E-OMN的体积为］时，则OE=

【详解】由正方体性质可知：ACL平面8。片，所以VEaMN=VM-DNE=gs^NE∙MN,由题丹。=2百，

当。E=夜时，设E到底面ABCD的距离为h,则I=",所以力=如，因此

2623

VE-DMN=VM-DNE=|SmNE∙M^V=1∙ɪ■√2..1=；若三棱锥E-DMN的体积为:,则易知ADMN

的面积为Lv设E到底面ABCD的距离为〃'，则』=L正"，所以"=&,根据

222332

三角形相似有绊=变，所以。E=#.

2√32

方法点睛：本题在求三棱锥E-ZwN的体积时，需要AD脑V的面积，虽然MN是动点，但是MN的

长度固定为1,且D到直线AC的距离可求，即D到MN的距离可求，所以ΔDMN的面积易求，另

外E到地面的距离为棱锥的高，根据体积可以求，求DE长度时，主要是运用平面几何的三角形相似,

体现了立体几何与平面几何的联系.

四、解答题

16.已知同=4,忖=8,4与6的夹角为g.

⑴求卜+可；

⑵当k为何值时，(a+2b)l(kd-b)?

【正确答案】(1)4石

⑵氏=-7

【分析】(1)根据向量数量积定义和运算律可求得卜+叶，进而得到卜+可；

(2)由向量垂直可得(α+28)∙(履-q=0,根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.

【详解】(1)a`b=p∣∙∣⅛∣cos<Λ,Z?>=32cos^=-16,

.,.∣6F÷⅛∣=∣tz∣2+2cr∙⅛+∣⅛∣=16-32+64=48,∣6∕÷⅛∣=4Λ∕3.

(2)由(a+2Z?)_L(N—〃)得：(α+2θ)∙(版一A)=HH2+(2左一1)。•。-2忖2=164一16(2左一1)-128=0,

解得.k=-7

17.已知函数/(6=$皿2了+2852》一1.

⑴求/(x)最小正周期；

⑵求〃x)在区间上鼻上的最大值和最小值.

【正确答案】(D兀

(2)最大值为正，最小值为-1

【分析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数关系式，根据三角函数周期公式计算即可;

(2)利用整体代换法结合三角函数的性质计算即可.

【详解】(1)由题意/(x)=sin2x+2cos2X-I=Sin2x+cos2x=&sin(2x+：)

其最小正周期Tw2ττ=Tr

(2)Xe0,1时，2X+-G,则2x+：=：,即X=E时，/(x)取得最大值后，

2x+^=y,即X=］时，/(x)取得最小值-L

18.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2=递，A+3C=π.

c3

(1)求COSC的值；(2)求SinB的值；(3)若6=3√L求△ABC的面积.

【正确答案】(1)COSC=3•(2)SinB=2垃,(3)S=处ɪ

334

【详解】试题分析：(I)由已知得B=2C∙应用正弦定理及二倍角的正弦公式得挛=2SinCrC,

3SinC

化简即得.

(H)根据Ce(Oz),得到SinC=川-cos?C=乎.由sin3=sin2C即得.

(III)由B=2C,求得CoSB=COS2C,sinA=sin(B+C),再据2=b=3»,求得c=2.进

c32

一步即得三角形面积∙

试题解析：（I）因为A+8+C=4，A+3C=乃，所以8=2C.

hcbsinB2√32sinCcosC

又由正弦定理，得

sinBsinC,sinC3sinC

化简得，cosC=—

3

(II)因为C∈(0∕),所以SinC=Jl—co。C=昌=9

所以sin8=sin2C=2sinCcosC=2×^-×-=・

333

(III)因为B=2C,

所以cos3=Cos2C=2cos2C-I=2x(-1=-；

所以SinA=sin(B÷C)=

因为9=辿，b=3&,所以c=g.

c32

所以△ABC的面积S=ɪ⅛csinA=ɪ×3∖∣3×-×.

22294

1.和差倍半的三角函数；2.正弦定理的应用；3.三角形面积.

19.如图，在正方体A3CO-A4GA中，E为BBl中点,Bc与平面AQE交于点尸.

⑴求证：BC"/面ARE；

⑵求证：尸为MG的中点.

【正确答案】（1）证明见解析.

（2）证明见解析.

【分析】（1）证明A0//8G，然后由线面平行的判定定理得证;

（2）由线面平行的性质定理得线线平行，从而可证得结论成立.

【详解】Q)因为AB与Ca平行且相等，所以ABGR是平行四边形，所以AR//BG，

又AAU平面AqE,BGa平面ARE,

所以BCJ/平面AAE；

(2)由(1)BCJ/平面AQE,8弓匚平面8。。£,平面AQEn平面BCG旦=EF,

所以BCJ/EF,又E是BBl中点,

所以F是AG中点.

20.在二ABC中，角A,B,C所对的边分别是。，b,J已知(α+c)(α-c)=6(A+c).

(1)求角A的大小；

(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.

若6=3,c=4,点。是BC边上的一点，且__________.求线段Af)的长.

①AD是“ABC的高；②AD是..ABC的中线；③A。是ABC的角平分线.

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.

【正确答案】(1)A=,；(2)具体见解析.

9TT

【分析】(1)由题得Z√+c∙2-/=-be,进而根据余弦定理可得A=/；

(2))选①，由余弦定理得〃=如，进而根据等面积法求解即可；

选②，根据Ab=g(A⅛+λb)并结合向量的模计算即可；

选③，根据SMBC=SMCD+S&ABD计算即可得答案.

【详解】解：(1)因为(α+c∙)(α-c)=bS+c),所以整理得从+c?—/=一人。，

所以由余弦定理得cos4=空14=、，

2bc2

因为Ae(0∕),所以A=g

(2)选①，4。是_ABC的高

由余弦定理得/=⅛2+c2+⅛c=9+16+12=37,所以〃=历

G

所以根据等面积法S=L历SinA=!夕A。得4八儿SinA⑵76√^6√ΓTT;

22AZJ=----------=———=——=---------

al√37l37

选②，A。是.A6C的中线，

则由于—>—>—>—>

G=[(AB+ACJ,所以AD÷2AB∙AC

4

所以Ab=；(/+b2+2c∙h∙cosA)=；