不确定控制系统的设计

摘要PAGEIV摘要目前大多数直升机都是单旋翼结构，其中的绝大多数采用尾桨来平衡单旋翼产生的扭矩，尾桨装置虽经多年发展而日臻成熟，但因其原理局限，缺点也日渐突出，所以休斯提出了尾梁侧面吹气增大环量的方法，利用旋翼尾流的能量提供扭矩替代尾桨以解决这些问题，作者也提出过在尾梁上采用翼面的想法，本文将以部分篇幅验证其可行性。与固定翼飞机相比，直升机是一个稳定性更差的飞行器，也更难控制，为了改善稳定性和可操纵性、减轻飞行员的负担，后来实际使用中的直升机都装有增稳装置和自动驾驶仪等设备，本文尝试针对直升机一个飞行状态下的动力学模型设计增稳控制规律。尾流反扭的可行性，将通过用动量法与叶素法结合求得一架样例直升机一个起飞重量时悬停状态下的旋翼拉力和扭矩配平条件来粗略衡量。结合特征值摄动理论和控制的目的，本文提出了新的使闭环极点具有一定鲁棒性的目标，并仍保留比鲁棒控制理论简单易用的优势。在完成静态反馈设计法后提出了使用同样计算路径的动态状态反馈控制器设计方法，并提出了利用优化算法得到针对这种目标的静、动态控制器的设计方法。对悬停旋翼和其尾流的计算结果表明，尾梁翼面反扭方案是不现实的，包括已经成功采用休斯NOTAR方案的直升机其实也不是真的靠尾梁环量控制提供相当比例扭矩的。在分析计算结果后，提出了一些直升机设计方面的改进建议。新的鲁棒极点设计目标达到了一定目的，使用了根轨迹理论的一些概念，初步摆脱了选取极点时的盲目性。在讨论了多参数同时摄动下根轨迹理论的表现和执行器动态特性问题后，尝试用其为直升机设计增稳控制规律。动态的状态反馈控制器设计法只是从原理上具有更好的说服力，在实际设计中却因当前优化算法的局限无法达到预想的性能。两个方面的结论分别是：在翼型低速升力特性提高到足够水平之前，对这类方案的努力都只能是徒劳的。依靠优化算法方面的进展，从新的鲁棒极点设计方法可以得到更抗参数摄动的控制器。关键词：悬停旋翼计算；鲁棒极点配置；鲁棒极点设计方法；根轨迹；执行器动态；增稳控制器设计AbstractABSTRACTMostofthehelicoptersinuseisliftedbyonerotor,andonmostofwhich,thetorquegeneratedbytherotoriscounterbalancedbytailrotor,whichbecomesincreasinglysophisticatedafteryearsofdevelopment.However,withthelimitationfromitsprototypestructure,thedisadvantagesarebecomingincreasinglyoppressive.SotheideathattheantitorquecouldbesqueezedoutfromthemainrotorwakebythecirculationcontroltailboomwasprovidedbytheHughesCorporation,theauthoralsoconceivedatailboomwithbackwardextendingwingforthesameuse.Acantointhispaperwillchecktheseconceptsforfutureuses.Helicoptershavepoorerstabilitythanthefixed-wingairplanes,practicalhelicoptersareequippedwithautopilotsorstabilizerswithoutexceptiontorelievetheheavyburdensonthepilotsandtogainsufficientstabilityandsuitablemaneuverability.Therestofthepaperwilldevotetoanattemptofstabilizerdesignforoneflightcondition.Thefeasibilityofantitorqueusingpowerindownwashwillbeexaminedbythecalculation,whichwasexecutedbyacombinedalgorithmofmomentumandbladesection,oftheliftingandtorqueofthehoveringmainrotor.Afterimprovementsderivedfromunderstandingofeigenvalueperturbationtheoryandthetraitofcontrollingproblem,newrobustpoledesignalgorithmmaintainsitsadvantagesoverRobustControltheorybyeasytouse.Thedesigningmethodofbothstaticanddynamicstatefeedbackcontrolleraregiven,withthetoolswillbeused.Thecalculationofthehoveringmainrotorindicatesthatthecounterbalancetorqueprovidedbythepowerfrommainrotorwakeisonlyalittleproportiontothatofneeded,whichsentencestheassumptionimpractical.Newrobustpoledesignalgorithmgotsomeharvests,withthediscussionusingsomecriteriaoftherootlocustheory,blindnessinpolesassigningarepartlyavoided.Afterthediscussionabouttheinfluenceofdynamicsofactuators,thenewalgorithmexecutesthedynamicstabilizerdesign.Despiteitspersuasionontheory,thedynamiccontrollerdesignmethodexhibitspoorly,partlyduetothelimitationsfromtheunderlyingoptimumalgorithms.Sothestrivestowardsofferingcounterbalancetorquewithspecialdesignedtailboomonsinglerotorhelicoptersmaybeacarpousnow.Usingtheimproveddesignalgorithm,bettercontrollerscanbeacquiredsometimes.KeyWords:calculationsofhoveringrotor;RobustPoleAssignment;robustpoledesign;rootlocus;dynamicofactuator;stabilizerdesign目录目录第1章引言 11.1直升机本体 11.2准备动态模型 31.3鲁棒极点设计目标及其方法 41.4设计增稳装置的控制律 51.5本课题研究背景和目标 51.6论文的主要内容和结构安排 5第2章结构方案验证 72.1引言 72.2单旋翼直升机悬停飞行原理 72.3悬停旋翼计算 92.3.1大气密度、音速和当地重力加速度与高度的关系 102.3.2悬停旋翼计算 152.3.3基于以上计算的一些想法 402.4本章小结 47第3章动力学模型复述 483.1体轴系坐标下对直升机机体受力的描述及配平 483.2微分动力学模型的符号形式 513.3一个量化的微分动力学模型 533.4本章小结 56第4章鲁棒极点设计目标及其算法 574.1原来的目标设置 574.2特征值与特征向量一阶摄动理论 594.3改进后的静态状态线性反馈的鲁棒极点设计方法 614.4动态状态线性反馈的鲁棒极点设计方法 624.5与根轨迹理论结合讨论闭环特征值摄动的形式 634.6本章小节 66第5章增稳控制器设计 675.1静态状态反馈控制器设计 685.2动态状态反馈控制器设计 755.3多参数摄动情况下混乱的根轨迹 775.4使用动态执行器的问题 795.4.1舵回路和液压助力器动态特性 795.4.2执行器动态特性对名义闭环的影响 815.4.3重新拟定的目标极点及其配置 865.4.4动态状态反馈控制器的作用 885.5本章小结 91第6章结论与展望 926.1结论 926.2进一步工作的方向 92致谢 94参考文献 95个人简历在读期间发表的学术论文与研究成果 97第1章引言PAGE94第1章引言1.1直升机本体直升机以其能够在很小的平地完成起降，并可以在相当范围的空域内悬停的特点，在现代的运输、军事、搜救等方面的应用越来越广。其飞行方面优于其它现有靠动力实现升空的航空器的性能都是来源于其采用了能直接提供升力的旋翼，但非对称的气动布局带来的肯定是非对称的气动力结果，因此设计直升机时需要有反扭装置，并给予其所要求的功率——不是用来产生升力。目前，公知的用于平衡单旋翼布局直升机的尾桨方式要消耗约10%的功率，粗略相当于减少了10%的最大起飞重量，因为目前直升机有效载荷比例均不超过50%，换算到直升机的有效载荷时减少的比例就更大了。在越来越强调效费比的今天，如何提高直升机载荷比例是一个迫切的问题。而且，暴露的尾桨威胁到地面维护人员、增加了易损性，而且尾桨系统重量也是要付出的代价。无论如何，单旋翼（带尾桨）布局仍是当前应用最为广泛的形式，其缺点只是因使用尾桨平衡反扭矩而消耗功率和增加易损上。虽然还有其它形式的直升机布局，并且都成功地克服了扭矩，但都不如单旋翼带尾桨布局的直升机结构简单，并都有各自的问题：共轴反桨式的复杂程度众所周知，我国直到上世纪末才由北航研制成第一架试验型，并且该布局高度大、前飞时废阻大，虽悬停和低速性能良好，但不利于高速飞行；卡曼式桨盘面距地面太近，安全隐患大，并且旋翼效率较低,前进阻力也比较大；纵列双旋翼式灵活性不好，并且只能用于大中型直升机；并列双旋翼式问世不算晚，却从来就没成大气候，悬停时撑杆阻力巨大，而且前飞废阻也所有布局里最大的；倾转旋翼机性能虽好，却已不属直升机范畴，并且其复杂的结构也限制了其更广泛的使用。为了在不过于增加机体复杂性的基础上解决反扭功耗大和易损性的问题，休斯公司提出了如图1.1的NOTAR（NoTailRotor）方案[1]，其工作原理如下：尾梁根部上方有进气口，空气通过变距风扇增压后流经空心尾梁内，尾梁内形成0.05MPa的超压。尾梁的旋翼桨叶前行侧开有喷气缝，直升机悬停时喷气缝中流出的空气汇入旋翼下洗流使之增速，绕尾梁向下流动。当下洗流分两股绕尾梁两侧流动时，其作用与气流绕定翼机机翼流动的情况一样，因而产生指向开缝一侧的升力，并与倾斜的旋翼拉力水平分量形成抗扭平衡力矩。在侧风悬停或侧飞、倒飞状态下由喷气缝产生的侧力不足时，尾梁内空气从尾梁端的尾锥侧向喷出以补偿不足。据休斯称，风扇功率不超过传统式的尾桨功率。后来，在麦道公司的MD-520N、MD-600N等机型上使用了该技术。图SEQ图\*ARABIC1.1NOTAR尾梁原理图[2]NOTAR虽成功地解决了易损性问题，但功耗仍然较大，为了充分发掘单旋翼布局的优势，提出一种与NOTAR方案相似的尾部反扭装置：利用原来布局中支承尾桨和尾翼、但在直升机悬停和低速飞行时处在旋翼下洗流中并造成升力损失的尾梁，将其改造成展向水平向后、弦向平行于旋翼下洗流在该弦所在处流线的扭转翼面（类似蝾螈侧扁尾部，偏向由旋翼旋向决定，见图1.2），利用其水平方向的“升力”和力臂平衡旋翼扭矩[3]。但在第二章中完成悬停旋翼计算后发现，这种尾梁翼面和NOTAR方案的尾梁根本不可能提供占到一定比例的侧力矩，因此尾梁翼面方案不可行，而NOTAR方案也不是真正靠环量控制为主实现反扭平衡的，其真正的意义仅在于降低易损性和声特征，以及可能的减重。图SEQ图\*ARABIC2.2蝾螈尾梁原理图[3]1.2准备动态模型由于直升机具有较定翼机更强的的不稳定性及耦合性，驾驶员很难对其受扰后的短周期不稳定模态做出正确的响应，因此培训过程更慢。即使已经能够手工操纵，工作负担也很重，较低的飞行速度又延长了枯燥的航渡时间。因此需要设计增稳装置改善其动态特性以便于人工驾驶或设计自动驾驶仪，这就需要知道被控对象的动态特性。而在不同的飞行状态，均需要先计算平衡点的静态配平条件，在其基础上考虑偏离了平衡点后的的动态模型，之后才能设计控制器。目前关于动态的数学模型有多种描述形式，其比较见表1.1。表SEQ表\*ARABIC1.1不同建模目的直升机数学模型特点比较[4]由于实际组合的情况为无穷多，只能计算或测量有限状态下的动态模型。由于基本的配平计算超出作者能力，因此直接使用一个飞行条件下的局部线性化模型[5]进行设计。另外，本文中大量的直升机气动计算方面的公式、数据都是来自文献[5]，然后对其中一些进行了改动，以后不再专门指明。1.3鲁棒极点设计目标及其方法由于认识的局限性和实际情况的多变性，各种数学模型都只是实际系统动态性能的某种程度的近似，而很多数学上很完美的控制器设计理论无法在面临这些不确定时仍保持足够的耐受能力，因此提出了专门的鲁棒控制理论，但不论H∞还是μ理论都过于复杂，需要对建模中的不确定性有更细致的了解，并选取更符合实际情况的权函数，还有一种适于状态空间模型使用的控制器设计策略，即鲁棒极点配置RPA[6]，这方面的经典之作当属鲁棒特征结构配置RFSP[7]、[8]，与H∞理论相比，该方法虽然无法考虑未建模动态特性，对参数摄动的抵抗能力也很难与实际摄动情况一致，即保守性大，但好处是对建模工作要求较少，并且由其得到的结果也具有一定的鲁棒性，便于以其为基础利用其他理论进一步设计控制器。在结合了特征值摄动理论[9]后，作者对其目标进行了改进，并在单输入系统中检验新目标的有效性，虽然没有考虑更多的动态特性，指定目标极点组后循环的方法也只能得到性能一般的稳定控制器，但得到的多个控制器以相当高的成功率实现摄动下的二级倒立摆稳定控制就是对其鲁棒能力的一个证明[10]。因此将采用这种鲁棒极点设计目标进行增稳控制器设计，而为了将在SI系统中检验过的新目标函数返回应用于MI系统，本文提出了使用优化理论成果[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]的方法，并给出了用静态反馈控制器求取动态状态反馈控制器的方法，在结合根轨迹理论[17]讨论后，又提出了目标极点选取的一些原则。1.4设计增稳装置的控制律与一般对象一样，对于直升机这个控制对象，不论在配平还是建立动态模型过程中也都存在大量的不确定性，这就要求控制器，包括增稳装置和自动驾驶仪，都具有足够的鲁棒性。控制器可达的鲁棒性水平与需要计算的飞行状态组合的数目成反比[18]，鲁棒性越强，能覆盖的未建模状态就越多，需计算的状态就越少，这对飞行安全和具体控制器设计都有好处。本文使用新的鲁棒极点设计目标进行增稳控制器设计，结合对执行器动态影响和根轨迹理论在多参数摄动下表现的进一步研究，调整了目标极点的设置。结合执行器动态的影响提出了设计动态状态反馈控制器的目的和作用，在设计阶段就引入执行器动态的概念，得到了对执行器动态有更好适应能力的算法。1.5本课题研究背景和目标本论文的研究目标主要有:验证在直升机上利用尾流能量反扭的可行性；进一步挖掘遵循鲁棒极点思路的控制器设计方法的潜力，用其对直升机一个飞行状态下的动力学模型设计控制规律，并进行仿真验证其有效性。1.6论文的主要内容和结构安排本文对直升机悬停旋翼的平衡气动计算进行了一些研究，给出了一个使用MATLAB/SIMULINK的自动化计算过程。对MI情况下的鲁棒极点设计问题，结合最优化方法给予部分解决；讨论了如何用现有静态极点配置方法设计动态状态反馈控制器的问题；在考虑根轨迹的一些基本特点后，对多参数摄动下MI系统目标极点的选取方法给出了一个建议；在注意到执行器动态会加剧控制难度的情况后，提出一些在设计阶段计入已定执行器动态或直接求解使实际闭环具有合适性能的执行器动态的算法，并用其中之一进行了具体计算。文章结构安排为：引言部分叙述了选择此题目的原因和解决问题的步骤。第二章介绍现有的单旋翼直升机平衡和操纵原理，进行了具体的悬停旋翼计算，通过计算发现利用尾流能量反扭的方案不可行。并由旋翼计算的结果提出了一些对旋翼和发动机功率输出部分设计的改进建议。第三章对样例直升机一个飞行状态的英制多项式矩阵形式的数学模型进行了转换，得到ISO制状态空间方程形式的数学模型，并讨论了其特点和其中一些元素的物理意义。尝试摆脱现有的牛顿法建模过程，用拉格朗日方程进行建模以实现建模过程自动化，但因为在函数选取方面遇到问题而没有成功。第四章在介绍了现有的鲁棒极点配置理论和特征值一阶摄动理论后，进一步提出更适合控制问题的鲁棒极点设计目标，并在增广状态的情况下提出了基于新目标的动态状态反馈控制器设计方法。并结合根轨迹理论讨论了特征值摄动的形式，提出了改进极点选取的思路和做法。第五章根据第三章中的模型，介绍增稳系统的意义和功能范围，并结合摄动的具体形式对第四章中的目标函数进一步进行适应性修改，提出更适合直升机前飞稳定性控制问题的目标函数，给出静态和动态反馈设计的例子，并用静态控制器与由原鲁棒极点配置理论得到的控制器在全部参数发生一定范围内随机摄动的情况下进行了仿真比较。在考虑了执行器动态后，也进行了同样的比较；由于执行器动态对名义闭环性能造成影响，也同时会影响摄动下基于比例执行器计算得到的理想闭环性能，带来更大的不确定性，提出了动态状态反馈设计法对这种情况的意义和四种设计策略，分别应对以下两种情况的二选一组合，即按多个执行器动态是否一致，和是按执行器自身极点来决定寻优过程还是按寻优结果调整执行器极点与之符合，并用按寻优结果将所有执行器性能调成一样的策略进行了求解。第2章结构方案验证第2章结构方案验证2.1引言蝾螈尾布局的基本构形仍是基于单旋翼布局的，为了了解这种布局直升机飞行中的受力情况，有必要介绍单旋翼带尾桨直升机的受力关系。蝾螈尾反扭能量的来源也是旋翼尾流，所以要进行尾部的设计必须先知道旋翼尾流流场的情况，所以把对悬停旋翼的计算加入到结构设计这一章。而也正是在这些计算中发现了利用尾流反扭的设想不现实，从而中止了其后不必要的无效工作。2.2单旋翼直升机悬停飞行原理旋翼作为使直升机悬停的升力部件，其每个展向微段即叶素的受力分析与定翼机机翼的类似。但与机翼不同的是，相对机翼的来流在飞机到达前是不受影响的，所以忽略大气自由运动后，来流速度与飞行速度相等，方向相反；而悬停状态旋翼各叶素都工作在一个稳定的向下穿越旋翼的气流中，相对速度除了叶素因旋翼旋转而产生的旋转速度外，还有这一旋翼入流速度，称为旋翼诱导速度，该速度方向与叶素旋转方向垂直，因此除了略微增加叶素的相对速度外，更主要的是改变了来流方向。叶素为了产生升力，相对机身水平面的安装角必须大于固定机翼一般情况下的安装角。图2.1反映气流与叶素的相对关系。图2.1叶素受力分析图为了尽量提高旋翼效率，需要使诱导速度沿半径尽量恒定，这就要求桨叶有所谓理想扭转，即扭转角与叶素所在半径成反比例。在均匀诱导速度的假设下，分别用冲量理论和能量理论可以得到旋翼拉力与诱导速度的关系。从冲量理论，假设空气在旋翼上方远处静止，通过桨盘时的速度在桨盘各处都一样，称改速度为诱导速度v1，而在桨盘下方远处加速到v2，桨盘拉力可表示为，桨盘加速气流的功率为；而气流在这一过程中的动能变化率为，因为空气密度很小，忽略在这一过程中重力的做功，如果不计其它损失，可得到故桨盘拉力与诱导速度的关系为。但这种理想扭转是很难制造的，所以一般都取线性扭转，从各方面衡量，扭转角（从桨毂中心到桨尖的桨叶安装角变化）一般在-5°～-20°之间。非理想扭转自然带来了不均匀的诱导速度分布，所以产生了一种叶素法与动量法结合的方法，分析桨盘环带的升力原理，后面即将采用这一方法进行计算。不论如何，从图2.1可见，叶素升力在水平方向有分量，加上桨叶的叶型阻力，反映到旋翼轴上就成了阻力矩，并传递到机身上，成为使直升机原地打转的力矩，为了克服这种不希望的旋转，需要有提供反扭矩的设备，但提供扭矩不是一个容易的事情，所以在单旋翼直升机上用尾桨提供侧力，侧力指向前行桨叶一侧，靠其与全机重心的距离转换成扭矩。但如果不平衡掉这个侧力，直升机会发生侧滑，悬停状态直升机只有旋翼和尾桨有足够的气流速度，因此平衡尾桨侧力只能靠旋翼平面向后行桨叶侧倾斜即旋翼负横向挥舞产生的水平方向分量来提供。两种典型情况下的配平姿态如图2.2所示。图2.2从尾部看的单旋翼带尾桨直升机悬停平衡示意图尾桨高度介于两者之间的直升机，其悬停姿态是上述两种姿态的混合。如果尾桨中心与旋翼桨毂等高，则这两个力在水平面内平衡，反扭就此实现；而如果尾桨中心低于桨毂平面，则因为这两个力不在同一水平面内，实现反扭的同时会产生使机身侧倾的力矩，由于结构复杂性的原因一般均不安装对这一力矩的平衡装置，而是靠重心向桨叶后行侧倾斜产生的重力矩抗衡这一力矩。如果重心正好在机身几何纵平面内，那么直升机无侧滑时必然要始终侧倾着飞行，除了乘员会有不舒服的感觉外，对驾驶员操作也造成不利影响。目前为了消除这一效应，是以向后行桨叶侧带一定侧滑角的姿态来飞行的，靠侧滑阻力力矩维持水平，但这会增加气动阻力。更好的办法是在机身布置时将重心偏放在桨叶前行侧一个位置上，以在整个飞行中都有不大的侧倾角；或通过物质输送时刻保持直升机的横轴与当时包括重力加速度在内的总加速度方向垂直，这样乘员在任何时候都无需左右摆动身体就能稳定乘坐。至于纵向的平衡，因为角度常常很大，纵向移动重心会造成更麻烦的问题，包括加剧本已存在的纵向不稳定现象，而且一般希望能感受到纵向加速度分量，所以就不做这方面的设计了。旋翼横向挥舞的结果是扭矩在水平轴方向投影不为零，因此产生一个抬头力矩，加上重心很难刚好布置在旋翼轴轴线上，因为尾梁长度必须满足尾桨在旋翼后面这一要求，而前机身长度对自重影响很大，所以一般都是略偏后，加剧了抬头趋势，所以除非采取其它平衡措施，直升机悬停时常常是略微抬头的。2.3悬停旋翼计算虽然尾梁翼面与尾桨一样要平衡旋翼产生的扭矩，但不同的是，尾桨处于旋翼尾流外，所以其计算有相当大的独立性，而尾梁翼面完全位于旋翼尾流内，且要在该尾流下产生“升力”和阻力，由于其工作依赖于旋翼尾流流场，因此，必须先知道旋翼的工作状态和尾流流场，然后才能确定一些关键尺寸，所以把旋翼计算提前到这里。好在即使不知道反扭形式，只要有飞行重量和大致的当量废阻面积，旋翼的概略计算仍然可以独立进行。首先明确旋翼本身的一些数据，这些数据从样例直升机的英制单位转换而来并经过一定圆整：桨盘半径R_m=9m，桨尖速度V_TP=200m/s，矩形桨叶弦长c=0.61m无尖削和桨尖特殊形状，桨叶片数b＝4，翼型NACA0012，线性扭转θ1＝-10°，桨根切除比x0=0.15，水平铰外伸量比e/R_m=0.05,桨叶总质量377kg，绕水平铰挥舞惯性矩Ib之和,假设桨叶质量均匀分布，用近似为9200kgm2，但原数据为2870*4*0.06852/0.30482＝8467kgm2，比均布假设计算的结果小，但在不清楚桨叶质量分布的情况下，由于桨叶质量分布对旋翼锥度的巨大影响，还是选用均布假设下的结果。2.3.1大气密度、音速和当地重力加速度与高度的关系直升机是航空器，所以必须知道其所处的大气环境，飞行质量与需要升力之间的换算需要重力加速度，如果把地球表面看作均匀的，这些都可以通过计算由飞行高度得到。查表的方法不太方便，由于这里是设计阶段，所以也不考虑实际使用中这些环境的变化，而直接通过理论计算得出这些数据。假设地球是标准球形且密度仅按圈层变化，准备采用纯积分的方法求出不同位置处的重力加速度。由于是近地环境且在大气内，引力体尺寸与距离相比不能忽略，并且计算引力的位置处于施加引力的物体（考虑大气）内部，不敢直接套用公式，针对这两种情况，以下分别做出理论计算。第一种是一个半径为R、密度为ρ的均质球体对其外部距球心L处产生的重力加速度，以被研究点为原点采用球坐标进行积分，见图2.3和式（2.1）。φ的积分范围为0～，令一个角度θ为0～2π，半径r的积分范围～，由于对称，所以仅计算轴心力。图2.3球外重力加速度积分符号图（2.1）注意最后的结果中括号里的正好是均质球体的质量，所以其形式与远距离上的公式一样，即在均质球体附近计算重力场仍可不考虑球体尺寸。第二种情况其它的都一样，但被研究点位于球体内部，仍用同样办法计算，φ的积分范围为0～π，θ为0～2π，半径r的积分范围为0～，示意图及其积分计算公式见下：图2.4球内重力加速度积分符号图（2.2）括号里的正好是均质球体半径为L那部分的质量，也就是只有研究点高度以下的球体质量才对当地加速度有贡献，并且计算时也不考虑球体尺寸，注意到研究点高度以上部分的质量的作用都互相抵消掉了。以上两个积分，虽然都是对均质体进行的，但由于可以容易地从球体差得到球壳，所以证明了在研究以同心圈层形式构成的球体附近的重力场时，可以仅考虑某个研究高度R以下的那部分质量M，套用公式，并且无需考虑密度在圈层间的变化。这一特性对分析地球附近的理论重力场是非常合适的。因此在这里不同于一般的将地表近似为平面、并取微元做上下表面压力与重力平衡的分析，而以球壳为微分单位，考虑膨胀、压缩两个方向的力与球壳塌缩重力的平衡。这样，距地高度为h、厚度为的球壳受力可表示为（2.3）地球半径R_e＝6371.004km，质量M_e＝5.974*1024kg，、为h高度上的空气密度和压强，其中的为高度h以下的大气质量与地球质量之和。等式左端是内部的大气对该球壳的压力，试图使该球壳膨胀，而右端第一项是外部大气对球壳的压力，第二项是内部包含的质量对该球壳的万有引力，均试图使球壳塌缩，等式两边平衡，球壳能够维持静态。将缩小到无穷小，略去高阶小量，得到气压相对于高度的导数，等式右面的第一部分就是g。 （2.4）另一方面，理想气体满足或即 （2.5）其中n是摩尔数，m是摩尔质量，代入（4）得到 （2.6）随着高度的增加，新的球壳内包含的质量也在增加，对包括距地高度h的所有大气的球体和增加了高度的，在缩小为时，增量可表示为，略去高阶小量后得到内球质量增量相对于高度的导数为 （2.7）将（2.5）代入，得到 （2.8）（2.6）和（2.8）是两个互相联系的非线性微分方程，并且都关于h变化，这种非线性微分方程组很难求解，所以用数值解法。为了得到对飞行计算有用的ρ和g，需要整理其中的某些项。ISO制下，普适气体常数R＝8.3145J/(K*mol)，引力常数G＝6.672*10-11m3/s2；设定海平面温度T0＝288.15K、气压P0＝101325Pa，由于直升机飞行高度有限，所以仅计算对流层就已绰绰有余了，取对流层温度梯度-0.0065K/m，即每上升1km温度下降6.5K；假设大气在同一高度上（即同一球面上）性质相同、是理想气体并且平均分子量m＝29不随高度而改变（其实只要知道变化规律，即使可变也可计入），换算为0.029kg，以h为变量，在simulink里搭建运算模块求解，见图4，采用定步长10秒（10米），ODE5法，计算起始时间0，终止时间6000秒（高度6000米）。图2.5大气数据计算得到6000米以下随高度变化的的空气密度和重力加速度数据，曲线如下。图2.6大气密度/高度图2.7重力加速度/高度由于初始计算条件不正确，所以数据与表格不是完全一致，但此种计算方法比常见的指数函数更精确，只要初始条件正确就可得到更符合实际的解。音速依空气湿度、温度、密度的不同而有不同數值，一般处理为仅随温度变化，有直接处理成线性函数的，梯度为0.607(m/s)/K；更理论化的关系为；同时还有另一个采用压强和密度的近似式[19]，其中k为空气比热比1.4，经与海平面数据比较，决定采用后者。2.3.2悬停旋翼计算从飞行原理来看，要讨论飞行器的飞行性能，首先得在它飞起来的情况下才有意义，直升机也不例外。悬停时所有的升力都靠旋翼产生，所以必须先计算出旋翼的拉力，在拉力满足要求的前提下，对扭矩、功率的讨论才有意义。虽然2.2节中均匀桨盘诱导速度的假设简化了分析，但为了更精确地反映实际情况，必须用非均匀诱导速度取代之，使用基于桨盘环带的动量法与该环带内桨叶叶素法结合的方法进行计算，但在计算过程中会有一些改动，以应对更多情况，并贯彻按桨盘半径（站位）微分的思想。考虑一个半径为、环中心线到环心距离为r的桨盘环带，其升力为 （2.9）其中ρ是不考虑压缩性影响时的当地大气密度，v1是该环带上的诱导速度。而从叶素理论得到的该环带内所有叶素的升力是 （2.10）其中b是桨叶片数，Ω是旋翼转速，c是叶素弦长，因为叶素展长，所以认为是叶素面积，而方括号内是相对气流运动产生的当地动压。称为当地入流角，cl、cd是当地升力系数和阻力系数，取决于叶素实际迎角和马赫数，Vs是当地音速。为叶素安装角，等于桨叶总距加上站位处的扭角，实用的θ1都是负值。L和D0为当地实际速度下叶素的升力和阻力，反映到旋翼轴上需要做关于φ的三角变换，符号意义见图2.1。两种方法得到的环带升力应该是一样的，但（2.9）与严密的（2.10）联立却很难求解，必须进行一定简化。基于实际测量，即使在诱导速度v1比例最大的高桨距下的桨叶水平铰附近，其增加的动压也只有10％左右，而在对总升力贡献很大的桨叶外段，诱导速度增加的动压在1％以下，影响不大。因此去掉诱导速度对叶素当地速度的贡献；同样，φ一般不大于0.4，cos(0.4)>0.92，并且该范围内叶素速度低，产生的升力、阻力都小，而在v1较大的地方因为圆周速度更大，该值小于0.2，cos(0.2)>0.98，所以近似不考虑φ对拉力的投影作用，同时实测cd在阻力发散前都要比cl小一个数量级以上，向旋翼轴的投影值更小，所以也忽略D0的垂直分量。这样处理后，（2.10）变为（2.11），以一定的精度为代价增强了实用性。 （2.11）环带中单个叶素阻力可表示为 （2.12）虽然φ＝0.1rad时ctan(φ)≈10，但甚至在失速后cl都能在相当大范围内维持比cd大一个数量级以上，压缩性损失前的各M数下cl/cd的最大值甚至均超过50，所以，与升力计算不同，（2.12）只能简化到（2.13），而不能不考虑来自cl的部分。 （2.13）升力系数cl曲线表示法图2.8NACA0012升力系数测量结果图2.8的数据是样例直升机旋翼采用的NACA0012翼型的升力系数曲线，M0.4以上速度时升力线右端的急剧直线下降是手头数据不足以覆盖这些角度，用零来表示而产生的，实际要平缓很多，并且在一定角度后还有上升。从有效数据可见，视马赫数不同，在4～12°以下的小迎角区域，NACA0012的cl与迎角基本呈线性关系，其它翼型也有类似情况，只是区域有别。很多文献中直接采用这种线性化处理方法，但直升机中很多叶素工作迎角常常超出此一范围，仍然使用这一近似会造成有害的对大桨距的乐观。虽然也有很多非常合乎物理学原理的表示法，如普朗特-葛劳渥特关系等有严密的数学推导，可以反映cl的非线性特性，并且在一定程度上接近实际情况，但也非常不便使用，而其引入的所谓失速迎角，更因为直升机桨叶迎角与诱导速度有关而加剧了这种不便，因为非常难以确定与的关系，尤其是这种关系又反过来影响v1的计算，即使用迭代法也会出现难以决定的结果，所以要提出新的表示法。新的表示法的阶数必须较低，否则不仅会加大计算的难度，也会因解的个数太多或出现复根加大挑选真解的负担，不利于自动操作。从以上曲线的形状看，都有较长的直线段，然后经过一个圆滑过渡进入下降，这一特征，在我们学过的基本曲线中，只有双曲线符合，所以初步决定用双曲线来表示cl曲线，用其渐近线来近似cl曲线的直线段。由于双曲线中心不在原点，并且曲线在中心点上下两侧，所以基本形式形式为，x对应迎角，y是升力系数。同时发现cl曲线顶点右侧下降速度比左侧慢，不对称，还需要修正，考虑阶次不要太高，用一次或二次函数为宜，一次函数不影响小角度时的线性程度，但二次函数在角度较大时有更大的修正能力，可根据不同翼型的情况选择使用其一或综合使用。本文决定采用单一二次函数修正，即所用的曲线形式为： （2.14）对开出根号项取负值的原因是要用下半曲线。在不同马赫数下调整各系数和原点位置使得到的曲线拟合测量结果，由于小角度下曲线斜率为，而度制下NACA0012小角度下升力线斜率接近0.1，并在M=0.6～0.75间有一尖峰，为便于在试凑中明确反映这一特点，加入参数ratio取消ky的独立性，即有 （2.15）ratio的常态值接近100，在尖峰附近减小；另外曲线必须经过原点，所以 （2.16）也不独立。这样转化和约束的结果，剩下四个可独立随M数变化的参数xh0、kx、ratio、kx2。由于实际测量的马赫数有限，中间速度下的各独立系数只能靠插值取值，为了从这些插值得到的曲线能与两侧的测量曲线有一致的形状和位置，这些系数变化趋势最好能够单调，即使发生反复，范围也要尽可能小，即要从整体角度上考虑曲线族的逼近程度，而非仅仅拟合实测曲线，这也是此处不敢采用MATLAB中的lsqcurvefit函数而选择人工拟合的原因。根据对双曲线特性与其系数关系的分析，最后得到系数在马赫数变化下相应的数值为：表2.1试探得到的用式（2.14）表示NACA0012需要的独立参数随马赫数变化马赫数M0.70.750.8xh015.3148.1766kx545556888ratio959390807057454670kx20.00030.000350.00050.00130.00150.00250.0030.0040.005其中数据改变比例后绘图显示的变化趋势如下：图2.9马赫数变化时独立参数变化示意大致达到了初始要求的变化单调的条件，在这些参数的约束下，在测定马赫数下的绘制的曲线与测得的cl曲线比较图如下：图2.10双曲修正线与实测曲线的比较可见其中高M数下的误差较大，不过悬停时桨尖速度均在0.6M左右，所以下面那些速度上的准确性已经足够用了，而且高M数下升力系数本身的数据也很少，现在片面追求这一段内的精确性也没有太大意义，等以后数据更加完整时来做会更好。而且我们更关心那些插值得到的速度下的曲线是否有一致性。在M0.1～0.7内，以M0.01为步长，对上述系数取线性插值（当然也可以取更好的形式，这是将来发展的方向），然后绘制图线，如下所示：图2.11双曲修正线系列自身的一致性可见在一定范围内的一致性还是很好的。具体采用什么形式的逼近函数族还要看所有叶素的工作迎角范围，如果迎角范围均很小，可以仍使用线性假设；如果所有叶素的工作迎角都不越过当地M数下升力曲线的峰值点，可以不修正双曲函数。总之要根据实际情况选取合适的曲线形式来表示实际升力曲线，而且目前似乎对同一翼型，不同风洞做出的结果也不一样，而且因弦长造成同一速度下雷诺数不同，升力系数曲线也不同，所以还需要消除风洞本身造成的差异，并针对马赫数与雷诺数提供更系统化的数据，或在不同弦长下做出一族如图2.10的升力曲线。至于翼型振动时升力系数的表示法，本文因只考虑悬停而无需涉及，也因作者能力有限而无力顾及。新表示法下的叶素诱导速度计算（2.9）、（2.11）两个式子是计算诱导速度v1的基础，新的表示法必须能够融入其中才有工程价值。但对应双曲修正函数（2.14）中x的中的显然给计算带来了困难,为了避开解非线性方程，用代替表示φ以去掉三角函数，这样处理，在φ＝0.4时，相对误差也只略超过5％，并且该范围内叶素速度低，产生的升力也小，而当小于0.2后相对误差小于1.3％，所以这种简化是可以接受的。把代换后的双曲修正函数代替cl代入式（2.9）与（2.11）联立，得到关于v1的四次方程 （2.17）除了表2.1中列出的四个独立参数外，还包含两个非独立参数，需要代入式（2.15）、（2.16）后才能求根解得v1，而其中的θ取决于叶素在桨叶上的站位即当地安装角。虽然该方程为四次，可以解析求解，但其中参数太繁，最终还是用数值方法求解的，并且从升力线近似线性化的结果决定取舍。这样处理后得到的四个根在所有情况下都是实根，这也是一件很有意思的事情，值得数学方面的同志研究。经与线性化升力曲线的结果对比，决定采用第二大解作为有效解。从式（2.17）可以看出，使用双曲函数作为基形就会得到四次方程，而即使再给双曲线加上一次项修正，最后得到的方程阶次也不变，但这样后能否仍得到有效解也是一个值得研究的问题。注意其中需要采用弧度制，即节中得到的双曲修正线要进行横向压缩，xh0要乘以π/180，kx、ratio、kx2均需乘以（π/180）2才能使用。求得v1后代入（2.9）得到叶素在来流下的升力，积分后得到桨叶升力。叶素上的阻力上两节计算了旋翼二元叶素的诱导速度v1的近似值，现在可根据式（2.13）计算叶素阻力，其中的称为诱导阻力，从前面的数据已经可以求出；称为叶型阻力，需要得到阻力系数cd才能计算，下面处理这一部分。图2.12NACA0012阻力系数测量结果图2.12是NACA0012翼型在不同M数下的阻力系数随迎角变化的曲线，从右到左的M数与图2.10的相同。由于取点较少并用直线段相连，所以看起来曲线的形状不太好，但不影响讨论。由于已经得到了v1，那么从可以得到各叶素的迎角，在叶素站位和当地音速已定的情况下，马赫数M也就都确定了，这样，可以不必采用以幂级数形式表示阻力系数的办法，而可以直接用插值方法。即使在考虑阻力发散后的M数下特性时，这一方法仍然适用。解出式（2.13）后乘以叶素所在半径即可得到叶素扭矩，关于桨盘半径积分后再乘以转速可得到旋翼功率。实际上我们关心的是旋翼扭矩和旋翼功率，求叶素阻力只是得到叶素扭矩的途径。对于插值中会出现与实际情况不符的问题，可以通过研究物理规律后优选插值规律或加密采样点的方法来解决。桨尖损失和桨根损失目前没有介绍研究不同站位处叶素时应如何计入该叶素等效展弦比及其影响的文章，而是对所有叶素都直接按二元考虑，即认为升力是在整个桨叶上按（2.9）分布的，之后再作为一个整体考虑桨尖和桨根损失：从桨根切除比x0开始，以B作为有效半径系数终止积分，即。这样得到的拉力积分结果与实际拉力相符。B是与桨盘拉力系数CT和桨叶片数b有关的参数，公式为 （2.18）该公式反映了桨叶片数b造成的桨尖涡影响程度不同，因为桨叶片数越多，前桨叶桨尖涡到达后桨叶时的扩散越小，因此桨尖损失量随之减小。而且可以看出计算B时无需考虑桨叶自身尺寸，是一个纯粹基于实验的公式，只要有CT和b，就可以计算，在目前b=4的情况下，其与CT的关系曲线如下图2.13b=4时桨尖损失系数B与桨盘拉力系数CT的关系实际上由于压差渐变的原因，在桨尖和桨根处升力是逐渐减小到端部的零的。虽然如此，从x0开始直接积分是可以接受的，因为桨根处速度小，因此升力小，误差不大，并且压差也小，绕流不严重而损失不大。而到B站位后停止积分对求诱导功率和型阻功率造成了不良影响。所以本文中稍微进行更改，仍从x0开始，而到2B-1站位开始诱导速度乘以一个线性系数，该系数在2B-1站位为1，到桨尖即1站位为0，这样既能反映实际升力在端部的逐渐减小，升力结果变化也不大，对后面别的计算的影响也较小。悬停下旋翼的锥度及其影响旋转的桨叶是一个复杂的受力体，在桨叶挥舞平面内，除受内力外，每个叶素还受升力、重力、离心力作用，而最后旋翼锥度是这些力造成的力矩与桨叶内力的平衡结果，因为离心力非常巨大，桨尖叶素的离心力达到重力的200倍以上，也远大于升力的作用，所以锥度一般都不大，而且桨叶基本都被拉直，即使桨叶升力分布很怪异也没有什么影响。这样的结果就是可以对所有挥舞平面内的力矩沿桨叶进行积分，然后在整体力矩上研究旋翼锥度。图2.14桨叶挥舞平面内叶素的受力从图可见，达成平衡时如下等式成立 （2.19）对于绝大多数铰外伸量很小的旋翼，可以近似成无铰外伸量的形式 （2.20）左端为升力产生的力矩，意图使桨叶直立，右端第一项是重力力矩，第二项是离心力力矩，其积分内的部分就是桨叶绕挥舞铰的转动惯量Ib。在铰外伸量很小的情况下，只考虑锥度对叶素动压的影响时，叶素升力可在不计锥度升力的基础上简单地乘以一个cos2(α0)，所以可以先得到全部积分，再解这个非线性方程得到锥角，或直接由α0和重力矩的影响小而进行近似，以最大限度地简化计算。而对铰外伸量很大的RD15[20]来说，这种近似的误差较大。从旋翼形成锥度的原理，有必要讨论锥度的稳定性的问题，即在旋翼处于稳定后，桨叶受到的一个小扰动是否会使旋翼整个脱轨。从上面的分析可以看出，在锥度为正时，使锥度减小的旋转离心力和重力的力矩与锥度分别近似成正比和反比，并且前者占绝对主要地位；若桨叶实际总距与锥度无关，增大锥度的升力力矩与锥度余弦的立方成正比，因此如果不增大操纵总距，锥度增大时会自然产生回复力矩，锥度将很快减小，反之亦然，而因为空气阻尼的作用，这种位置恢复是消耗挥舞能量的，因此旋翼的锥度是稳定的，其动力学特性应该近似一个欠阻尼二阶系统。以上描述是在不考虑叶型动态升力特性的前提下进行的，如计入动态特性，升力会随挥舞角速度产生的叶素浮沉速度有一个反向的动态过量，这会加大上述描述中的阻尼。这样看来，即使不采用挥舞调节距[5]、[21]，一般飞行条件下桨叶的挥舞也不会发展成脱轨。因为挥舞调节距又造成了总距杆角度与旋翼实际总距更复杂的关系，加重了设计的负担，因此，在性能要求一般的直升机上不必采用这一设计；而因为挥舞调节距会带来大于失速迎角时与叶素俯仰角速度同向的升力动态过量，并在失速迎角前产生负的升力动态过量，并且俯仰角速度为负时减少得更多，因此在任何平均桨叶总距下都能大大减小桨叶的挥舞，从而减少其它未知效应的影响，所以在对飞行速度、抗阵风干扰等要求很高时应采用这一设计，但低桨距下要得到同样的旋翼拉力，要采用稍大的总距，而高的平均桨距下似乎可得到更大的旋翼拉力。目前没有阻力动态特性或升阻比动态特性方面的报告，因此无法预测是否会付出功率代价。而在只要求一般飞行性能的直升机上就只有在挥舞铰外伸比小得在其内无法容纳周期变距装置的情况下才有必要采用挥舞调节距，同时顺带改善阵风响应。另一个能利用其减小挥舞能力的应用场合是共轴反桨直升机，可以减小上下旋翼间为防止桨叶相撞而预留的高度，从而减小前飞废阻。以往虽然计算了旋翼锥度，但未计入其对桨盘拉力的影响。实际上锥度会对旋翼升力产生两个效果：1是减小了桨叶叶素有效半径从而减小了叶素当地动压，2是叶素升力不再与旋翼拉力同向而有了投影关系。而在带有桨距调节距的旋翼上，还会带来第三个影响，就是桨叶安装角在总距确定时会随锥度变化，从而与桨叶升力有更复杂的相互影响，并同时影响给定总距下的旋翼功率，好在本文所涉及的样例直升机没有桨距调节距，所以可以不予考虑。由于锥度而产生的动压减小加上投影效应，升力只有假设桨盘为平面时的cos3(α0)倍，实际上由于重载时旋翼锥度会略超过10°，粗略相当于损失了4.5%以上的升力，值得重视。而且这个带锥度的旋翼产生的初始发散的尾流与离开旋翼后的尾流收缩效应叠加，恐怕是造成很多测量尾流的论文报道在桨盘下游附近的尾流外缘存在压力尖峰的原因。这对尾梁翼面的设计有实际意义。好在旋翼拉力的减小与扭矩/功率减小基本是同比的，所以前人求得的CQ/CT曲线还有意义。尾流旋转问题对叶素升力水平分量和阻力进行积分可以得到旋翼扭矩和功率，但还有来自诱导效应引发的尾流旋转功率，而且这部分尾流旋转与由叶型阻力产生的旋转叠加成为桨盘底部的旋流，实际上诱导尾流旋转是基于无摩擦假设的，型阻尾流旋转则是对这种假设的修正。这两种旋转与诱导速度一起，决定了脱离桨盘的旋翼尾流以螺旋线形状盘旋下降。为了得到计算尾梁处气流状态的初始条件，必须计算诱导效应与叶型阻力两个来源的尾流旋转速度。认为桨盘是气流是否旋转的分界，而尾流旋转与旋翼转向相同，从物理实际来讲，ω必然小于Ω。考虑2.3.2开始处提到的桨盘环带，对紧靠该环带上方和下方相对于桨叶的气流写出伯努利方程 （2.21）、分别是桨盘下、上静压，则静压变化为 （2.22）而对环带来说，静压差即是其单位面积上的升力，故同时有 （2.23）从（2.23）、（2.9）两式可得到ω，去掉大于Ω的不合理解，我们有 （2.24）绝对坐标系中桨盘上下总压变化为 （2.25）等式两边均乘以环带上的空气体积流量就得到功率，并且可见静压与旋转对应的功率可实现正交分解，对其列出诱导（升力）功率表达式 （2.26）而尾流旋转对应的功率是 （2.27）两者之比为该环带中附加在诱导功率上的尾流旋转功率的比例 （2.28）再考虑叶型阻力，对以上结果进行修正。设叶型阻力造成的尾流旋转角速度为ω0，则气流这部分的角动量变化率为 （2.29）而该环带中所有叶素的叶型阻力的反作用力对应的力矩为 （2.30）两式相等，略去φ的投影作用，从而得到ω0的表达式 （2.31）ω0与ω叠加就是尾流旋转速度，而只有ω对应的尾流诱导旋转功率才需要补充计入旋翼功率，因为ω0对应的叶型阻力已经在叶素阻力中考虑过了。如果直接从力矩与刚体角动量变化率来看，可以有另一种统一的尾流旋转算法。同样以桨盘作为气流是否旋转的分界，气流在穿过环带前无旋转，穿过后以ωall的角速度旋转，则角动量变化率为 （2.32）而该环带中产生的旋翼阻力的反作用力对应的力矩为 （2.33）两式相等，从而得到ωall的表达式 （2.34）但该方法算出的结果与原方法的结果差距很大，仅在总距θ0在23°附近时才基本一致，没有搞清什么原因，留待日后解决，目前先按前面的方法进行。非孤立悬停旋翼计算以上一系列公式就是计算悬停旋翼受力所需的全部过程，在确定了飞行重量和垂向阻力比的情况下可得到非孤立旋翼在该悬停状态下的受力，并同时得到旋翼下方尾流的初始条件，改进原工作顺序，步骤如下：给出：旋翼参数，包括桨叶片数b、半径R、弦长c、扭转θ1、根部切除x0、叶型数据、桨叶质量分布；试验条件，包括桨尖速度V_TP或转速Ω、大气密度ρ、当地重力加速度g与音速Vsonic，或直接给出高度，计算标准环境数据。见2.3.1节。确定所要计算的总距θ0和均匀选择的叶素数量，并靠各叶素站位算出悬停状态下各叶素的安装角θ和马赫数，按马赫数插值得到以弧度单位表示升力系数曲线的双曲修正线的系数。这是与原算法本质上不同的地方。见节。按式（2.17）求不考虑桨尖涡问题时各叶素当地诱导速度，并同时得到各叶素入流角φ。即使弦长c随站位有变化，该式子也能应对。见节。将环带诱导速度代入式（2.9）可得该环带升力，沿桨盘半径积分后乘以桨叶片数就得到忽略了入流角、桨尖损失影响并暂不考虑锥度效应的桨盘拉力T；代入式（2.10）可复核诱导速度的合理程度，但仅在不计桨尖损失时有效。用得到的粗略桨盘拉力得到不计桨尖损失时的拉力系数CT，计算公式是 （2.35）然后用式（2.18）求得桨尖损失因数B。然后对2B-1外站位的v1乘以线性函数的办法重新在桨盘半径上对诱导速度积分，得到忽略入流角和锥度效应的桨盘拉力。见节；而此时再用基于图2.1的物理意义更为精确的式（2.10）计算时则遇到问题，必须得到桨尖部分的叶素有效升阻系数，目前检索到的相关文献都是小展弦比翼段的，对叶素计算意义不大，所以后一种方法留待以后数据更加完整时进行。v)中同时可得到该拉力对水平铰的力矩MT；在已知桨叶质量分布的情况下求出（2.19）中需要的离心力矩MΩ与重力矩MG，解非线性方程 （2.36）得到水平铰外伸量e为0时的旋翼锥度，以近似一般e很小时的锥度，因为该公式中的MT部分仅考虑了动压对升力的影响，而未计入马赫数减小造成的升力系数改变对升力的影响，所以也仅是近似。见。v)中得到的T乘以cos3(α0)得到基于环带动量法的桨盘拉力，其中cos2(α0)对应等效半径减小造成的动压减小，另外一个cos(α0)是投影的作用。由于这样得到的T与旋翼锥度α0都取决于某一确定的旋翼总距θ0，所以可建立三者之间一一对应的关系，即总距一定的情况下，拉力与旋翼锥度都确定，对拉力也是如此，但一般来说，单独研究锥度下的总距和拉力则没有意义。在一系列角度中重复ii)～vii)，得到同一试验条件下总距、桨盘拉力、锥度的对应表和曲线，对这些数据进行样条拟合。至此完成先验孤立悬停旋翼拉力计算，这些是上面各节讨论的直接结果。设定一个飞行重量，并由当地重力加速度得到悬停所需升力。因为机身处于旋翼尾流中，会造成一些垂向阻力，这一阻力也需要旋翼拉力来克服，因此旋翼拉力应达到。基于改造前样例直升机的参数，结合蝾螈布局对尾梁的修改，只需要重新计算尾梁部分几个站位的阻力，但因目前尾流在尾梁部分的动压计算面临问题，所以只能粗略设定垂向阻力比。确定飞行高度后，从i)得出当地重力加速度，就可得出设定飞行质量下需要的旋翼拉力。对viii)得到的θ0/T数据插值，得到拉力配平所需的旋翼桨距。以该桨距对vii)得到的表进行插值得到旋翼当时的锥度，然后在沿半径积分的过程中计入在锥度上投影的效果，重复进行ii～iv可得到后验孤立悬停旋翼拉力，可用来检验先验计算的误差。由于桨叶气动计算的所有参数都已得到，所以按（2.13）核算旋翼扭矩和功率。具体计算见节，并用节补充尾流旋转功率。后面将遵循以上步骤计算样例直升机的悬停旋翼。算例与simulink实现旋翼参数见2.3节开始时的部分，设定悬停环境为标准大气下海拔1000米，无地效，查2.3.1节得到的表，当地大气温度281.65K，音速336.5m/s，密度1.1127kg/m3，重力加速度9.8168kgm/s2。用simulink计算给定桨叶安装角θ0（sita0）下忽略了入流角、桨尖损失影响并暂不考虑锥度效应的桨盘拉力T，见图，所用的很多参数都从matlab的workspace中调用，后面的计算也都如此。图2.15不计桨尖损失和锥度的动量-叶素组合法计算桨叶升力这只是单向的计算，如果要加上检验，即用式（2.10）来复核该算法的近似程度，需要搭建更多的模块，变为下图，下面和右面多出的就是复核部分。图2.16不计桨尖损失和锥度的动量-叶素组合法复核桨叶升力用本设计选用的旋翼参数计算，一般总距下由式（2.10）校核得到的误差小于1％。也可跳过图2.15直接用图2.16进行初步计算。尽管从复核图增加部分得到的结果更符合图2.1所示的叶素受力，但因桨尖部位各叶素需要不同于内侧叶素的升力系数，而目前检索到的文献都仅研究了整个小展弦比机翼的总体升力系数，所以无法应用复核图作为计入桨尖损失情况下的计算手段，而只能沿用用诱导速度乘以桨尖损失的办法，即继续采用图2.15作为计算的基本部分。按图2.15计算的结果，从式（2.18）算出对应的桨尖损失系数B，计入桨尖损失后的旋翼升力simulink计算图修改为图2.17，右下部分的三个积分是为计算旋翼锥度做准备，其结果代入式（2.36）后可得到某一总距产生升力后旋翼的锥度α0。叶素升力减小到不计锥度时候的cos2(α0)倍，而其积分结果乘以cos(α0)是近似的旋翼拉力。然后计算一系列桨距下的悬停状态旋翼拉力，列插值表。图2.18中带“o”的实线显示两者对应关系，同时也显示不计锥度影响的旋翼升力计算结果和一些功能线。图2.17计入桨尖损失的桨叶升力计算图2.18拉力随总距变化的趋势可见，小桨距时升力曲线基本是线性的，在大桨距下才发生一部分叶素失速，即升力系数进入图2.8所示的弯曲区域；而由于cos3(α0)放大α0影响的关系，锥度在小桨距范围起主要作用。但以后随着桨距角进一步增大，叶素普遍进入失速区，升力增长缓慢甚至减小，锥度反倒不会继续增加，失速成为实际升力偏离点划线下弯的主要因素。确定了悬停重量（质量）10吨，并由当地重力加速度和垂向阻力比0.045得到悬停所需升力1.0259*105N。对从c)得到的孤立旋翼无地效悬停升力与总距的关系插值，得出对应的总距即桨叶安装角为20.258°，以该总距对vii)得到的表进行插值得到旋翼当时的锥度0.13495rad＝7.732°，然后在沿半径积分的过程中计入锥度的影响，因为升力计算已较为准确，可同时计算旋翼扭矩和功率作为发动机工作状态参考，并同时计算旋翼尾流，作为蝾螈尾梁翼面的设计资料。增加了锥度因素的计算图如下，深色比例块的放大倍数是一样的，通过它们加入锥度的影响；下半部分左、中区计算扭矩和功率，同时给出悬停效率和以有效桨叶面积为基准的无因次扭矩系数CQ/σ；右下角计算尾流。右上角显示旋翼拉力为1.024*105N，比需要的升力小不到0.2％，可以接受。考虑到与复核升力之间的误差也在1％以内，所以不再以这个结果为基础再建立插值表。图2.19带锥度的旋翼拉力、扭矩、功率计算关于尾流场的讨论和尾梁翼面性能设计以图2.19为基础，通过改动θ0，同时对桨尖损失系数B和旋翼锥度α0表插值，可得到一系列对应的旋翼拉力、扭矩和功率，并同时得到紧贴桨盘下表面的尾流数据。横轴是桨盘站位，图2.20显示拉力和三种扭矩，纵轴是叶素单位宽度上的力或产生的力矩；图2.21显示桨盘下表面处尾流速度及角度，实线是尾流速度，虚线是尾流速度与铅垂线在圆周方向的夹角。两图的11组曲线对应的θ0与图2.18示出的相同，小角度对应的线在底部。图2.20左下的叶型阻力和尾流流场在桨叶尖端急剧上升是由前面的处理过程造成的，虽不精确，但一定程度上反映了这两部分数值变化的规律和趋势。图2.20最终的旋翼不同安装角时桨盘拉力与各种扭矩随站位分布图2.21旋翼不同安装角时桨盘底部尾流流场初始分布图2.21只得到了流场在桨盘底部的分布，而尾梁翼面则在桨盘下方一定距离处，所以应该计算尾流离开旋翼后运动的变化，但这部分已经属于三元流理论，需要高深的空气动力学知识，实非作者能力所及，所以不进行计算了。但从已经得到的结果可以看出，在桨距变化10°（拉力变化1倍多）的过程中，尾流速度较大部分的角度变化达到6°以上，这表示尾梁翼面的角度应该可调才能在各桨距下均提供较好的反扭力，而尾流在离开桨盘后收缩并加速，尾梁翼面所在的位置决定作用在其上的尾流速度和角度。按扭力力臂尽可能大并保证足够的扭力的准则，设置0.7～0.9倍旋翼半径区域为尾梁翼面所在范围。必须计算尾流在这段尾梁翼面上提供气动力的潜力，为此，加入在这段尾梁上的积分计算，基于升力公式（2.11）的尾梁“升力”力矩计算公式为 （2.37）vzr是在尾梁相对桨盘的高度z上，站位为r处的尾流速度，cT为尾梁翼面弦长。括号内的部分是在假设cl、cT为常数的情况下抽取出来的，在确定了尾梁翼站位区间后这部分就确定了。指定尾梁位于离桨毂平面0.25个桨盘半径的位置，从表示旋翼尾流的图估计尾流半径收缩5％，速度增加到1.1倍，周向角度不变。图2.22进行了这一计算。由于MT要与旋翼扭矩Q相等才能维持航向稳定，所以图3.23示出两者之间的比值，以大致确定cl*cT要达到多大才能达到这一目的。图2.22带尾梁翼面设计气动计算的旋翼计算图2.23旋翼扭矩与尾梁翼面潜力之比随桨叶安装角的变化从图2.23看出，随着大桨距下旋翼扭矩增速超过拉力增速，需要的反扭力矩增速也超过尾梁的潜力，并且这一比值在常用桨距角下在35左右，即使尾流充分加速到诱导速度的两倍，该比值也接近10，重载条件下更会继续增大。如果要求悬停中顺旋翼旋向做转弯，该比值会进一步增加。用更粗糙的对桨盘的动量法可以得到更具有一般性的结果，借助无因次系数的如下公式和尾梁设计的一些已知要素就可以进行估算。已知拉力系数为 （2.38）扭矩系数为 （2.39）关于两式两侧分别做除法整理得到Q与T的关系 （2.40）该Q就是直升机平衡时反扭系统的力相对于旋翼轴所必须提供的，所以转化为反扭力矩，假设合力作用点位于0.8R处，则需要反扭力的大小为 （2.41）尾梁翼面提供TT的公式，按照标准翼面的气动计算为 （2.42）而悬停时诱导速度v1与桨盘拉力T又有如2.2节中的关系 （2.43）代入式（2.42），得到 （2.44）与式（2.41）相等，所以得到对升力系数cl*cT的要求 （2.45）按给出的CQ/CT图线，其比值在一般可用总距下大约在0.05～0.3之间，即使只有0.05，对R=9的旋翼来说，要求也在18左右，而且这时是旋翼最轻载的情况。由于直升机尺寸有一定协调性，cT与R也有一定关系，可以近似成0.1R，此时（2.45）变成 （2.46）图2.24有限展弦比下某翼面的升力线斜率随等效展弦比变化图2.24是与NACA0012相近的某翼型的数据，从该线来看，样例直升机尾梁翼面展弦比取2较为合适，并且结构上也允许0.9米弦长的尺寸。但根据曲线,此时弧度制下的升力线斜率与弦长之积有1.3*1.8≈2.3左右，如果失速特性与标准翼型一致的话，实际的cl*cT只略大于0.61，不到最低要求值的4％，如果不采取其它措施，几乎就没有效果，因此需要寻求增效的办法。结构上最可行的是使用高升力系数的翼型和采取增升措施，已知Liebeck屋脊形层流翼型的clmax＝2.2、WortmannFX74-CL5-140的clmax＝2.4，比NACA0012的1.5高出约50％。另外，程玉庆[22]的论文给出，通过增加吹气襟翼，展弦比在3左右的NACA0012的升力系数可增加一倍。但即使这两项加在一起，展弦比只有2的尾梁翼面升力系数也不会超过2，另外NACA64-210翼型在马赫数0.15以下clmax反而会下降，这一现象可能也具有通用性。尝试过专用于低速的人力飞机的翼型，但从查到的数据[23]看，即使弦长只有0.5米，其接近二元翼型的机翼升力系数在马赫数0.01（空速33m/s）时也不会超过3，截短到展弦比2的情况后也不会对提高性能有作用。总体来说，综合采用高升力翼型和增升装置后，实际得到的cl*cT不会超过最低要求的15％。虽然江善元[24]报道在展弦比为1的某低速翼型上得到3以上的升力系数，但其同时给出的阻力系数也同时达到2以上，这很奇怪，因为NACA0012这两个值之比基本在40以上。朱自强[25]报道NHLP-2D翼型在迎角20°时有高达4的升力系数。沈定安等报道喷气襟翼可使升力系数增加到无喷流时的4倍以上[26]，但这些翼型在紊流度非常高的尾流环境中是否可用、以及此时喷气效果会受到什么样的影响等方面仍存在疑问，而且不知道直升机是否能经济地提供按这些试验所采用的喷气流量进行比例放大后的气流。第二个方法是增加尾梁翼面的数量，这样显然也可以加大扭力，而且也设想出了能兼顾前飞状态的结构设置，但在进行具体设计前，先考虑一下能否达到目的。把直升机和受其影响的空气作为一个整体考虑动量矩，直升机要实现方向稳定，其旋翼和反扭装置排出的空气相对旋翼轴的动量矩之和必须为零。图2.25不同桨距下尾流旋转速度在半径上的分布图2.25中各曲线对应的桨距角仍然是从15～25°，顺序为自下向上。假设尾梁能利用的气流在周向占15％，径向占50％，由于其所处的径向站位，也需要其前后气流的周向速度差10倍以上于自由尾流的周向速度，从图2.21看远超过自由尾流的合线速度。可见，想仅利用尾流能量实现反扭是不现实的！！NOTAR方案通过风扇补充了一部分能量，声称能增大对尾梁的环量，其实际情况难以考证，但休斯称的风扇功率不超过传统式的尾桨功率似乎也证明了尾梁环量控制的贡献并不显著，绝大部分扭力仍是靠尾梁尖部喷气实现的。另一个更简单但也更粗糙的估算思路是利用发动机功率，假设某飞行状态下发动机处于60％全功率状态，其中的80％用于旋翼。对样例直升机来说，意味着悬停功率为约1500kW，除以旋翼转速22rad/s，得到旋翼扭矩约70kNm，当反扭装置力臂为8m时，反扭装置提供的力为约9kN，对应不到2m2的翼面面积，单位翼载荷约500kg/m2，同等翼载荷的战斗机起飞速度要达到50m/s以上，而一般直升机旋翼下方远处的尾流速度也不超过40m/s，能提供的动压不到要求值的2/3，更不用说加速尚不完全的尾梁附近了。而如果尾梁翼面真的那么有效，早就该有短距起降能力惊人的飞机服役了。从这三种分析方法得到的结论，都证明在单尾梁上设置利用尾流能量的反扭装置、甚至用多尾梁布局来提供反扭力的做法不会收到理想的效果，不可能通过原设想方案配平50％以上的悬停扭矩。何况这已是最乐观的估计，而在CQ/CT更大的工作状态下，这一比例就更小，可能收益还不能补偿结构重量和复杂性，因此，在具有更高性能的翼型投入使用之前，靠尾梁实现反扭的想法还无法实现。但基于已有计算，仍可以对直升机设计提出一些想法。2.3.3基于以上计算的一些想法从图2.20看出，旋翼拉力在桨盘上随半径基本呈线性增加，但在桨尖附近因桨尖效应急剧下降，同时因叶素迎角变大，叶型阻力剧增。虽然修正后的计算在桨尖部分未必准确，但总能反映大致趋势，桨尖部分翼型阻力比内段高1个数量级还是比较现实的，而其所在的半径又最大，更加剧了扭矩/功率的损耗。因此，如果要在当前技术条件下提高旋翼的效率，减小桨尖的叶型阻力是重点。而且，因为叶素站位对其拉力效果没有影响，而阻力却要与站位做乘法转换成扭矩/功率负荷，所以，在桨叶靠根部可以几乎不考虑阻力，而把注意力集中在升力垂直分量上，随着半径逐渐加大，布置翼型和扭转角时要越来越多地考虑阻力系数，升力系数的比重逐渐减小，到了桨尖时，就完全不必考虑升力系数，小阻力系数成为唯一追求的目标。英国已经进行了类似研究，设计出了具有类似特点的先进旋翼。

图2.26英国Westland的先进旋翼翼尖采用复杂形状的后掠角/桨叶的截面（翼型）也从翼根到翼尖不断变薄，以延迟激波的产生，这个道理和超音速飞机用大后掠角、薄翼型的机翼一样[27]总之要尽可能降低翼尖型阻，而桨尖诱导阻力也因放弃了翼尖升力而随之消失，所以在相同总距时，会在略损失一部分拉力的代价下，显著降低总的扭矩/功率，并在更大总距的情况下得到相当的最大拉力，同时旋翼尾流会更接近均匀分布，改善因采用线性扭转的等截面桨叶而普遍存在的中心速度偏低的情况。英国的特殊形状桨尖，和西科斯基UH-60在桨尖采用的非线性负扭转，都抓住了这种设计思想的一部分，英国旋翼在所有飞行状态中都有更小的功率负荷，而UH-60在重载情况下会表现得更好。相信这种做法也已经在以提供拉力或推力为目的的螺旋桨上得到了体现，但对轴流、离心式压气机则不知能否适用。图2.27固定翼叶尖涡形成示意[28]但是要在桨尖部分更好地贯彻这一思想，需要有一个在所有桨距下都处于0迎角的桨尖，使用展向活动桨尖能够实现这种要求。判读叶素CT/CQ比开始严重下降的站位，切除该站位以外的原桨尖，在断面处设置好接口装置（沿桨