2023-2024学年广西钦州市高二年级上册期末考试数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年广西钦州市高二上册期末考试数学模拟试题

第I卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选

项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本

试卷上作答无效.）

1.若直线过点（"'一3）和点（0，一4）,则该直线的方程为

A.y=在x_4B.”无x+4

33

C.y=y/3x—6D.y—~~x+2

【正确答案】A

【分析】

（法一）利用直线的两点式方程直接求解；

（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程.

【详解】解：（法一）因为直线过点（省,-3）和点（0,-4）,

所以直线的方程为一W=—I，整理得y=4;

x-0/3

（法二）因为直线过点（6,-3）和点（0,-4）,所以直线的斜率为左=*,

所以直线的方程为y+4=9x,整理得夕=也》一4；

故选：A.

本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题.

22

2.已知椭圆0：++==1（。〉6>0）的左、右焦点分别为1,工，若椭圆上一点P（xj）

到焦点片的最大距离为7,最小距离为3,则椭圆C的离心率为（）

12-25

A."B.-C.-D.一

2532

【正确答案】B

【分析】根据点尸（xj）在椭圆上得\+二=1,且再利用两点距离求得

ah

\PFy\=^x+a,从而可确定|尸网的最大值与最小值，即可求得c的值，即可得离心率

e=£的值.

a

【详解】解：设椭圆的半焦距为C,若椭圆上一点P(XJ),则\+/=1,且

ab

222

又耳(―c,0),a=b+c

则归耳|=yj(x+c)2+y2=^(x+c)2+b2=J(£x+a)=^-x+a

由于一所以|尸£二=a+c=7，|WLin="。=3

c2

于是可得a=5,c=2,所以椭圆C的离心率e=-=-.

a5

故选：B

3.已知4=(—2,1,2),6=(-1,r,l),若H，则实数f的值为()

A.0B,-4C.yD.4

【正确答案】B

【分析】由空间向量垂直的坐标表示进行计算即可.

【详解】•••：1，，

a'b-—2)x(—1)+1x/+2x1=4+f=0,

t=-4.

故选：B.

4.我们知道，在日常学习与生活中养成根据现实世界的情景提出问题的习惯对培养自己的

创新素养起着至关重要作用.关于实际情景“日常洗衣服都要经历两个阶段，第一阶段是用去

污剂搓洗衣服，第二阶段是漂洗衣服.一般来讲要漂洗多次，漂洗的次数越多衣服越干净”，

提出的问题最恰当的是()

A.在给定漂洗所用的清水量的前提下，选择什么牌子的洗衣粉能使衣服更干净？

B.在给定漂洗衣服的前提下，漂洗所用的清水量多少合适？

C.在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗时放多少衣物才能使衣服干净？

D.在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净？

【正确答案】D

【分析】根据给定条件，结合各选项的条件分析、判断作答.

【详解】对于A,好的洗衣粉，去污能力强，但必须经过多次漂洗才能将洗衣粉及污物去掉,

所提出问题与漂洗次数无关，A不是；

对于B,漂洗所用的清水量多，附着衣服的污物经过一次漂洗，去掉的不多，所提出问题与

漂洗次数无关，B不是；

对于C,漂洗时放一件衣物，若只漂洗一次，去掉的污物不多，所提出问题与漂洗次数无关,

C不是；

对于D,用适当的清水量，多次漂洗，能使衣服干净，提出的问题最恰当，D是.

故选：D

5.双曲线。:：-卷=1的左右焦点分别为不工，点尸在双曲线C上且|班|=20,则

|尸囚等于()

A.14B.26C.14或26D.16或24

【正确答案】C

【分析】根据双曲线的方程可得8c,由归国—|尸3=2。即可求解.

【详解】由双曲线的方程可得a=3,b=4,c=5,故归图2c-a=2.

因为||P闯一|尸埒=2a=6,故归玛|一20卜6,解得归玛|=14或26.

故选:C.

6.已知向量〃।=(-2,0,-2),丐=(220)分别为平面a和平面的法向量，则平面a与

平面£的夹角为()

A.30°B.45°C.60°D.120°

【正确答案】C

"英1

【分析】根据坐标可求出COS(〃|,〃2)=-5,根据夹角的范围以及平面的夹角与平面法向量

之间的关系即可求出答案.

LTUT—LLLU

【详解】解：由已知可得网=2正〃2-2^2,々・%=-2x2+0x2+(-2)x0=-4,

-41

272x2722-

设，为平面a与平面夕的夹角，则qi解90%,

产吗1

Xcos0—cos(〃[,〃2)-—»

所以。=6。/.

故选：C.

7.已知圆。/+/=/2&>o)上有且只有两个点到直线人3X一4y—15=0的距离为1,

则圆。半径r的取值范围为()

A.(2,4)B.[2,4]C.(2,3]D.[3,4)

【正确答案】A

【分析】求出到直线/的距离为1的点的轨迹，再根据给定条件，数形结合列出不等式求解

作答.

【详解】平面内到直线/距离为1的点的轨迹是与直线/平行且距离为1的两条直线4,4,

|加一15|」

设/|」2的方程为3x-4y-〃2=0（加K15）,则12+（方^-1‘解得"2=10或777=20,

即直线4:3x-4^-10=0,直线，2：3x-4y-20=0,

如图，圆O：f+y2=/(/>o)上有且只有两个点到直线/的距离为],则圆。与4相交,

所以圆O半径r的取值范围为2a<4,即尸e（2,4）.

故选：A

8.设（石,工2/3，工4，工5）是1，2,3,4,5的一个排列，若（为-为+1）（为+1-的+2）<0对一切

ie{1,2,3}恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（）

A.16B.25C.32D.41

【正确答案】C

【分析】由已知可知当％<Z时，此时有々=5或x4=5.由“交替”的排列的概念可得，

当吃=5时，％4=3或七=4,分别求解即可得到当々=5时，％=3或匕=4时，有8

种方法洞理可求得当5=5,%=3或%=4,此时也有8种方法.然后得出X,>x2时:

々=1或匕=1时“交替”的排列数目，相加即可得出结果.

【详解】由己知可得（玉一工2）（》2一天）<。，（々一天）（了3—％4）<0,（X3-X4）（X4-X5）<O.

（i）当X]一工2<0时，玉<%2，可推出，X3<，X4>X5,

此时有吃=5或X4=5.

①当》2=5时:由已知可得％=3或Z=4

当％=5,%=3时，此时必有七=4,排列可以是（4,5,1,3,2）或（4,5,2,3,1）两种；

当吃=5时，匕=4时，此时的,毛，工5可选择1,2,3中的任意排列，共A；=6中排列.

综上所述，共有8种方法；

②同理可得当X4=5,可得％=3或刍=4,也有8种方法.

综上所述，当王<》2时，“交替”的排列的数目是16；

（ii）当司一次2>0时，X]>x2,可推出工2<%3，X3>x4,x4<x5,

此时有％2=1或=L

①当今=1时，由已知可得5=2或%=3

当/=1，5=3时，此时必有为=2,排列可以是（2,1,4,3,5）或（2,1,5,3,4）两种；

当吃=1时，&=2时，此时王,工3，/可选择3,4,5中的任意排列，共A；=6中排列.

综上所述，共有8种方法；

②同理可得当％=1，可得当=2或马=3,此时也有8种方法.

综上所述，当王<马时，“交替”的排列的数目是16.

所以，“交替”的排列的数目是32.

故选：c.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.)

9.已知两条不重合的直线4：y=勺x+4，l2:y=k2x+b2,下列结论正确的是()

A.若，则勺=k2B.若占=e，则4〃，2

C.若用］=1,则/KD.若则左/2=—1

【正确答案】ABD

【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.

【详解】对A,若4〃，2,则占=&，故A正确;

对B,若勺=左2,又两直线不重合，则4〃，2,故B正确;

对C,若匕&=1,则4与4不垂直，故C错误；

对D,若4_L4，则匕%2=-1，故D正确.

故选：ABD.

22

若椭圆C:]r~+方V=l(b>0)的左、

10.右焦点分别为耳，F2，则下列b的取值能使以耳F2

为直径的圆与椭圆C有公共点的是()

A.h-y/2B.b=-\/3C.b=2D.

b=V5

【正确答案】ABC

【分析】根据给定的条件，确定以HE为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求

出b的范围作答.

22

【详解】令椭圆。：(+京=19〉0)的半焦距为C,则以片鸟为直径的圆的方程为

x2+y2=c2,

因圆一+/=。2与椭圆。有公共点，则有c2z〃，即8—〃2巴解得0<bW2,显然

选项A,B,C满足，D不满足.

故选：ABC

11.下列结论正确的是()

A.两条不重合直线4，4的方向向量分别是a=(2,3,-1),6=(—2,—3,1),则〃4

B.两个不同的平面夕，。的法向量分别是:二(2,2,—1),3,4,2),则

C.直线/的方向向量4=(1,2,—1),平面a的法向量加=(3,6,左)，若Zia,则A=15

D.若48=(2,-1,-4)，NC=(4,2,0),ZP=(0,—4,-8),则点P在平面N8C内

【正确答案】ABD

11-一”

【分析】对于A,验证a力是否平行即可；对于B,验证〃#是否垂直即可；对于C,根据

线面关系得al”，求解人得值即可判断；对于D,验证是否四点共面即可.

【详解】解：对于A,因为a=(2,3,-1),t>=(-2-3,1)，所以「二一，，又两条不重合直

线4，，2,所以，/〃2,故A正确；

对于B,平面a,6的法向量分别是〃=(2,2,—1),u=(—3,4,2),且:一6+8-2=0,

所以〃_Lv，则aJ■£，故B正确；

对于C,直线/的方向向量”(1,2,7),平面a的法向量阳=(3,6㈤，若/_La,则2",

则左=—3,故C错误；

对于D,因为25=(2,—1,Y)，4d4(4,2,0),Z方:(0,—4,—8),存在实数4,〃使得

2=4A__二.〜

.....I1''K11

AB^AAC+^JAP,则JT=24-4〃，解得a=5，〃=5,则+所以

-4=-8//

4民C,尸四点共面，即点P在平面/8C内，故D正确.

故选：ABD.

12.天山社区将红树林中学的甲、乙、丙、丁4名红志愿者分别安排到4B,C三个村民

小组进行暑期社会实践活动，要求每个村民小组至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是

()

A,共有18种安排方法

B.若甲、乙两名志愿者被安排在同一村民小组，则有6种安排方法

C.若两名志愿者被安排在/村民小组，则有24种安排方法

D.若甲志愿者被安排在4村民小组，则有12种安排方法

【正确答案】BD

【分析】对于A：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，对于B：甲、乙被安排到同

一村民小组，先从3个村民小组中选一个安排甲和乙，对于C：/村民小组需要两名志愿者,

所以先从4名志愿者中选择2名安排到《村民小组，对于D；甲志愿者被安排在/村民小

组，分两种情况讨论，即可判断各个选项的正误.

【详解】对于A：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，

所以安排方法为：C；A；=36,A错误；

对于B：甲、乙被安排到同一村民小组，先从3个村民小组中选一个安排甲和乙，

剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，所以安排方法为：C；A；=6,B正确；

对于C：A村民小组需要两名志愿者，

所以先从4名志愿者中选择2名安排到A村民小组，

再把剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，

所以安排方法为：C：A：=12,C错误；

对于D；甲志愿者被安排在/村民小组，分两种情况讨论，

当N村民小组安排两名志愿者时，先从剩余3名志愿者选出一个，分到“村民小组，

再把剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，

所以安排方法为：C；A；=6,

当/村民小组只安排甲志愿者时，剩余3名志愿者安排到两个村民小组中去，

所以安排方法为：C尔=6,

所以一共有安排方法为：6+6=12,D正确；

故选：BD.

第II卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知点为抛物线C：V=4x上的点，且点尸到抛物线C的焦点F的距离为3,

贝ijm=.

【正确答案】2

【分析】由抛物线的方程求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列

方程求解即可.

【详解】抛物线C：V=4x的焦点为(1,0),准线为％=-1,

因为点尸(加,〃)为抛物线C:/=4x上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3,

所以/〃+1=3,得加=2,

故2

14.当直线/：+加一2=0截圆C：f+必一2%一3=0所得的弦长最短时，实数w

的值为.

【正确答案】-1

【分析】由已知可得直线/过定点力（2,1）,当时，弦长最短.根据斜率关系即可求出

实数加的值.

【详解】由已知可将直线/的方程化为》一2一〃?（y—1）=0,

x—2=0（X=2

解《，八可得《，，所以直线/过定点4（2,1）.

y-i=o=i

又由圆的方程可得圆心C（l,o）,半径7.二一一2）-+°24><（—3）=2,

，2

则|NC|=J（l_2/+（0_1）2=6<r，所以点A在圆内.

当4C3时，圆心C（l,0）到直线/的最大距离，直线/被圆截得的弦长最短.

因为3c=9」=l，所以直线/的斜率为-1，即=所以〃,=-L

"1-2m

故答案为.-1

15.已知（X-3）（X+2）4=4+4]》+42》2+4/+4*4+。5X5，则实数。2的值为.

【正确答案】-40

【分析】先求出（X+2）4的展开式的通项1+1=2*C：♦Xj，再分别求出X一3选取X以及—3

时，Y的系数，相加即可得出结果.

【详解】（X+2）4的展开式的通项4』=C>X4-«X2"=2"C[X4T,4=0,1,2,3,4.

当x—3选取x时，应取（x+2）4展开式中含x的项，令4-/=1,则左=3,

4=23C1X=32X,此时/的系数为32：

当x-3选取一3时，应取（x+2『展开式中含X?的项，令4-左=2,则左=2,

7；=22C^-X2=24/,此时犬的系数为-3x24=-72.

所以。2=32—72=-40.

故答案为.-40

16.“结题”是研究小组向老师和同学们报告数学建模研究成果并进行答辩的过程，结题会是

展示研究小组“会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表

达现实世界'’的重要场合.一般来说，结题会是结题的基本形式，小组长负责呈现研究的核心

内容.假设你是研究小组的组长，研究的实际问题是“车辆的运行速度和刹车距离之间关系”,

那么，为了准备结题会材料，你整理研究成果的核心内容是：.

【正确答案】论文

【分析】根据课题结题的一般形式即可写出答案.

【详解】根据课题结题的一般形式而言，论文是整理研究成果的核心内容，

故论文.

四、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.已知点尸(2,4)和直线/.2%+y+1=0

(1)求经过点P且与/平行的直线方程；

(2)求经过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

【正确答案】(1)2x+y-8=0；

(2)y=2x或x+y-6=0.

【分析】(1)根据已知可设直线方程为2x+y+m^Q,代入点尸坐标求出m的值即可得出

直线的方程；

(2)当直线在两坐标轴上截距都为0时，求出直线的斜率，得出直线的方程；当截距不为

0时，可设直线方程为x+y+〃=0,代入点尸坐标求出〃的值即可得出直线的方程.

【小问1详解】

设与直线/平行的直线方程为2x+y+〃?=0.

因为直线经过点尸(2,4),所以2x2+4+m=0,解得加=—8.

所以直线方程为2x+y-8=0.

【小问2详解】

当经过点尸(2,4)且在两坐标轴上截距都为0时，

斜率左=t9=2,此时所求直线为歹=2x；

2-0

当经过点尸(2,4)且在两坐标轴上截距都不为0时，

由已知可设直线方程为x+y+n^0,

因为直线经过点产(2,4),所以2+4+〃=0,解得〃=-6.

所以直线方程为x+y-6=0.

综上所述，直线的方程为y=2x或x+y—6=0.

18.已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点耳和右焦点鸟都在x轴上，长轴长为12,离心

率为

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点”为椭圆C上一点且在第一象限.若△孙月为等腰三角形，求点〃的坐标.

【正确答案】（1）三+1=1

3620

（2）（3,V15）

【分析】（1）根据题意布列基本量的方程组，即可得到结果；

（2）讨论两腰的位置，结合椭圆定义即可得到结果.

【小问1详解】

f2a=12

根据题意：L_2，解得a=6,c=4.

匕一3

•••〃=/—02=20，.•.椭圆。的标准方程为±+}=i.

3620

【小问2详解】

在第一象限，.•.阿用＞阿工|,

当|“用=闺引=2c=8时，|M|=2a-|g|=4与的用＞阿眉矛盾.

所以|昭|=|片闾=2c=8,即|%|=4,

设点"的坐标为（%,%）（X。＞0,%＞0）,则$△“牝=；,%=4%，

又S吗乃=；x4x而f=4而，.♦.4%=4后，解得坊=店，

;卷+空）：=],解得玉）=3（5=-3舍去），.•.M的坐标为（3,后）.

19.如图，在四棱锥尸一488中，底面N8CQ是矩形，PD_L平面4BCD,PD=DA=2,

DC=\,M是8c的中点，点。在尸田上，且P0=2。”.

Ph

D^-\-__

B

(1)证明:平面PZ";

(2)求平面尸与平面POC的夹角的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面

角.

【小问1详解】

证明：由题尸D_L平面力8c7),底面488为矩形，以。为原点，直线£U,DC,DP

所在直线分别为x轴、》轴、z轴建立空间直角坐标系。-xyz如图：

D^-\--

则4(2,0,0),0(0,0,0),C(0,l,0),"(1,1,0),尸(0,0,2),°6，|，|)

,222、一一

00=匕，5，］1，AM=(-1,1,0),NP=(-2,0,2),

DQAM^O：.DQ±AM,

'：DQAP=0,J.DQLAP,

-CAM”尸=4,且/用,/尸=平面尸工”，；.。0_1平面尸/”.

(法二)证明：由题尸。，平面48C。，底面力8c。为矩形，以。为原点，直线ZM,DC,

。尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。-盯z如图：

则4(2,0,0),皿(0,0,0),C(0,1,0),M(1,1,0),尸(0,0,2),Q

设〃=（x,y,z）是平面P4A1的一个法向量.

/M=(-1,1,0),AP=(-2,0,2).

入…八x=1

n.AM=-x+y=0

xB取x=l有<=1

n.AP=-2x+2z=0

z=1

八(222

：.n=(1,1,1),00=

^9^2>...

则。。="DQ//n.

：.，平面P/A/.

（法三）证明：连接。M

PD1平面ABCD,Z"u平面ABCD,：.PD1AM.

在ZMD中，AM=DM=五，AD=2.

VAM2+DM2=AD1>>,•AMVDM，且PDcDM=D，

二AM1平面PDM,

又：0。u平面PDM,NA/_L.

,:cosNPDM=也=卑=虫,又,:/»〃)QM"yG，

PM近而

3c°s"=F=T

△PD”s^DQM,DQ1PM.

且4WPM=M,且=平面P/A/,二。。J■平面尸/M.

【小问2详解】

（222、--

（接向量法）由（1）可知平面尸的法向量为。0=（也可为.

平面PCD的一个法向量为机=(1,0,0).

...平面R1M与平面PDC的夹角的余弦值为如

3

(法二)延长/〃，DC,交于点N,连接PM

*/NeAM,Ne平面PAM.'.'NeCD,.,.Ne平面PCD.

：.平面PAMn平面PCD=PN.

过。做。T_LPN于T,连接47.

PD1平面ABCD,：.PDLAD.

SCD,CDPD=D,

平面尸CD,又PNu平面PCD,；.4D1PN.

又,：DT，PN,DTcAD=D，。7,4。＜=平面/。7,

二PN"平面ADT,：.PNVAT,

•••乙4力0为二面角力一取—。的平面角.

在RtZ\/TD中,AT=瓜,

...rnDT五也

ATR3

二平面P4A/与平面尸。C的夹角的余弦值为

3

20.用0,1,2,3,L,9这十个数字.

(1)可组成多少个三位数？

(2)可组成多少个无重复数字的三位数？

(3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？

【正确答案】(1)900；

(2)648；(3)379.

【分析】(1)根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出

结果；

(2)根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；

(3)根据题意，分成三种情况，分别计算得出各种情况的种数，根据分类加法计数原理相

加即可得出结果.

【小问1详解】

要确定一个三位数，可分三步进行：

第一步，确定百位数，百位不能为0,有9种选法；

第二步，确定十位数，有10种选法：

第三步，确定个位数，有10种选法.

根据分步乘法计数原理，共有9x10x10=900种.

【小问2详解】

要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：

第一步，确定百位数，有9种选法；

第二步，确定十位数，有9种选法；

第三步，确定个位数，有8种选法.

根据分步乘法计数原理，共有9x9x8=648个无重复数字的三位数.

【小问3详解】

由已知，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类，

第一类，满足条件的一位自然数：有10个，

第二类，满足条件的两位自然数：有9x9=81个，

第三类，满足条件的三位自然数：

第一步，确定百位数，百位数字可取1,2,3,4,有4种选法；

第二步，确定十位数，有9种选法；

第三步，确定个位数，有8种选法.

根据分步乘法计数原理，有4x9x8=288个.

由分类加法计数原理知共有10+81+288=379,共有379个小于500且无重复数字的自然

数.

21.平行六面体-44GA中，以顶点力为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为

60°.

0

(i)求线段/G的长；

___/、■、/、,、■、......

(2)若48二4,AD=b»/4=c,用空间向量的一组基底｛。+仇。一瓦。表示向量

【正确答案】(1)指；

uuir1rrirrr

(2)48=5(za+b)x+5(z0-6)x-c.

【分析】(l)易得4。：二4片；4^/黑，根据向量数量积的运算律结合已知条件可求出

™=6-即可得出结果；

UUU.11111111