广西壮族自治区桂林市第十四中学高二数学理联考试题含解析

广西壮族自治区桂林市第十四中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】首先求出p，准线方程，然后根据，直接求出结果．【解答】解：设M（x，y）则2P=4，P=2，准线方程为x==﹣1，解得x=2．选B．2.若函数在区间[﹣1，4]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣16]∪[2，+∞） B．（﹣16，2） C．[2，+∞） D．（﹣∞，﹣16]参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=2x2﹣4x+a，∵f（x）在[﹣1，4]递减，∴f′（x）=2x2﹣4x+a≤0在[﹣1，4]恒成立，即a≤﹣2x2+4x在[﹣1，4]恒成立，令g（x）=﹣2x2+4x，x∈[﹣1，4]，则g′（x）=﹣4x+4=﹣4（x﹣1），令g′（x）＞0，解得：﹣1≤x＜1，令g′（x）＜0，解得：1＜x≤4，故函数g（x）在[﹣1，1）递增，在（1，4]递减，而g（﹣1）=﹣6，g（1）=2，g（4）=﹣16，故g（x）的最小值是﹣16，故a≤﹣16，故选：D．3.设等差数列的首项为a，公差为d，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是（）A．a＞0，d＞0 B．a＞0，d＜0 C．a＜0，d＞0 D．a＜0，d＜0参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】先利用反证法证明d大于0，方法为：假设d小于0，由首项为a，公差为d，利用等差数列的通项公式表示出此数列的通项，假设ak小于0，则n大于k时，后面的项都为负数，这就与此数列只有负数项矛盾，故d不能小于0，得到d大于0，再根据此数列含有负数项，首项a必须小于0，从而得到满足题意的条件．【解答】解：若d＜0，由等差数列的通项公式得：an=a+（n﹣1）d，此时设ak＜0，则n＞k时，后面的项都为负数，与只有有限个负数项矛盾，∴d＞0，又数列有负数项，∴a＜0，则满足题意的条件是a＜0，d＞0．故选C4.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】连接BC1，A1C1，A1B，根据正方体的几何特征，我们能得到∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角，判断三角形A1C1B的形状，即可得到异面直线AC和EF所成的角．【解答】解：连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B为等边三角形故∠A1C1B=60°故选C【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，构造∠A1C1B为异面直线AC和EF所成的角，是解答本题的关键．5.如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)．如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法的种数共有()A．8种

B．12种

21世纪教育网C．16种

D．20种参考答案：C问题可转化为分离的4个区域，用3条线段将其连接起来，不同的连接方案有多少种？如右图，分别连接A、B、C、D四点的线段共有6条，任意选3条有C种连接方法，其中A—B—C—A，A—B—D—A，A—C—D—A，B—C—D—B四种情况不合题意，应舍去，所以共有C－4＝20－4＝16(种)．6.点P(2,3)到直线：x+y+3=0的距离为d，则d的值为（

）

A．1

B．

C．

D．4参考答案：C略7.下列求导运算正确的是：（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.若复数（1+a?i）2（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．±1 B．﹣1 C．0 D．1参考答案：A【考点】复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质化简复数（1+a?i）2，依据纯虚数的定义求出答案．【解答】解：∵复数（1+a?i）2（i为虚数单位）是纯虚数，（1+a?i）2=1﹣a2+2ai，∴1﹣a2=0，a=±1，故选A．9.证明不等式（）所用的最适合的方法是（

）A．综合法

B．分析法

C．间接证法

D．合情推理法参考答案：B欲证明不等式,只需证,只需证,只需证,故选B.

10.已知命题p：“?a＞0，有ea≥1成立”，则￢p为(

)A．?a≤0，有ea≤1成立 B．?a≤0，有ea≥1成立C．?a＞0，有ea＜1成立 D．?a＞0，有ea≤1成立参考答案：C【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：?a＞0，有ea＜1成立，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于 .参考答案：812.若点P(2,1)是直线夹在两坐标轴之间的线段的中点，则此直线的方程是______.

参考答案：13.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖),且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列,相应获得的奖金是以700元为首项、-140为公差的等差数列则参与这项游戏活动获得奖金的期望是______元参考答案：500【详解】由题设,知获一、二、三等奖的概率分别为.由,得.于是,.又获一、二、三等奖的奖金分别为.故=500(元)14.直线与圆相交于M、N两点，若|MN|≥，则的取值范围是____________.参考答案：15.如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为_______，残差平方和为________，相关指数为______．参考答案：0,0,1.16.命题“恒成立”是真命题，则实数的取值范围是_______

参考答案：17.已知直线（3a+2）x+（1－4a）y+8＝0与（5a－2）x+（a+4）y－7＝0垂直，则a＝

参考答案：0或1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知不等式(1)若对于的所有实数，不等式恒成立，求实数的取值范围。(2)若对于的所有实数，不等式恒成立，求实数的取值范围。参考答案：（1）方法：可以构建函数转化成恒成立；也可以分离参数，分类讨论：当时，恒成立，当时，，所以函数在上的最小值为4所以，综上得(2)设要是不等式恒成立，需使即解得且19.（本小题满分12分）直线经过两点，.参考答案：（1）由已知，直线的斜率，………………3分所以，直线的方程为.………………7分（2）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，………………9分20.三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。（１）证明：平面PAB⊥平面PBC；（２）若，，PB与底面ABC成60°角，分别是与的中点，是线段上任意一动点（可与端点重合），求多面体的体积。参考答案：略21.设数列{an}的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．参考答案：【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）