2023年重庆市北碚区数学高二第二学期期末统考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A、B、C、D、E、尸六名同学站成一排照相，其中A、8两人相邻的不同排法数是（）

A.720种B.360种C.240种D.120种

2.若4=（4,2,3）是直线/的方向向量，n=（-1,3,0）是平面a的法向量，则直线/与平面a的位置关系是

A.垂直B.平行

C.直线/在平面a内D.相交但不垂直

3.若随机变量X〜B（100,p）,X的数学期望E（X）=24,则P的值是（）

23619

A.—B.—C.—D,—

552525

4.在平行四边形ABC。中，ZBAD=y,点E在AB边上，AD=AE=^AB=\,将AOE沿直线£>£折起成

ADE,尸为AC的中点，则下列结论正确的是（）

A.直线AE与直线B尸共面B.BF=-

2

C.AEC可以是直角三角形D.ACIDE

5.在正方体A4G。中，8月与平面所成角的正弦值为（）

J3J332

A.—B.—C.-D.-

2355

6.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S,,,若。2+/+/）=9,则1$9=（）

A.3B.9C.18D.27

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给

乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则

（）

A.甲可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩

C.甲、丁可以知道对方的成绩D.甲、丁可以知道自己的成绩

8.已知离散型随机变量X的分布列如图，则常数。为（）

X01

P9c2-C3-8c

9.若复数z=一7（其中i为虚数单位，aeH）为纯虚数，则忖等于（）

A.-2zB.-2C.0D.2

10.下列命题中正确的个数（，①'","，2.V,”的否定是“三、三丁②用相关指数R:可以

刻画回归的拟合效果，”值越小说明模型的拟合效果越好；③命题”若：：口，贝卜0.：.：,?<的逆命题为真命

题；④若、：一二；口+L,.+巾+3>。的解集为中则•.>1-

A.QB・]C.jD.3

11.一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，

则取得小球标号最大值是3的取法有（）

A.12种B.15种C.17种D.19种

12.在极坐标系中，点M（1,O）关于极点的对称点为（）

A.（1,0）B.（-1,71）C.（l,7l）D.（1,271）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在一二二二中，角二，二，二所对的边分别为二，二，二且二8S二-二COS二=：二当:M；二一二取最大值时，角二的

值为.

14.已知X、）'满足组合数方程G?=G>7,则孙的最大值是.

15.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用

移动支付的人数，£>X=2.4,P（X=4）<P（X=6）,则片.

16.为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、

击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求：

甲：我不选太极拳和足球；乙：我不选太极拳和游泳；

丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.

已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛q｝满足：a.M=4—|a,J(〃eN)

(I)若％>0,且为，a2,%成等比数列，求％;

(H)若％4-4,且q,a2,生，应成等差数列，求为.

18.(12分)已知z=2+i,。，〃为实数.

(1)若④=Z2+3Z-12，求囱；

(2)若a竺z+*hz=5—2i,求实数。，6的值.

2-z

19.(12分)某险种的基本保费为。(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上

年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数01234>5

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

一年内出险次数01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(2)已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.

20.(12分)在二项式的展开式中.

(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于67,求展开式中二项式系数最大的项；

(2)若〃为满足8<〃<12的整数，且展开式中有常数项，试求〃的值和常数项.

21.(12分)已知函数/*)=/一36+2,曲线y=/(x)在％=1处的切线方程为3x+y+m=0.

(I)求实数a，m的值；

(n)求/a)在区间工2］上的最值.

22W

22.(10分)已知椭圆G：=+与=1(。>人>0)的离心率为左,抛物线G：V=2py与椭圆G在第一线象限的交点

arb~2

为《局

(i)求曲线G、G的方程

(2)在抛物线c2上任取一点p,在点p处作抛物线G的切线/，若椭圆G上存在两点关于直线/对称，求点P的纵

坐标的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

先把A、8两人捆绑在一起，然后再与其余四人全排列即可求出A、8两人相邻的不同排法数.

【详解】

首先把把A、8两人捆绑在一起，有#=2x1=2种不同的排法，最后与其余四人全排列有g=5x4x3x2x1=120

种不同的排法，根据分步计算原理，A、8两人相邻的不同排法数是父月=120x2=24(),故本题选C.

【点睛】

本题考查了全排列和分步计算原理，运用捆绑法是解题的关键.

2、D

【解析】

判断直线/的方向向量与平面的法向量的关系，从而得直线与平面的位置关系.

【详解】

显然d与〃不平行，因此直线/与平面。不垂直，X(/-z?=4x(-l)+2x3+3x0=2,即“与"不垂直，从而直线/与

平面a不平行，故直线/与平面a相交但不垂直.

故选D.

【点睛】

本题考查用向量法判断直线与平面的位置关系，方法是由直线的方向向量与平面的法向量的关系判断，利用向量的共

线定理和数量积运算判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直线与平面的位置关系.

3、C

【解析】

分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p的值即可.

详解：随机变量X~3(100,p),则X的数学期望E(X)=100p,

据此可知：100〃=24,解得：〃=2.

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4、C

【解析】

(1)通过证明A',E,B,尸是否共面，来判断直线A宏与直线B尸是否共面；

(2)取特殊位置，证明3尸=；是否成立；(3)寻找AEC可以是直角三角形的条件是否能够满足；(4)用反证法

思想，说明能否成立.

【详解】

如图，因为四点不共面，所以Ez面A'BC,故直线A'E与直线B厂不共面；

沿直线折起成A'DE,位置不定，当面4£＞七_1_面3。＞£：,此时BPwg；

取OE中点，连接A'G,CG,则AGL0E,若有AC_LDE,则。F，面4。6

即有Z)E_LCG,在RtXXJC中,CD=2,OG=L,NCDE=60"明显不可能，故不符合；

2

在_AEC中，KE=1,CE=6,而AC=J7＞2,所以当A'C=2时，=AEC可以是直角三角形;

【点睛】

本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意

在考查学生的直观想象和逻辑推理能力.

5、B

【解析】

证明与平面ACD,所成角为/DD0,再利用边的关系得到正弦值.

【详解】

如图所示：连接BO与AC交于点。，连接R。，过点。作。2。

BB,与平面ACD,所成角等于。口与平面ACD,所成角

正方体ABCD-44GA=>AC1DB,AC1DD{nAC1平面DD0^ACIDE

QE_L2。=OE，平面ACD]

DR与平面ACD,所成角为NDD0

设正方体边长为1

亚

6

2

诟3

在RtADD\O中sinNDD0===

2

故答案选B

【点睛】

本题考查了线面夹角，判断与平面Acq所成角为NO。。是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象

能力.

6、D

【解析】

设等差数列｛为｝的首项为4,公差为d.

•:。2+。3+。10=9

3q+12d=9,即4+4d=3

；・%=3

生包匈=27

2

故选D.

7、D

【解析】

先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成

绩了.

【详解】

解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成

绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D.

【点睛】

本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.

8、A

【解析】

根据所给的随机变量的分布列写出两点分步的随机变量的概率要满足的条件，一是两个概率都不小于0,二是两个概

率之和是1,解出符合题意的c的值.

【详解】

2

由随机变量的分布列知，9C-C>0.3-8C>0,9c2—C+3-8C=1，

c=—,故选A.

3

【点睛】

本题主要考查分布列的应用，求离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.

9、D

【解析】

先利用复数的除法将复数二表示为一般形式，结合题中条件求出。的值，再利用复数求模公式求出瓦

【详解】

.•"="竺=鱼;>=巴2=-4一23由于复数z为纯虚数，所以，一。=0,得。=0,

ZZ2-1

:.z=-2i,因此，|z|=2,故选D.

【点睛】

本题考查复数的除法、复数的概念以及复数求模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数表示为一般形式，结

合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题.

10、C

【解析】

根据含量词命题的否定可知①错误；根据相关指数的特点可知「越接近，，模型拟合度越低，可知②错误；根据四种

命题的关系首先得到逆命题，利用不等式性质可知③正确；分别在一:3和..二？的情况下，根据解集为更确定不等关

系，从而解得，范围，可知④正确.

【详解】

①根据全称量词的否定可知“门>c，；v>sin/的否定是c<鼠不一"，则①错误；

②相关指数二:越接近：，模型拟合度越高，即拟合效果越好；.二二越接近。，模型拟合度越低，即拟合效果越差，则②错

误；

③若“：〉5>1，贝夫J的逆命题为：若“若证>(，贝UJ，根据不等式性质可知其为真

命题，则③正确；

④当m=0时，1一2(.+1)«+.+3=—2«+320,此时解集不为中不合题意；

当E=0时，若1”一2(广+5++3“解集为中只需一

I4(in+1尸一4m(JK+3)<0

解得：小之：，则④正确.

正确的命题为：③④

本题正确选项：二

【点睛】

本题考查命题真假性的判断，涉及到含量词命题的否定、四种命题的关系及真假性的判断、相关指数的应用、根据一

元二次不等式解集为尸求解参数范围的知识.

11、D

【解析】

试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有C；*2x2=12取法；第二类，有两次取到3号球，共有C；x2=6

取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.

考点：排列组合，分类分步记数原理.

12、C

【解析】

分析：在极坐标系中，（份夕＞关于极点的对称点为乃+。）.

详解：。）关于极点的对称点为乃+6）

二M（1,O）关于极点的对称点为（1,兀）.

故选：C.

点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

陪

【解析】

依题意，由正弦定理得HariD-血2cMe==：*□+□）,化简得sin二cos二.=JeosZsinZk即I*JUD*

JJ

所以恒«口一口）=三若当且仅当:an；二二-二二二时等号成立.

14、128

【解析】

由组合数的性质得出丁=2%（04》48）或2%+:；=17,然后利用二次函数的性质或基本不等式求出移的最大值，并

比较大小可得出结论.

【详解】

X、y满足组合数方程Cf=C；7，♦.一=2x（04x48）或2x+y=17,

当y=2x时，则孙=2/e[0/28]；当2x+y=17时，2孙《笥？J=（葭j=竿.

因此，当2x=y=16时，冲，取得最大值128.

故答案为：128.

【点睛】

本题考查组合数基本性质的应用，同时也考查了两数乘积最大值的计算，考查了二次函数的基本性质的应用以及基本

不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

15、0.6

【解析】

由题意知，X8(10,〃)，根据二项分布的概率、方差公式计算即可.

【详解】

由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，

所以£>(X)=10p(l-p)=2.4,

所以p=0.6或“=0.4.

由P(X=4)<P(X=6),得C：°p4(l—〃)6<C：°p6(l—〃)4,

即(1-

所以P>0.5,

所以，=0.6,

故答案为：().6.

【点睛】

本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可.

16、丙

【解析】

列出表格，用J表示已选的，用X表示未选的课程，逐个将每门课程所选的人确定下来，即可得知选击剑的人是谁。

【详解】

在如下图中，用J表示该门课程被选择，用X表示该门课程未选，且每行每列只有一个勾，

太极拳足球击剑游泳

甲XX

乙XJ②X

丙XVX

T

从上述四个人的要求中知，太极拳甲、乙、丙都不选择，则丁选择太极拳,

丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙,

由于乙、丙、丁都为选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑。故答案为：丙。

【点睛】

本题考查合情推理，充分利用假设法去进行论证，考查推理论证能力，属于中等题。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)4=2或4=4+20；(II)%是小于等于-8的所有实数值.

【解析】

(I)根据所给的递推公式，把生，以3用卬表示，然后根据修，的，生成等比数列，列出等式，求出片;

(n)根据所给的递推公式，把生，出用外表示，然后根据外,内，%成等差数列，列出等式，求出力;

【详解】

(I)因为《>0,所以

4=4一同=4—q,

用,0<4<4,

4=4一同=4一|4-4"

8一%4>4,

因为外,a2t生成等比数列，所以44=城,

①0<q«4时，所以a；=(4—得％=2；

②当4>4,所以q(8—aj=(4—aj2,得％=4-20(舍)或4=4+2血

综合①②可知，q=2或4=4+2近.

（II）因为《4-4,所以

a2=4-|a1|=4+«1<0,

%=4一同=8+0,,

%=4-同=4-|8+力

因4，%，。3，2成等差数列，而显然外,生，%成等差数列且公差为4,

所以%=4+%得4_|8+力=（8+q）+4,即|8+q|=~（8+q）,

故％4-8即所求%是小于等于-8的所有实数值.

【点睛】

本题考查了等差数列、等比数列的定义，考查了绝对值的运算，考查了数列递推公式的应用，考查了分类思想.

18、（1）回；（2）-3,2

【解析】

分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共规复数的定义化简。=-3+3利用复数模的公式求解即可；（2）利用

复数除法的运算法则将至勺=5—2i,化为匕-a+2（a+与i=5-2i,由复数相等的性质可得,从而

可得结果.

详解：（1）'：z=2+i,Az=2-i.

•,•<y=z2+35-12=（2+炉+3（2-i）-12=-3+i,

:.|<y|—J（—3）~+『=VTo；

（2）Vz=2+z,

.az+bza（2+i）+Z?（2—i）

2-z2-（2+z）

2（a+b）+（a-b）i（2（a+b）+（a-/?）z[

一-I一-I

=Z?-a+2（a+b）i=5-2i.

b—a=5

工a,b的值为：-3,2.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共

辄复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式

相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分

19、(1)0.55(2)—

11

【解析】

分析：(1)将保费高于基本保费转化为一年内的出险次数，再根据表中的概率求解即可.(2)根据条件概率并结合

表中的数据求解可得结论.

详解：(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，

则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，

故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，

则事件8发生当且仅当一年内出险次数大于3,

故0(3)=0.1+0.05=0.15.

又P(AB)=P(3),

故P⑻A)=学=翼=处」，

P(A)P(A)0.5511

3

因此其保费比基本保费高出60%的概率为五.

点睛：求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据

条件概率的定义或利用古典概型概率求解.

20、(1)展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，7；=231/5,7；=924%一2(2)»=9,常数项为672

【解析】

(1)根据条件求出〃的值，然后判断第几项二项式系数最大，并求之；(2)常数项其实说明x的指数为0,根据这一

特点，利用项数〃与第几项「的关系求解出”的值.

【详解】

解：⑴由已知中+cr+c；Y+c：+c”婚+〃+』7

整理得〃2+〃-132=0=(〃+12)(〃—11)=0,显然〃=11

则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项

门、65_7

/2。2=231”

4=C'6'1,2JX-26/=924/2

n~rL3r-2n

(2)设第厂+1项为常数项，r为整数，二5-)2，*=&22一G二

□I士3—2〃C3

则有-------=0=〃=一厂，

22

所以8＜二＜12=3=5』＜厂＜8,「=6或r=7

233

21

当r=6时，n=9；〃=7时，n--(不合题意舍去)，所以”=9

2

常数项为7；=《(2)3=672

【点睛】

H+1〃+1

对于形如(。+。)"的展开式，展开后一共有"+1项，若〃为奇数，则二项式系数最大的项有2项，分别为——、——+1

22

〃+1

项，为若〃为偶数，则二项式系数最大的项有1项，即为——项(也可借助杨辉三角的图分析).

2

21、(I)最大值为-2,最小值为2-48.(II)最大值为-2,最小值为2-4a.

【解析】

(I)切点(Ly)在函数/。)=/一3⑪+2上，也在切线方程为3x+y+m=0上，得到一个式子，切线的斜率等于

曲线y=/(x)在x=l的导数，得到另外一个式子，联立可求实数”，〃?的值；(II)函数Ax)在闭区间的最值在极

值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.

【详解】

解：(I)f'(x)=3x2-3a,

•.•曲线/5)=/一3奴+2在工=1处的切线方程为3%+丁+m=0,

⑴=3—3。=—3

川)=3—解得修m=0.

(II)由(I)知，f(x)=xi-6x+2,贝！］/'(%)=3/一6,

令/'(x)=0,解得x=士也，

二/(x)在［1,0)上单调递减，在(J5,2］上单调递增，

又/⑴=1-6+2=-3,/(2)=23-6X2+2=-2,/(闾=(可-6x亚+2=2-4痣,

二/(%)在区间［1,2］上的最大值为一2,最小值为2-40.

【点睛】

本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.

22、(1)C.:—+y2=l,C,:x2=6y(2)[0,3(72-1)]

4

【解析】