《29.3 课题学习 制作立体模型》教案、导学案、同步练习

29．3课题学习制作立体模型【教学目标】1．能根据简单物体的三视图制作原实物图形；(重点)2．能根据实物图制作展开图，根据展开图确定实物图．(难点)【教学过程】一、情境导入下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的．(1)指出其中哪些可折叠成多面体．把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案；(2)画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的；(3)如果上图中小三角形的边长为1，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？二、合作探究探究点一：根据三视图判断立体模型【类型一】由三视图得到立体图形如图，是一个实物在某种状态下的三视图，与它对应的实物图应是()解析：从俯视图可以看出直观图的下面部分为圆台，从左视图和主视图可以看出是一个站立的圆台．只有A满足这两点，故选A.方法总结：本题考查三视图的识别和判断，熟记一些简单的几何体的三视图是解答本题的关键．【类型二】根据三视图判断实物的组成情况学校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有()A．7盒B．8盒C．9盒D．10盒解析：观察图形得第一层有4盒，第二层最少有2盒，第三层最少有1盒，所以至少共有7盒．故选A.方法总结：考查对三视图的掌握程度和灵活运用的能力，同时也考查空间想象能力．【类型三】综合性问题如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．(1)写出这个几何体的名称；(2)画出它的一种表面展开图；(3)若从正面看的高为3cm，从上面看三角形的边长都为2cm，求这个几何体的侧面积．解析：(1)只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为三棱柱；(2)此几何体的表面展开图由三个长方形和两个三角形组成；(3)侧面积由3个长方形组成，它的长和宽分别为3cm和2cm，计算出一个长方形的面积，乘以3即可．解：(1)正三棱柱；(2)如图所示：(3)3×3×2＝18(cm2)．答：这个几何体的侧面积为18cm2.方法总结：本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的侧面积等相关知识，关键是知道棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．探究点二：平面图的展开与折叠【类型一】根据展开图判断原实物体如图所示为立体图形的展开图，请写出对应的几何体的名称．解析：在本题的解答过程中，可以动手进行折纸，也可以根据常见立体图形的平面展开图的特征做出判断．解：几何体分别为五棱柱、圆柱与圆锥．方法总结：熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．【类型二】判断几何体的展开图如图所示的四幅平面图中，是三棱柱的表面展开图的有________(只填序号)．解析：三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个矩形，根据题设可知①②③符合题意，故答案为①②③.方法总结：本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．【类型三】展开与折叠的综合性问题如图是一个正方体的表面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的数相等．(1)求x的值；(2)求正方体的上面和底面的数字之和．解析：(1)正方体的表面展开图，由相对面之间一定相隔一个正方形可确定出相对面，然后列出方程求解即可；(2)确定出上面和底面上的两个数字为3和1，然后相加即可．解：根据正方体的表面展开图中相对面之间一定相隔一个正方形，可得“A”与“－2”是相对面，“3”与“1”是相对面，“x”与“3x－2”是相对面．(1)∵正方体的左面与右面标注的数字相等，∴x＝3x－2，解得x＝1；(2)∵标注了A字母的是正方体的正面，左面与右面标注的数字相等，∴上面和底面上的两个数字为3和1，∴上面和底面上的数字之和为3＋1＝4.方法总结：本题主要考查了正方体相对两个面上的数字，注意正方体是空间图形，从相对面入手分析、解答问题．三、板书设计一、学习目的；二、工具准备；三、具体活动；四、课题拓广．【教学反思】三视图和平面展开图是以不同方式描绘立体图形的，它们在生产实际中有直接应用．了解这方面的例子，可以丰富实践知识，进一步认识三视图和平面展开图.29．3课题学习制作立体模型【学习目标】1.通过根据三视图制作主体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程。体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系。2.通过自主探索、合作探究讨论，使学生加深以投影和视图的认识。3.通过动手实践，培养学生创新精神与创造发明的意识。【学习重点】让学生亲身经历发现规律，深入研究、应用所学知识的过程。【学习难点】学生通过手工制作，实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过程中培养科学的研究态度。【学习准备】刻度尺、剪刀、胶水、胶带、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等。【学习过程】【创设情境提出任务】情境1以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图所示的立体模型。活动形式：学生小组交流物体的形状，然后动手制作。情境2按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型。活动方式：小组交流三视图所表示的物体是什么形状的，然后动手制作。【创设情境研究问题】下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的。指出其中哪些可以折叠成多面体，把上面的图纸描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案；画出上面图形能折叠成多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的；如果上图中小三角形的边长为1，那么对应的多面体的表面积各是多少？活动方式：学生动手操作【课堂小结反思收获】物体的三视图、展开图、立体图形之间是相互联系的，三者可以互相转化。物体的三视图、展开图在生产当中应用庄广泛，学习本章内容为我们以后的生产实践奠定基础。从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有助于根据需要实现它们之间的相互转化，即学会画三视图玫由三视图得出立体图形，从能力上说，认识平面图形与立体图形的联系对于培养空间想象能力上非常重要。【课题拓展布置作业】三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，了解有关生产实际，具体例子写一篇短文，介绍三视图、展开图的应用。模型构建专题：相似三角形中的基本模型——熟知需要用相似来解决的图形eq\a\vs4\al(◆)模型一“A”字型1．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为________．第1题图第2题图2．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：____________，使△ABC∽△AED.3．如图，在△ABC中，DE∥BC，eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，M为BC上一点，AM交DE于N.(1)若AE＝4，求EC的长；(2)若M为BC的中点，S△ABC＝36，求S△ADN的值．eq\a\vs4\al(◆)模型二“X”字型4．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是()A.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)B.eq\f(DF,FC)＝eq\f(AE,EC)C.eq\f(AD,DB)＝eq\f(DE,BC)D.eq\f(DF,BF)＝eq\f(EF,FC)第4题图第5题图第6题图5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC·BC；③OE∶AC＝eq\r(3)∶6；④S△OCF＝2S△OEF，其中成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝________．7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.(1)若FD＝2，eq\f(ED,BC)＝eq\f(1,3)，求线段DC的长；(2)求证：EF·GB＝BF·GE.eq\a\vs4\al(◆)模型三旋转型8．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是()A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC.eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)D.eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)第8题图第9题图第10题图9．★如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝__________．eq\a\vs4\al(◆)模型四“子母”型(大三角形中包含小三角形)10．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2eq\r(2)，AB＝3，则BD＝________．11．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为()A．15B．10C.eq\f(15,2)D．5第11题图第12题图eq\a\vs4\al(◆)模型五垂直型12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边上的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的长是()A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)第13题图第14题图14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝eq\f(3,4)x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当AD＝BD，AC＝3时，求BF的长．eq\a\vs4\al(◆)模型六一线三等角型如图，在边长为9的等边△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则CE的长为________．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．参考答案与解析1．1∶42．∠ADE＝∠C(答案不唯一)3．解：(1)∵DE∥BC，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3).∵AE＝4，∴AC＝6，∴EC＝6－4＝2.(2)∵M为BC的中点，∴S△ABM＝eq\f(1,2)S△ABC＝18.∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，∴eq\f(S△ADN,S△ABM)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9)，∴S△ADN＝8.4．A5．D解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°.∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE＝60°，∴△CBE是等边三角形，∴BE＝BC＝CE，∠CEB＝60°.∵AB＝2BC，∴AE＝BE＝BC＝CE，∴∠CAE＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAE－∠ABC＝90°.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S▱ABCD＝AC·BC，故②正确；在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AB＝2BC，∴AC＝eq\r(3)BC.∵AO＝OC，AE＝BE，∴OE∥BC，∴OE＝eq\f(1,2)BC，∴OE∶AC＝eq\f(1,2)BC∶eq\r(3)BC＝eq\r(3)∶6，故③正确；∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴eq\f(CF,EF)＝eq\f(BC,OE)＝2，∴S△OCF∶S△OEF＝eq\f(CF,EF)＝2，∴S△OCF＝2S△OEF，故④正确．故选D.6．4.5解析：∵AB∥EF，∴eq\f(FO,AF)＝eq\f(EO,EB)，则eq\f(FO,EO)＝eq\f(AF,EB).又∵EF∥CD，∴eq\f(FO,FD)＝eq\f(EO,EC)，则eq\f(FO,EO)＝eq\f(FD,EC)，∴eq\f(AF,EB)＝eq\f(FD,EC)，即eq\f(AF,4)＝eq\f(1.5,2)，解得AF＝3，∴AD＝AF＋FD＝3＋1.5＝4.5.7．(1)解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴eq\f(FD,FC)＝eq\f(ED,BC)＝eq\f(1,3)，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4.(2)证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴eq\f(EF,BF)＝eq\f(DE,BC)，eq\f(AE,BC)＝eq\f(GE,GB).∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，∴eq\f(EF,BF)＝eq\f(GE,GB)，∴EF·GB＝BF·GE.8．D9．1或eq\f(11,6)解析：∵△ABC≌△DEF，AB＝AC，∴∠AEF＝∠B＝∠C.∵∠AEC＝∠AEF＋∠MEC＝∠B＋∠BAE，∴∠MEC＝∠EAB.∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM.当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA.又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴eq\f(CE,AC)＝eq\f(AC,CB)，∴CE＝eq\f(AC2,CB)＝eq\f(25,6)，∴BE＝6－eq\f(25,6)＝eq\f(11,6)，∴BE＝1或eq\f(11,6).10.eq\f(8,3)11．D解析：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA.∵AB＝4，AD＝2，∴S△ACD∶S△ABC＝(AD∶AB)2＝1∶4，∴S△ACD∶S△ABD＝1∶3.∵S△ABD＝15，∴S△ACD＝5.故选D.12．C13.Aeq\f(28,5)解析：根据“垂线段最短”，得PM的最小值就是当PM⊥AB时PM的长．∵直线y＝eq\f(3,4)x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝－3，∴点B的坐标为(0，－3)，即OB＝3.令y＝0，得x＝4，∴点A的坐标为(4，0),即OA＝4，∴PB＝OP＋OB＝4＋3＝7.在Rt△AOB中，根据勾股定理得AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(42＋32)＝5.在Rt△PMB与Rt△AOB中，∵∠PBM＝∠ABO，∠PMB＝∠AOB，∴Rt△PMB∽Rt△AOB，∴eq\f(PM,OA)＝eq\f(PB,AB)，即eq\f(PM,4)＝eq\f(7,5)，解得PM＝eq\f(28,5).15．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD.(2)解：∵AD＝BD，△ACD∽△BFD，∴eq\f(AC,BF)＝eq\f(AD,BD)＝1，∴BF＝AC＝3.16．217．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴eq\f(BP,CD)＝eq\f(AB,CP)，∴AB·CD＝CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.(2)解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴eq\f(BA,BC)＝eq\f(BP,BA).∵AB＝10，BC＝12，∴eq\f(10,12)＝eq\f(BP,10)，∴BP＝eq\f(25,3).《制作立体模型》同步练习1.下列各图中，经过折叠能围成一个立方体的是(A)2．把如图29－3－1中的三棱柱展开，所得到的展开图是(B)图29－3－13.如图29－3－2，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是(B)图29－3－24．如图29－3－3是一个长方体包装盒，则它的表面展开图是(A)5．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是(C)6．图29－3－4是某些多面体的表面展开图，说出这些多面体的名称：(1)__六棱锥__；(2)__三棱柱__．图29－3－4【解析】可在硬纸片上画其表面展开图，动手制成立体模型，知(1)是六棱锥，(2)是三棱柱．7．如图29－3－5是一个立体图形的三视图，则这个立体图形的名称为__圆柱__，它的体积为__250π__(结果保留π)．图29－3－5【解析】观察三视图可知，立体图形是一个圆柱，圆柱的体积为V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,2)))eq\s\up12(2)×10＝250π.8．已知几何体的三视图如图29－3－6，则该物体的体积为__eq\f(45\r(3),4)__cm3__．图29－3－6【解析】观察三视图可知物体是一个正三棱柱，如图所示，底面棱长为3cm，高为5cm，于是它的体积为V＝eq\f(\r(3),4)×32×5＝eq\f(45\r(3),4)(cm3)．9.将一边长为2的正方形纸片折成四部分，再沿折痕折起来，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，则三棱锥四个面中最小的面积是(C)A．1B.eq\f(3,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)10.如图29－3－7，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为(A)图29－3－7A．9－3eq\r(3)B．9C．9－eq\f(5,2)eq\r(3)D．9－eq\f(3,2)eq\r(3)【解析】∵将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，∴这个正三角形的底面边长为1，高为eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)，∴侧面为长为3，宽为3－eq\r(3)的长方形，面积为9－3eq\r(3).故选A.图29－3－811．小亮利用废纸板做一个三棱柱形无盖的