2023-2024学年新疆哈密市高二年级上册期末考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年新疆哈密市高二上册期末考试数学

模拟试题

一、单选题

1.已知直线经过点力(3,-1)和点5(0,2),则直线的倾斜角为()

A.30°B.60°C.120°D.135°

【正确答案】D

【分析】设直线的倾斜角为。，求出直线的斜率即得解.

【详解】设直线的倾斜角为口，

由题得直线的斜率为^=tana=-=-1,

-3

因为04a<180°,

所以a=135°.

故选：D.

2.椭圆看+产=1上一点尸与焦点6的距离为5,则点尸与另一个焦点乙的距离为()

A.6B.7C.8D.9

【正确答案】B

【分析】利用椭圆的定义可得解.

【详解】根据椭圆的定义知，|?制+|?周=2a=2x6=12,

因为|尸周=5,所以|尸玛|=12-5=7.

故选：B.

3.己知等差数列｛%｝的前〃项和为S,且$7=7,几=75,贝的通项公式为()

n5n5

A.一+一B.

444~4

n5n5

C.D.

222~2

【正确答案】D

【分析】根据等差数列前〃项和的公式可推导为等差数列，再计算首项与公差求解即

可.

【详解】设。“=切+6,(NeN*,A,6eR),则2=好+必"处_=强+也幺为等差数列.

n2n22

设等差数列d,=2的公差为d,由$7=7,&=75,则4=M=1,九=.=5,故

n715

>=昌=；'4=-2,故4=L2+；(1)=",即图的通项公式为

故选：D

4.过点尸(2,3)引圆/+/一2》+4卜+4=0的切线，其方程是()

A.x=2B.12x-5y+9=0

C.5x-12y+26=0D.x=2和12x-5y-9=0

【正确答案】D

【分析】根据题意，分析圆的圆心和半径，分切线的斜率是否存在两种情况讨论，求出切线

的方程，综合可得答案.

【详解】解：根据题意，圆x?+「-2x+4y+4=0,

即(x-l『+(y+2)、l,其圆心为(1,-2),半径r=l；

过点尸(2,3)引圆/+门-2x+4y+4=0的切线，

若切线的斜率不存在，切线的方程为x=2,符合题意；

若切线的斜率存在，设其斜率为4，

则有y-3=k(x-2),

即Ax—y+3—2左=0,

则有j尸i+公!=1

解得人¥，

17

此时切线的方程为V-3=?(x-2),

即12x—5y—9=0.

综上：切线的方程为x=2和12%—5丁-9=0.

故选：D.

5.圆(x-iy+_/=4截直线/：>=%(x-2)+l所得的弦长最短为()

A.孝B.1C.V2D.272

【正确答案】D

【分析】先判断得点M在圆C内部，再结合图像与弦长公式得到当CM，/时，弦长取得最

小值，由此得解.

【详解】因为直线/：，=%(x-2)+l恒过定点M(2,l),又(2-丫+12＜4,

所以点M在圆C：炽-1)2+/=4内部，

因为圆C：(XT)2+J?=4的圆心为C(1,O),半径-2,

因为弦长为|/同=2/2一/=2〃々2,当d最大时，弦长最短，

所以当CM_L/时，4=|CM|最大，则弦长MH最短，

又|CA1|=^/(2-1)2+(1-0)2=V2.

所以|力同=2^4-ICMp=2V2.

6.已知双曲线《-且=1的一个焦点是(0,2),则实数加的值是()

m3m

A.1B.-1C.-亚D.叵

55

【正确答案】B

【分析】先根据焦点坐标判断焦点所在轴，再由/+〃=02计算即可.

【详解】由焦点坐标，知焦点在＞轴上，所以机＜0,

可得双曲线的标准方程为£-二=1,

一3"-m

由Q?+/=/可得一加—3加=4,可得〃7=-1.

故选:B.

7.已知抛物线C：7=_12X的焦点为尸,抛物线C上有一动点P,。(-4,2),则|尸尸|+|P0|

的最小值为()

A.5B.6C.7D.8

【正确答案】C

【分析】抛物线的准线/的方程为X=3,过P作PM_L/于〃，根据抛物线的定义可知

\PF\=\PM\,则当QRM三点共线时,可求|PM|+|P0|得最小值,答案可得.

【详解】解：抛物线C：/=_12工的焦点为尸(-3,0),准线/的方程为x=3,

如图，过P作PWL于"，

由抛物线的定义可知归司=\PM\,所以|PF|+\PQ\=\PM\+\PQ\

则当Q,P,M三点共线时，|P/W|+俨。|最小为3-(-4)=7.

所以|PF|+|PQ|的最小值为7.

故选：C.

8.已知数列｛““｝满足与+」一=1,若%0=2,则q=()

an+l

A.-1B.vC.-D.2

22

【正确答案】B

【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.

【详解】由。”+—=1，%)=2得

。〃+1

1

%9=——=1=1---=l-2=-l,a47=1--—=1+1=2=须，

«5022o

所以数列｛《,｝的周期为3,所以q=49=；.

故选：B

二、多选题

9.在下列直线方程中，表示经过点”（2,1）且在两坐标轴上截距相等的直线有（）

A.y=2xB.y=x-lC.y=-x+3D.y=gx

【正确答案】CD

【分析】根据题意利用直线的截距式方程运算求解，注意讨论截距是否为0.

【详解】设直线在x,y轴上截距分别为。,6,则a=6,

当。=b=0时，则直线过原点，设直线方程为》=去，

由题意可得：1=2左，即4=--

2

故直线方程为y=；x；

当时，则设直线方程为±+#=1,

ab

2121

由题意可得：一+;=一+—=1,贝lja=3,

abaa

故直线方程为:+5=1,即尸-x+3；

33

综上所述：直线方程为y=或夕=-x+3.

故选：CD.

10.已知不用是双曲线E：♦-2T=1（4>0力>0）的左、右焦点，过耳作倾斜角为45。

ab-

的直线分别交夕轴与双曲线右支于点M,P,\PM\^\MFt\,下列判断正确的是（）

A.叱g=三B.\MF^PF\

C.E的离心率等于血+1D.E的渐近线方程为卜=±行

【正确答案】BC

1L.2

【分析】根据题意得。必〃PE，/，耳玛，|加玛=引尸用；由尸玛_L6巴知：\PFA=—,

2a

又|耳周=2c,ZPFtF2=45°,求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断.

【详解】如下图所示，因为归收|=|幽即"为P片中点，O为片名中点，所以OM〃PK，

因为。所以尸入，百鸟，所以ZP玛耳=5,|奶|=；「片|,A错误，B正确；

由心，耳鸟知;-囹1=1，所以炉闾=生，又归团=2c,"/例=45。，

a1b2a

所以生=2c,即<?—/=2〃c,所以/-2e-l=0,解得：e=y[2+]»C正确；

a

因为？=5/^+1，所以/=(3+26")cJ,=c2—a2=(2+2y/2)a2,

所以(=j2+2后,所以E的渐近线方程为"土也+26x，D错误.

故选：BC.

11.已知数列｛6｝是等比数列，则下列结论中正确的是()

A.数列｛叫是等比数列

B.若。3=2,%=32,则%=±8

C.若数列｛%｝的前〃项和S“=3"T+r,则，=1

D.若首项6>0,公比4>1,则数列｛。“｝是递增数列

【正确答案】AD

【分析】A选项由｛。；｝的通项公式即可判断为正确；B选项根据等比数列隔项同号的性质判

断为不正确；C选项先由S,计算得",再由a“代入等比数列求和公式返回计算S“，进而求

得「，判断为不正确；D选项由作差法判断为正确.

【详解】A选项，设等比数列｛4｝的首项为4,公比为<7,

则｛。,,｝的通项为*=4•尸，

则知2=（a「g"T）2=42.（g2）“T,

即｛端｝是以/为首项，才为公比的等比数列.

A正确；

B选项，由等比中项的性质可知

%，。7=64,且％与。3、。7同号，

所以牝=8.

B不正确；

2

C选项，勺=*一=3"T+r-（3"々+"）=；.3"T,

即等比数列｛““｝的首项为：，公比为3,

2

则S3“-3"）1,即一；.

5,=下厂=3--3

C不正确；

D选项，若％>0,g>1,则a“-a“_［=q-”「广2=《./”«_［）>0,

故｛凡｝是递增数列.

D正确.

故选：AD.

12.已知S,,是｛叫｝的前月项和，下列结论正确的是（）

A.若｛《,｝为等差数列，则［/｝（P为常数）仍然是等差数列

B.若｛4“｝为等差数列，则S3,=2s2〃-5〃

C.若｛““｝为等比数列，公比为q,则邑,,=（1+力$,

D.若｛&“｝为等比数列，则“加+〃=p+q,m,n,p,qeNf^"a”ja“=4•4”的充分而不必要

条件

【正确答案】ACD

【分析】A项，根据等差数列的前〃项和公式，化简数列观察数列是否为等

差数列即可；B项，令H=1说明不成立；C项，根据等比数列的前"项和推导；D项，充分性

根据等比数列的性质可验证，必要性用常数数列来验证

【详解】A项，由题意得：［#+’一升,所以

d\1

—\n

2)pdpd，

------=——n+pa,------

nn2八2

而pS“+\pS“_pd(cpdpdn”：pd_pd

皿77r-丁一三(〃+1)+0%-3-3"°4+彳一彳,

所以｛俣｝为等差数列，故A正确.

B项，若$3〃=2s2”-S”成立，则邑=2$2-S］即q+。2+。3=2(。1+%)-《，所以。3=%，而

。3=。2不恒成立，所以B项不正确.

C项，若｛。“｝为等比数列，公比为9,当gwl时，则前〃项和为S〃=也二<1,所以

i-q

q(W)旬i+g")(j")t+川中引[1+4).S

\-q\-qq“)\-q

当q=l时，Sn=na｛,所以邑，=2〃％=(1+1")"/=(1+，')S“

综上：S2“=(1+/)S,，故C项正确.

D项，根据等比数列的性质，若“机+〃=p+4，，”,〃,p,q€N"”则“*q=%,q”,

所以充分性成立；

若等比数列的公比为1,若成立，例如。「出=。3，"4=。；，

则1+243+4,所以必要性不成立，

所以“7«+”=P+4，加,〃,「，4€］\*”是“勺-%=。/%”的充分而不必要条件,故D项正确.

故选：ACD

三、填空题

13.半径为J指，且与直线工+3义-8=0相切于(2,2)的圆的标准方程为

【正确答案】(x-1)?+(y+l)z=案或(x_3>+(y_5)2=或

【分析】设出圆心坐标，利用两点之间的距离等于半径和两直线垂直斜率乘积为-1,组成

方程组求出圆心坐标

即可求出圆的标准方程.

【详解】设圆心(%①，•••圆的半径为布，且与直线工+3夕-8=0切与点(2,2),圆心与切

点的连线所在直线

(a-2)2+(b-2)2=10

必然垂直直线x+3y-8=0,・••得1b-2,

--X----=—1

3a-2

\a=1fa=3_,、、,

解得-1或6=5'即圆的标准方程为(E+L或(72+(1)』。,

故(x-l)2+3+1)2=10或(x-3)2+3-5)2=10

14.如图所示，已知抛物线x2=4y,过焦点尸作直线与抛物线交于力,8两点，若M尸1=4,

则点”的坐标为

【正确答案】126,3)

【分析】设出点力的坐标，利用抛物线的定义即可求解.

【详解】设点/的坐标为(猫，以)，由题意可得尸(0,1),•.♦|加?|=4,

•••由抛物线定义可得以+1=4,解得心=3.

代入抛物线方程可得=2方或-26，

:点力在第二象限，

.♦.点/的坐标为卜26,3),

故答案为.卜2道,3)

2

15.已知数列｛为｝的前n项和为S“=3n-2M+1,则a4=.

【正确答案】19

【分析】利用作差法求出。“=6〃-5(〃*2),代入即可求解.

【详解】S“=3〃2-2〃+l,

所以S,I=3(〃-1)2-2(〃-1)+1,(”22),

两式相减得，a„=6n-5(n>2),

所以。4=6x4-5=19.

故19.

a9

16.设等差数列｛%｝的前〃项和为5“,％>0且言=打，当E,取最大值时，〃的值为

【正确答案】9

【分析】根据题意，用首项4表示公差d,代入前〃项和公式，化简得到S,为关于〃开口向

下的二次函数，进而求出其最大值时对应的〃的值.

【详解】因为&=白，所以1%=94，即11(q+44)=9(4+34),化简后可得［=一萼

I11/

,n(n-i)d-18〃)=-旨(〃-9>+鬻，由二次函数

§c,=〃4+——=叫

性质可知，当〃=9时，S”取得最大值.

故答案为.9

四、解答题

17.己知曲线C：f+/+4x+6y+%=0.

(1)当m为何值时，曲线C表示圆？

(2)若直线/：了=丫-加与圆C相切，求机的值

【正确答案】(1)m<13

(2)m=±5

【分析】(1)将f+V+4x+6y+/n=0配方，根据方程表示圆，即可求得答案;

(2)根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径列方程即可求得答案.

【详解】(1)由C：Y+/+4x+6y+/n=0,得(x+2>+(y+3/=13-加，

由13-加>0时，得/<13,.•.当，*<13时，曲线C表示圆;

(2)圆C的圆心坐标为(-2,-3),半径为JT5二面.

:直线/：V=与圆C相切，直线/的一般式方程为x-y-m=0,

1-2-(-3)-mlr--------

-----/—=yjl3—m,解得：m—+5满足加<13,

/."2=±5.

18.已知椭圆C：£-+^-=1(a>6>0)的左、右焦点分别为片、F2,过百的直线(斜

率不为0)交椭圆C于48两点，的周长为4后，且椭圆C经过点1,

(1)求椭圆C的方程；

(2)当线段的中点M在第二象限，且点M的横坐标为时，求|/8|.

丫2

【正确答案】⑴尹八1

⑵逑

3

【分析】(1)根据周长求出。，再将点代入方程解出6即可；(2)线段48的中点M在第二象

限，显然直线的斜率必定存在且为正，然后设出直线方程联立整理之后表示出均可求出直

线方程，进而求出弦长.

【详解】(1)•••△1居8的周长为4灰,.〔4a=4jL得a=&,

又椭圆C经过点,日[，,•]+奈=1,得6=1,

椭圆C的方程为二+『=1.

2

(2)由椭圆C的方程可知耳(-1,0),玛(L0),

由题知，直线N8存在斜率且斜率大于0,

故可设直线48的方程为卜=左(》+1)(k>0),

代入椭圆C的方程可得：+公卜+21》+公-1=0,

2k2

2X2

设力(XQJ,则*+*一一j_+423Z,解得％=1,故占%=0

2+

二.|力邳—y/2.•~.

19.已知等差数列｛4“｝的前〃项和为，,2%+火=24,5=100.

(1)求他〃｝的通项公式；

(2)若bn=『一，求数列｛6“｝的前〃项和Tn.

【正确答案】⑴。“=3〃-1

_n

⑵2(3〃+2)

【分析】(1)由等差数列的通项公式以及等差数列的前"项和公式展开可求得结果;

(2)由裂项相消求和可得结果.

【详解】(1)设等差数列｛为｝的公差为d,由题意知,

2(q+d)+q+4d=24

a}=2

。8x(8-l),解得:

8a.+--——-rf=1i0n0nd=3

,12

/.an=q+(〃-1)1=2+3(??-1)=3n—1.

故口｝的通项公式为%=3〃-1.

(2),1

1

=­x

3

1

=—x

3

11

=-x(——3〃+2)

32

n

2(3〃+2)

n

即：收｝的前〃项和北二

2(3/7+2),

20.已知数列｛4“｝的前〃项和为S,,=2"”-2,等差数列他,｝满足々=%+2也=$2+3.

(1)求数列｛%｝,｛%｝的通项公式;

（2）求数列｛4，｝的前"项和Hn.

【正确答案】（1）4=2”,4=3”

⑵““=（3〃-3）x2”"+6

[S,,w=1（、

【分析】（1）由%=c。可得m,设等差数列也,｝的公差为4再根据等差数

列的基本量法求解｛"｝通项公式即可；

（2）求等差数列乘以等比数列的前n项和通过错位相减法可得结果.

2

【详解】（1）当〃=1时，a,=Sl=2-2=2；

当“22时，=S“-S,i=（2"”-1）-（2"-1）=2",当"=1时也符合，所以。“=2”.

由题意打=出+2=22+2=6,4=2+4+3=9,

设等差数列也｝的公差为乩则“="-4=3,b、=b「d=3,故4=4+（〃-l）d=3〃.

综上。，=2”，bn=3n

（2）由（1）知：*=3〃-2",

,:H.=afy+a2b2+为与+…+%如+a„b„

H„=3x2l+6x22+9x23+---+3（n-l）x2,,-1+3Hx2n①

2/7„=3x22+6x23+9x24+---+3（«-l）x2,,+3nx2"+1②

二①-②得：一”“=3xQi+2?+2^+…+2'-'+2"）-3nx2"+"

,1_）"+1

即：-a”=3x^^--3〃*2向=3x优用一2）-3〃*2向=（3-3〃）x2向一6,

?.H„=（3"-3）x2"、6.

21.已知圆G:丁+/=8x-，〃与圆G：（x+1）‘+F=9.

（1）若圆G与圆G相外切，求实数机的值；

（2）在（1）的条件下，若直线x+J5），+〃=o被圆G所截得的弦长为2,求实数〃的值.

【正确答案】（1）机=12

(2)n=-1或〃=-7

【分析】（1）由圆的方程可确定圆心和半径，根据两圆外切可知|。。2|=八+々，由此可构造

方程求得加的值；

（2）根据垂径定理，利用弦长可直接构造方程求得〃的值.

【详解】（1）•圆G的方程可整理为：（x