2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的实际应用（图形运动问题）

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的实际应用(图形运动问题)1.如图1,在平行四边形ABCD中，BC⊥BD,点F从点B出发，以Icm/s的速其中一点停止时，另一点随之停止运动，图2是△BEF的面积S(cm²)时间t(s)变化的函数图象，当△BEF的面积为10cm²时，运动时间t为()A.B.5sC.4s或D.3s或7s2.如图，等边三角形ABC边长为20cm,点D在边AB上(不与A,B重合),过点y₂与x满足的函数关系分别是()发，沿C→D→A的路径匀速运动，运动到点A停止，过点P作PE⊥BC于点E,设点P运动的路程为x,△PCE的面积为y,则y与x的函数图象是()4.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,动点M,N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，AAMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是()5.如图1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,AB的长为a,动点D在AB边上从点A向点B运动，过点D作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,设AD的长为x,矩形CEDF的面积为y,y随x变化的关系图象如图2所示，其中点P为图象的最高点，图1图2A.2B.46.一副三角板(BCM和△AEG)如图放置，点E在BC上滑动，AE交BM于D,EG交MC于F,且在滑动过程中始终保持EF=DE.若MB=4,设BE=x,△EFC的面积为y,则y关于x的函数表达式是()A.y=2√3xB.y=C.y=x(4√3-x)AE=BF=CG=DH.设A、E两点间的距离为x,四边形EFGH的面积为y,则y与x的函数图象可能是()8.如图，菱形ABCD是边长为8,∠C=60,点E在边AD上以1个单位每秒的速度由的是()向点C移动；点Q在边CB上，从点C11.如图，△ABC和A'BC是边长分别为5和2的等边三角形，点B'、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将。A'B'C”在直线l上自左向右平移.开始时，点C”与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止.设。A'B'C”移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,请写出y与x之间的函数关系式12.如图，在ABC中，?B90?,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度13.如图(1)所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P,Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分),则cos∠ABE=:当t=时，图(1)图(2)+1的顶点为点P,点Q是该抛物线上一点，若将抛物线为点P,Q',1向左平移得到一条新抛物线，其中点P,Q(m4),平移后的对应点分别若曲线段PQ扫过的面积为15(图中阴影部分),则新抛物线的解析式15.如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为(1,2),(6,2),(6,0).点A为线段NM上的一个动点，连接AC,过点A作AB⊥AC交y轴于点B.当点A从M运动到N时，点B随之运动，点B经过的路径长是得到PC,连接AC,则AC的最小值是17.如图，在AABC中，?B90?,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发；(1)求出。PBQ的面积S随出发时间t的函数解析式；(2)求经过多少秒，四边形APOC的面积最小?最小值是多少?18.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点P从点C出发，沿CB向点B匀速运动，速度为每秒1个单位，过点P作PM⊥BD,交对角线BD于点M.点Q从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为每秒1个单位.P、Q两点同时出发，以PM、PQ为邻边作平行四边形PMNQ.设P、Q的运动时间为t秒(O<t<8).BBA备用图(1)当t=秒时，沿直线DP翻折，点C与点M重合；(2)当点N在AB上时，求t的值；的取值范围.19.如图，在ABC中，∠A=90°,AB=AC=4cm.动点P从点A出发，沿AB方向(2)当点D落在BC上时，求x的值.20.如图，等腰Rt△ABC的直角边AB=2,点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线运动.已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.(1)设AP的长为x,△PCQ的面积为S.求出S关于x的函数关系式；(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变?证明你的结论.【分析】当6<t≤10时，点F在CD上运动，而点E继续在AB上运动4s,可求得即可，求出S与1之间的函数关系式是解题的关键.【详解】由图1、图2可知，当t=6时，点F与点当6<t≤10时，点F在CD上运动，而点E继续在AB上运动4s,∵四边形ABCD是平行四边形，点F、点E的速度都是1cm/s,当0<t≤6时，如图3作HC⊥AB,交AB的延长线于点G,则∠G=∠CBD=90°,解得t=t₇=5;当6<x≤10时，如图4,作CH⊥AB,交AB的延长线于点H,,综上所述，运动时间t为5s,证明VADE是等边三角形，分别求出VADE和ABC的周长，再证明△ADE∽△ABC,可求出VADE的面积，即可求解.如图，过点A作AF⊥BC于点F,交DE于点G,则AG⊥DE,是二次函数.【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质与判定，二次函数的图象与性质；分两段来分析：①点P从点C出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除A和D;②P点过了D点向A点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案.【详解】解：∵∠ACB=90°,AC=BC=2√2,当P在线段CD上时，即O<x≤2时，,此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项A、D错误；当P在线段AD上时，即2<x≤4时，如图：x此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项C错误；勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键.连接BD,过B作BE⊥AD于E,根据已知条件得到△ABD是等边三角形，根据相似三角形的判定定理得到。AMN~ABN,根据相似三角形的性质得到∠ANM=∠AEB=90°,当O≤x<2时，点M在AB上，当2≤x≤4时，点M在BC上，根据三角形的面积公式即可得到结论.【详解】解：连接BD,过B作BE⊥AD于E,当O≤x<2时，点M在AB上，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,当2≤x≤4时，点M在BC上，综上所述，当O≤x<2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分，【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据含30度角的直角三角形的性质，得到,勾股定理，得到利用矩形的面积公式得到二次函数关系式，利用二次函数的性质进行求解即可.【详解】解：∵∠A=30°,AD的长为x,AB的长为a,∴DEB≌EFH(AAS),【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案.【详解】解：正方形ABCD边长为4,AE=BF=CG=DH∴AH=BE=CF=DG,∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为(2,8),开口向上从4个选项来看，开口向上的只有A和B,C和D图象开口向下，不符合题意但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意关键.【详解】如图所示，过点F作FN⊥AD,交AD于点N,过点D作DM⊥BC,交BC于点M.当4<x≤8时，次函数的图象和性质是解题的关键.【详解】解：当运动时间为ts时，AP=tcm,CQ=tcm,【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，正方形的性质，矩形的性质，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键.设AE=x,矩形ABCD中AB=2,AD=3,可得O<x<3,∠BAE=90°,由勾股定理可得BE²=AB²+AE²=2²+x²=x²+4,再由【详解】解：设AE=x,在矩形ABCD中AB=2,AD=3,a=1>0,0<x<3.【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当0<x≤2时，两个三角形重叠部分为△BCD的面积，当2<x≤5时，两个三角形重叠部分为。A'BC的面积，当5<x≤7时，两个三角形重叠部分为△BCD的面积，分别求解即可.【详解】解：①当0<x≤2时，如图1所示，两个三角形重叠部分为△BC'D的面积，∵ABC和△ABC是边长分别为5和2的等边三角形，∴BCD是边长x的等边三角形，过点D作DE⊥BC于点E,②当2<x≤5时，如图2所示，两个三角形重叠部分为。A'BC的面积，③当5<x≤7时，如图3所示，两个三角形重叠部分为△B'CD的面积，∵AABC和△A'B'C是边长分别为5和2的等边三角形，∵B'CD是等边三角形，且BC=7-x,过点D作DE⊥BC于点E,即综上，写出y与x之间的函数关系式为CCBB'EBB'EC'CBB【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键.【分析】本题主要考查二次函数应用—动点问题，二次函数图象与性质等知识，理解动点运动中时间与PBQ的面积关系是解题的关键.积S的最大值.∴当t=3时，△PBQ的面积S有最大值36mm².故答案为：36.【分析】此题是二次函数综合题，三角函数，主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、相似三角形的性质.先根据图(1)和(2)的信息，得AD=BC=BE=5,CD=AB=4,AE=3,DE=2,结合三角函数以及相似三角形的性质，列式计算，即可作答.解题的关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问题转化为方程的思想解决，属于中考常考题型.【详解】解：由图象可知，∵y=10,t=5,速度为1m/s,且曲线OM为抛物线的一部分∵t=7s,图(2)成了一次函数，说明点Q已经停止运动，即点Q与点C重合∴ED=7-BE=7-5=2,故AD=BC=BE=5,CD=AB=4,AE=3,DE=2,事事当点P在EB上时，因为速度都一样，则BP=BQ,且∠EBQ小于90°此时BE+EP=BC,即PQ不可能垂直BC所以只有在CD上，点Q与点C重合，且满足【分析】先根据二次函数的解析式求出顶点坐标P,再根据题意求出PP'=5,最后结合二则PP'=5,故抛物线向左平移5个单位，则出y的范围，从而可求出点B经过的路径长.【详解】解：如图，延长NM交y轴于P点，连接CN∵M、N、C三点的坐标分别为(1,2),(6,2),(6,0).设PA=x,则NA=PN-PA=6-x,设PB=y,∴x从1到3的时候PB是从2.5到4.5运动了2,x从3到6的时候，PB从4.5到0运动了4.5,总和是6.5.综上所述，点B的运动路径的长为6.5.故答案为：6.5.【点睛】本题是一个动点问题，主要考查了相似三角形的判定和性质，以及在一定范围内求二次函数的最大值与最小值.解题的关键是要把y与x的关系式表示出来.由旋转的性质可得BP=PC,∠BPC=90°,∴AC²的最小值为18,的性质，根据题意表示出AC²是解题的关键.②,②,(1)根据AB=12,AP=2t,得到BP=12-2t,根据BQ=4t,?B90?,运用三角形的【详解】(1)∵AB=12,AP=2t,∵aABC中，?B90?,BQ=4t,∴当t=3时，四边形APQC面积最小，最小值是108mm²【分析】(1)首先根据矩形的性质可得∠BCD=∠BAD=90°,AB=CD=6,BC=AD=8,进而利用勾股定理解得BD的长度；利用翻折的性质可得CP=MP=t,DM=DC=6,再(3)利用平行四边形PMNQ的面积S=2Sm,即可获得S与t之间的函数关PM>0,MQ>0,列出关于t的不等式并求解，即可求得t的取值范围.【详解】(1)解：∵四边形ABCD为矩形，AB=6,BC=8,∵沿直线DP翻折，点C与点M重合，又∵PM⊥BD,∴在Rt₂B