2023-2024学年辽宁省沈阳市高一年级上册期末考试数学模拟试题

2023-2024学年辽宁省沈阳市高一上册期末考试数学模拟试题

一、单选题

1.设集合Z={x|x-2N0},5=1X|X2-2X-8<0|,全集U=R,则()

A.(4,+oo)B.(-8,4)

C.[4,+oo)D.(-«>,-4]

【正确答案】B

【分析】解不等式可求得集合48,由补集和并集定义可求得结果.

【详解】由x-220得：x>2,则/=[2,+8),.,.电H=(-oo,2)；

由/-2》-8<0得：—2<x<4,则8=(-2,4),.,.81_)务/=(-8,4).

故选：B.

2.若“，6均为实数,则“lna>lnb”是“e">g”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据函数夕=1取与y=e，解不等式，即可判断.

【详解】解：因为lna>lnb,由函数y=lnr在(0,+8)上单调递增得：a>b>0

又e">eJ由于函数了=F在R上单调递增得：a>b

由“a>6>0”是“a>b”的充分不必要条件

可得“Ina>历6"是'">e"”的充分不必要条件.

故选：A.

3.从高一某班(男、女生人数相同)抽三名学生参加数学竞赛，记事件/为“三名学生都是女生”，

事件8为“三名学生都是男生"，事件C为“三名学生至少有一名是男生"，事件。为“三名学生不都是

女生“，则以下错误的是()

A.尸(/)=；B.尸(C)NP(D)

O

C.事件”与事件8互斥D.事件Z与事件C对立

【正确答案】B

【分析】由独立乘法公式求尸（⑷，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.

【详解】由所抽学生为女生的概率均为:,则P。）=14A正确;

48两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确;

C事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生,

其对立事件为A,D正确：

。事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生,

与C事件含义相同，故尸（C）=P（。），B错误：

故选：B.

4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有

两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0

表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：

137960197925271815952683829436730257,据此估计，该运动员三次投篮恰有

两次命中的概率为（）

A.JB.IC.—D.1

48128

【正确答案】A

【分析】明确随机数代表的含义，根据古典概型的概率公式即可求得答案.

【详解】由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中，137,271,436这三组表示三次投篮恰有两次命

中，

故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为尸=3三=；1,

124

故选：A

5.如图，已知函数/（X）=3、T,则它的反函数_y=/"（x）的大致图像是（）

B.

【正确答案】C

【分析】直接利用反函数的性质写出解析式，得y=/T（x）=log3x+l,再由解析式选择图像即可.

【详解】由题意得，函数/（x）=31的反函数是夕=尸（力=地3、+1,

这是一个在（0,+8）上的单调递增函数，且y=/7（1）=iog3g+i=o,所以只有选项C的图像符合.

故选：C.

6.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一

代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（）（参考数据：年2"0.3,吆3之0.48）

A.第5代种子B.第6代种子C.第7代种子D.第8代种子

【正确答案】C

【分析】设第x代种子的数量为15、T,根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.

【详解】设第x代种子的数量为151,由题意得15'-匕10',得xNlog/O'+l.因为

1呜510，+1=瞿+1=；「+1=71。6.9,故种子数量首次超过1000万粒的是第7

Igl5Ig3+lg5Ig3+l-lg2

代种子.

故选：C.

7.已知log2Q=0.5"=0.2",贝！J()

A.a>b>\B.b>a>\

C.b>\>aD.a>\>b

【正确答案】D

【分析】根据0.5。>0得出嘘?］〉。，从而得出1<〃<正<2，0.2">0.2得出6<1可得答案.

【详解】因为。>0,所以log2〃=0.5"〉0,可得。>1,

0.5“<0.5,log2a<i=log2V2,

所以五<2，0.5">0.52>0.2,0.2">0.2,所以6<1,

所以。>1>力.

故选：D.

8.设/(x)=||x-l|-l|,关于x的方程［〃x)T+h〃x)+l=O,给出下列四个命题，其中假命题的个

数是()

①存在实数上使得方程恰有3个不同的实根；

②存在实数左，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数上，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数上，使得方程恰有6个不同的实根.

A.0B.1C.2D.3

【正确答案】C

作出函数图象，令日+1=0,对根的判别式分类讨论即可得解.

【详解】解：=

(1)当A=*2-4=0时，解得《=2或%=-2

①当左=-2时，/+丘+i=o解得、=1由图可知，存在3个不同的实数使得/(x)=l,

即方程［/(x)T+"/V)+l=0有3个不同的实数根：

②当％=2时，X2+日+1=0解得x=-l由图可知，不存在实数使得/(x)=-l,即方程

［小汀+4./3+1=0无实数根;

(2)当A=〃-4>0时，解得/>2或％<-2,

①当4>2时，方程/+日+1=0有两不相等的实数根，设为玉，巧，

则xt+x2=-k<0,xtx2=1

x,,巧均为负数，由函数图象知/(x)20，故不存在实数使得〃x)<0,即方程[/(x)]2+小/(x)+1=0

无实数根；

②当人<-2时，方程/+日+1=。有两不相等的实数根，设为玉，花，

则xx+x2=-k>0,xtx2-1

x,,巧均为正数且玉=工，

设％>1则0<阳<1,由图可知，存在2个不同的实数使得

存在4个不同的实数使得

即方程卜")了+上/3+1=0有6个不同的实数根；

(3)当八公一4<。时，方程无解，则方程"(x)y+h/(x)+l=0无实数根；

综上可得正确的有①④，错误的有②③

故选：C

本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想，属于难题.

二、多选题

9.秋季开学前，某学校要求学生提供由当地社区医疗服务站或家长签字认可的返校前一周(7天)

的体温测试记录，己知小明在一周内每天自测的体温(单位：。C)依次为

36.0,36.2,36.1,36.4,36.3,36.1,36.3,则该组数据的()

A.极差为0.4°CB.平均数为36.2℃

C.中位数为36.1°CD.第75百分位数为36.3℃

【正确答案】ABD

【分析】根据极差、平均数、中位数和百分位数的定义判断即可.

【详解】体温从低到高依次为36.0,36.1,36.1,36.2,36.3,36.3,36.4,

极差为36.4-36.0=04C,故A正确；

36+36.2+…+36.3

平均数为-----------------=36.2℃,故B正确；

中位数为362C,故C错误；

因为7x75%=5.25,所以体温的第75百分位数为从小到大排列的第6个数，是36.3℃，故D正确.

故选：ABD.

10.设Z，石是两个非零向量，则下列描述错误的有（）

A.若B+*叶问，则存在实数4>0,使得1成

B.若力九贝电+©=,-'.

c.若P+B卜同+W，则Z,B反向.

D.若〃〃兀则a,b一定同向

【正确答案】ACD

【分析】根据向量加法的意义判断选项A,C；根据平面向量加法的平行四边形法则可判断选项B：

根据平面向量平行的性质可判断选项D.

【详解】对于选项A：当B++向第，由向量加法的意义知£，各方向相反且用印

则存在实数/<0,使得2=4石，故选项A错误；

对于选项B：当£,人则以Z,5为邻边的平行四边形为矩形，且B+N和口-可是这个矩形的两条对

角线长，

则日++口-可，故选项B正确;

对于选项c：当F+N=B|+W，由向量加法的意义知£,B方向相同，故选项C错误；

对于选项D：当£〃加时，则£,B同向或反向，故选项D错误；

综上所述：选项ACD错误，

故选：ACD.

11.下列命题正确的有（）

A.命题“Vx>l,2*-1>0''的否定"Vx41,2*—1>0”

B.函数/（x）=bg|（6+x-2/）单调递增区间是1,2）

5L4）

a

C.函数/6）=-1"'一是R上的增函数，则实数a的取值范围为

（3-2a）x+2,x>-l

D.函数〃x）=2-log,x的零点所在区间为（2,3）且函数/（x）只有一个零点

x

【正确答案】BD

【分析】对于A,由全称命题的否定为特称命题即可；

对于B,先求函数的定义域，再利用换元法结合复合函数单调性进行判断即可；

对于C,由分段函数为增函数，则每一段上都为增函数，再考虑端点处的函数值，列出不等式求解即

可；

对于D,先判断函数/（x）的单调性，再利用零点存在性定理判断即可.

【详解】对于A,命题“Vx>l,的否定“女>1,2-140”，故A选项错误；

对于B,由6+x-2/>0,得令/=6+x-2/,则'=四1’，

22

因为f=6+x-2f在上单调递增，在［（,2）上单调递减，

又y=logJ在定义域内单调递减，

2

所以/（X）在上单调递减，在2）上单调递增，故B选项正确；

--X<-1

对于C,因为函数/（x）=x'一是R上的增函数，

（3-2Q）X+2,x>—1

a>0

3

所以3-2。>0,解得：故C选项错误；

（3-2a）-（-l）+2>-—

—1

对于D,因为函数y和函数了=-142》在区间（2,3）上单调递减，

所以函数Ax）=--logx在区间（2,3）上单调递减，

x2

又因为“2“（3）=（|-1）。-1%3）<0,

所以函数"X）在区间（2,3）上只有一个零点，故D选项正确.

故选：BD.

12.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可

以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7

天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（）

A.平均数嚏43

B.标准差sW2

C.平均数嚏43且极差小于或等于2

D.众数等于1且极差小于或等于4

【正确答案】CD

根据题目条件，只需满足连续7天每日新增比例数不超过5即可，仅通过平均数和标准差不能确保每

天的新增病例数不超过5,可判断A,B错误；再根据平均数及极差综合判断C,D中数据的可能取

值，分析是否符合条件.

【详解】对于A选项，若平均数I43,不能保证每天新增病例数不超过5人，不符合题意；

对于B选项，标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为10,标准差是0,显然不

符合题意；

对于C选项，若极差等于0或1,在嚏43的条件下，显然符合指标；若极差等于2,假设最大值为6,

最小值为4,则嚏>3,矛盾，故每天新增感染人数不超过5,符合条件，C正确；

对于D选项，若众数等于1且极差小于或等于4,则最大值不超过5,符合指标.

故选：CD.

本题考查统计的数据特征，解答本题时，一定要注意平均数、标准差等对数据的影响，其中C、D选

项的判断是难点，可采用假设法判断.

三、填空题

13.当X«0,E)时，基函数夕=(〃?2-加-1,病―-3为减函数，则加=.

【正确答案】2

【分析】利用基函数定义即可得到结果.

【详解】:函数为暮函数,则川一也-』,解得解=_1或加=2,

又因为函数在(0,+8)上单调递减，

可得加J2m-3<0,可得，"=2,

故2

14.已知函数/(刈=41'一b)+瓜+2,("工0),若/㈤=一2019,则/(叫=.

【正确答案】2023

【分析】根据解析式可得/(-x)+/(x)=4,然后把/(〃)=-2019代入即可得答案.

【详解】：/(X)=a(e*-e-')+法+2,w0),

f(-x)—a(如，一e*)-bx+2,(abH0),

•••/(-x)+/(x)=4,即f(-h)=4-/(/>)=4-(-2019)=2023.

故2023.

15.已知/8C中，JN=^NC,M为线段8N上的一个动点，若万7=x而+y/(x、y均大于0),

则工+'的最小值.

xy

【正确答案】36

【分析】首先转化向量表示新=x在+5y而，再结合平面向量基本定理的推论得x+5y=l,再利

用基本不等式求最值.

【详解】由条件可知衣=5而，所以而=x^+5y丽，点三点共线，

所以x+5y=l,且x>0,y>0,

-+-=f-+(x+5y)=26+—>26+2回工36,

xy\xy)xyVy

当x=y=。时，等号成立.

6

故36

16.己知函数/(幻=111卜2+/)(e为自然常数，2.718),g(x)=ax2+2x+a+\,若总

Bx2e[0,+^),使得/(xj=g(x2)成立，则实数a的取值范围为.

【正确答案】[0,1]

【分析】设函数/(x)、g(x)的值域分别为集合/、8,易得/=[2,+8),再根据对任意的总

存在实数迎€[0,+8),使得/"J=g(x2)成立，由/=结合二次函数的值域求解.

【详解】设函数1(刈、g(x)的值域分别为集合/、B,

当时,/(x)e[2,+oo),所以/=[2,+oo),

因为对任意的王eR,总存在实数/€[0,用)，使得/(xj=g(x2)成立，

所以应有4勺8,

故当。<0显然不合要求.

当。=0时，在[0,+8)上g(x)=2x+le[l,+oo)符合要求.

当八0时，g(x)=a(x+，)+a+l」在[0,+8)上递增,

所以8(X)€[a+1,+00),故a+142,解得“41,

综上，«G[0,1]

故[0,1]

四、解答题

17.计算下列各式的值.

⑴271+(；)-(3-%；

2

(2)log28-(lg4+lg25)-log5810g25+7咽.

【正确答案】(1)125

(2)0

【分析】(1)按照指数运算进行计算即可；

(2)按照对数运算进行计算即可；

2/1\-2(L2

【详解】⑴27〃旧-(3-^)°+2^x35=,>+32-1+2<33=9+9-1+4x27=125；

,og72

(2)log28-(lg4+lg25)-log58.log25+7=3-lgl00-log,8+2=3-2-3+2=0.

18.设p：24x<4,q：实数x满足x，-2ox-3a，<0(a>0).

(1)若。=1,且PM都为真命题，求x的取值范围；

(2)若。是的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【正确答案】⑴{x|2«x<3}；

⑵El

【分析】(1)求得q命题对应的不等式解集，与r命题对应的不等式取交集即可；

(2)求得4命题对应的不等式解集，根据集合之间的关系，列出不等式，即可求得结果.

【详解】（1）当a=l时，可得x2-2ax-3/<0,

可化为X2-2X-3<0,解得

又由命题P为真命题，则24x<4

所以P,夕都为真命题时，则x的取值范围是｛x|24x<3｝

（2）由/-2ax-3/<0,（。>0）,解得-a<x<3a,

因为p:24x<4,且。是的充分不必要条件，

即集合k|2。<4｝是卜卜℃<3°｝的真子集，

-a<2

44

则满足3a>4,解得所以实数。的取值范围是-,+<«

a>0L

19.平面内给定三个向量。=（3,2）,5=（-1,2）忑=（4,1）.

（1）求满足1=ma+nb的实数九";

（2）设2=（x,y）,满足（”可//,+很）.且I”#1，求向量入

【正确答案】（1）机=：，«=（2）d=4+乎，1+^^或1=（4-半,1-^^）.

⑴根据三芯+怎即可得出（4,1）=（3〃?-〃,2加+2〃），从而得出2〃?+2；=1'解出〃'，〃即可;

（2）根据（Z--〃伍+5）,口-4=1,得到方程组，解得.

【详解】解:。）・.i=（3,2）。=（—1,2）力=（4,1）且工=忌+适

（4,1）=（3/77-/7,2/H4-2/7）

\3m-n=4

+2〃=1

9

m=一

,<8

5

n=——

8

（2）vd-c={x-4”-1）,a+B=（2,4）

又（2-力/R+E）,|5-c|=i,

4下

()(x=4-----

f4x-4-2^-l)=05

・{0/、2，解得，5成,

[(x-4)+(y-l)=1.2V5।2疗

V=1H--------V=1---------

55

所以2=4+.1+由或2=4-^,1-

本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量长度的方法，

考查了计算能力，属于基础题.

20.某校高二(5)班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分

数在110~120分的学生数有14人.

iJi

(1)求总人数N和分数在120~125的人数〃；

(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？

(3)现在从分数在115〜120分的学生(男女生比例为1：2)中任选2人，求其中至多含有1名男生的

概率.

【正确答案】(1)4；

(2)众数和中位数分别是107.5,110；

【分析】(1)先求出分数在110-120内的学生的频率，由此能求出该班总人数，再求出分数在120-125内

的学生的频率，由此能求出分数在120-125内的人数.

(2)利用频率分布直方图，能估算该班学生数学成绩的众数和中位数.

(3)由题意分数在115-120内有学生6名，其中男生有2名.设女生为4，4，4，4，男生为瓦，

B2,从6名学生中选出2名，利用列举法能求出其中至多含有1名男生的概率.

【详解】（1）分数在110-120内的学生的频率为8=（0.04+0.03）x5=0.35,

,该班总人数为N=^=40.

分数在120-125内的学生的频率为：=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）x5=0.1（,

分数在120-125内的人数为“=40x0.10=4.

（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为105?10=]07.5.

2

设中位数为。，0.01x5+0.04x5+0.05x5=0.50,.-.a=l10.

，众数和中位数分别是107.5,110.

（3）由题意分数在115-120内有学生40x（0.03x5）=6名，其中男生有2名.

设女生为4，4，4，4,男生为用，B2,从6名学生中选出2名的基本事件为：

（4，（4，4），（4，4），（4，4），（4,4），（4，4），

A2）,B2）,（A2,

（4，BJ,（A2,B2）,（A,,4）,（A,,耳），（4，82）,（4，BJ,（4，5,）,

（4，BJ,（4,B2）,（A,,与），（耳，B2）,共15种，

其中至多有1名男生的基本事件共14种，

14

其中至多含有1名男生的概率为2=石.

21.某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮

2

球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为《.且各场比赛互不影响.

⑴若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率：

（2）若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.

【正确答案】⑴高（2）黑

125625

（1）三局两胜制甲胜，则包括三个基本事件，甲胜前两场比赛，第一（二）场比赛甲输了，其他两

场比赛赢了，根据相互独立事件的概率计算公式计算可得.

（2）五局三胜制，乙队在第四场比赛后即获得胜利，即第四场比赛乙赢，前三场比赛乙赢了二场比

赛，根据相互独立事件的概率公式计算可得.

【详解】解:设4（，=1，2,3,4,5）表示甲队在第i场比赛获胜

⑴所求概率为:/(44)+尸(4%4)+尺1H4)=[3xf|)

⑵所求概率为:尸(4而Q+尸卬2砌+P(瓦4%)=|x(|)x3畸.

本题考查相互独立事件的概率计算问题，属于基础题.

22.若函数/(x)对于定义域内的某个区间/内的任意一个x,满足〃-x)=-/(x),则称函数/(x)为/上

的“局部奇函数满足〃-x)=/(x),则称函数〃x)为/上的“局部偶函数”.已知函数f(x)=2x+kxT\

其中左为常数.

(1)若/(X)为［-3,3］上的“局部奇函数”，当xe［-3,3］时，求不等式/(用>］的解集；

(2)已知函数/(x)在区间［-1,1］上是“局部奇函数”，在区间［-3,-1)u(1,3］上是“局部偶函数”，

r/(x),xe［-l,l］

,(X)=<

［/(x),xe［-3,-l)u(l,3］

(i)求函数尸(x)的值域；

(ii)对于［-3,3］上的任意实数再62，七,不等式尸(国)+尸。2)+5>机产(七)恒成立，求实数机的取值范

围.

【正确答案】(1){x|l<x<3};⑵⑴