兰州市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析（共五套）

兰州市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷（一）一、认真选一选1、若a＞b，则下列式子正确的是（

）A、a﹣4＞b﹣3B、0.5a＜0.5bC、3+2a＞3+2bD、﹣3a＞﹣3b2、在平面直角坐标系内，点P（m﹣3，m﹣5）在第三象限，则m的取值范围是（

）A、m＜5B、3＜m＜5C、m＜3D、m＜﹣33、如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC边的中点．若DE=3，则AB的长度是（

）A、9B、5C、6D、44、如果把分式中的a、b都扩大3倍，那么分式的值一定（

）A、是原来的3倍B、是原来的5倍C、是原来的D、不变5、解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于（

）A、﹣1B、﹣2C、1D、26、如图，已知直线y1=ax+b与y2=mx+n相交于点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x的取值范围是（

）A、x＜2B、x＞2C、x＜﹣1D、x＞﹣17、如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是（

）A、AD=BCB、OA=OCC、AB=CDD、∠ABC+∠BCD=180°8、如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（

）A、1cmB、2cmC、3cmD、4cm9、如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（

）A、30°B、35°C、40°D、50°10、如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（

）A、2cm＜OA＜5cmB、2cm＜OA＜8cmC、1cm＜OA＜4cmD、3cm＜OA＜8cm二、填空题11、不等式2x﹣3≥0的解集是________．12、要使分式

有意义，那么x应满足的条件是________13、分解因式：2x2﹣12x+18=________．14、若分式的值为零，则x=________．15、已知一个多边形中，除去一个内角外，其余内角的和为1160°，则除去的那个内角的度数是________16、已知x2﹣（m﹣2）x+49是完全平方式，则m=________．17、如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是________．18、ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB=________．三、画图题19、如图，按要求画出图形．画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的△A2B2C2．四、计算题20、分解因式(1)x2y﹣2xy2+y3(2)m4﹣16n4．21、解不等式组与方程．(1)(2)=．22、先化简，再求值：，其中a=．五、解答题23、如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理．24、如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，O是三角形内部一点，连接OB、OC，G、H分别是OC、OB的中点，试说明四边形DEGH是平行四边形．25、小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是36千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．求小明走路线一时的平均速度．26、今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨；(1)该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；(2)若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案使运费最少，最少运费是多少元？答案解析部分一、<b>认真选一选</b>1、【答案】C【考点】不等式的性质【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴a﹣4＞b﹣4，故本选项错误；B、∵a＞b，0.5＞0，∴0.5a＞0.5b，故本选项错误；C、∵a＞b，∴2a＞2b，∴3+2a＞3+2b，故本选项正确；D、∵a＞b，﹣3＜0，∴﹣3a＜﹣3b，故本选项错误．故选C．【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．2、【答案】C【考点】解一元一次不等式组，点的坐标【解析】【解答】解：∵点P（m﹣3，m﹣5）在第三象限，∴，解不等式①得，m＜3，解不等式②得，m＜5，所以，m＜3．故选：C．【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列式不等式组，然后求解即可．3、【答案】C【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC、AC边的中点，∴DE是△CAB的中位线，∴AB=2DE=6．故选C．【分析】根据三角形的中位线定理得出AB=2DE，把DE的值代入即可．4、【答案】D【考点】分式的基本性质【解析】【解答】解：根据题意得==，∴分式的值不变．故选D．【分析】先把原分式中的a、b用3a、3b替换，然后提取公因式，可知把分式中的a、b都扩大3倍，相当于把分式中的分子分母同时乘以3，故分式的值不变．5、【答案】B【考点】分式方程的增根【解析】【解答】解；方程两边都乘（x﹣1），得x﹣3=m，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=﹣2．故选：B．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．6、【答案】B【考点】一次函数与一元一次不等式【解析】【解答】解：根据题意当x＞2时，若y1＞y2．故选B．【分析】观察函数图象得到当x＞2时，直线y1=ax+b都在直线y2=mx+n的上方，即有y1＞y2．7、【答案】C【考点】平行四边形的判定【解析】【解答】解：∵∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，A、根据平行四边形的判定有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；B、可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判断平行四边形，不符合题意；C、可能是等腰梯形，故本选项错误，符合题意；D、根据AD∥BC和∠ABC+∠BAD=180°，能推出符合判断平行四边形的条件，不符合题意．故选C．【分析】根据平行四边形的判定可判断A；根据平行四边形的判定定理判断B即可；根据等腰梯形的等腰可以判断C；根据平行线的判定可判断D．8、【答案】B【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=5cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠AEB=∠BAE，∴BE=AB=3cm，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2cm；故选：B．【分析】由平行四边形的性质和角平分线定义得出∠AEB=∠BAE，证出BE=AB=3cm，得出EC=BC﹣BE=2cm即可．9、【答案】A【考点】平行线的性质，旋转的性质【解析】【解答】解：由题意得：AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C；∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°；由题意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，故选A【分析】首先证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′=30°即可解决问题．10、【答案】C【考点】三角形三边关系，平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∴OA=OC=AC，2cm＜AC＜8cm，∴1cm＜OA＜4cm．故选：C．【分析】由在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，根据平行四边形对角线互相平分与三角形三边关系，即可求得OA=OC=AC，2cm＜AC＜8cm，继而求得OA的取值范围．二、<b>填空题</b>11、【答案】x≥【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】解：移项得，2x≥3，系数化为1得，x≥．故答案为：x≥．【分析】先移项、再把x的系数化为1即可．12、【答案】x≠﹣1【考点】分式有意义的条件【解析】【解答】解：根据题意得，x+1≠0，解得x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．13、【答案】2（x﹣3）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】解：2x2﹣12x+18，=2（x2﹣6x+9），=2（x﹣3）2．故答案为：2（x﹣3）2．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．14、【答案】-2【考点】分式的值为零的条件【解析】【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣4=0，2x﹣4≠0，由x2﹣4=0，得x=2或x=﹣2，由2x﹣4≠0，得x≠2，综上，得x=﹣2，故答案为﹣2．【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．15、【答案】100°【考点】多边形内角与外角【解析】【解答】解：∵1160°÷180°=6…80°，又∵100°+80°=180°∴这个内角度数为100°．故答案为：100°．【分析】先用1160°÷180°，看余数是多少，再把余数补成180°．16、【答案】16或﹣12【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：∵x2﹣（m﹣2）x+49=x2﹣（m﹣2）x+72，∴﹣（m﹣2）x=±2x•7，解得m=16或m=﹣12．故答案为：16或﹣12．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．17、【答案】a＜﹣1【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】解：∵（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，∴a+1＜0，∴a＜﹣1．【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得a的值．18、【答案】9【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3，∴AB+OA+OB﹣（BC+OB+OC）=3∴AB﹣BC=3，又∵▱ABCD的周长是30，∴AB+BC=15，∴AB=9．故答案为9．【分析】如图：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由△OAB的周长比△OBC的周长大3，可得AB﹣BC=3，又因为▱ABCD的周长是30，所以AB+BC=10；解方程组即可求得．三、<b>画图题</b>19、【答案】解：如图，△A2B2C2即为所作．【考点】作图-旋转变换【解析】【分析】利用旋转的性质，画出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．四、<b>计算题</b>20、【答案】（1）解：x2y﹣2xy2+y3=y（x2﹣2xy+y2）=y（x﹣y）2（2）解：m4﹣16n4=（m2+4n2）（m2﹣4n2）=（m2+4n2）（m+2n）（m﹣2n）【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【分析】（1）首先提取公因式y，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用平方差公式分解因式即可．21、【答案】（1）解：，由①得：x＞﹣，由②得：x＜1，则不等式组的解集为﹣＜x＜1（2）解：去分母得：100x+700=30x，移项合并得：70x=﹣700，解得：x=﹣10【考点】解分式方程，解一元一次不等式组【解析】【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．22、【答案】解：原式=•﹣•=3（a+1）﹣=﹣===3a+1+，当a=时，原式=3+1+=3+1+=+1【考点】分式的化简求值【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．五、<b>解答题</b>23、【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，同理：CE=AF，∴四边形AECF是平行四边形【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，已知BE=DF，从而可利用SAS判定△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质可得到AE=CF，同理可得到CE=AF，根据SSS判定△AEF≌△CFE，从而可推出AE∥CF，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．24、【答案】解：在△ABC中，∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DEBC，同理，在△OBC中，HGBC，所以，DEHG，所以，四边形DEGH是平行四边形【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，GH∥BC且GH=BC，从而得到DE∥GH，DE=GH，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可．25、【答案】解：设路线一的平均车速为xkm/h，则路线一需要的时间是小时，路线二的平均车速是（1+80%）x=1.8xkm/h，根据题意得：﹣=，﹣=，解得x=50，经检验：x=50是原分式方程的解，答：小明走路线一时的平均速度为50km/h【考点】分式方程的应用【解析】【分析】先设路线一的平均车速为xkm/h，根据已知表示出路线一的时间和路线二的平均速度；再根据等量关系式：路线一的时间﹣10分钟=路线二的时间列分式方程，解出即可．26、【答案】（1）解：设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（10﹣x）辆，依题意得解这个不等式组得∴5≤x≤7∵x是整数∴x可取5、6、7，即安排甲、乙两种货车有三种方案：①甲种货车5辆，乙种货车5辆；②甲种货车6辆，乙种货车4辆；③甲种货车7辆，乙种货车3辆（2）解：方法一：由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费，两种货车共10辆，所以当甲种货车的数量越少时，总运费就越少，故该果农应选择①运费最少，最少运费是16500元；方法二：方案①需要运费：2000×5+1300×5=16500（元）方案②需要运费：2000×6+1300×4=17200（元）方案③需要运费：2000×7+1300×3=17900（元）∴该果农应选择①运费最少，最少运费是16500元【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【分析】（1）根据两种货车可装的荔枝应大于等于30吨和可装的香蕉应大于等于13吨，列出不等式组进行求解；（2）方法一：在所用的两种车的辆数一定时，所需货车的单价费用越低，所需的总费用越少；方法二：将每种方案的总费用算出，进行比较．兰州市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷（二）一、选择题1、下列方程是一元二次方程的是（

）A、x2+2x﹣3B、x2+3=0C、（x2+3）2=9D、2、用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（

）A、（x+2）2=1B、（x﹣2）2=1C、（x+2）2=9D、（x﹣2）2=93、如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（

）A、B、C、D、4、下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（

）A、AB∥CD，AD=BCB、∠B=∠C；∠A=∠DC、AB=AD，CB=CDD、AB=CD，AD=BC5、下列识别图形不正确的是（

）A、有一个角是直角的平行四边形是矩形B、有三个角是直角的四边形是矩形C、对角线相等的四边形是矩形D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形6、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（

）A、△ABCB、△ADEC、△DABD、△BDC7、如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（

）A、B、C、D、8、若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（

）A、1或4B、﹣1或﹣4C、﹣1或4D、1或﹣49、一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是（

）A、5%B、10%C、15%D、20%10、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（

）A、mB、mC、mD、m二、填空题11、观察方程（x﹣1）（x+2）=0的解是________．12、方程（x+8）（x﹣1）=﹣5化成一般形式是________．13、如果C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则有比例线段________．14、方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是________．15、两对角线分别是6cm和8cm的菱形面积是________

cm2，周长是________

cm．16、在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，DE=4，则BC=________17、关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围________．18、若正方形的对角线长为2cm，则它的面积是________

cm2．19、为了估算湖里有多少条鱼，从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待标记的鱼全混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，我们可以估算湖里有鱼________条．20、如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为________．三、尺规作图题21、如果四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A（2，1），B（4，3），C（6，2），D（3，﹣1）．试将此四边形缩小为原来的．四、解答题22、解方程．(1)（x﹣1）2=4；(2)x2+3x﹣4=0；(3)4x（2x+1）=3（2x+1）；(4)2x2+5x﹣3=0．五、解答题23、在一个布口袋里装有红色、黑色、蓝色和白色的小球各1个，如果闭上眼睛随机地从布袋中取出一个球，记下颜色，放回布袋搅匀，再闭上眼睛随机的再从布袋中取出一个球．求：(1)连续两次恰好都取出红色球的概率；(2)连续两次恰好取出一红、一黑的概率．24、如图，平行四边形ABCD，E，F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．25、如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．26、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB．27、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？28、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？答案解析部分一、<b>选择题</b>1、【答案】B【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：A、不是方程，错误；B、符合一元二次方程的定义，正确；C、原式可化为x4+6x2=0，是一元四次方程，错误；D、是分式方程，错误．故选B．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足三个条件：（1）是整式方程；（2）含有一个未知数，且未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0．以上三个条件必须同时成立，据此即可作出判断．2、【答案】D【考点】解一元二次方程-配方法【解析】【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3、【答案】C【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）∴一共有25种情况，两个指针同时落在偶数上的有6种情况，∴两个指针同时落在偶数上的概率是．故选C．【分析】列举出所有情况，看两个指针同时落在偶数上的情况数占总情况数的多少即可．4、【答案】D【考点】平行四边形的判定【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或梯形；故本选项错误；B、由∠B=∠C，∠A=∠D，不能四边形ABCD是平行四边形；故本选项错误；C、由AB=AD，CB=CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项错误；D、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；故本选项正确．故选D．【分析】直接利用平行四边形的判定定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．5、【答案】C【考点】矩形的判定【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；B、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确．故选C．【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．6、【答案】C【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：如右图所示，∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE，∠ABD=∠DBE，∴△ABD∽△DBE，故选C．【分析】由于∠A=36°，AB=AC，易求∠ABC=∠C=72°，而BD是角平分线，易求∠ABD=∠CBD=36°，又DE∥BC，那么有∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE，∠ABD=∠DBE，从而可证△ABD∽△DBE．7、【答案】D【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵AD∥BC∴∵CD∥BE∴△CDF∽△EBC∴，∴∵AD∥BC∴△AEF∽△EBC∴∴D错误．故选D．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．8、【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】【解答】解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，∴4+5a+a2=0，∴（a+1）（a+4）=0，解得a1=﹣1，a2=﹣4，故选：B．【分析】将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．9、【答案】B【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意得50（1﹣x）2=40.5解得：x1=1.9（不合题意舍去），x2=0.1，∴x=0.1．故选B．【分析】降低后的价格=降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价x，则第一次降低后的价格是50（1﹣x），那么第二次后的价格是50（1﹣x）2，即可列出方程求解．10、【答案】C【考点】平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：设点P到AB的距离是xm∵AB∥CD∴△ABP∽△CDP∴∴x=故选C．【分析】由平行得到两三角形相似，根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解．二、<b>填空题</b>11、【答案】1或﹣2【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）=0∴x﹣1=0或x+2=0∴x1=1，x2=﹣2【分析】本方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，所以得方程x﹣1=0或x+2=0，直接解答即可．12、【答案】x2+7x﹣3=0【考点】一元二次方程的定义，一元二次方程的解【解析】【解答】解：x2﹣x+8x﹣8+5=0，x2+7x﹣3=0，故答案为：x2+7x﹣3=0．【分析】把方程左边的因式相乘，再把右边的常数项移到左边，合并同类项即可．13、【答案】【考点】黄金分割【解析】【解答】解：C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，根据线段黄金分割的定义，则有比例线段（形式不唯一）．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．14、【答案】y1=﹣，y2=【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：∵（2y+1）（2y﹣3）=0，∴2y+1=0或2y﹣3=0，解得y1=-，y2=．【分析】解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求得．15、【答案】24①20【考点】菱形的性质【解析】【解答】解：菱形面积是6×8÷2=24cm2；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm，则周长是20cm．故答案为24，20．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积，利用勾股定理求得其边长，从而不难求得其周长．16、【答案】8【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：如图所示，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵DE=4，∴BC=2DE=2×4=8．故答案为：8．【分析】先根据题意画出图形，由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理解答即可．17、【答案】m＞﹣【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣3，c=﹣m∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣m）＞0，解得m＞﹣，故答案为：m＞﹣．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．18、【答案】2【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=BO=AC=1cm，∠AOB=90°，由勾股定理得，AB=cm，S正=（）2=2cm2．故答案为2．【分析】根据正方形的性质，对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角求解即可．19、【答案】800【考点】用样本估计总体【解析】【解答】解：设湖里有鱼x条，则，解可得x=800．故答案为：800．【分析】第二次捕得200条所占总体的比例=标记的鱼25条所占有标记的总数的比例，据此直接解答．20、【答案】（22﹣x）（17﹣x）=300【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（22﹣x）（17﹣x）=300，故答案为：（22﹣x）（17﹣x）=300．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．三、<b>尺规作图题</b>21、【答案】解：如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求．【考点】作图-位似变换【解析】【分析】直接利用位似图形的性质分别得出对应点位置，进而得出答案．四、<b>解答题</b>22、【答案】（1）解：x﹣1=±2，即x﹣1=2或x﹣1=﹣2，解得：x1=﹣1，x2=3（2）解：因式分解可得：（x﹣1）（x+4）=0，∴x﹣1=0或x+4=0，解得：x1=﹣4，x2=1（3）解：4x（2x+1）﹣3（2x+1）=0，（2x+1）（4x﹣3）=0，∴2x+1=0或4x﹣3=0，解得：x=﹣或x=（4）解：因式分解可得（x+3）（2x﹣1）=0，∴x+3=或2x﹣1=0，解得：x=或x=﹣3【考点】解一元二次方程-直接开平方法，解一元二次方程-因式分解法【解析】【分析】（1）直接开平方法求解可得；（2）因式分解法求解可得；（3）因式分解法求解可得；（4）十字相乘法因式分解可得．五、<b>解答题</b>23、【答案】（1）解：画树状图得：∴一共有16种等可能的结果，连续两次恰好都取出红色球的有1种情况，∴连续两次恰好都取出红色球的概率为：（2）解：∵连续两次恰好取出一红、一黑的有2种情况，∴连续两次恰好取出一红、一黑的概率为：=【考点】列表法与树状图法【解析】【分析】（1）首先根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与连续两次恰好都取出红色球的情况数，再根据概率公式求解即可求得答案；（2）根据（1）中的树状图求得连续两次恰好取出一红、一黑的情况数，然后根据概率公式求解即可求得答案．24、【答案】证明：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质【解析】【分析】根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．25、【答案】证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAF=∠AED．∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D=90°．∴△ABF∽△EAD【考点】矩形的性质，相似三角形的判定【解析】【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似可解．26、【答案】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴，，解得=（米）．答：两岸间的大致距离为100米【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．27、【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形（2）解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．理由如下：∵D是AB的中点，∴BD=AB，∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．28、【答案】解：设每千克水果应涨价x元，依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）=6000，整理，得x2﹣15x+50=0，解这个方程，得x1=5，x2=10．要使顾客得到实惠，应取x=5．答：每千克水果应涨价5元【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．兰州市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷（三）一、选择题1、下列图形中，是中心对称图形的是（

）A、B、C、D、2、方程：①2x2﹣=1，②2x2﹣5xy+y2=0，③7x2+1=0，④=0中，一元二次方程是（

）A、①和②B、②和③C、③和④D、①和③3、下列语句中，正确的有（

）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A、1个B、2个C、3个D、4个4、若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（

）A、1B、﹣1C、2D、﹣25、已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+=0有实数根，则k的取值范围是（

）A、k为任意实数B、k≠1C、k≥0D、k≥0且k≠16、抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（

）A、y=3（x﹣1）2﹣2B、y=3（x+1）2﹣2C、y=3（x+1）2+2D、y=3（x﹣1）2+27、已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+12=0的根，则这个三角形的周长为（

）A、7B、11C、7或11D、8或98、已知二次函数y=2x2+4x﹣5，设自变量的值分别为x1、x2、x3，且﹣1＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1、y2、y3的大小关系为（

）A、y1＞y2＞y3B、y1＜y2＜y3C、y2＜y3＜y1D、y2＞y3＞y19、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下列所列方程中正确的是（

）A、168（1+a）2=128B、168（1﹣a%）2=128C、168（1﹣2a%）=128D、168（1﹣a2%）=12810、正方形ABCD内一点P，AB=5，BP=2，把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，则PP'的长为（

）A、2B、C、3D、311、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（

）A、B、C、D、12、小明从右边的二次函数y=ax2+bx+c图象中，观察得出了下面的五条信息：①a＜0，②c=0，③函数的最小值为﹣3，④当x＜0时，y＞0，⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1＞y2，⑥对称轴是直线x=2．你认为其中正确的个数为（

）A、2B、3C、4D、5二、填空题13、若是二次函数，则m=________．14、如图，△ABC绕着点C顺时针旋转35°得到△A1B1C，若A1B1⊥AC，则∠A的度数是________．15、从正方形的铁皮上截去2cm宽的一条长方形，余下的面积为48cm2，则原来正方形铁皮的面积为________．16、二次函数y=﹣3x2﹣6x+5的图像的顶点坐标是________．17、如图，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC的周长为________．18、抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，则这条抛物线的解析式为________19、如图，AB，AC分别切⊙O于B，C，D是⊙O上一点，∠D=40°，则∠A=________．20、如图，AD，AC分别是直径和弦，∠CAD=30°，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，BO=5cm，则CD等于________

cm．三、解答题21、解方程(1)4（x﹣2）2﹣81=0．(2)x2﹣3x+2=0．22、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件每件商品？应定价多少？23、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°．(1)求证：DC是⊙O的切线．(2)若BD=1cm，求AC的长．24、已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积S△MCB．25、某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．(1)试求y与x之间的关系式；(2)在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少（总利润=总收入﹣总成本）？26、施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数解析式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上，B，C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．答案解析部分一、<b>选择题</b>1、【答案】B【考点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、是中心对称图形，本选项正确；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选B【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．2、【答案】C【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：①不是整式方程，故错误；②含有2个未知数，故错误；③正确；④正确．则是一元二次方程的是③④．故选C．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．3、【答案】A【考点】圆的认识，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】解：①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；②平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；③能重合的弧是等弧，而长度相等的弧不一定能够重合，故此选项错误；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，此选项正确；故正确的有1个，故选：A．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理等对每一项进行分析即可求出正确答案．4、【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】【解答】解：把x=c代入方程x2+bx+c=0，可得c2+bc+c=，0即c（b+c）+c=0，c（b+c+1）=0，又∵c≠0，∴b+c+1=0，∴c+b=﹣1．故选B．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．5、【答案】D【考点】二次根式有意义的条件，一元二次方程的定义，根的判别式【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=（）2﹣4（k﹣1）×=1＞0，且k﹣1≠0，即k≠1．又根据二次根式的有意义的条件可知k≥0，∴k的取值范围是k≥0且k≠1故选D．【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，以及二次根式有意义的条件，即可得到关于k的不等式，求出k的取值范围．6、【答案】A【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x﹣1）2﹣2，故选：A．【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．7、【答案】A【考点】解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系【解析】【解答】解：由方程x2﹣8x+12=0，得：解得x=2或x=6，当第三边是6时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；当第三边是2时，三角形的周长为2+2+3=7．故选A．【分析】首先从方程x2﹣8x+12=0中，确定第三边的边长为2或6；其次考查2，2，3或2，6，3能否构成三角形，从而求出三角形的周长．8、【答案】B【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵y=2x2+4x﹣5=2（x+1）2﹣7，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，∵﹣1＜x1＜x2＜x3，∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，即y1＜y2＜y3．故选B．【分析】在利用二次函数的增减性解题时，对称轴是非常重要的．根据x1、x2、x3，与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系．9、【答案】B【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：当商品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%=168（1﹣a%）；当商品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%）2．∴168（1﹣a%）2=128．故选B．【分析】本题可先用a表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．10、【答案】A【考点】勾股定理，正方形的性质，旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，而四边形ABCD为正方形，BA=BC，∴BP=BP′，∠PBP′=90，∴△BPP′为等腰直角三角形，而BP=2，∴PP′=BP=2．故选A．【分析】由△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，根据旋转的性质得BP=BP′，∠PBP′=90，则△BPP′为等腰直角三角形，由此得到PP′=BP，即可得到答案．11、【答案】D【考点】一次函数的图象，二次函数的图象，二次函数的性质【解析】【解答】解：解法一：逐项分析A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；解法二：系统分析当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，一次函数图象过一、二、三象限．当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，对称轴x=＜0，这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限．故选：D．【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）．12、【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：①由抛物线开口向上，得到a＞0，本选项错误；②由抛物线过原点，得到c=0，本选项正确；③当x=3时，函数的最小值为﹣3，本选项正确；④由函数图象得：当x＜0时，y＞0，本选项正确；⑤当0＜x1＜x2＜2时，函数为减函数，得到y1＞y2，本选项正确；⑥对称轴是直线x=2，本选项正确，则其中正确的个数为5．故选D【分析】根据抛物线开口向上得到a大于0，由抛物线过原点，得到c=0，观察图象得到顶点坐标确定出函数最小值，利用函数的增减性做出判断．二、<b>填空题</b>13、【答案】﹣2【考点】二次函数的定义【解析】【解答】解：∵是二次函数，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【分析】先根据二次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．14、【答案】55°【考点】旋转的性质【解析】【解答】解：由题意知：∠ACA1=35°；若A1B1⊥AC，则∠A1+∠ACA1=90°，得：∠A1=90°﹣35°=55°，由旋转的性质知：∠BAC=∠A1=55°，故∠A的度数是55°．故答案为：55°．【分析】由旋转的角度易得∠ACA1=35°，若A1B1⊥AC，则∠A1、∠ACA1互余，由此求得∠ACA1的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC=∠A1，即可得解．15、【答案】64cm2【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设正方形的边长是xcm，根据题意得：x（x﹣2）=48，解得x1=﹣6（舍去），x2=8，那么原正方形铁片的面积是8×8=64cm2．故答案为：64cm2．【分析】可设正方形的边长是xcm，根据“余下的面积是48cm2”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x﹣2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解．16、【答案】（﹣1，8）【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：∵y=﹣3x2﹣6x+5=﹣3（x+1）2+8，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，8）．故本题答案为：（﹣1，8）．【分析】利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标．17、【答案】9【考点】等边三角形的判定，圆周角定理【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠D=60°，∠D=∠A∴∠A=∠ACB=60°∴∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形∴△ABC的周长=3AC=9．故答案为：9【分析】根据圆周角定理及已知可得到△ABC是等边三角形，已知AC的长，从而不难求得其周长．18、【答案】y=x2﹣2x﹣3【考点】待定系数法求二次函数解析式【解析】【解答】解：∵抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得b=﹣2，c=﹣3，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3．【分析】抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，则这两点的坐标满足解析式，把点的坐标代入解析式就得到一个关于b，c的方程组，就可解得函数的解析式．19、【答案】100°【考点】切线的性质【解析】【解答】解：连结OB、OC，如图，∵AB，AC分别切⊙O于B，C，∴OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴∠A+∠BOC=360°﹣180°=180°，∵∠BOC=2∠D=2×40°=80°，∴∠BOC=180°﹣80°=100°．故答案为100°．【分析】连结OB、OC，根据切线的性质得OB⊥AB，OC⊥AC，则∠ABO=∠ACO=90°，再根据四边形内角和定理得到∠A+∠BOC=180°，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠D=80°，所以∠BOC=180°﹣∠BOC=100°．20、【答案】5【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】解：∵在直角△AOB中∠CAD=30°，∴AB=2OB=2×5=10cm，AO==5cm．∴AD=2AO=10cm．∵AD是圆的直径，∴∠C=90°，又∵∠CAD=30°，∴CD=AD=×10=5（cm）．故答案是：5．【分析】在直角△ACD中，依据直角三角形的性质：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，然后利用勾股定理即可求得半径OA的长度，则直径AD即可求得，然后在直角△ACD中，依据30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．三、<b>解答题</b>21、【答案】（1）解：（x﹣2）2=，x﹣2=±，所以x1=，x2=﹣（2）解：（x﹣2）（x﹣1）=0，x﹣2=0或x﹣1=0，所以x1=2，x2=1【考点】解一元二次方程-直接开平方法，解一元二次方程-因式分解法【解析】【分析】（1）先把方程变形为）（x﹣2）2=，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．22、【答案】解：依题意（a﹣21）（350﹣10a）=400，整理得a2﹣56a+775=0，解得a1=25，a2=31．因为21×（1+20%）=25.2，所以a2=31不合题意，舍去．所以350﹣10a=350﹣10×25=100（件）．答：需要进货100件，每件商品应定价25元【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】根据：每件盈利×销售件数=总盈利额；其中，每件盈利=每件售价﹣每件进价．建立等量关系．23、【答案】（1）证明：连接OC、BC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠OCA=60°，∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB=∠OBC=60°，又∵BD=OB，∴∠BDC=∠BCD，而∠OBC=∠BDC+∠BCD，∴∠BCD=30°，∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，∴OC⊥CD，∴DC是⊙O的切线（2）解：OB=BD=BC=1，在Rt△ABC中，∴∠A=30°，∴AC=BC=cm【考点】圆周角定理，切线的判定【解析】【分析】（1）连接OC、BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可计算出∠COB=60°，于是可判断△OBC是等边三角形，则∠OCB=∠OBC=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质计算出∠BCD=30°，从而得到∠OCD=90°，然后根据切线的判定定理可得到结论；（2）利用等边三角形的性质得OB=BD=BC=1，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出AC．24、【答案】（1）解：依题意：，解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5（2）解：令y=0，得（x﹣5）（x+1）=0，x1=5，x2=﹣1，∴B（5，0）．由y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，得M（2，9）作ME⊥y轴于点E，可得S△MCB=S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC=（2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5=15．【考点】二次函数的图象，二次函数的性质【解析】【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式．（2）可根据抛物线的解析式先求出M和B的坐标，由于三角形MCB的面积无法直接求出，可将其化为其他图形面积的和差来解．过M作ME⊥y轴，三角形MCB的面积可通过梯形MEOB的面积减去三角形MCE的面积减去三角形OBC的面积求得．25、【答案】（1）解：依题意设y=kx+b，则有解得∴y=﹣30x+960（16≤x≤32）（2）解：每月获得利润P=（﹣30x+960）（x﹣16）=30（﹣x+32）（x﹣16）=30（﹣x2+48x﹣512）=﹣30（x﹣24）2+1920∴在16≤x≤32范围内，当x=24时，P有最大值，最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元【考点】一次函数的应用【解析】【分析】（1）先根据题意设y=kx+b，分别把对应的x=20，y=360；x=25，y=210代入利用待定系数法求解即可；（2）根据“总利润=总收入﹣总成本”列出关于每月获得利润P与x之间的函数关系式，整理得出二次函数P=﹣30（x﹣24）2+1920，求其最大值即可．26、【答案】（1）解：M（12，0），P（6，6）（2）解：∵顶点坐标（6，6）∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）又∵图象经过（0，0）∴0=a（0﹣6）2+6∴∴这条抛物线的函数解析式为y=﹣（x﹣6）2+6，即y=﹣x2+2x（3）解：设A（x，y）∴A（x，﹣（x﹣6）2+6）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=﹣（x﹣6）2+6，根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，∴令L=AB+AD+DC=2[﹣（x﹣6）2+6]+12﹣2x=﹣x2+2x+12=﹣（x﹣3）2+15．∴当x=3，L最大值为15∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．【考点】二次函数的应用【解析】【分析】确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点（0，0），就可以确定抛物线解析式；设OB=x，由对称性得CM=x，这样就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，为求三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值，提供依据．兰州市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷（四）一、选择题1、下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A、B、C、D、2、抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点是（

）A、（1，﹣2）B、（1，2）C、（﹣1，2）D、（﹣1，﹣2）3、用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（

）A、（x+1）2=6B、（x+2）2=9C、（x﹣1）2=6D、（x﹣2）2=94、若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（

）A、（2，4）B、（﹣2，﹣4）C、（﹣4，2）D、（4，﹣2）5、用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是（

）A、x=B、x=C、x=D、x=6、已知抛物线y=x2﹣2bx+4的顶点在x轴上，则b的值一定是（

）A、1B、2C、﹣2D、2或﹣27、将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（

）A、y=4（x+1）2+3B、y=4（x﹣1）2+3C、y=4（x+1）2﹣3D、y=4（x﹣1）2﹣38、某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有36场比赛，则参加的队数为（

）A、8支B、9支C、10支D、11支9、如图，在一幅长为60cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是3500cm2，设纸边的宽为x（cm），则x满足的方程是（

）A、（60+x）（40+x）=3500B、（60+2x）（40+2x）=3500C、（60﹣x）（40﹣x）=3500D、（60﹣2x）（40﹣2x）=350010、运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高y（m）与水平的距离x（m）之间的函数关系式为y=﹣x2+x+，则该运动员的成绩是（

）A、6mB、12mC、8mD、10m11、在平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+2x+b的图象可能是（

）A、B、C、D、12、如图，二次函数y=ax2+bx+c图象对称轴是直线x=1，则下列结论：①a＜0，b＜0，②2a﹣b＞0，③a+b+c＞0，④a﹣b+c＜0，⑤当x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确的是（

）A、①②③B、②③④C、③④⑤D、①③④二、填空题13、方程x2+4x+k=0的一个根是2，那么k的值是________14、点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b=________15、若函数y=（m﹣3）是二次函数，则m=________．16、若二次函数y=x2+mx﹣3的对称轴是x=1，则m=________17、抛物线y=x2+1过两点A（﹣2，y1）和B（3，y2），则y1________y2（填＞，＜，=）．18、如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是________．19、如图，将等边△ABD沿BD中点旋转180°得到△BDC．现给出下列命题：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD是中心对称图形；③四边形ABCD是轴对称图形；④AC=BD．其中正确的是________（写上正确的序号）．20、认真观察图（1）﹣（4）中的四个图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：________；特征2：________(2)请你在图5中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．三、解答题21、解方程：(1)x2﹣2x﹣8=0；(2)3x（x﹣1）=2（x﹣1）；(3)x2+3=3（x+1）；(4)2x（4x+5）=7；(5)4x2﹣8x+1=0；(6)（y+2）2=（3y﹣1）2．22、在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…830﹣10…求这个二次函数的解析式．23、如图，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．(1)求旋转角的度数；(2)求点P与点P′之间的距离；(3)求∠APB的度数．24、如图，平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请在坐标系中作出旋转中心S并写出旋转中心S的坐标：S________(4)在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请作图标出P点并写出点P的坐标．P________．25、百货商店服装专柜在销售中发现：某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．为占有市场份额，在确保盈利的前提下．(1)降价多少元时，每星期盈利为6125元．(2)降价多少元时，每星期盈利额最大，最大盈利额是多少？26、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？（=1.414）27、如图，抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，（A在B左侧），交y轴于点C．(1)求A、B、C三点的坐标．(2)求抛物线的对称轴及顶点坐标．(3)抛物线上是否存在点F，使△ABF的面积为1？若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、<b>选择题</b>1、【答案】C【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答．2、【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：因为抛物线y=2（x﹣1）2+2是顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，2）．故选B．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写成顶点坐标．3、【答案】C【考点】解一元二次方程-配方法【解析】【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6∴（x﹣1）2=6．故选：C．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4、【答案】A【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．故选：A．【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．5、【答案】D【考点】解一元二次方程-公式法【解析】【解答】解：方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，这里a=4，b=﹣12，c=﹣3，∵△=144+48=192，∴x==，故选：D．【分析】方程整理后，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．6、【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：抛物线y=x2﹣2bx+4的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，则△=4b2﹣16=0，解得b=±2．故选D．【分析】当抛物线与x轴有一个交点时，说明方程x2﹣2bx+4=0有两个相等的根，即△=0，可求b的值．7、【答案】B【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：∵抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位的顶点坐标为（1，3），∴得到的抛物线的解析式为y=4（x﹣1）2+3．故选B．【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．8、【答案】B【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设参加的队数有x支，由题意，得x（x﹣1）=36，解得：x1=9，x2=﹣8．∵x为正整数，∴x=9．故选B．【分析】设参加的队数有x支，则每一个队要进行（x﹣1）场比赛，根据x个队的总场数为36建立方程求出其解即可．9、【答案】B【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）和（40+2x），根据题意可得出方程为：（60+2x）（40+2x）=3500，故选B．【分析】如果设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（40+2x）和（60+2x），根据总面积即可列出方程．10、【答案】D【考点】二次函数的应用【解析】【解答】解：由题意可知，把y=0代入解析式得：﹣x2+x+=0，解方程得x1=10，x2=﹣2（舍去），即该运动员的成绩是10米．故选D．【分析】铅球落地才能计算成绩，此时y=0，即﹣x2+x+=0，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．11、【答案】C【考点】一次函数的图象，二次函数的图象【解析】【解答】解：当x=0时，一次函数中y=b，二次函数中y=b，∴一次函数与二次函数交于点（0，b），∴B、D不正确；∵A、C中二次函数图象开口向上，∴a＞0，∴一次函数y=ax+b为增函数，∴C选项正确．故选C．【分析】令x=0即可得出一次函数与二次函数的图象交点点（0，b），由此即可排除B、D选项；再结合A、C选项中二次函数的图象开口向上，即可得出a＞0，由此即可得出一次函数为增函数，C选项正确．此题得解．12、【答案】C【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，①错误；②∵b=﹣2a，a＜0，∴2a﹣b=2a﹣（﹣2a）=4a＜0，②错误；③根据函数图象可知：当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，③正确；④根据函数图象可知：当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，④正确；⑤根据函数图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤正确．综上可知：正确的结论有③④⑤．故选C．【分析】①根据抛物线开口向下即可得出a＜0，结合抛物线的对称轴为x=1可得出b=﹣2a＞0，①错误；②由①得出b=﹣2a，将其代入2a﹣b可得出2a﹣b=4a＜0，②错误；③根据函数图象可知当x=1时y＞0，将x=1代入抛物线解析式即可得出a+b+c＞0，③正确；④根据函数图象可知当x=﹣1时，y＜0，将x=﹣1代入抛物线解析式即可得出a﹣b+c＜0，④正确；⑤根据函数图象即可得出当x＞1时y随x的增大而增大，⑤正确．综上即可得出结论．二、<b>填空题</b>13、【答案】-12【考点】一元二次方程的解【解析】【解答】解：根据题意，得22+4×2+k=0，解得k=﹣12．故答案是：﹣12．【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=2代入方程，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．14、【答案】1【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】【解答】解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴a+（﹣4）=0，3+b=0，即：a=4且b=﹣3，∴a+b=1．【分析】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a+（﹣4）=0且3+b=0，从而得出a，b，推理得出结论．15、【答案】-5【考点】二次函数的定义【解析】【解答】解：∵y=（m﹣3）是二次函数，∴，解得m=﹣5．故答案为﹣5．【分析】根据二次函数的定义解答．16、【答案】-2【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：对称轴为直线x=﹣=﹣=1，解得m=﹣2．故答案为：﹣2；【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．17、【答案】＜【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：把点A（﹣2，y1）代入抛物线y=x2+1中得：y1=5，把点B（3，y2）代入抛物线y=x2+1中得，y2=10，∴y1＜y2，故答案为：＜．【分析】把A，B两点的坐标代入函数解析式即可求得y1，y2的值，即可进行比较．18、【答案】60°【考点】等边三角形的性质，旋转的性质【解析】【解答】解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，∴旋转角为60°，E，F是对应点，则∠EAF的度数为：60°．故答案为：60°．【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．19、【答案】①②③【考点】旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴AB=BD=AD，∵将等边△ABD沿BD中点旋转180°得到△BDC，∴AB=CD，AD=BC，∴AB=AD=CD=BC，∴四边形ABCD是菱形；故命题①正确；∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，∴命题②、③正确；∵AC=BD，∴命题④错误．故答案为①②③．【分析】根据等边三角形、旋转的性质及菱形的判定与性质即可作答．20、【答案】（1）都是轴对称图形；都是中心对称图形（2）解：如图所示，【考点】利用轴对称设计图案，利用旋转设计图案【解析】【解答】解：（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形．故答案为：都是轴对称图形；都是中心对称图形；【分析】（1）利用沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．绕一个点旋转18