江苏省泰兴市振宇外国语学校2023年数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析

江苏省泰兴市振宇外国语学校2023年数学九年级第一学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A． B． C． D．2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．一个不透明的口袋中放着若干个红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中随机取出一个球，取出红球的概率是．如果袋中共有32个小球，那么袋中的红球有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm5．若，相似比为1:2，则与的面积的比为（）A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:16．一个盒子中装有2个蓝球，3个红球和若干个黄球，小明通过多次摸球试验后发现，摸取到黄球的频率稳定在0.5左右，则黄球有（）个．A．4 B．5 C．6 D．107．下列四个点中，在反比例函数的图象上的是（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）8．若，则的值为（）A．0 B．5 C．-5 D．-109．在下列图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．10．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．11．若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则对应面积的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：912．下列对于二次函数y＝﹣x2+x图象的描述中，正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是y轴C．有最低点 D．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的二、填空题（每题4分，共24分）13．小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上,他第二次再抛这枚硬币时,正面向上的概率是.14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A(2,﹣4)，B(m,2)两点.当x满足条件______________时，一次函数的值大于反比例函数值.15．抛物线y=x2+3与y轴的交点坐标为__________．16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点F，则tan∠BDE＝______.17．抛物线y=5（x﹣4）2+3的顶点坐标是_____．18．已知四条线段a、2、6、a＋1成比例，则a的值为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．（1）求证：△ABC∽△BDC．（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面积．20．（8分）解方程:．21．（8分）解方程：x2﹣x﹣12=1．22．（10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．23．（10分）在平面直角坐标系中的两个图形与，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形间的“和睦距离”，记作，若图形有公共点，则．(1)如图（1），，，⊙的半径为2，则，；(2)如图（2），已知的一边在轴上，在上，且，，．①是内一点，若、分别且⊙于E、F，且，判断与⊙的位置关系，并求出点的坐标；②若以为半径，①中的为圆心的⊙，有，，直接写出的取值范围．24．（10分）一次函数分别与轴、轴交于点、.顶点为的抛物线经过点.（1）求抛物线的解析式；（2）点为第一象限抛物线上一动点.设点的横坐标为，的面积为.当为何值时，的值最大，并求的最大值；（3）在（2）的结论下，若点在轴上，为直角三角形，请直接写出点的坐标.25．（12分）如图，是半圆上的三等分点，直径，连接，垂足为交于点，求的度数和涂色部分的面积．26．已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(－3，0)，(2，－5)．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】试题分析：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，当a＜0时，二次函数开口向上，顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数开口向上，顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．符合条件的只有选项C，故答案选C．考点：二次函数和一次函数的图象及性质．2、A【解析】轴对称图形一个图形沿某一直线对折后图形与自身重合的图形；中心对称图形是指一个图形沿某一点旋转180°后图形能与自身重合，只有A图符合题中条件.故应选A.3、C【解析】根据概率公式列方程求解即可.【详解】解：设袋中的红球有x个，根据题意得：，解得：x＝8，故选C．【点睛】此题考查了概率公式的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．4、B【分析】由CD⊥AB，可得DM=1．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，∴DM=CD=1cm，OM=R-2,在RT△OMD中，OD²=DM²+OM²即R²=1²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm．

故选B．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．5、C【解析】试题分析：直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论：∵，相似比为1:2，∴与的面积的比为1:4.故选C.考点：相似三角形的性质.6、B【分析】设黄球有x个，根据用频率估计概率和概率公式列方程即可.【详解】设黄球有x个，根据题意得：＝0.5，解得：x＝5，答：黄球有5个；故选：B．【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求球的数量问题,掌握用频率估计概率和概率公式是解决此题的关键.7、A【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将各点坐标代入验算，满足的点即为所求【详解】点（3，﹣2）满足，符合题意，点（3，2）不满足，不符合题意，点（2，3）不满足，不符合题意，点（﹣2，﹣3）不满足，不符合题意故选A．8、C【分析】将转换成的形式，再代入求解即可．【详解】将代入原式中原式故答案为：C．【点睛】本题考查了代数式的运算问题，掌握代入法是解题的关键．9、C【分析】根据中心对称图形的定义进行分析即可.【详解】A、不是中心对称图形．故A选项错误；B、不是中心对称图形．故B选项错误；C、是中心对称图形．故C选项正确；D、不是中心对称图形．故D选项错误．故选C．【点睛】考点：中心对称图形．10、D【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．【详解】解：A选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D选项是中心对称图形，故本选项符合题意；故选D．【点睛】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键．11、D【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：3，∴对应面积的比为（）2＝，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键.12、D【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣(x)2+，∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误；对称轴是直线x＝，故选项B错误；当x＝时取得最大值，该函数有最高点，故选项C错误；在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【解析】∵抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，∴他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是：14、x＜﹣4或0＜x＜2【分析】（1）根据一次函数y=-x+b的图象与反比例函数（a≠0）的图象相交于A(2,﹣4)，B(m,2)两点，可以求得a=-8，m=-4，根据函数图象和点A、B的坐标可以得到当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值．【详解】∵一次函数y=-x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2，-4）、B（m，2）两点，∴将x=2，y=-4代入得，a=-8；∴将x=m，y=2代入，得m=-4，∴点B（-4，2），∵点A（2，-4），点B（-4，2），∴由函数的图象可知，当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．故答案为：x＜﹣4或0＜x＜2.【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．15、（0，3）【分析】由于抛物线与y轴的交点的横坐标为0,代入解析式即可求出纵坐标.【详解】解：当x=0时，y=3，则抛物线y=x2+3与y轴交点的坐标为（0，3），故答案为（0，3）．【点睛】此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与解析式的关系,利用解析式中自变量为0即可求出与y轴交点的坐标.16、【分析】设AD＝DC＝a，根据勾股定理求出AC，易证△AFD∽△CFE，根据相似三角形的性质，可得：＝2，进而求得CF，OF的长，由锐角的正切三角函数定义，即可求解.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AC⊥BD，设AD＝DC＝a，∴AC＝a，∴OA＝OC＝OD=a，∵E是BC的中点，∴CE＝BC＝a，∵AD∥BC，∴△AFD∽△CFE，∴＝2，∴CF＝AC＝a，∴OF＝OC﹣CF＝a，∴tan∠BDE＝＝＝，故答案为：.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理以及正切三角函数的定义，根据题意，设AD＝DC＝a，表示出OF，OD的长度，是解题的关键.17、（4，3）【解析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．【详解】解：∵y=5（x-4）2+3是抛物线解析式的顶点式，

∴顶点坐标为（4，3）．

故答案为（4，3）．【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x-h）2+k中，顶点坐标是（h，k）是解决问题的关键．18、3【分析】由四条线段a、2、6、a＋1成比例，根据成比例线段的定义，即可得=，即可求得a的值．【详解】解：∵四条线段a、2、6、a＋1成比例，∴=，∵a(a+1)=12，解得：a1=3，a2=-4(不符合题意，舍去).故答案为3.【点睛】本题考查了线段成比例的定义：若四条线段a，b，c，d成比例，则有a:b=c:d．三、解答题（共78分）19、（1）详见解析；（2）【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，又由BD是⊙O的切线，根据同角的余角相等，可得∠A=∠CBD，利用有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABC∽△BDC；（2）由AC=8，BC=6，可求得△ABC的面积，又由△ABC∽△BDC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△BDC的面积．【详解】（1）∵BD是⊙O的切线，∴AB⊥BD，∴∠ABD=90°．∴∠A+∠D=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠BCD=90°，∴∠CBD+∠D=90°，∴∠A=∠CBD，∴△ABC∽△BDC；（2）∵△ABC∽△BDC，∴，∵AC=8，BC=6，∴S△ABCAC•BC8×6=24，∴S△BDC=S△ABC24÷()2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．20、（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x1＝，x2＝1．【分析】解一元二次方程常用的方法有因式分解法和公式法，方程在整式范围内不能因式分解，所以选择公式法即可求解；而方程移项后方程左边可以利用平方差公式进行因式分解，易求出此方程的解．【详解】解：（1）x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣；（2）9（x﹣2）2﹣4（x+1）2＝0，[3（x﹣2）+2（x+1）][3（x﹣2）﹣2（x+1）]＝0，3（x﹣2）+2（x+1）＝0或3（x﹣2）﹣2（x+1）＝0，所以x1＝，x2＝1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，根据方程的特点和每一种解法的要点，选择合适的方法进行求解是关键．21、x1=﹣3，x2=2．【解析】试题分析：方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为1，两因式中至少有一个为1转化为两个一元一次方程来求解．试题解析：解：分解因式得：（x+3）（x﹣2）=1，可得x+3=1或x﹣2=1，解得：x1=﹣3，x2=2．22、解：（3）一次函数的表达式为（4）当销售单价定为4元时，商场可获得最大利润，最大利润是893元（3）销售单价的范围是．【解析】（3）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．（4）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=4时商场可获得最大利润．（3）由w=500推出x4﹣380x+7700=0解出x的值即可．【详解】(3)根据题意得：，解得k=﹣3，b=3．所求一次函数的表达式为；（4）=，∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60≤x≤60×（3+45%），∴60≤x≤4，∴当x=4时，W==893，∴当销售单价定为4元时，商场可获得最大利润，最大利润是893元．（3）令w=500，解方程，解得，，又∵60≤x≤4，所以当w≥500时，70≤x≤4．考点：3．二次函数的应用；4．应用题．23、（1）2，；（2）①是⊙的切线，；②或．【分析】（1）根据图形M，N间的“和睦距离”的定义结合已知条件求解即可．（2）①连接DF，DE，作DH⊥AB于H．设OC＝x．首先证明∠CBO＝30，再证明DH＝DE即可证明是⊙的切线，再求出OE,DE的长即可求出点D的坐标．②根据，得到不等式组解决问题即可．【详解】（1）∵A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2，∴d（C，⊙C）＝2，d（O，⊙C）＝AC−2＝，故答案为2；；（2）①连接，作于.设．∵，∴，解得，∴，∴，，∵是⊙的切线，∴平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴是⊙的切线．∵，设，∵，∴，∴，，∴，∴，②∵∴B（0，）∴BD=由，，得解得或故答案为：或．【点睛】本题属于圆综合题，考查了图形M，N间的“和睦距离”，解直角三角形的应用，切线的判定和性质，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．24、（1）；（2）当时，的值最大，最大值为；（3）、、或【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入点的坐标即可求解；（2）连接，可得点，根据一次函数得出点、的坐标，然后利用三角形面积公式得出的表达式，利用二次函数的表达式即可求解；（3）①当为直角边时，过点和点做垂线交轴于点和点，过点的垂线交轴于点，得出，再利用等腰直角三角形和坐标即可求解；②当为斜边时，设的中点为，以为圆心为直径做圆于轴于点和点，过点作轴，先得出和的值，再求出的值即可求解.【详解】解：（1）一次函数与轴交于点，则的坐标为.抛物线的顶点为，设抛物线解析式为.抛物线经过点，..抛物线解析式为；（2）解法一：连接.点为第一象限抛物线上一动点.点的横坐标为，.一次函数与轴交于点.则，的坐标为，.，，..当时，的值最大，最大值为；解法二：作轴，交于点.的坐标为，.点为第一象限抛物线上一动点.点的横坐标为，，...当时，的值最大，最大值为；解法三：作轴，交于点.一次函数与轴交于点.则，点为第一象限抛物线上一动点.点的横坐标为，.把代入，解得，..当时，的值最大，最大值为；解法四：构造矩形.（或构造梯形）一次函数与轴交于点.则，的坐标为