state estimation for robotics一点学习记录

6.3.3Frenet-Serret系是值得研究清楚的。图6.3.3Frenet-Serret系是值得研究清楚的。图6.4描述了一个点V在空间中做平滑运动。Frenet-Serret坐标系附着在该点上，第一个轴指向运动方向（曲线的切线方向），第的切向，法向和副法向。这个坐标系是由两个法国数学家各自独立的发现它之后被命名的：JeanFrenet1847年的论文和JosephAlfredSerret1851年）==,,6自由度速度向量（在运动坐标系中描述）如果我们6自由度速度向量（在运动坐标系中描述）如果我们想使用𝑇𝑖𝑣（例如上一节所述的原因）而不是𝑇𝑣𝑖，我们队上式进分，然后输出𝑇𝑖𝑣𝑇−1，或者我们可以积分xy然后限制τ06.4（一个安装有传感器的装置的参考坐标系示意图，传感器观测世界坐标系中一点6.4（一个安装有传感器的装置的参考坐标系示意图，传感器观测世界坐标系中一点我们有一个惯性坐标系，𝑖，一个装置的体坐标系，𝑣，一个传感器坐标𝑣参数通常是固定的或者一些标定来确定或者直接被打包在状态估计过程中。在Pℱ位置处的传感6.4.1SSC的距离称为焦距，在这个理想相机模型中为16.6本质矩阵（Essential那么这两次观测到归一化那么这两次观测到归一化图像坐标𝑝𝑎和𝑝𝑏彼此通过下面的约束相关在计算机视觉中𝐸𝑎𝑏称为本质矩阵对于j=a,b系将归一化的图像坐标(𝑥系将归一化的图像坐标(𝑥𝑛𝑦𝑛)转换为像素坐标(𝑢,𝑓𝑢，焦距的垂直像素表达𝑓𝑣，以及实际图像原点相对于图像平面与光轴交点机标定的时候确定以消除镜头的影响，因此我们可以认为K是已知的。基础矩阵（Fundamental=7Lie群7Lie群矩概念，叫做“不可交换群”（non-commutativegroup），并具有向量空间的某些供了一个关于李群的易理解的说明，Chirikjian(2009)从机器人领域来说是一个非常好7.1几何表示位姿的特殊欧氏群SE(3)SO(3)7.1.1==即存在两种可能性，选择det𝐶=1而且，零举证不是一个有效的旋转矩阵：0∉SO(3)。没有这些属性（一些其他性质），SO(3)就不是一个向量空间（至少不是𝑅3×3的子空间） SO(3)类似，SE(3)也不是一个向量空间（至少不是一个𝑅4×4）的子表7.1.1列出了我们这两个李群矩阵满足的群性质。SO(3)的封闭性可以即如果𝐶1𝐶2∈𝑆𝑂(3)，那么𝐶1即如果𝐶1𝐶2∈𝑆𝑂(3)，那么𝐶1𝐶2∈𝑆𝑂(3)。SE(3)因为𝐶1𝐶2𝑆𝑂(3)并且𝐶1𝑟2𝑟1∈𝑅3。从矩阵乘法的性质可以得到这两个群的结合律。这两个群的幺元是各自的单位阵。最后从𝐂𝑪𝑻=𝟏得到𝐶−1=𝐶𝑇们可知一个SO(3)成员的逆依旧属于SO(3)一个SE(3)成员的逆是由于𝐶𝑇∈𝑆𝑂(3)，−𝐶𝑇𝑟∈𝑅3和SE(3)7.1.2旋转与SO(3)相关联的李代数是质是成立的。令Φ1=𝜙∧，Φ2=∧∈12 so(3)位姿与SE(3)相关联的李代数是 so(3)位姿与SE(3)相关联的李代数是性质是成立的。令𝚵𝟏=𝝃∧和𝚵𝟐=∧∈称为李代数，尽管它只是SE(3)7.1.3指数映射（Exponential∈7.1.3指数映射（Exponential∈旋转对于旋转，我们通过指数映射（ExponentialMap）建立SO(3)成员和这里C∈SO(3)并且𝜙∈作（并不唯一𝑅3（因此𝜙∧∈𝔰𝔢(3)）从数学上来讲，从𝔰𝔬(3)SO(3)的指数映射是满射（多对一）。这意味着可以从多个𝔰𝔬(3)来映射得到一SO(3)使用指数映射将𝔰𝔬(3)映射到SO(3)。令𝝓=𝜙𝒂,这里𝜙=|𝝓|是旋转的角度，留给读者来证明。这说明对于每一个𝝓𝑅3留给读者来证明。这说明对于每一个𝝓𝑅3都会产生一个有效的CSO(3)m是任意的正整数，cos(ϕ2πm)=cos(ϕ)而且sin(ϕ2πm)<另外，我们希望看到每一个CSO(3)可以由某个𝝓R3个逆向的映射关系：𝝓ln(𝐶)⋁。我们将以封闭的形式将其给出。由于将一个这意味着𝜙的解有很多个。通常我们会取|𝝓|<𝜋的一个解。然后将a这意味着𝜙的解有很多个。通常我们会取|𝝓|<𝜋的一个解。然后将a和𝜙结合定的。我们可以观察𝜙C将符号取反。这说明对于任意一个C∈SO(3)都可以由至少一个𝝓∈𝑅37.10的附近，𝜃𝑣𝑖=0，李代数仅仅是一个正这个例子中旋转被限制在一个平面上（1），但是通常情况下李代数3。换言之，图中的直线是三维李代数向量空间中的一个一位姿SE(3)和𝔰𝔢(3)位姿SE(3)和𝔰𝔢(3)之间的联系T∈SE(3)，ξ∈𝑅6（因此𝜉⋀𝔰𝔢(3)）从𝔰𝔢(3)到SO(3)的指数映射也是多对一的关系：即每ξ∈𝑅6T∈SE(3)都可以由多为了说明多对一的性质，我们首先进行正向验证。从ξ=[𝜙]∈𝑅6J7.2提供了ξ6个元素中每个元素的改变是如何改变J7.2提供了ξ6个元素中每个元素的改变是如何改变下面我们反向来看这个问题，从T=[16⋁ξ=[𝜙]∈𝑅来生成。我们需要逆向的映射，ξ=ln(𝑇)看到如何从C∈SO(3)得到𝝓∈𝑅3J已经由𝜙计算得到。最后我们用𝜌和𝝓∈𝑅3来组成ξ∈𝑅6T∈SE(3)可以由至少一个ξ∈𝑅6SO(3)的Jacobian。在我们已经定义了JJ和J=J和J=数性质，在𝜙2𝜋𝑚m为非零整数时，JJ-1有时候我们也会遇到矩阵JJT和它的逆。从式7.37a≠两者不能同时成立），这说明JJT是正定这里ξ=[𝜙]∈𝑅6，𝜙=|𝝓|7.1.47.1.4SE(3)成员的伴随矩SE(3)的所有成员的伴随矩阵的集合可以表示Ad(SE(3))也是一个李群，我们下面会说明这一对于封闭性，我们令𝒯1𝐴𝑑(𝑇1)，𝒯2𝐴𝑑(𝑇2𝑆𝐸(3)上式对于任意的C∈SO(3)和v∈𝑅3𝒯=𝐴𝑑(𝑇)∈再加上连续性，这4个性质说明Ad(SE(3))我们再来讨论一下𝔰𝔢(3)成员的伴随阵。令𝚵=𝝃∧∈𝔰𝔢(3)再加上连续性，这4个性质说明Ad(SE(3))我们再来讨论一下𝔰𝔢(3)成员的伴随阵。令𝚵=𝝃∧∈𝔰𝔢(3)注意，对于SE(3)的伴随我们使用大写的符号Ad(∙)，对于𝔰𝔢(3)和Ad(SE(3))我们依旧略去证明括号性质是成立的。令Ψ1=𝜉，Ψ2=⋏⋏∈12另一个要讨论的问题是通过指数映射来建立Ad(SE(3))和ad(另一个要讨论的问题是通过指数映射来建立Ad(SE(3))和ad(𝔰𝔢(3))的关系此处𝒯∈Ad(SE(3))，ξ∈𝑅6（因此𝜉⋏