2022-2023学年广东省揭阳市普宁培青中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年广东省揭阳市普宁培青中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为正偶数，用数学归纳法证明时，第一步应验证（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.已知目标函数且变量满足下列条件，则（

）A．，

B．，无最小值C．无最大值，

D．无最小值也无最大值参考答案：C3.下列函数既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递减的是（）A．f（x）=x3 B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=2x+2﹣x参考答案：C【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数、偶函数的定义，奇函数在原点有定义时，f（0）=0，以及函数单调性的定义，复合函数单调性的判断便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．f（x）=x3在（0，1）上单调递增，∴该选项错误；B．f（x）=﹣|x+1|的定义域为R，且f（0）=﹣1≠0；∴f（x）不是奇函数，∴该选项错误；C.的定义域为（﹣1，1），且；∴f（x）为奇函数；；在（﹣1，1）上单调递减，y=lnt单调递增；∴f（x）在（0，1）上单调递增；∴该选项正确；D．f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=f（x）；∴f（x）为偶函数；∴该选项错误．故选：C．4.已知，,=3，则与的夹角是 (

)

A．150

B．120

C．60

D．30参考答案：B5.如果a＜b＜0，那么(

)．A．a－b＞0

B．ac＜bc

C．＞

D．a2＜b2参考答案：6.已知等差数列{an}中，a5+a9=2，则S13=A.11

B.12

C.13

D.不确定参考答案：C7.函数在上是减函数时，则的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知，猜想的表达式为（

）.A. B. C. D.参考答案：B试题分析：，，，由归纳推理可知．考点：归纳推理．9.若两直线的倾斜角分别为，则下列四个命题中正确的是（

）A.若，则两直线的斜率： B.若，则两直线的斜率：C.若两直线的斜率：，则 D.若两直线的斜率：，则参考答案：D分析】由题意逐一分析所给的选项是否正确即可.【详解】当，，满足，但是两直线的斜率，选项A说法错误；当时，直线的斜率不存在，无法满足，选项B说法错误；若直线的斜率，，满足，但是，，不满足，选项C说法错误；若两直线的斜率，结合正切函数的单调性可知，选项D说法正确.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出，即可判断出关系．【解答】解：由|x﹣1|＜2解得：﹣2+1＜x＜2+1，即﹣1＜x＜3．由x（x﹣3）＜0，解得0＜x＜3．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”必要不充分条件．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.有下列五个命题：①“若，则互为相反数”的逆命题．②若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为．③在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件．④已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是．⑤已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底．其中真命题的序号是___▲___．参考答案：①③⑤略12.已知数列满足，若正整数满足为整数，则称为“马数”，那么，在区间内所有的“马数”之和为

．参考答案：13.10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是．参考答案：【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10张奖券中抽5张，满足条件的事件的对立事件是没有人中奖，根据古典概型公式和对立事件的公式得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10张奖券中抽5张共有C105=252，满足条件的事件的对立事件是没有人中奖，没有人中奖共有C75=21种结果，根据古典概型公式和对立事件的公式得到概率P=1﹣=，故答案为：．14.利用计算机随机模拟方法计算与所围成的区域的面积时，可以先运行以下算法步骤：第一步：利用计算机产生两个在0～1区间内的均匀随机数第二步：对随机数实施变换：得到点第三步：判断点的坐标是否满足第四步：累计所产生的点的个数，及满足的点A的个数第五步：判断是否小于（一个设定的数）.若是，则回到第一步，否则，输出并终止算法.（1）点落在上方的概率计算公式是

；（2）若设定的，且输出的，则用随机模拟方法可以估计出区域的面积为

（保留小数点后两位数字）.

参考答案：,

35.6415.已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是

.参考答案：0＜a≤16.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧

棱的中点，则异面直线所成的角的大小是

参考答案：解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则，故填写。

17.（4分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx的最大值为_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（16分）甲、乙两人独立解某一道数学题．已知该题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为．（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）记解出该题的人数为X，求X的概率分布表；（3）计算数学期望B（X）和方差V（X）．参考答案：19.某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为万元，并且技改投入比率.（1）求技改投入的取值范围；（2）当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为多少万元？参考答案：略20.设函数.(1)求函数的单调区间和极值。(2)若关于的方程有三个不同实根，求实数的取值范围；(3)已知当(1，＋∞)时，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：(1)解：f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝.因为当x>或x<－时，f′(x)>0；当－<x<时，f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调减区间为(－，)．当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；当x＝时，f(x)有极小值5－4.

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4<a<5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的

(3)解：f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．因为x>1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝x2＋x－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．所以g(x)>g(1)＝－3.所以k的取值范围是k≤－3.

略21.(13分)在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的正切值；参考答案：解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N-CM-B的正切值为2.解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵·=（-4，0，0）·（0，2，2）=0，∴AC⊥SB.（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则

·n=3x+y=0，

取z=1，则x=，y=-，∴n=(，-，1)，·n=-x+z=0，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，∴cos(n，)==.二面角N-CM-B的正切值为2.22.已知函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值；（2）当x＞0时，f（x）＞，求正实数a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3H：函数的最值及其几何意义；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）令分母xex+1=g（x），利用导数研究其单调性可得：x=﹣1时函数g（x）取得极小值，g（﹣1）＞0．可得函数f（x）的定义域为R．f′（x）=，利用导数研究其单调性可得：x=0时，函数f（x）取得极大值即最大值．（2）当x＞0时，f（x）＞，a＞0，?（ax2﹣x+1）ex﹣1＞0．x＞0，a＞0．令h（x）=（ax2﹣x+1）ex﹣1，x＞0，a＞0．h（0）=0．h′（x）=ax（x﹣）ex．对a分类讨论利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）令分母xex+1=g（x），可得：g′（x）=ex（1+x），可得x=﹣1时函数g（x）取得极小值，g（﹣1）=1﹣＞0．∴函数f（x）的定义域为R．f′（x）=，可得x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=0时，