2022-2023学年北京市顺义区牛栏山一中高三年级上册期中考试数学

牛栏山一中2022∙2023学年度第一学期期中考试

数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

S={Λ∣-2<X<1}T={Λ∣0<X<2∣CT

1.已知集合LJ,11J,则》/()

A.(0,1)B.(1,2)C.(-2,2)D.(-1,0)

2.设d=(l,-2),⅛=(-3,4).¢=(3,2),则(α+b)∙C=()

A(-6,4)B.-2C.5D.(1,4)

3.下列每组双曲线中渐近线都为y=±*2χ是()

222222

y

C.J-1jXr-1D1,

39-----------39∙⅜^T=

4.抛物线V=8χ的准线过双曲线/一卷=ι(∕,>o)的左焦点，则双曲线的虚轴长为()

A.8B.2百C.2D.4月

5.给出三个等式：/(∙Xlx2)=∕(x,)+∕(⅞)./(XI+Λ2)=∕(X,)∕(Λ2),/(x)+∕(π+x)=O.下列

函数中不满足任何一个等式的是()

A./(x)=lgxB./(x)=e*

C./(x)=sin%D./(x)=tanx

TT

6.已知“和〃是两个互相垂直的单位向量，c=α+∕U>(4eR),则;1=1是d和d夹角为,的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.圆+>2=ι上的点P到直线ACOSe+*inθ=4(。∈R)的距离为“，点P和。在变化过程中，d

的最小值为O

A.1B.2C.3D.4

8.在平行四边形ABCr)中，E是边CD的中点，AE与BD交于点F.若AB=",AD=b，则AF=()

13,2r1r

A.—ciA—bB.—ci÷—bC.—d+—bD.—a+—b

44334433

9.函数/(x)=sin2x图象上存在两点P(s,f),Q(M”())满足r—s.,则下列结论成立的是O

D,4上］=一3

10.已知曲线C:(Y+y2)3=4x2y2,则下列说法正确有几个()

(1)C关于原点对称；

(2)。只有两条对称轴；

(3)曲线。上点到原点最大距离是1；

(4)曲线。所围成图形的总面积小于兀；

A.1B.2C.3D.4

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

H.α=(CoSaSin6),ZJ=(1,1),若。//〃，则tan。=.

12.如图，正六边形ABCDM的边长为1,(AB+BC+CD〉OE=.

13.若/(x)=αsin[x+?)+加缶卜一7)(。匕≠°)是奇函数，则有序实数对可以是.(写出

你认为正确的一组数即可).

14.若函数〃X)TX；一Cl’满足存在fcR使/(x)=f有两个不同的零点，则”的取值范围是.

15.己知圆/+〉2=]6和定点/>(2,0),动点M在圆上，。为PM中点，。为坐标原点.则下面说法正

确的是.

①点。到原点的最大距离是4；

②若一OMP是等腰三角形，则其周长为10；

③点。的轨迹是一个圆;

④NOMP的最大值是B.

6

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(x)=2CoSXCOSe-XJ-6C(os2X-sin2x).

(1)求函数/(x)的单调增区间；

⑵若/(x)在一根>一2)上的值域为［-2,2),求m值.

17.设_?16。的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且有2sinβcosA=sinAcosC+cosAsinC

(1)求角A大小；

(2)从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使JIBC唯一确定，并求JIBC的面积.

条件①：AB边上的高为石；

条件②：a=y/1，b=3；

条件③：a=5,sinB=3sinC.

2

18.椭圆「r：一+/=].

4

(1)点C是椭圆「上任意一点，求点C与点。(0,2)两点之间距离d的最大值和最小值；

(2)A和B分别为椭圆「的右顶点和上顶点∙P为椭圆「上第三象限点.直线与轴交于点M,直

线*轴交于点M求隔H制〔

22

19.已知椭圆C:*+1-=l(α>0)的焦点在X轴上，且经过点七(2,8)，左顶点为。，右焦点为F.

(1)求椭圆C离心率和QEF的面积；

(2)已知直线y=丘+1与椭圆。交于A,B两点.过点8作直线y=4的垂线，垂足为G∙判断直线AG

是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由.

InY

20.已知x=l是函数"X)=-----InX+ln(ox+2)的一个极值点.

ɪ+X

(1)求。值；

(2)判断〃X)的单调性;

(3)是否存在实数〃?，使得关于X的不等式/(x)≥机的解集为(0,+8)?直接写出用的取值范围.

21.已知有限数列A：%,%，••・，小ΛN≥3且N∈N*)各项均为整数，且满足Tl=I对任意i=2,

3,...,N成立.记S(A)=4+4+…+乐.

⑴若q=3,N=6,求S(A)能取到的最大值;

⑵若N=2022,求证：S(A)H0；

(3)若S(A)=IOON(这里N是数列的项数)，求证：数列A中存在q(l≤左≤N)使得％.=100.

牛栏山一中2022-2023学年度第一学期期中考试

数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

口…八S=N-2<x<l}Γ={Λ∣0<Λ<21,eτ,、

1.已知集合LJ,11J,则RΙL》/()

A.(0,1)B.(L2)C.(―2,2)D.(-1,0)

【答案】C

2.设α=(l,-2),b=(-3,4)>c=(3,2),则(α+∕>)∙c=()

A.(-6,4)B.-2C.5D.(1,4)

【答案】B

3.下列每组双曲线中渐近线都为y=±Y3χ是()

3

1,y2-X2=3

【答案】A

2

4.抛物线V=8χ的准线过双曲线/—#=](/,〉o)的左焦点，则双曲线的虚轴长为()

A.8B.2√3C.2D.4√3

【答案】B

5.给出三个等式:/(X∣Λ2)=/(X∣)+∕'(w),/(玉+±)=/(3)/(%2)，/(X)+/(兀+x)=°∙下列

函数中不满足任何一个等式的是()

A./(x)=lgxB./(x)=e*

C./(x)=SilUD./(x)=taιu∙

【答案】D

JT

6.已知α和。是两个互相垂直的单位向量，c=α+∕½(∕l∈R),则4=1是C和α夹角为7的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

7.圆。：》2+卜2=1上的点尸到直线底05。+为118=4(。€1i)的距离为"，点/3和。在变化过程中，d

的最小值为O

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

8.在平行四边形ABC。中，E是边Co的中点，AE与BD交于点F.若A8=n,AD=b>则AE=()

1.32r1r31,12,

A.—QH—bfB.—Cl+—bC.—UH—bD.—ClH—b

44334433

【答案】D

9.函数/(x)=sin2x图象上存在两点尸(sj),Q(r,。(/>0)满足rτ=f,则下列结论成立的是()

6

10.已知曲线C[χ2+y2)3=4χ2y2,则下列说法正确的有几个()

(1)C关于原点对称；

(2)C只有两条对称轴；

(3)曲线。上点到原点最大距离是1；

(4)曲线。所围成图形的总面积小于兀；

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.α=(cose,sine),Z>=(1,1),若“//〃，则tan。=.

【答案】1

12.如图，正六边形48Cz)M的边长为1，(AB+8C+Cθ)∙OE=.

【答案】-1

13.若/。）=制皿［尤+?）+加由卜-7,"/0）是奇函数，则有序实数对（α,h）可以是.（写出

你认为正确的一组数即可）.

【答案】（U）（答案不唯一）

XCl

14.若函数〃X）=；一’满足存在fcR使/（x）=f有两个不同的零点，则”的取值范围是.

、X,X∙>a.

【答案】（-8,（））5°，O

15.己知圆V+/=16和定点P（2,0）,动点M在圆上，。为PM中点，。为坐标原点.则下面说法正

确的是.

①点。到原点的最大距离是4；

②若-OMP是等腰三角形，则其周长为10；

③点。的轨迹是一个圆；

TT

④/OMP的最大值是：.

6

【答案】②③④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(X)=2cosxcossin，).

（1）求函数/（x）的单调增区间；

（2）若/（x）在一一A）上的值域为［-2,2）,求加值.

Tr5乃

【答案】(1)-++&乃(k∈Z)

【解析】

【分析】（I）由诱导公式、二倍角公式和两角差的正弦公式，化简函数/（X）为一个角的三角函数形式,

然后结合正弦函数的性质求解；

71

（2）求出的范围，结合正弦函数的性质可求加值.

【小问1详解】

解：已知/(X)=2cosxcos--X-ʌ/ɜ(cos2x-sin2x)=2cosɪ-sinɪ-ʌ/ɜcos2x=sin2x-y∣3cos2x

冗冗冗

增区间为：----F2Λττ≤2x----≤—]r2k兀

232

Jr5冗

所以，函数/（x）的单调增区间为一五+版∙,=+br（ZeZ）.

【小问2详解】

解：已知Xe—§，机）（加>一，

⅛2m,

3

.TT-TT

即α一7t,,LX---<2m----,

33

因为，值域为[-2,2）,

、兀π5π

2m--=—=>根=——.

3212

17.设一ABC的内角4,B,。所对边的长分别为〃，b,c9且有2sinBcosA=SinAcosC+CosAsinC

（1）求角A的大小；

（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使一ABC唯一确定，并求j4BC的面积.

条件①：AB边上的高为6；

条件②：a=S，b=3•,

条件③：Q=J7，sinB=3sinC.

【答案】（1）ɪ

3

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）注意到已知等式右边为sin8,可得CoSA=

2

（2）若选择①，结合（1）只能求得A

若选择②，结合（1）和正弦定理，可求得sin8.

若选择③，结合（1）和正，余弦定理，可求得b,c.

【小问1详解】

由题2sinBcosA=SinAcosC+CosAsinC=Sin8,因sin5≠（）.

i兀

则CoSA=一，因4为三角形内角，所以A=-.

23

【小问2详解】

若选择①，设AB边上的高为/几=√3,

则4B=bsinA,得6=2.因题目条件不足，故JBC无法唯一确定.

ah

若选择②，由正弦定理及(1),

sinAsinBsinC

√7_3SinB=

.因女叵>正，又题目条件不足，故无法判断8为钝角还是锐

有ʌ/ɜsinB14

142

2

角，则JWC无法唯一确定.

b

若选择③，由正弦定理，及sinB=3sinC,

sinAsinBsinC

则/=3C又由余弦定理及(1),

b2+c2-a2IOc2-7ɪ

有cosA

2hc6C22

得C=1,Z?=3.

LSA=11x3XE=述

此时.A5C唯一确定，S&ABCm

2224

综上选择③时，ABC唯一确定，此时ABC的面积为地

4

2

18.椭圆—工+/=1.

4-

(1)点C是椭圆「上任意一点，求点C与点。(0,2)两点之间距离d的最大值和最小值；

(2)A和8分别为椭圆「的右顶点和上顶点.尸为椭圆「上第三象限点.直线P4与轴交于点M,直

线好轴交于点M求喘H制•

【答案】(I)ʤ*dmin=1

(2)1

【解析】

【分析】(1)设C(AO,%),y0∈[-l,l],计算得到d=J_3(%+g]+g,根据二次函数的性质得到

最值.

(2)过点P作PG_Lx轴于G,过点P作轴于"，设P(%,y),利用相似计算得到答案.

【小问1详解】

2

设c(∙⅞,%),%G[—11]，则寸-+y(f=i，

d=ICDl=7ΛO2+(ʃo-2)2=λ∕-3%2-4%+8=J-31%+∣J+g，

当先=一|时，41m=符=率，当y°=ι时，cim,=∖.

【小问2详解】

如图所示：过点P作PG，X轴于G,过点P作PHLy轴于H,设P(Al,y),

19.已知椭圆C：，+?=l(a>0)的焦点在X轴上，且经过点£(2,、6)，左顶点为。，右焦点为尸.

(1)求椭圆C的离心率和_DEF的面积；

(2)己知直线y=依+1与椭圆C交于A,B两点.过点8作直线y=4的垂线，垂足为G∙判断直线AG

是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)e=乎；SDEF=Q+2

(2)直线AG经过定点理由见详解.

【解析】

【分析】(1)由椭圆C经过点代入椭圆方程求得/=8,结合。2=。2_02,解得C的值，进

而求得离心率和JDEF的面积；

(2)由直线y="+l与椭圆。交于4,B两点,则说明斜率存在，

所以分A=0,k≠3进行讨论找出直线过得点.

【小问1详解】

22

由题意，椭圆C：q+《=l(a>0)经过点石(2,、历)，

42L

可得=+二=1，解得a2=S=>a=2Λ∕2，

a4

即椭圆C:《+匕=1,

84

因为H=/_尸=8_4=4,即c=2,

所以椭圆C的离心率为e=£====也，

«2√22

又由左顶点为D,右焦点为尸，所以。(―2√Σ,()),/(2,0),

所以.Z)E9的面积为S,"F=gx∣OF∣x仅E∣=gx(2+20)x血=血+2

【小问2详解】

由直线y=去+1与椭圆C交于A,B两点、

所以当k=0时，直线为y=l与椭圆。交于A,B两点

-X--+--1I-

由,84解得：X=±√6

J=I

令Λ(-√6,l),B(√6,l)，此时G(√6,4)

4—1ʌ/ð

所以KG

,>/6—(—,\/6)4

^(x+√6)

所以直线Λ小U：*＞z-1

即(AG：>="*+，‘令χ=o=>y=g

AGj422

所以直线AG是经过定点

|sJS?fA(>∕6,1),β(-∙s∕6,1),则/,c:y=—XT—

42

令X=Ony=g

所以直线AG是经过定点,(I

当ZHO时，由直线y=履+1与椭圆C交于A,B两点

设A(XQi)K%,必)

y=kx+∖

联立方程组，/2,

—+2-=l

184

整理得(2k2+l)x2+4fcc-6=0,

-Ak-6

则…2=赤Tg=赤F

23

所以X1+尤2=—kxj2=›x↑x2=——(Xl+x)

32Zc2

.y—4

设点G(∕,4),所以旗G=」1一

X1-X2

V.—4V1—4

AG的方程为>—4=-!——(x-x2)=>y=——(x—々)+4,

X1-χ2X1-X2

令X=。，可得y=W生+4=&S

Xj-X2X1-X2

ZI3355

4Λ1-x2-xl-x2xi-x25

xi-x2xi-X22

所以直线AG经过定点,(I，

综上可得，直线AG经过定点(。，胃.

Itvr

20.已知X=I是函数/(%)=------lnx+ln(∏Λ+2)的一个极值点.

(1)求。值；

(2)判断/(x)的单调性;

(3)是否存在实数m,使得关于X的不等式/(x)≥，〃的解集为(0,+8)?直接写出机的取值范围.

【答案】(1)a=2

(2)函数在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

(3)存在，m∈(-∞,ln2]

【解析】

【分析】(1)求导得到导函数，根据/'(1)=。计算得到答案.

(2)求导得到r(χ)=7τ"⅛,根据导数的正负得到单调区间.

(ι+χ)

___2

⑶先证明ln(l+x)<x,ln(l+x)<jm,计算得至IJy(X)>In2,且/(x)<-^^+ln2,得到

√Λ÷1

答案.

【小问1详解】

111

1∏Λ—F1—InX1

/(X)=-lαr+ln(αr÷2),则,=__________ɪ∣a

1+x(I+%)?%0r÷2

1,

---F1—1∩X]

a2a

r⑴=ɪ----------------+-----二——41+--------0解得α=2.

(l+x)2XOr+24。+2

1

—F1—I1nX[

2_-Inx

/(χ)=^——--1+

U(ι+χ)X^^=(1+X)2

当x∈(0,l)时，用x)>0,函数单调递增;

当X∈(1,+CQ)时，/'(x)<0,函数单调递减.

故x=l是函数的极大值点，满足.

【小问2详解】

-Inx

(l+x)2'

当Xe(0,1)时，用χ)>0,函数单调递增;

当Xe(I,+∞)时，∕,(χ)<0,函数单调递减.

【小问3详解】

/3点・2g])+ln2/皿+l)=]+g+l)+hι2,

当x∈(0,÷∞),易知In(X+1)-InX>0,In(X+l)>0,故/(x)>ln2.

故m<ln2,满足条件.

当x∈(0,+∞)时，设g(x)=ln(l+X)-X,故g<χ)=--------1=———<0,

X+1X+ɪ

故g(x)<g(0)=0,即In(I+x)<x,

当XG(OM)时，设MX)=In(I+x)-后，S)=Ar七=与哥,

2―+X

当x∈(0,3)时,〃'(x)C/八〉0,函数单调递增；

2(%+l)

当x∈(3,∙κo)时，"(x)=—八-<O,函数单调递减;

2(Λ+1)

故⅛(x)≤〃⑶=In4-2<O,故In(I+x)<y/T+x.

In(X+1)X,—F-∖fx+Λ

可㈢+2

/(X)=------------+ln2<X+In2<-/+In2

x+1x+1Jx+1

即/(x)可以无限接近ln2∙

综上所述：m∈(→χ>,In2].

【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，意在考查学生

的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中放缩的思想是解题的关键.

21.己知有限数列A：al,a2,...,a”(N≥3且N∈N*)各项均为整数，且满足∣4—%|=1对任意i=2,

3,...,N成立.记S(A)=4+4+…+ɑʌ,.

⑴若q=3,N=6,求S(A)能取到的最大值；

(2)若N=2022,求证：S(A)=O;

(3)若S(A)=IooN(这里N是数列的项数)，求证：数列A中存在α*(l≤左WN)使得%=100.

【答案】(1)33(2)证明见详解

(3)证明见详解

【解析】

【分析】(1)根据题意结合累加法和等差数列求和运算求解