2023年高考数学客观题二 复数

专题二复数

【考试内容】复数的概念;复数的四则运算;复数的几何意义

【近7年全国卷考点统计】

试卷类型一2016201720182019202020212022

全国卷（甲第一5555555

全国卷（乙卷）5555555

新高考全国I至一55

新高考全国∏着"55

重要考点回顾

一、复数的概念

1.定义:形如〃+历(〃力∈R)的数叫做复数,记作z=g+6i,其中i是虚数

单位W=-I;〃与匕分别叫做复数z=α+历的实部和虚部.HH

2.分类:设复数z=〃+〃i(〃,Z?∈R)

⑴当姓Q时,z为实数；

(2)当届Q时,z为虚数；

(3)当。=0,且屏O时∙z为纯虚数.

3.复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复

数相等.

I4.共甄复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时.这两个

复数互为共加复数,也即Z=Q+历,则Z=a-bi.

5.z=a+bi（a,b£R）的模（或绝对值）:1ZI=Iα+biI=Ja.

I6.复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴

叫做实轴U轴（不包含原点）叫虚轴,

I则复数z=Q+bi（Q力∈R）与复平面上的点伍团建立了---对应

的关系.

二、复数的运算

设复数21=Q+0i,22=c+di(0力,G"£R),则

l.(α+6i)+(c+di)=(α+c)+S+d)i;

2.(α+5i)-(c+di)=(q-c)+S0i;

3.(α+6i)(c+di)=(αc-/?")+SC+αd)i;

7•、・/Xetc+bdbe—cιd.,

4λ.(zβ+⅛ι)-(c+drι)=-ʒ——-+ʒ——-1(zc+dιr≠Ozλ)x.

c+dc+d

考点训练

L若复数(1+历)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位力是实数),则〃二(

11

A.-2B.-C÷D.2

22

【答案】D

［解析］•・•(1+bi)(2+i)=(2-b)+(l+2b)i为纯虚数,

・・・2-。=0,・・・。=2.故选口.

2.设(l+2i)("+i)的实部和虚部相等淇中。为实数,则〃=

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】A

【解析】∙.∙(l+2i)(α+i)=m-2)+(2α+l)i,

••〃-2=2α+1,∙∙αzz-3∙

故选A.

3.i是虚数单位,l+i3等于(

A.iB.-iC.l+iD.l-i

【答案】D

【解析】i3=-i,l+i3=1-i.故选D.

4.i是虚数单位,若集合S={-1Q1},则（）

A.i∈SB.i2∈5C.i3∈SD.-∈5

1

【答案】B

【解析】i2=-l.故选B.

5.设〃力∈R,则Zb=(F是“复数〃+g为纯虚数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

c.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

［解析】因为复数α+g为纯虚数,推得。=0且。≠0,所以"=O.H

所以、。二0”是“复数〃+2为纯虚数”的必要条件而、。=(F无法推

1

得、=0,0≠(F(可能〃不为0力为O或〃力同时为0),即无法推得“复数

〃+&为纯虚数”,所以“"=(F不是“复数为纯虚数”的充分条件

11

综上JM=(F是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.故选B.

1

6.设2的共辗复数是W若z+5=4,z∙5=8,则务于

Z

A.iB.-iC.+lD.±i

【答案】D

［解析］设z="+"i,贝股=α-bi,

2∩=4

由条件可得小+38解得。=2力=±2,

于是有目_2±2i_l±i_(l±i)2

--=±上故选口.

Z2+2il+i^(l+i)(l±i)

7.复数Z=总的共辗复数是（）

乙IJL

A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i

【答案】D

【解析】因为复数Z=驾=省等=-l+i,

所以有5=-l-i.故选D.

8.设〃力∈尺〃+〃=土物为虚数单位）,则。+。的值为

1—21

【答案】8

11-7i(ll-7i)(l+2i)_25+15i

【解析】因为复数α+6i=l-2i^(l-2i)(l+2i)^-5-=5+3i,

故。+b=8.

9.i是虚数单位,在复平面内复数言对应的点所在的象限为(

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

l-3i_(l-3i)(l+i)4-2i

【解析】TT-^(l-i)(l+i)=2-i.

复数言对应的点为(2,-1),即在第四象限.故选D.

10.已知0<α<2,复数2=α+i(i是虚数单位),则IZl的取值范围是(

A.(l,5)B.(l,3)C.(l,√5)D.(l,√3)

【答案】C

【解析】因为∣z∣=√q2+1,而0<”2,

于是1<√α2+1<√5∙故选C.

∏∙若复数2满足2（2-i）=Π+7i（i为虚数单位）,则IZI为（）

A.4B.-4C.√34D.-√34

【答案】C

【解析1由z（2-i）=∏+7i,得2，Iad黑:D=3+5i,

2—1—1）（N十I）

于是IZl-√32+52^V34∙故选c.

12.在复平面内,复数W对应的点的坐标为()

ɔIɪ

A.(l,3)B.(3,l)C.(-l,3)D.(3,-l)

【解析】由券=恐沿Γl+3i,得拦在复平面上对应的点的坐

3+12+1)(3—1)3+1

标为(1,3),故选A.

13.设复数2满足i2=l,其中i为虚数单位,则2=(

A.-iB.iC.-lD.l

【解析】由iz=l得z=∖-i.故选A.

14.若Q为实数,且答^=3+i,则Q=()

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】D

［解析】由题意可得2+0i=(l+i)(3+i)=2+4i=>β=4.⅛½D.

15.复数M)

C43.「43.

A.iB.-ic∙Vs1

D-5+51

【答案】A

【解析】i—2(-2+i)(l-2i)5i.

l+2i^(l+2i)(l-2i)^7-1∙故选A.

16.已知复数Z=I-i,贝“三二

/ɪ

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】A

於二(1T)2二二2i

【解析】2.故选A.

z-1(l-i)-ɪT

17.i是虚数单位,i(l+i)等于()

A.l+iB.-l-iC.l-iD,-l+i

【答案】D

【解析】i(l+i)=i+i2=-l+i.故选D.

18.设复数z=l+i（i是虚数单位）,则∣+z2=)

A.l+iB.-l+iC.l-iD.-l-i

【解析】∣+z2=□+(l+i)2=湍淄/(l+2i+i2)=(l-i)+2i=l+i.

故选A.

19.设复数2=（--8机+15）+（〃2_5m+6）1（机£见,则当2表示实数时,相

的值为

A.3B.5

C.3或5D.2或3

【答案】D

【解析】由题意得病-5M+6=0,解得加=2或m=3.故选D.

20.复数z=(Q2-2a)+m2p-2)i(0∈R)在复平面内对应的点在虚轴上,

则实数。满足(

A.g≠2或Q≠1B.α≠2且α≠l

C.α=2或α=0D.a=0

【答案】D

【解析】由题意得［f~2。：。解得a=0.故选D.

α2-α-2≠0,

21.（多选题）设复数Z=今与则以下结论正确的是（）

A.Z2>0B,Z2=ZC,Z3=1D.Z2020=Z

【答案】BCD

[1,・.Z=衿i,

.・"2=（二+立i;二乌L乌,故A错误；

V22J42422

Z?二Z故B正确；

Z3=Z2∙Z=（=-刍）（=+旦）=1乌+3+pl,故C正确；

\22/\22/4444

z2020-z3×673.z-z^故D正确.故选BCD.

22.（多选题）已知复数z=H+i（i为虚数单位）意为Z的共筑复数,若复

数2。三,则下列结论正确的是（）

■A.z.在复平面内对应的点位于第四象限

BJz0I=I

C.Z。的实部为｝

D.Z。的虚部为苧

【答案】ABC

【解析】e∙*2=√3+i,

_z_i_i)?_3-2V^i+i2

2√3i-l√3

•∙⅞zV3+i(V3+i)(λ∕3-i)(Λ∕3)2+12422

Iz01=JeRbC=I,故B正确;

IZOl的实部为"故C正确；

乙

IZOl的虚部为-当故D错误.故选ABC

23.（多选题）下列结论正确的是（）

■A.若复数Z满足z+5=0,则2为纯虚数,

B,若复数Z满足]∈R,则

■C.若复数Z满足z2≥0,则z∈R

D.若复数2避2满足Zi2+Z22=0,则2]=22=0

【答案】BC

［解析】若z=0,则z+5=0,故A错误；

设2=α+bi(0力∈R)，则e艮

故方J∙=0,即。=0,故ZWR,故B正确；

az+bz

因为z2=(〃+bi)2=〃2+2〃坊_/之0,贝［Ja1-b2>Q^2ab=0,

所以6=0,故ZWR,故C正确；

若ZI=1/2=i,则满足Zi2+z22=0,故D错误.故选BC.

24.（多选题）已知复数2=cos140°+isinl40°,i为虚数单位,则下列

说法正确的是）

A.z的虚部为isin140°

B.z在复平面上对应的点位于第二象限

D.Z3，+乌

22

【答案】BCD

【解析】Vz=Cos140o+isin140°,

・・・2的虚部为SinI40。，故A错误；

2在复平面上对应的点的坐标为（CoSl40。，Sinl400