浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题1.15 二次根式（常考考点专题）（巩固篇）（专项练习）（附参考答案）

专题1.15二次根式（常考考点专题）（巩固篇）（专项练习）一、单选题【类型一】定义与概念的理解【考点一】二次根式➽➼➵概念➻➼二次根式✮✮复合二次根式1．下列式子中是二次根式的是（

）A． B． C． D．2．化简为（）A． B． C． D．1【考点二】最简二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．4．下列实数中是无理数是（

）A． B． C． D．【考点三】同类二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数5．下列根式中与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．6．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．10【考点四】分母有理化➽➼➵化简✮✮求值7．已知，则的值为（）．A．﹣2 B．2 C．2 D．-28．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（）A．相等 B．互为相反数C．互为倒数 D．互为有理化因式【类型二】二次根式的性质➽➼双重非负性【考点一】二次根式➽➼➵二次根式的意义9．x取下列各数时，使得有意义的是（

）A．0 B． C． D．10．已知，化简二次根式的值是（

）．A． B． C． D．【考点二】二次根式➽➼➵二次根式的化简11．已知，则二次根式化简后的结果为（

）．A． B． C． D．12．已知实数a满足，那么的值是（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【类型三】二次根式的运算【考点一】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘法13．的一个有理化因式是（

）A． B． C． D．14．在中，，，，则的面积是（

）A．5 B． C．10 D．【考点二】二次根式运算➽➼➵二次根式的除法15．下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．16．若与互为相反数，则的值是（

）A． B． C． D．【考点三】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘除法17．下列各式正确的是(

)A．×＝9 B．(4)2＝8 C．÷ D．＝7－418．计算2×÷的结果是（）A． B． C． D．【考点四】二次根式运算➽➼➵二次根式的加减法19．计算：的结果为（

）A．1 B．2 C．3 D．20．已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（

）A． B． C．2 D．1【考点五】二次根式运算➽➼➵二次根式的混合运算21．估计的值应在（）A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间22．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【类型四】二次根式的化简求值【考点一】二次根式化简求值➽➼➵直接化简求值23．已知时，则代数式的值（）A．1 B．4 C．7 D．324．若x＝﹣4，则代数式x2+8x﹣16的值为（

）A．﹣25 B．﹣11 C．7 D．25【考点二】二次根式化简求值➽➼➵条件式化简求值25．若+（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（）A． B．± C． D．±26．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【考点三】二次根式化简求值➽➼➵比较大小27．估算的值应在（

）．A．4和5之间 B．5和6之间C．6和7之间 D．7和8之间．28．比较大小错误的是（

）A．＜ B．＋2＜﹣1C．＞﹣6 D．|1－|＞－1【类型五】二次根式的应用【考点一】二次根式的应用➽➼➵几何问题✮✮古代问题29．如图，长方形内，两个小正方形的面积分别是18，2，则图中阴影部分的面积为（

）A．4 B．9 C．6 D．30．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城周长的最小值为（

）（注：1里=300步，且两个正数的和大于等于其积开方的两倍，当两数相等时取等号）．A．里 B．里 C．里 D．里【考点二】二次根式的应用➽➼➵规律问题✮✮最值问题31．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2022行从左向右数第2021个数是（

）A．2021 B． C． D．32．代数式的最小值是（

）A．0 B．3 C． D．不存在二、填空题【类型一】定义与概念的理解【考点一】二次根式➽➼➵概念➻➼二次根式✮✮复合二次根式33．已知点的坐标满足，，且，则点的坐标是__________34．化简的结果为____．【考点二】最简二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数35．下列各式：①②

③

④是最简二次根式的是:_____（填序号）36．若和都是最简二次根式，则m+n＝_____．【考点三】同类二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数37．若两最简根式和是同类二次根式，则的值的平方根是______．38．若最简二次根式和能合并，则＝__．【考点四】分母有理化➽➼➵化简✮✮求值39．解不等式：的解集是______．40．当时，代数式的值是______．【类型二】二次根式的性质➽➼双重非负性【考点一】二次根式➽➼➵二次根式的意义41．当x__________时，代数式有意义．42．已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为___________.【考点二】二次根式➽➼➵二次根式的化简43．当时，化简：_____．44．若，则______【类型三】二次根式的运算【考点一】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘法45．计算：=___________．46．当时，化简的结果是__________．【考点二】二次根式运算➽➼➵二次根式的除法47．的倒数是______．48．化简的结果是______．【考点三】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘除法49．计算结果是_______________________．50．设，，用含的代数式表示，结果为________．【考点四】二次根式运算➽➼➵二次根式的加减法51．已知是的整数部分，是的小数部分，则_____．52．若与是可以合并的二次根式，则这两个二次根式的和是______．【考点五】二次根式运算➽➼➵二次根式的混合运算53．不等式的解集是______．54．的整数部分为，小数部分为，则___________．【类型四】二次根式的化简求值【考点一】二次根式化简求值➽➼➵直接化简求值55．若，则的值为______．56．若x＝－1，则＋x＝_______．【考点二】二次根式化简求值➽➼➵条件式化简求值57．已知，那么的值为__________.58．已知x＝，则的值等于____________．【考点三】二次根式化简求值➽➼➵比较大小59．比较大小：______．60．满足不等式的整数m的个数是______．【类型五】二次根式的应用【考点一】二次根式的应用➽➼➵几何问题✮✮古代问题61．已知，，为三个正数，当代数式取最小值时__．62．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，，，则此三角形的面积为______．【考点二】二次根式的应用➽➼➵规律问题✮✮最值问题63．已知一列数：，，，，，……，认真观察发现其中的规律，用含有（正整数）的代数式表示第个数是______．64．已知a＜＜a+1（a为正整数），是整数，当b取最小值时，则a﹣b＝___．参考答案1．C【分析】利用二次根式的定义进行解答即可．解：A、中，当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、中当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；C、，恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意；D、中被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．【点拨】本题主要考查了二次根式定义，关键是掌握形如()的式子叫做二次根式．2．C【分析】将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值解：＝.故选C.【点拨】考查了代数式的变形，把根号里的代数式化成一个完全平方式，然后再化简求值，注意开平方时代数式为非负数．3．C【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即可．解：A.，故A不符合题意；B.，故B不符合题意；C.是最简二次根式，故C符合题意；D.，故D不符合题意．故选：D．【点拨】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的特点①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解答本题的关键．4．B解：，，，，所以是无理数，其余的都是有理数，即是无理数．故选：B．【点拨】本题主要考查了无理数的定义，最简二次根式、立方根、零指数幂，理解相关运算法则是解答关键．5．C【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．解：A.，与不是同类二次根式，不符合题意；B.，与不是同类二次根式，不符合题意；C.，与是同类二次根式，符合题意；D.，与不是同类二次根式，不符合题意．故选：C．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简以及同类二次根式的知识，熟练掌握二次根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．6．A【分析】先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．解：，∵最简二次根式与能够合并，∴，∴，故选：A．【点拨】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．7．B【分析】根据所给字母的值，直接代入求值即可．解：，，故选：B．【点拨】本题考查代数式求值，涉及到分母有理化及实数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．8．A【分析】求出a与b的值即可求出答案．解：∵a＝＝+2，b＝2+，∴a＝b，故选：A．【点拨】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型．9．A【分析】根据二次根式有意义求出x的取值范围，即可得出答案．解：由题意得，，解得：，∴只有A选项符合题意，故选：A．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．10．C【分析】根据二次根式有意义的条件求出，求出、的范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．解：由二次根式有意义的条件求出，∵，∴，，∴．故选：C．【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．11．D【分析】由题意可得，再根据二次根式的性质化简即可．解：由题意可得：∴∵∴∴故选：D【点拨】此题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．12．A【分析】先根据二次根式有意义的条件可得，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得．解：由题意得：，即，，，，，则，故选：A．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．13．A【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．解：A．∵，∴就是的一个有理化因式，故A符合题意；B．∵，∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意；C．∵，∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意；D．∵，∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意；故选：A．【点拨】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．14．A【分析】根据勾股定理的逆定理可以判定△ABC是直角三角形，再求出其面积就可解决问题．解：∵，，，∴AB2+BC2=，AC2=25，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，∴，故选：A．【点拨】本题考查解直角三角形、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是已知三角形三边，利用勾股定理的逆定理可以判断三角形形状，属于中考常考题型．15．B【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．解：．，选项不正确，不符合题意；B．，选项正确，符合题意；C．，选项不正确，不符合题意；D．，选项不正确，不符合题意．故选：B．【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．A【分析】先利用相反数的含义可得，再利用非负数的性质求解、从而可得答案.解：与互为相反数，且解得：，，故选：A【点拨】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的含义，二次根式的除法运算，利用非负数的性质求解，，是解本题的关键.17．D【分析】根据二次根式的运算法则分别对各项进行计算然后判断即可．解：A．×＝3，故该选项错误；B．(4)2＝32，故该选项错误；C．÷＝=3，故该选项错误；D．∵4＝，7＝，<，即4<7，∴＝7－4，故选：D【点拨】本题考查了二次根式的运算和求算数平方根，熟悉相关性质是解题的关键18．C【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式==3÷=故选C．【点拨】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除法法则，本题属于基础题型．19．D【分析】根据实数的运算法则计算即可．解：故选：D．【点拨】此题考查了化简绝对值、零指数幂、二次根式的加减法，解题的关键熟悉运算法则．20．C【分析】估算无理数的大小，得到m，n的值，代入代数式求值即可得出答案．解：，，，，，．故选：C．【点拨】本题考查了无理数的估算，二次根式的加减运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．21．A【分析】先计算二次根式的乘法，在估算出的近似值，进而得解．解：，∴，∴，∴估计的值应在和之间．故选：A．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握以上的基础知识是解本题的关键．22．B【分析】根据二次根式加法法则计算并判定A；根据二次根式乘法法则计算并判定B；根据二次根式性质化简并判定C；根据二次根式混合运算法则计算并判定D．解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；B．，故本选项符合题意；C．，故本选项不符合题意；D．，故本选项不符合题意；故选：B．【点拨】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．23．C【分析】先把变形得到，再两边平方可得到，最后整体代入计算即可．解：∵，∴，即，∴，∴..故答案为：．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握整体代入的思想是解答本题的关键．24．A【分析】将已知变形，得到，即可得到答案．解：，，，即，，，故选：A．【点拨】本题考查与二次根式相关的代数式求值，将已知变形，得到是解题的关键．25．A【分析】先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入化简二次根式即可得．解：由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得：，解得，则，故选：A．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键．26．A【分析】把原式化简为含ab、a-b的形式，再整体代入计算．解：∵，∴(a+1)(b−1)=ab−a+b−1=ab−(a−b)−1=−(2−1)−1=−.故选A.【点拨】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.27．D【分析】首先把原式化成一个系数为1的二次根式，再分别与比较，即可得到解答．解：∵原式=且49<54<64，∴即，故选D．【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．28．D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．解：A、由于5<7，则＜，故正确；B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确；C、由于，则，故正确；D、由于，故错误．故选：D【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．29．A【分析】由两个小正方形的面积分别为18、2，得出其边长分别为和，则阴影部分的长等于（﹣），宽等于的长方形，从而可得答案．解：面积为18的正方形的边长为：，面积为2的正方形的边长为：，则阴影部分面积为：×＝4，故选：A．【点拨】本题考查了二次根式在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大．30．D【分析】根据题意得出，进而可得出EF⋅GF＝AG⋅BE＝10，结合基本不等式求4（EF+GF）的最小值即可．解：因为1里=300步，则由图知步=4里，步=2.5里，由题意，得，则，所以该小城的周长为，当且仅当时等号成立．故选D【点拨】本题考查基本不等式的实际应用，考查数学运算和直观想象的能力，属于中档题．31．C【分析】经观察发现，第n行共有2n个数，且第n行的第个数为，从而得出答案．解：经观察发现，第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为n＝，∴第2022行从左向右数第2022个数是2022，∴第2022行从左向右数第2021个数是．故选：C．【点拨】本题考查了二次根式的性质，探索规律，发现第n行的第n个数为是解题的关键．32．B【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据，，都随x的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．解：若代数式++有意义，则，解得：x≥2，∵由，，都随x的增大而增大，∴当x＝2时，代数式的值最小，即++＝1+0+2＝3．故选：B．【点拨】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．33．【分析】先根据二次根式求出y,再根据要求求出x即可.解：∵∴y=4∵，∴x=-3∴P为.【点拨】本题考查的是坐标，熟练掌握绝对值和二次根式是解题的关键.34．【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解．解：原式．故答案为：．【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键．35．②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．解：②

③

是最简二次根式，故答案为②③．【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．36．﹣6．【分析】由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．解：由题意可得：解得：∴m+n＝﹣6故答案：﹣6．【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．37．【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求解即可，解：由题意可得：，解得的平方根为故答案为：【点拨】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．38．5【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．解：∵最简二次根式和能合并，∴最简二次根式和是同类二次根式，∴，∴，∴，故答案为：5．【点拨】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到是解题的关键．39．【分析】按照解不等式的一般步骤求解即可．解：，，，，即，故答案为：.【点拨】本题考查了解不等式，和分母有理化，掌握分母有理化是解题的关键.40．5【分析】把已知条件进行分母有理化的运算，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．解：，．故答案为：．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．41．【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0，进行解答即可．解：由题意得：，解得：，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是要注意x应同时满足这两个条件．42．15【分析】根据二次根式和绝对值的非负性得出的值，然后结合三角形三边关系进行计算即可．解：，，，解得：，，若等腰三角形ABC的三边分别为，则，不能构成三角形；若等腰三角形ABC的三边分别为，则此三角形周长为，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式和绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，熟练掌握基础知识点是解本题的关键．43．1【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质计算即可．解：∵，∴，∴．故答案为：1．【点拨】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，熟记：是解题的关键．44．2021【分析】根据二次根式有意义得，再由绝对值的性质化简得到，把a的值代入所求的式子求解即可．解：要使有意义，则，解得，∴，∴，∴，∴．故答案为：2021．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、实数的运算，理解二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．45．##【分析】先把原式写成，然后再运用积的乘方法则的逆用运算即可．解：，．故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的乘法和乘方运算，灵活运用积的乘方和同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．46．【分析】根据二次根式乘法公式得到，再根据二次根式的性质化简即可得到结论．解：，，故答案为：．【点拨】本题考查二次根式的乘法及利用二次根式性质化简代数式，熟练掌握相关性质及公式是解决问题的关键．47．##【分析】根据倒数的定义解答即可．解：∵，∴的倒数是．故答案为．【点拨】本题考查了实数的性质以及倒数，熟记互为倒数的两个数的乘积为1是解题的关键．48．##【分析】根据二次根式的除法法则计算即可．解：．故答案为：【点拨】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．49．【分析】根据二次根式乘除运算法则计算即可．解：=====．故答案为．【点拨】本题考查了二次根式乘除运算，掌握二次根式乘除混合运算法则是解答本题的关键．50．【分析】将化简后，代入a，b即可．解：，∵，，∴故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的乘除法法则的应用，解题的关键是将化简变形，本题属于中等题型．51．【分析】根据有理数的估算可知的整数部分是，小数部分是，进而得出的值，代入计算即可．解：，，，的整数部分是，的整数部分是，是的整数部分，是的小数部分，，，故答案为：．【点拨】本题考查了无理数的估算，实数的运算，根据题意得出相应式子的整数部分和小数部分是解本题的关键．52．【分析】先根据同类二次根式的定义确定p的值，然后再确定两个二次根式，最后合并即可．解：∵是二次根式∴，解得∴，∴+=．故答案为．【点拨】本题主要考查了同类二次根式的定义、二次根式的性质等知识点，根据同类二次根式的定义确定p的值是解答本题的关键．53．##【分析】通过移项，合并，系数化1，根据不等式的性质即可求出的解集．解：∵∴∴故答案为：．【点拨】本题考查二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断与0的大小关系，本题属于基础题型．54．【分析】先把化简为，然后根据夹逼法求出a，b的值，最后代入计算即可．解：，∵，∴，∴，∴的整数部分为1，小数部分为，即整数部分为1，小数部分为，∴．故答案为：【点拨】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，把化简为，然后根据夹逼法求出a，b的值是解题的关键．55．2023【分析】根据完全平方