山东省德州市2022-2023学年高三年级上册期末数学试题（解析版）

高中线上教学自测自评卷（数学）

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，第I卷1一2页，第n卷3—4页,

共150分，测试时间120分钟.

注意事项：

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.

第I卷（共60分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的.）

M=（%||%-3|<1）N=口炉-3x-4<0，.,

1.己知集合1"।IIJ,那么“aeM”是“小心AT的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用不等式的解法，求出集合M,N,利用集合元素之间的关系确定充分条件和必要条件.

【详解】由卜―3]<1可得—I<x—3<1,即2<x<4,所以〃={x|2<x<4},

由尤2-3%—4<0可得解得一1cx<4,所以N={x|-1<尤<4},

因为集合M是集合N的真子集，所以“ae"”是“aeN”的充分不必要条件.

故选：A.

2.已知复数z满足3z—l=(z+2)i,则z=(

11

B.—+—

2

D.—i

1010

【答案】D

【解析】

【分析】复数z=a+初，代入已知等式，利用复数相等求解未知数.

【详解】设复数z=a+玩，代入3z—l=（z+2）i,有（3a—1）+3历=—〃+（a+2）i,

1

ci——

3d—1=—b10.17・

则_，解得<..z-.....1----i.

3b=a+2b=L1010

io

故选：D

3.函数/（无）=（祇2—m+1卜苏一2时3（o〈MV3,meZ）同时满足①对于定义域内的任意实数x,都有

/（-%）=/（%）；②在（0,+8）上是减函数，则/三的值为（）

I2J

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由机的值依次求出加2-2m-3的值，然后根据函数的性质确定加，得函数解析式，计算函数值.

【详解】meZ,0<m<3,〃z=0,l,2,3,代入加2_2m_3分别是—3,—4,—3,。，

在定义域内/（—%）=/（%）,即是偶函数，因此泞-2m-3取值—4或。，

加2—2机—3=0时,/（%）在（。,+°°）上不是减函数,

只有加2一2加一3二-4满足，此时根=1,/（x）=X-4,

/（孝）=（/尸=（应）4=4-

故选：B.

4.如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的,若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥

的母线长是4,侧面积是4万，则制作这样一个粮仓的用料面积为（）

----------

--->

A.（岳+4）乃B.（2岳+4）»C.（3^5+4）nD.（4A后'+4,

【答案】D

【解析】

【分析】

设圆锥的母线为/,底面半径为「，高为〃，根据题意列出方程求出7.的值，再计算圆柱和圆锥侧面积之和

即可求解.

【详解】设圆锥的母线为/,底面半径为小高为〃，则兀力=4兀，4a=4兀，解得：r=l,

所以［=,42—1=JI?.

圆柱体的侧面积为2万厂•2/z=2兀x2岳=4岳兀，

所以制作这样一个粮仓的用料面积为（4逐+4）乃.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用圆锥的侧面积和母线长求出圆锥和圆柱底面圆的半径，再利用

母线和底面半径求出圆锥的高，进而求出圆柱的高，再计算两个几何体侧面积之和即可.

5.已知菱形A3CD的边长为2,菱形的对角线AC与3D交于点。，=1，点E是线段上靠近

。的三等分点，则在AB上的投影向量的模长为（）

84

A.-B.-C.1D.2

33

【答案】B

【解析】

【分析】先根据数量积定义和题干条件=1算出菱形的四个内角，然后直接利用投影向量的模长公

式计算.

【详解】菱形对角线相互垂直，即NAOB=90，根据数量积的定义，

BABO=1^\BO\-（|5A|-cosZABO）=\BO^,故80=1,即cos/ABO=；,又ZABO为锐角，则

兀AEABAEAB

430=4，根据投影向量的模长公式，在AS上的投影向量的模长为：网=-—,依题

12

意，BE=2ED-即班+4石=2£4+24£＞，故AE=§+§AD，于是

-1-2242184

AEAB=-AB+-ABAD=-+--2-2--=-,即投影向量的模长为一.

3333233

故选：B

6.曲线4y—炉=0(移之0)上有两个不同动点M,N,动点/到尸(0,4)的最小距离为4,点N与Q。,3)

和R(O,1)的距离之和|N9+|NR|的最小值为瑟，则4+4的值为()

A.8B.9C.4+273D.5+2石

【答案】C

【解析】

【分析】对于4可直接利用两点间的距离公式结合二次函数进行求解，对于4可利用抛物线的性质，结合

图象观察发现取得最值时的N的位置进行求解.

【详解】设M(x,y),则MH=6+0-4)2,结合关系式4y—%2=0⑶20)可变形为：

\MP\=,4y+di=正——+短=7(y-2)2+1222上,当y=2,x=2、回，即动点M坐标为

(20,2)时，取到最小距离4，即4=2百；

由题知，曲线4丁-必=0(孙20)为抛物线在第一象限的部分以及原点，其焦点为阳0,1),准线为

y=—l,设N(x,y),过N作NG,准线，垂足为G,根据抛物线定义，|NQ|+|A因=|N@+|NG|,过

Q作准线，垂足为交抛物线于/,当N在运动时，结合下图可知，|NQ|+|NGj习QH|=4,

当N运动至U41,；］时取得等号，即|NQ|+|M?|的最小值为4=4.故&+&=4+273.

故选：C

7.已知。=111幺+5,Z?=ln-+4,c=ln-+5,其中a,b,ce(O,l),贝ij()

544

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数/(%)=x-lnx利用导数讨论单调性结合题设即可比较大小.

1Y—1

【详解】构造函数/'(x)=x-lnx,/'(x)=l--=——,

XX

令八功<0解得O<X<L令/(幻>0解得无>1,

所以/(x)=x—Inx在(0,1)单调递减，(1,+8)单调递增，

因为。=111m+5,所以a=Ina-In5+5即a—Ina=5—ln5,

所以/(a)=/(5),O<a<l,

b

因为b=ln—+4,所以Z?=ln£>—1114+4即6—1116=4—1114,

4

所以/S)"(4),0<b<l,

因为c=ln£+5,所以c=lnc-ln4+5,即c-lnc=5—ln4>5—ln5,

4

即/(c)>/(5),

因为/(x)=x—lnx在(l,+8)单调递增，

所以/(5)>/(4),所以/(c)>/(5)>/(4),

所以/(c)>/(«)>于3)，又因为/(%)=x—Inx在(0,1)单调递减，

且a,b,ce(0,1),所以c<a<Z?,

故选：B.

8.已知函数“无)=sinx的图象与直线质-y-E=0(左>0)恰好有三个公共点，这三个点的横坐标从小到

大分别为X],巧，退则(芭―W'an1%—X3+I卜勺值为()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】注意到履一丁一析=0（左＞0）过定点（n,0）,该点为/（x）=sinx的对称中心，则％=兀，

X]+%=2n.又恰好有3个交点，则直线Ax—y-E=0（左＞0）为/（尤）=sinx在x=Xp工=々处切线，

则/'（%）=r（%3）=k,据此可得答案.

【详解】kx-y-kii=0^＞k（x-Ti）-y=0,得直线过定点（n,0）,

该点为f（x）=sinx的对称中心，则/=兀，玉+金=2口.

得F-■毛=2（兀一七），%2-%3-n-x3.

又恰好有3个交点，则直线Ax—y—E=0（左＞0）为/（x）=sinx在x=%，x=%处切线，贝I

=/，（九3）=k今cos=cosx3=k.

又牝-k^=sinx3=cosx3（无3—n）=sin演=n一毛=-tanx3,

_—

贝ij（X]—&）tan—£+5]=2（7t—£）tan—&]=2tanx3-----=2.

故选：A

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意，部分

选对得2分，错选不得分.）

9.已知定义在R上的奇函数/（%）图象连续不断，且满足/（x+2）=/（%）,则下列结论正确的是（）

A.函数八%）的周期T=2B./（2022）=/（2023）=0

C."%）在[-2,2]上有4个零点D.（1,0）是函数y=/（九）图象的一个对称中心

【答案】ABD

【解析】

【分析】首先判断函数的周期，再根据函数的周期和奇函数的性质，计算特殊值，并结合中心对称的性质，

判断选项.

【详解】A.因为函数八%）满足/（4+2）=/（力，所以函数是周期函数，周期T=2,故A正确；

B.因为函数是定义域为R的奇函数，所以/（0）=0,且/（—1）=—/（1）,又函数是周期为2的函数，所

以/（-1）=/（1），所以/（1）=0,/（2022）=/（1011X2）=/（0）=0,

/（2023）=/（1011x2+l）=/（1）=0,所以/（2022）=/（2023）=0,故B正确；

C.根据周期可知/(-2)=/(2)=/(0)=0,且〃-1)="1)=0,所以函数在区间［-2,2］上至少有5个零

点，

故C错误；

D.因为函数周期为2的奇函数，所以〃%)=—〃—%),且〃x)=〃x+2),所以/(x+2)=—〃—x),

所以函数八%)关于点(1,0)对称，故D正确.

故选：ABD

10.已知数列｛。“｝的前”项和为5“，且4=1,%+］+4=2〃则()

„1Q卜,72为奇数

AY"B./偶数

C.数列｛4｝为等差数列D.〃为奇数时，s="+(”T

"2

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用并项求和法可判断AD选项；利用等差数列的定义可判断BC选项.

【详解】对于A选项，Sf=(弓+为)+(/+%)+(%+。6)=2x(1+3+5)=18,A对；

对于B选项，因为q+%=2,则。2=2-4=1,

对任意的N*，由a.+。“=2〃可得%+2+a“+i=2(八+1),

上述两个等式作差可得。“+2-=2,

所以，数列｛4｝中的奇数项成以1为首项，公差为2的等差数列,

数列｛4｝中的偶数项成以1为首项，公差为2的等差数列,

当九为奇数时，设"=2左一）,则a”=。2*-1=%+2（左-1）=2k—1=w,

当九为偶数时，设"=2%(%eN*),则%=4+2(左一1)=2左一1="—1,

"，"为奇数

综上所述，an=<为偶数'B对;

对于C选项，%—4=1/4-。1，故数列｛4｝不是等差数列，c错;

对于D选项，当“为奇数时，设〃=2左一l(ZeN*),则左=号

则S”=S2k—a2k=(«1+4)+(g+。4)++(a2k-i+。2左)—4*

=2[l+3++(2Z:-1)]-(2Z:-1)=2k(l+^k~l)_-1)=2^2-2Zr+1

c(ZZ+1Y/八]"1("1)2nd

=2x----—(〃+l)+l=---F—=n+-----­，D对.

故选：ABD.

11.设函数/(%)=e,g(x)=工上D,则下列说法正确的有()

e

A.函数/(%)在(-8),0)上为减函数

B.对VxwO,都有小Ug(x)恒成立

C.对VxeR,都有/(X)+12g(x)恒成立

D.函数/(%)=g(x)有两个极值点

【答案】BC

【解析】

【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用利用导数研究函数"x)=J3—g(x)的单

调性，可判断B选项；指数函数的单调性可判断C选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项.

【详解】因为/(x)=xe*,其中xeR,则r(x)=(x+l)e"g(x)=^^=x+l.

e

对于A选项，/'(x)=(x+l)eX,由/'(x)<0可得1<-1,

所以，函数了(%)的减区间为(―8,—1),A错；

对于B选项，对VxwO,令力(x)=""_g(x)=eX_x_l,

//(x)=er-l,由//(x)<0可得％<0,由〃(x)>0可得x>0,

所以，函数〃(%)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以，VxwO,/z(x)>e°-0-1=0,B对；

对于C选项，VxeR,令"(％)=/(无)+1-8(%)=%6*-%=%(6*—1),

当xVO时，&x<1，贝！|p(x)=/(x)+l—g(x)=x(e*—l)NO；

当x>0时，e*>l，贝i|p(x)=/(x)+l-g(x)=x(e*—l)>0.

故VxeR,/(x)+l>g(x),C对；

对于D选项，F(x)=/(x)-g(x)=xev-x-l,其中尤eR,F,(x)=(x+l)ev-l,

令/⑺=(工+］)/一］,当xV—l时，e*>0,此时尸(x)=(x+l)e*-l<0,

故函数网％)在(—8,—1］上单调递减；

当x>—1时，f'(x)=(x+2)e，>0,此时函数F(x)单调递增，

故函数尸(%)在上至多一个零点，故函数/(九)至多一个极值点，D错.

故选：BC.

12.正方体—4用&2的棱长是2,M.N分别是A3、的中点，则下列结论正确的是()

A.DXM1BtC

B.以2为球心，百为半径的球面与侧面5CGB1的交线长是兀

C.平面，MN截正方体所得的截面周长是0+2相

D.与平面，MN所成的角的正切值是

【答案】AC

【解析】

【分析】以点A为坐标原点，AB.AD.441所在直线分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系，可判

断AD选项；分析可知以2为球心，亚为半径的球面与侧面3。。1用的交线是以点C,为圆心，半径为

r=《5-GD；=1的:圆,利用扇形的弧长公式可判断B选项；确定平面RMN与正方体各棱的交点，

求出截面周长，可判断C选项.

【详解】以点A为坐标原点，AB，AD，A4所在直线分别为x、>、z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

对于A选项，〃(0,2,2)、"(1,0,0)、4(2,0,2)、C(2,2,0),

。幽=（1,一2,-2）,4c=（0,2,-2）,则RM.4c=0—4+4=0,3。，A对；

对于B选项，因为DC1，平面3耳GC,

所以，以2为球心，为半径的球面与侧面5CG用的交线是以点G为圆心，半径为r=《5-GD；=1

的!圆，

4

]兀

故交线长为一X71X1=—,B错；

22

对于D选项，易知点4（2,0,2）、〃（0,2,2）、M（1,0,0）,N（2,l,0）,

设平面R2W的法向量为〃=（九,y,z）,AGV=（l,l,0）,D,M=（1,-2,-2）,

则〈，取％=2,可得〃=（2,—2,3）,

几•D]M=x—2y—2z=。

…B,D.-n-82A/2

4R=（-2,2,。），+==-而，

设直线耳2与平面所成角为e,则sin。=2电，

V17

所以，cos6»=Vl-sin26>=~^=,故tand==，

<\7cos33

因此，。片与平面所成的角的正切值是述，D错.

3

对于C选项，设平面交棱A4于点£（0,01）,其中0W.W2,ME=（-l,0,f）,

因为MEu平面RMN,所以，腔力=—2+3/=0，解得f=g，即点E[O,O,|J,

同理可知，平面"MN交棱CC于点p[2,2,g）,

2A/13

3

同理可得=卜平，卜立,

因此，平面D[MN截正方体所得的截面为五边形DtEMNF,

其周长是3+2=0+2而，C对.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法:

(1)利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可

确定线面角;

(2)在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度人从而不必作出线面角，则线面

h

角。满足sin。==(/为斜线段长)，进而可求得线面角；

(3)建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设q为直线/的方向向量，〃为平面的法向量，则线面角。的

正弦值为sin0=|cos<a,n>|.

第II卷(共90分)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

兀一

13.已知函数/(x)=sin(ox+e)[0>0,悯<5的部分图象如图所示,若在锐角..ABC中，

则4=

【分析】由图象可求得函数7(%)的解析式，由A的取值范围以及/(A)=；可求得角A的值.

E2兀

【详解】由图可知，函数了(%)的最小正周期为T=4x二2兀,则@=—-1,

T

兀

2sin(/+。1l兀,，兀nt兀,27r77r

因为了=1,且——<(p<—,则一<----\-(p<一,

22636

2兀71

所以，——+0=一,可得/=g故7(x)=sin

326

]_

因为A为锐角，则0<A<],则一/<A—4〈巴，/(A)=sinlA——

2663I62

.兀兀4％兀

所以，A---=—,故4=一.

663

TT

故答案为：

3

14.已知直线x+2y—5左=0与圆。：/+/一4x+2y—3=0交于A、3两点.若|4同22百，则实数左

的取值范围是

【答案】一LK左41

【解析】

【分析】利用勾股定理可得出圆心C到直线x+2y-5左=0距离d取值范围，利用点到直线的距离公式

可得出关于左的不等式，解之即可.

【详解】圆。的标准方程为(尤―2y+(y+iy=8,圆心为C(2,—1),半径为厂=2行,

由勾股定理可知，圆心C到直线x+2y-5k=0的距离为d=V5,

由点到直线的距离公式可得4=邛三百，解得一1W左＜1.

故答案为：一14左41.

15.已知正方形A3CZ),边长为2,动点P自点A出发沿ABCDA运动，动点。自点A出发沿ADCK4运

动,且动点P的速度是动点。的2倍，若二者同时出发，且P到达A时停止，另一个点。也停止，则该过

程中AP•AQ的最大值是

9

【答案】-

2

【解析】

【分析】设尸点的运动速度为1,运动时间为/，以A为坐标原点建立平面直角，分别在♦e(0,2］、fe(2,4］、

te(4,6］和/e(6,8］的情况下，利用/表示出P,Q坐标，利用向量数量积的坐标运算可将AP-AQ表示为

关于/的函数性质，利用二次函数性质可求得最大值.

【详解】不妨设P点的运动速度为1，则。点的运动速度为运动时间为方；

以A为坐标原点，AB,A力正方向为羽V轴，可建立平面直角坐标系，

①当te(0,2］时，P(t,0),

此时APLA。恒成立，.〔APAQuO；

②当fe(2,4］时，P(OJ—2),40，5

则当£=4时，（AP2Q）=4；

\/max

③当fe（4,6]时，P（6f2）,e[1/-2,2

AP-Ae=[-r-2j（6-?）+4=--r+5Z-8=--（^-5）2+*4-,

1J222

则当f=5时，（APAQ）=3；

\/max2

④当/«6,8]时，尸（O,8T）,efo,^-2j,

AP-AQ=（8一”（1一2]=一：/+6%-16=一；“一6）2+2,则APAQ<2；

Q

综上所述：APA0的最大值为万.

22

16.如图所示，己知耳、居分别为双曲线土-义-=1的左、右焦点，过居的直线与双曲线的右支交于A、

412

8两点，则“鸟。的取值范围为;记4人片鸟的内切圆。的面积为S-△§£区的内切圆Q的面积

为S],则H+S2的取值范围是.

40

②.8jr,-j-7c

【解析】

【分析】分析可知直线A5与x轴不重合，设直线的方程为x=/ny+4,将直线A3的方程与双曲线

的方程联立，利用韦达定理结合已知条件求出加的取值范围，可求得乙4乙。的取值范围；设圆切

(7T27c)

AF^耳工分别于点/、N、G,分析可知直线A3的倾斜角取值范围为,推导出圆

<2Ji1

。1、圆Q的半径弓、弓满足/马=4,求得*,2百，利用双勾函数的单调性可求得'+$2的

I3)

取值范围.

【详解】设直线A3的倾斜角为&,

在双曲线?—[=1中，。=2,6=2百，则。=，？+=2=小故点层(4,0),

若直线A3与x轴重合，则直线A3与双曲线交于该双曲线的两个实轴的端点，不合乎题意，

所以，直线AB与*轴不重合，设直线A3的方程为％=阳+4,设点4(国,乂)、3(%,%)，

x=my+4

联立可得（3〃，-1）丁2+24my+36=0,

3%2-/=12

3m2-1^0

由题意可得〈，2/,、，解得MH

A=242m2-4x36x（3m2-l）>0

工+、24m36

由韦达定理可得%+%=—r2］，乂%=°、］，

3m-13m-1

2

/、024m08c_TZH21

%+"，心+%）+8=-藐0+8=-藐口〉0,可叫<p

玉龙2=(m＞i+4)(加％+4)=〃/%%+4〃z(%+%)+16=_+：〉0,可得/J，＜j,

所以，一?，且。目0,兀）

当一且＜加＜0时，tan6Z=—G(-OO,兀2兀

，此时ae9

3m,2T

兀

当根=0时，轴，此时。二一

2

当0＜加＜且时，tancr=­G

+oo,此时/胃,*1,

3m

一，兀2兀

综上，一<cc<—

33

712兀

不妨设点A在第一象限，则NA鸟。=ae

3'T

设圆。I切皿、AF2>E&分别于点M、N、G,

712兀

过招的直线与双曲线的右支交于A、3两点，可知直线A3的倾斜角取值范围为

由切线长定理可得|AM|=|4V|,忻M=|KG|,|用1=|甲V|,

所以，|9|+闺闾⑷V|+|甲V|)+(|KG|+|8G|)-(|AM|+|£M)

=\F2N\+\F2G\=2\F2G\=2c-2a,贝4月Gkc—a=2,所以点G的横坐标为4—2=2.

故点。I的横坐标也为2,同理可知点。2的横坐标为2,故轴,

故圆。।和圆仪均与x轴相切于G（2,0）,圆Q和圆仪两圆外切.

在△002片中，ZO^G+ZOFG=^(ZAFF+ZBF^)=90,OOLFG,

AOXF2O2=222iX22

ZGOjF,=芽。。2，NQG鸟=NOiKQ=90，所以，AOIGF?S八。/?。?,

=阳，则］。阅2=|*卜|。«，

所以,

所以叵G『=|O£「―已何=似外这勾―9同二盘/e外

即(c_a)2={.q,则6.弓=4,

712兀712兀

，可知NA屈耳的取值范围为

由直线AB的倾斜角取值范围为i'Ti'T

则/q耳耳=；乙4乙与e

[6,37

「2百

,2百，

故弓=\F2G\'tanZQ/^7*]=2tanNO]乙其e

I3

7

Z、(26

贝ijS1+S?=4广+片卜2162,2百，

nrx+—,其中4e

IK)3

令〃x)=x+3,其中xe则/（%）在《4，力单调递减，在（4,12）单调递增.

X3

*〃12）罟4034,12)时，/(x)e8，T),

因为/（4）=8,,则当xe

33

故S1+S2

故答案为:

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围;

(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;

(4)利用己知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.设函数/（x）=sin[2x+《〉cos2x.

⑴求函数八%）的单调增区间；

（2）在_ABC中，内角A,5c的对边分别为a,"c,若3为锐角，且/=—g，c=2a，

b=R,求_^5。的面积S.

【答案】(1)---Hkit,—Fku(kGZ)

4,4、'

(2)6

【解析】

【分析】（1）利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简可得了（%）,根据正弦型函数单调区间的求法可求得

结果；

（2）根据/[^+巳]=-g可求得8,利用余弦定理可构造方程求得dc,代入三角形面积公式即可求得结

果.

【小问1详解】

=sin2xcos—+cos2xsin---cos2x--=^-sin2x--，

'/662222

令一■|■+2E<2x<5+2E（左eZ）,解得：一:+E<x+E（左eZ）,

\F（x）的单调增区间为一:++E（keZ）.

【小问2详解】

/（8+S）=#sin（28+；）—g=—g,...sin[2B+m]=0,

'£[呜]一，28+三€与手]，则23+今=兀，解得：B=|

由余弦定理得：cosB="'+）.解得：后，.“=20，

2ac4a22

.'.J.ABC的面积S=—tzcsinB=—xsf2x2-x/2x—=.

222

18.如图，在四棱锥P—A6CD中，四边形A3CD是直角梯形，ABVAD,AB//CD,ZABC=45，

AB=2,BC=V2>尸C_L底面A3CD，E是PB上一点.

（1）求证：ACVCE-,

（2）若E是总的中点，直线CE与平面A3CD所成角的正弦值为迈，求二面角P-AC-E的余弦

3

值.

【答案】（1）证明见解析

⑵逅

3

【解析】

【分析】（1）证明出AC,平面尸5C,利用线面垂直的性质可证得结论成立；

（2）以点。为原点，CB、CA、CP分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设点

P（0,0,a）（a>0）,利用空间向量法可求得。的值，再利用空间向量法可求得二面角P—AC—E的余弦

值.

【小问1详解】

证明：因为尸平面A3CD,ACu平面A3CD，所以ACLPC.

因ZABC=45，AB=2,BC=日

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=2，

所以4。2+3。2=452,所以A。IBC.

又BCcPC=C,BC、尸Cu平面尸3C,所以ACJ_平面尸5C.

因为CEu平面P5C,所以4。，四.

【小问2详解】

解：因为尸底面ABC。，AC1BC,

以点C为原点，CB、CA、CP分别为了轴、＞轴、z轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系,

/rr\/rr\

则C（0,0,0）、网逝,0,0）、A（0,V2,0）,设c（o,o,a）（a＞o）,则E半，。（，CE=半

I22JI22J

因为尸。，底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为u=（0,0,1）,

a

CEu\

cos<>|=j-2a

由题意可得CE,u=行，解得。=2,

22

CEj-|w|11+ay]a+2

V2+Z

易知平面PAC的一个法向量为加=（1,0,0）,

设平面ACE的法向量为”=(x,y,z),C4=(0,V2,0),CE=^,0,l^

n-CA=y/2y=0

由＜，取x=&，可得〃=（后,0,—

n-CE=x+z=0

[2

m-n^2\J6

因为cos<m,n>=

1x^33，

由图可知，二面角P—AC-E为锐角，故二面角P—AC—E的余弦值为迈

3

19.已知公差不为零的等差数列｛叫的前〃项和为S"，$3=6,g，应，的成等比数列，数列也｝的前

"项和1=2bn-n.

（1）求数列｛4｝和也｝通项公式;

100

(2)求Za>cos(w•万)值；

k=l

2n(\]、

(3)证明：一<£--——<1.

n

【答案】(1)a“=n，bn=2-1

(2)5050

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据等差数列基本量求等差数列的通项，根据《-北一1找到数列｛〃｝的通项公式，然后再求

数列也｝的通项公式.

(2)分别求出奇数项和偶偶数项通项公式再求和.

(3)裂项相消法求和，再证明.

【小问1详解】

设等差数列｛4｝的公差为d(d丰0),

53=3〃]+3d=6[a=1

由题意得、2/、/、，解得1一

(%+3d)=(%+d)(%+7d)[a-A.

故数列｛%｝的通项公式=〃.

因为：T,=2b”-n,当”时，7；,-1=2/2„_1-(71-1),

两式相减得d=2〃_i+1,

又〃=1时，b]=T[=2b]_l,所以4=1,所以4+1=2。0,

因为〃+1=2包+1,所以々+1+1=2(%+1),而d+lwO,

即白旦4=2(”€曰)，

2+1'7

所以｛2+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，a+1=2",所以勾=2〃一1.

【小问2详解】

当k=2m,加wN*时，•cos(%•»)=(2m)2cos2m/r-(2m)2,

当上=2机一1,mwN*时，

a；・cos(以-—(2m-V)1cos[(2m-1)^-]=(-1)*(2m-I)2

100■sin1%•m=22-12+42-32+

所以+1002-992

k=\

=(2-1)(2+l)+(4-3)(4+3)++(100-99)(100+99)

=1+2+3++99+100=5050.

【小问3详解】

1111

rh--------------------------------

+1

bn%2"-l2«-l

可得Xi；—亡卜fe—/M右一白:+〔即一—1

=1-----i—

2"+1-1

因为2"+i—1222—1，所以0<二

2—13

所以2Kl——2__<1.则原命题得证.

32'+i-1

20.由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供

x（xe[0,10]）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x

（万元）补贴后，防护服产量将增加到才=（7-（万件），其中人为工厂工人的复工率（左e[0.5,l]）；

A公司生产f万件防护服还需投入成本（48+7x+50f）（万元）.

（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴无（万元）的函数（政府补贴尤万元计入公司收

入）；

（2）对任意的xe[0,10]（万元），当复工率上达到多少时，A公司才能不产生亏损？

420G

【答案】（1）y=2\Qk——---6x—48（xe[0,10],Zre[0,5,1]）

jc+4

（2）0.6

【解析】

【分析】（1）根据已知条件求得》关于x的关系式.

（2）根据已知条件列不等式并分离常数左，结合函数的单调性求得上的最小值.

【小问1详解】

由题意可得，y=80%—(48+7x+50。+x

=30%-48-6x

=30/7---1-48-6X

Ix+4j

4204

=210左一-6%-48

x+4

所以A公司生产防护服的利润y(万元)与补贴元(万元)的函数关系为:

420“1

y=210k-----