专题01平面向量的概念与运算

专题01平面向量的概念与运算知识点1向量的有关概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模模的特点：（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位的向量.将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。规定：与任一向量共线.【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．知识点2向量的线性运算1、向量的加法运算（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。（2）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC（3）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线OC就是a与b的和【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0＋a＝eq\a\vs4\al(a).【注意】=1\*GB3①在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；=2\*GB3②平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．（4）向量加法的运算律结合律：a＋b＝b＋a交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2、向量的减法运算（1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.=1\*GB3①规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；=2\*GB3②(－a)＝a；=3\*GB3③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；=4\*GB3④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量．（2）向量的减法=1\*GB3①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.=2\*GB3②几何意义：以O为起点，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．3、向量的数乘运算（1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.（3）线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知识点3向量共线1、向量共线的条件（1）当向量时，与任一向量共线．（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．【注意】（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；（3）有且只有一个实数，使．（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.知识点4向量的数量积1、向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角．（2）性质：当时，与同向；当时，与反向．（3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．2、向量的数量积的定义（1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)；（2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0；3、向量在上的投影向量（1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．（2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．（3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积4、平面向量数量积的性质设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则（1）；（2）；（3）当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；（4）cosθ＝；（5）5、平面向量数量积的运算律（1）；（2）(λ为实数)；（3）；（4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线．（5）平面向量数量积运算的常用公式考点1向量的相关概念辨析【例1】（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）下列命题：①若，则；②若，，则；③的充要条件是且；④若，，则；⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；对于②，若，，则，②对；对于③，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；对于④，取，则、不一定共线，④错；对于⑤，若、、、是不共线的四点，当时，则且，此时，四边形为平行四边形，当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.故选：A.【变式11】（2023·江苏·高一专题练习）设点是正三角形的中心，则向量，，是（）．A．相同的向量B．模相等的向量C．共线向量D．共起点的向量【答案】B【解析】是正的中心，向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，是正三角形的中心，到三个顶点的距离相等，即，但是向量，，它们不是相同的向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.故选：B.【变式12】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）下列五个结论：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量，则与的方向必不相同；③，则；④向量是单位向量，向量也是单位向量，则向量与向量共线；⑤方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量一定是平行向量．其中正确的有（）A．①⑤B．④C．⑤D．②④【答案】C【解析】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；，但与的方向可以相同，故②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；如图，作出这两个向量，则方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量方向相反，所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确．故选：C.【变式13】（2023春·安徽·高一颍上第一中学校考阶段练习）（多选）下列说法错误的为（）A．共线的两个单位向量相等B．若，，则.C．若，则一定有直线D．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上【答案】ABCD【解析】A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故错误；B：，不一定有，故错误；C：直线与可能重合，故错误；D：若与平行，则A，B，C，D四点不共线，故错误.故选：ABCD【变式14】（2023·高一课时练习）四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是________．①；②；③；④．【答案】①②④【解析】对于①，四边形，，都是全等的菱形，，即，①正确；对于②，，，则与反向，，②正确；对于③，若，则，，若四边形，，都是全等的正方形，如下图所示，此时，，即，③错误；对于④，三点共线，方向相反，，④正确.故答案为：①②④.考点2向量的加减数乘混合运算【例2】（2023秋·辽宁·高一校联考期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E为AD的中点．则下列式子不正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，并且四边形ABCE和四边形BCDE都是平行四边形，即，对于A，，正确；对于B，，正确；对于C，，错误；对于D，，正确；故选：C.【变式21】（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）如图所示，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，可得，可得且，所以.故选：B.【变式22】（2023春·安徽·高一铜陵一中校考阶段练习）（多选）下列四式可以化简为的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】对选项A：，正确；对选项B：，正确；对选项C：，正确；对选项D：，错误．故选：ABC【变式23】（2023·全国·高一专题练习）若，则________.【答案】【解析】将题设等式展开并化简得：，则.故答案为：【变式24】（2023·全国·高一专题练习）化简：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.考点3用已知向量表示其他向量【例3】（2023春·全国·高一专题练习）在中，，，，M为BC的中点，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，又因为，，故选:A.【变式31】（2023春·全国·高一专题练习）已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（）A．7B．6C．3D．2【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，，故.故选：A．【变式32】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，，，试用向量表示向量，，.【答案】，，【解析】因为四边形ACDE是平行四边形，所以，，所以.【变式33】（2022秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）如图所示的中，点D、E分别在边BC、AD上，且.，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，又，，，又，，.故选：B.考点4向量共线证明三点共线【例4】（2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）已知，，，则（）A．M，N，P三点共线B．M，N，Q三点共线C．M，P，Q三点共线D．N，P，Q三点共线【答案】B【解析】，，，，，由平面向量共线定理可知，与为共线向量，又与有公共点，，，三点共线，故选：B．【变式41】（湖北省部分学校20222023学年高一下学期3月联考数学试题）若A，B，C是三个互不相同的点，则“”是“A，B，C三点共线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为A，B，C是三个互不相同的点，所以均不为零向量，若，则A，B，C三点共线，反之亦成立，故“”是“A，B，C三点共线”的充要条件．故选：C【变式42】（2023秋·山东济南·高三统考期中）已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】充分性：由得，故，则，故三点共线，所以充分性成立，必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而，所以，所以，所以必要性成立.综上所述：”是“三点共线”的充要条件.故选：C【变式43】（2022秋·广西梧州·高二校考期中）设是空间中两个不共线的向量,已知,且三点共线,则的值为（）A．2B．3C．D．8【答案】C【解析】由题知由于是空间中两个不共线的向量,且有,所以,因为三点共线,所以,所以存在实数,使得,所以,所以.故选:C【变式44】（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.（1）若，试用，和实数表示；（2）试用，表示；（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】（1）由题意，所以，①（2）设，由，，②由①、②得，，所以，解得，所以；（3）由，得，所以，所以，因为与有公共点，所以，，三点共线.考点5利用向量共线求参数【例5】（2023春·江苏·高一校联考阶段练习）已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】因为与共线，则存在，使得，即，因为向量、不共线，则，整理可得，即，解得或.故选：C.【变式51】（2023·全国·高一专题练习）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（）A．B．0或C．0或1D．0或3【答案】A【解析】因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以所以.故选:A.【变式52】（2023·全国·高一专题练习）已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为与平行，所以存在实数，使得，即，又为不共线，所以，解得.故选：B.【变式53】（2023·高一课时练习）已知两个非零向量，不共线，若，则实数等于（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以存在实数，使得，即，解得.故选：C【变式54】（2022春·安徽阜阳·高一统考期末）已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数t的值为（）A．1B．—C．1或－D．－1或－【答案】B【解析】因为与共线，所以，解得或－．当时与同向，不符合题意，当时与反向，符合题意．故选：B．考点6向量数量积的运算【例6】（2023春·全国·高一专题练习）已知向量，满足，且与的夹角为，则（）A．6B．8C．10D．14【答案】B【解析】`由，且与的夹角为，所以.故选：B.【变式61】（2023·高一单元测试）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，点D在线段BC上，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设等腰△ABC在边上的高为，因为，所以，所以,所以，所以.故选:B.【变式62】（2023·全国·高一专题练习）如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（）A．1B．2C．D．【答案】A【解析】在边长为2的等边中,BD为中线，则故选：A【变式63】（2023·全国·高一专题练习）如图，在中，，，，M是边上的中点，P是上一点，且满足，则（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】因为P是上一点，故可设，因为M是边上的中点，所以，所以，，又，所以，故，所以，所以，因为，，，所以，所以，故选：D.【变式64】（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）如图，在边长为4的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则=（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】因为点E为中线BD的三等分点，点F为BC的中点，所以,,所以因为是边长为4的等边三角形，为中线，所以，，所以，所以.故选：A.考点7向量垂直的应用【例7】（2022春·辽宁·高一校联考期末）已知非零平面向量、，“”是“”的（）条件.A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【解析】对于非零平面向量、，.因此，“”是“”的充要条件.故选：C.【变式71】（2023·全国·高一专题练习）已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，又向量与的夹角为且为单位向量，∴，解得.故选：D【变式72】（2022春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）已知是空间中两两不共线的非零向量，则“，”是“，”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，则，从而，故；若，则，从而，故.故选：C.【变式73】（2022春·四川遂宁·高一遂宁中学校考期末）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD一定是（）A．正方形B．平行四边形C．矩形D．菱形【答案】D【解析】由,得可知，四边形为平行四边形；又由可知，四边形对角线互相垂直，故四边形为菱形．故选：D．考点8向量夹角相关计算【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】、所以所以向量与的夹角为，故选：C【变式81】（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）已知向量，满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以所以又，，，,所以，故选：C．【变式81】（2023·全国·高一专题练习）若且，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以又因为，所以，及，所以所以与的夹角表示为，则所以与的夹角为.故选：A.【变式82】（2023·高一单元测试）已知空间向量满足，，，，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，则，即，从而，解得：.故选：D【变式83】（2023·全国·高一专题练习）已知，是单位向量，若，则，的夹角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，是单位向量，所以，因为，所以，所以，即，所以，即，的夹角是.故选：B【变式84】（2022春·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知，是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，是夹角为的两个单位向量，则则，则，所以，又因为，即，的夹角为.故选：C.考点9向量模长相关计算【例9】（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）已知平面向量，满足，，，则（）A．2B．4C．D．【答案】A【解析】因为，满足，，，所以，，所以，故选：A【变式91】（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则（）A．3B．C．D．1【答案】C【解析】因为，所以.因为，为夹角为60°的两个单位向量，所以，故选：C【变式92】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知空间非零向量，，满足，，，与方向相同，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可设，由可知，所以，所以，∵，∴，即.故选：C.【变式93】（2022春·江苏盐城·高一统考期末）在中，，，点满足，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则当时，，.故选：A.考点10向量的投影向量【例10】（2023春·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】在方向上的投影向量为，故选：D【变式101】（2023·全国·高一专题练习）已知，则向量在向量方向上的投影向量的长度为（）A．－4B．4C．－2D．2【答案】B【解析】依题意，向量在向量方向上的投影向量的长度为.故选：B【变式102】（2023·全国·高一专题练习）设非零向量，满足，，则向量在方向上的投影向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设的夹角为，由得.所以向量在方向上的投影向量为.故选：A【变式103】（2023·全国·高一专题练习）已知，求在上的投影向量．【答案】【解析】因为，，所以，所以在上的投影向量为.【变式104】（2023·全国·高一专题练习）设为的外接圆圆心，若，则在上投影向量的模为_________【答案】【解析】由得,所以为的中点，又因为为的外接圆圆心，所以,,所以,在中，,,所以在上的投影为,所以在上投影向量为,所以在上投影向量的模为.1．（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（）A．1B．C．D．2【答案】A【解析】如图，连接AC，由，得.因为为半圆上的点，所以，所以．故选：A.2．（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得的点为的费马点.已知点为等边的费马点，且，则（）A．12B．36C．D．18【答案】D【解析】设，则，因为为等边三角形，所以，，同理：，，又，所以，则，所以点为的中心，，，且，则，故选：D3．（2023春·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）已知向量的夹角为，且对任意实数恒成立，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】；，由，则，整理可得，设，则，即，解得.故选：B.4．（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）设，夹角为，则等于（）A．37B．13C．D．【答案】D【解析】∵．夹角为，所以，故选：D．5．（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为，此人朝正南方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，表示河水自西向东的流速，表示某人在静水中游泳的速度，则即表示他的实际前进方向，由题意可知，，则在中，，故，即他的实际前进方向与水流方向的夹角为，故选：B6．（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则的形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因为，，所以，所以为等边三角形．故选：A7．（2023春·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）设向量的夹角的余弦值为，且，则（

）A．15B．11C．12D．9【答案】B【解析】由题意，，.故选：B.8．（2023春·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）下列不能化简为的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，，故A不符合题意；对于B，，故B不符合题意；对于C，，故C不符合题意；对于D，，故D符合题意.故选：D.9．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）下列结论是否正确有（）A．若与都是单位向量，则B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量C．直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合【答案】BD【解析】对于A，因为与的方向可能不同，故错误；对于B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确；对于C，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误；对于D，假设点与点重合，则向量，与已知矛盾，所以假设不成立，即点M与N不重合，故正确；故选:BD10．（2023·全国·高一专题练习）给出下列命题正确的是（）A．空间中所有的单位向量都相等B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C．若满足，且同向，则D．对于任意向量，必有【答案】BD【解析】对于A：向量