2023-2024学年江西省吉安市吉水县高二年级上册开学测试数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年江西省吉安市吉水县高二上册开学测试数学

模拟试题

一、单选题

1.在复平面内，。为原点，向量OA对应的复数为-1-2"若点A关于直线y=χ的对称点

为点B,则向量OB对应的复数为

A.-2-iB.-2+i

C.2+iD.l+2z

【正确答案】A

【分析】求出A点的坐标，可得其关于直线y=χ的对称点的坐标，利用复数与复平面内的

点一一对应可得结果.

【详解】因为复数-1-2,对应的点为4(-1,-2),

所以点A关于直线y=χ的对称点为仇-2,-1),

所以向量OB对应的复数为-2-z∙,故选A.

本题主要考查复数与复平面内的点一一对应关系以及点关于直线的对称点的求解方法，意在

考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.

2.已知直线x+阳+6=0和("L2)x+3y+2m=0互相平行，则实数加的取值为()

A.T或3B.-1C.-3D.1或一3

【正确答案】B

【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.

【详解】；两条直线x+my+6=0和(m-2)x+3y+2m=0互相平行,

.∫1X3-mm-2=0

**{2λn-6(∕n-2)≠0

解得m=-1,

故选B.

已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：

已知4ιΛ1x÷B1y+C1=0,

I2:A2x÷B2y+C2=0,

ΛlB2—A2B]=O

则∕∣∕∕3

4C,—A7ClWO

Z1±∕2≪>Λ1A+B1B2=0.

3.已知两点A。,-2),8(2,1),直线/过点P(0,-l)且与线段AB有交点，则直线/的倾斜角

的取值范围为()

π3π^l「八兀]「兀3π

A.B.0,-U

_44JL4jL24_

八π]∣^3π∖∣^ππ)(τt3n

C.0,-u—,πD.-,-ʊ--^Γ

L4jL4)[42八24」

【正确答案】C

【分析】作出图形，求出PAPB的斜率，数形结合可求得直线/的斜率的取值范围，再由斜

率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.

【详解】如图所示，直线2的斜率M=T,直线总的斜率％=畀=1.

1—02—0

由图可知，当直线/与线段AB有交点时，直线/的斜率么目-1,1],

TC-II_3TC、

因此直线/的倾斜角的取值范围是Pq卜[彳，兀)

故选：C

4.点24,-2)与圆/+V=4上任一点连线的中点的轨迹方程是

A.(X-2)2+(y+1)2=1

B.(X-2y+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=4

D.(x+2)2+(y-l)2=1

【正确答案】A

【详解】试题分析：设圆上任一点为。(%,%),PQ中点为例(χ,y),根据中点坐标公式得,

X=2x—4

{'°_',)因为Q(M，%)在圆Y+V=4上，所以∙√+3√=4,≡P(2Λ∙-4)2+(2.y+2)2=4,

ʃo=2y+2

化为(x-2)2+(y+l)2=l,故选A.

1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.

【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的

常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(χ,y),根据题意列出关于XQ的等式即可；②定义

法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把χ,y分别用第三个变

X=g(x)

量表示，消去参数即可；④逆代法，将1,二代入/(%,%)=。.本题就是利用方法④求

PO=MX)

M的轨迹方程的.

5.如图，在四边形ABC。中，ND48=90。，NADC=135。，AB=5,CD=I42>AO=2,则

四边形A8C。绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为()

1

A.(60+4及)万B.(60+80)τr

C.(56+8√2kD.(56+4√2>

【正确答案】A

【分析】首先根据题意得到四边形ABCO绕AO所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台

挖去一个圆锥，再计算其表面积即可.

【详解】四边形4BCO绕AZ)所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，

如图所示：

因为4=AB=5,所以圆台下底面面积S∣=25万，

22

又因为C0=2e，ZΛCD=135,所以EO=4=2,∕2=^4+(5-2)=5,

所以圆台的侧面积邑=)(可+u)4=t(2+5)χ5=35乃.

圆锥的侧面积s=；X2万/JX4=；X2万X2X2a=4垃兀.

所以几何体的表面积为S=H+S?+$3=25乃+351+=(60+4夜卜.

故选：A

6.已知tana=g,tan4=-g,且ɑ/e(θ/),则2α-夕=()

π_π

A.-B.——

44

L3π一3π4π

C.——D.——或一

444

【正确答案】C

【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出tan(2α-0的值，再判断2a-尸的范围即可

得解.

2×-

SQEIClpr2tanα3ɜ

【详解】因tanα=Ktan夕二一二，pl∣JtanIa=--------=-----^-=-,

37ITanF「(!产4

ɜ-(,ɪ)

tan(2α”)Jan2"tan∕7=工,

l+tan2atan∕71+|x(_l)

TΓJTJT

因0∕∈(0,九),tanof>0,tan∕5<0,则O<α<5,3</?<乃，又tan2a>0,有0<2。<万，

于是得一万<2α—尸<0,因止匕，2a-β=~-,

4

所以2α-夕=-孚.

4

故选：C

7.在一AfiC中，内角A,B,C所对的边分别是α,b,c,且c=2∙cos8,则.ABC的形状

为（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角

三角形

【正确答案】A

【分析】已知条件用正弦定理边化角，由SinC=Sin（A+B）展开后化简得tanA=tan3,可

得出等腰三角形的结论.

【详解】c=24cos8,由正弦定理，得SinC=Sin（A+3）=2SinACOsB,

即sinAcosB+cosAsin8=2SinACOSB,

，sinAcosB=cosAsinB,可得tanA=tanB,

又0<Avπ,0vBvπ,ΛA=β,

则一ABC的形状为等腰三角形∙

故选：A.

8.已知三棱锥E）-ABC的所有顶点都在球。的球面上，AB=BC=2,AC=2√2,若三棱

锥-ABC体积的最大值为2,则球。的表面积为

【正确答案】D

【详解】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积.

详解：因为AB=BC=2,AC=2啦，所以AB4BC,

过AC的中点M作平面ABC的垂下MN,则球心。在MN上,

设。M=/?,球的半径为R,则棱锥的高的最大值为R+力，

因为VO.ABC=gx；x2x2x（R+/?）=2,所以R+∕j=3,

由勾股定理得W=（3-Rf+2,解得R=U，

O

所以球的表面积为S=4）χ与="f,故选D.

369

点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注

意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可

恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径：（2）利用球的截面

的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.

二、多选题

9.下列命题中，正确的是（）

A.对于任意向量.也有∣α+b∣≤∣α∣+∣Z>∣B.若α必=0,则&=O或6=O

C.对于任意向量α,b,有∣α∙8∣≤IaiIblD.若α,6共线，则〃小=士|“M

【正确答案】ACD

【分析】由向量加法的三角形法则可判断A选项；利用数量积的定义式可判断BCD选项.

【详解】对于A：由向量加法的三角形法则可知A正确；

对于B：当万时，”∕=0,故B错误；

对于C因为Ia-I=IaIlbilCoSeISdlI5],故C正确;

对于D：当6共线同向时，a∙b=∖a^b∖cos0=|«∣∣⅛|,

当a,b共线反向时,ab=∖a∣∣⅛∣cos180=-∣d∣∣b故D正确.

故选：ACD.

10.若利、附是两条不重合的直线，夕为两个不重合的平面，下列说法正确的有（）

A.若m"n,mi/a,则〃〃aB.若Inlla,nlβ,mJ/n,则a//?

C.若〃JLa,则机_LaD.若加_1。,〃-1_4,加-1-〃，则

【正确答案】CD

根据平行关系判断AB,根据垂直关系判断CD.

【详解】A.若机〃〃,〃?〃0,则n∕∕α或〃ua,故A不正确：B.若也“都与；两平面的交线

平行，也满足条件，但不能推出a//£,故B不正确；C.两平行线中的一条垂直于平面，则

另一条也垂直于平面，故C正确；D.若加∙La,“∙L尸,m∙L”,则C故D正确.

故选：CD

11.已知sin，+cos。=；,^e(0,π),则()

1212

A.sιnσcosσ=------B.Sln夕一COSe=—

2525

74

C.Sine-CoSe=一D.tan=——

53

【正确答案】ACD

【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项.

【详解】对于A：因为Sine+cos。=’,所以(Sine+cosd)2=1+2SineCOS8=L,

525

12

即SineCOSe=-不，所以A正确；

C4919

对于B、C：(Sin。一CoSe)-=I—2sin6cos6=石，因为6∈(0,π),且SineCOSe=—石v。，

7

所以sin8>0,cos0vθ,BfJsinO-cosθ>0,所以Sine-CoSe=W,所以B错误，C正确；

sin。+COSe=L

5434

对于D：联立ɔ解得sin。=三,cos。=—〒所以tan。=—鼻，所以D正确.

sin。一CoSe=一

5

故选：ACD.

12.如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABC。中，。为底面正方形的中心，N分别为侧棱

PA9PB的中点，下列结论正确的有()

A.PZ)〃平面OMNB.平面PeD〃平面OMN

C.直线P4与直线MN所成角的大小为90D.ONLPB

【正确答案】ABD

【分析】连接BO,由P£>〃。N易证尸。〃平面OMN；证明出CO〃平面QMN,结合P0〃

平面OMN可知平面PCD〃平面0MN；利用边长关系结合勾股定理证明ONLPB.

【详解】对于选项A,连接8。，显然。为8。的中点，

又N为尸B的中点，所以PD〃OMPDB平面OMN,

ONU平面OMN,所以PZ)〃平面OMM,选项A正确；

对于选项B,由M,N分别为侧棱PAP8的中点，得MN〃AB,

又底面为正方形，所以MN〃以>,同理可得CD〃平面OMN,

又由选项A得尸。〃平面QWN,PDoCD=D,

所以平面PCD〃平面OMN,选项B正确；

对于选项C,因为MN〃CD,

所以NPDC(或补角)为直线尸。与直线MN所成的角，

又因为所有棱长都相等，所以ZPDC=60,

故直线PD与直线MN所成角的大小为60,选项C不正确；

对于选项D,因底面为正方形，所以A82+4f)2=BZ)2,

又所有棱长都相等，所以尸笈+尸小=9^,故P8,P

又PD"ON,所以ONLPB,选项D正确.

故选：ABD.

本题考查空间平行关系垂直关系的判断，难度一般.解答时要注意图中的几何关系，根据线

面平行、面面平行及线面垂直等的判定定理判断.

三、填空题

13.复数TL的虚部为_____.

1+1

【正确答案】-g##-0.5

【分析】根据复数的除法法则运算出结果即可.

11-i1-i1i1

［详解［E=∕j*∣=一厂=3-3,故所求虚部为一彳.

l+i(l+ι)(1-ι.)、2222

故答案为.-;

14.如图是以C为圆心的一个圆，其中弦A8的长为2,则AC∙AB=.

【正确答案】2

__________ɪ_____

【分析】作CDJ■回交AB于。，WJAC=A£>+DC=-AB+DC,由此计算求解ACAB即

可得到结果.

【详解】如图，作CDLAB交48于。，则AC=Ao+OC=gA8+OC,

112

则4C-A8=(5A8+OC).AB=-A8=2.

故2.

本题考查平面向量的几何应用，此类题型一般需要结合平面向量的基本定理进行计算化简,

属中档题.

21

15.在边长为4的等边一ABC中，已知Ao=-A8,点P在线段CZ)上，AP=mAC+-AB,

32

则IM=.

【正确答案】√7

3111

【分析】根据题意得AP=wAC+=AO,求出m=；,所以4P=；AC+=AB,即

4442

∣AP∣=,求解即可•

2.31

【详解】因为AD=—A5,所以A3=-AD,又AP="zAC+-A3,

322

13

即AP=WAC+万A3=MAC+^AO,因为点尸在线段Co上，

31

所以P,C,。三点共线，由平面向量三点共线定理得，加+:=1,即加=:，

44

所以AP=LAC+[AB,又/3C是边长为4的等边三角形，

42

所以卜尸(=(；4。+3人^)=-t∣ΛC∣2+i∣ΛC∣∣AB∣cos60

=-！-χl6+,χ4χ4χ,+'χl6=7,故IAPI=S.

1642411

故答案为.不

16.已知圆Λ∕:(x+,")-+(y+l)-=1与圆N关于直线/：x-y+3=0对称，且圆Λ/上任一

点P与圆N上任一点。之间距离的最小值为20-2,则实数的值为.

【正确答案】2或6.

【详解】分析：由两圆对称可得到圆N的圆心坐标，然后根据圆〃上任一点尸与圆N上任

一点。之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数机的值.

详解：设圆N的圆心为(x,y),

；圆Λ/和圆N关于直线/对称，

y+ι

x=-4

y=一机+3

.∙.圆N的圆心为(TTn+3).

222

,IMNl=5∕(4-m)+(-w+4)=y∣2(m-4).

Y圆M上任一点P与圆N上任一点。之间距离的最小值为为2亚-2，

2

ʌλ∕2(w-4)-2≈2√2-2,

国军得=2或〃？=6.

点睛：解答本题的关键是得到圆N的圆心坐标，然后根据几何图形间的关系求解.解答直

线和圆、圆和圆的位置关系问题时，可充分考虑几何图形的性质，将问题转化为两点间的距

离或点到直线的距离求解.

四、解答题

17.已知a=(1,0),6=(2,1).

(1)当人为何值时，履-匕与o+2b共线？

(2)若48=2α+36,8C=α+”力且A,B,C三点共线，求机的值.

【正确答案】(1乂=-；

⑵I

【分析】(1)根据向量共线坐标表示即可求；

(2)三点共线可转化为向量共线，再根据向量共线坐标表示即可求.

【详解】(1)ka-b=k(∖,0)-(2,1)=(fe-2,-1),

a+2⅛=(1,0)+2(2,1)=(5,2).

因为履-6与a+2b共线，

所以2伏一2)—(―l)x5=0,解得％=—L

2

故当《=时，与α+20共线.

(2)因为A,B,C三点共线，。与6不共线，

所以存在实数2,使得AB=2BCQeR),

即2a+3b=λ(a+mb),

整理得(8,3)=(X+2核,核),

∖λ+2mλ=833

所以，。，解得〃?=匕故加的值为

[mλ=322

18.已知点M(3,3),圆C:(x-iy+(y-2)2=4.

(1)求过点M且与圆C相切的直线方程；

(2)若直线以-y+4=0(αeR)与圆C相交于A,B两点,且弦AB的长为2百，求实数。

的值.

3

【正确答案】(1)x=3或3x+4y—21=0；(2)

4

【分析】(1)考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r,直接求解圆的切

线方程即可.

(2)利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解〃即可.

【详解】(1)由圆的方程得到圆心(1,2),半径r=2∙

当直线斜率不存在时，直线x=3与圆C显然相切；

当直线斜率存在时，设所求直线方程为y-3=Mx-3),即京-y+3—3氏=0,

J

由题意得：~∣,2=2,解得左=-；，

√⅛2+14

3

方程为y—3=—三(x-3),Bp3x+4y-21=0.

4

故过点”且与圆C相切的直线方程为x=3或3x+4y-21=0.

(2)弦长AB为28,半径为2.

__,∣α+2∣

圆心至IJ直线qχ-y+4=o的距离d=7=^=

.∣α+2∣

、夜2+1

3

解得〃二一"

本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用,

考查计算能力.

19.已知直线/的方程为：(2+∕n)x+(l-2zn)y+(4-3∕n)=0.

(1)求证：不论加为何值，直线必过定点M；

(2)过点M引直线4,使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求《的方程.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵2x+y+4=0

【分析】(1)歹U出方程(x-2y-3)m+2x+y+4=0,分别令x-2y—3=0,2x+y+4=0可

求出定点；

k-?

(2)令y=0,X=一,令x=0,y=Z-2,表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即

可.

【详解】(1)证明：原方程整理得：(x—2y-3)∕n+2x+y+4=0∙

x-2y-3=0X=-I

由2x+y+4=。,可得

J=一2'

不论机为何值，直线必过定点M(T-2)

(2)解：设直线4的方程为y=&(x+l)-2C<0).

k-2

令y=0,χ=令X=0,y=k-2.

-k

当且仅当M=耳，即左=-2时，三角形面积最小.

则4的方程为2x+y+4=0.

20.已知函数F(X)=Sin2x+-+cos2x+--2sinxcosx

⑴求函数f(χ)的最小正周期及对称轴方程;

(2)将函数y=/(χ)的图象向左平移卷个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸

长为原来的2倍，得到函数y=g(χ)的图象，求y=g(χ)在［0,2扪上的单调递减区间.

【正确答案】(1)最小正周期为力，对称轴方程为X=-∙^+券，⅛∈Z

］「

叫ΓΛ旬2π~157;TC

【分析】(1)利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得/(x)=2CoS+再

根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；

(2)根据三角函数图形变换的性质可得g(x)=2cos(x+?),再根据余弦函数的单调区间求

解即可.

【详加军】(1)f(x)=ɪsin2x+—cos2x+cos2x--sin2x-sin2x,

v72222

/(A*)=V3cos2x-sin2x=2^^-,1∙c1

cos2x——s∖n2x

2

=2cos2xcos----sin2xsin-=2cos2x+-,

I66JI6）

所以函数/（χ）的最小正周期为万，

令2x+%=kn,kwZ,得函数/（X）的对称轴方程为x=*+∙^,ZreZ.

（2）将函数y=∕（x）的图象向左平移专个单位后所得图象的解析式为

y=2cos2∣1+π=2cosl2x+yI,

~6

生

所以g(x)=2(,os2xL+=2cosX+—,

(23I3j

令2A技(k+ɪπ+2kπ,

所以一。+2A&Ik与+2)br,ZeZ.又xe[(),2句,

所以y=g（x）在［。，2句上的单调递减区间为0,可仁,2；T.

21.如图，已知在ABC中，M为BC上一点,AB^2AC<BC,Bel0,|且SinT

⑵若AM为ZeAC的平分线，且AC=I,求"CW的面积.

【正确答案】（1）：

O

Q）叵

12

【分析】（1）由sin5=如•求得cos8=（,由AB=2AC可得SinC=2sin8,结合AM=

88

得NAMC=2ZB,利用正弦定理即可求得答案；

2

（2）由余弦定理求得3C=2,根据角平分线性质定理可求得CM=再求得SinC,由三

角形面积公式可得答案.

【详解】（1）因为SinB=姮，β≡fθ,jl

r..rj

所以CosB=Jl-Sin?B=—,

8

因为AB=2AC,

所以由正弦定理知一^=K=2,即SinC=2sin5,

sinBAC

因为AM=βW,所以ZAMC=2ZB,sinZAMC=sin2B=2sinBcosB,