锐角三角函数-2022年中考数学课本知识梳理（全国通用）(解析版)

专题17锐角三角函数

・—一**——————————————

中考分析

锐角三角函数是中学数学重要的重难点知识，中考中多以选择题、填空题、解答题的形式出现，主要

考查基本概念、基本技能，知识点之间相互转化与穿插，在解几何体往往是某些数量关系的突破口，难度

系数较难。主要体现的思想方法：转化的思想、数形结合的思想等。

1.掌握锐角三角函数的概念及特.殊角的三角函数值.

2.学会解直角三角形..

3.能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.

⅜⅜⅜AI

.1.直角三角形的边角关系(如图)

(1)边的关系(勾股定理):AC2+BC2=AB2;

(2)角的关系：ZA+ZB=ZC=90°;

(3)边角关系：

ZC=900'

①：∖^BC-AB

ZA=30°2

②：锐角三角函数：

角函数

ZA的正弦=NA的对边

即SinA=—>正弦余弦正切余切

斜边角度

ZA的余弦=NA的邻边即COSA=匚0°010不存在

斜边c

ɪ√3√3

30°√3

ZA的正切=NA的对边,即tan=22_3

NA的邻边b√2√2

45°11

注：三角函数值是一个比值.2_

√3J_√3

2.特殊角的三角函数值.60°√3

3.三.角函数的关系3

90°]0不存在0

(1)互为余角的三角函数关系.

oo

sin(90-A)=CQSA,COS(90-A)=SinA

oo

tan(90-A)=cotAcot(90-A)=tranA

(2)同角的三角函数关系.

①平方关系:Sin2A+COSJA=1

②倒数关系：tanA×cotA=l

③商数关系：tanA=变4,CotA=吧

cosAsinA

4.三角函数的大小比较

(1)同名三角函数的大小比较

①正弦、正切是增函数.三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小.

②余弦、余切是减函数.三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。

(2)异名三角函数的大小比较

aa

①tanA>SinA,由定义，知tanA=—,sinA=-；因为b<c,所以tanA>sinA

bc

②COtA>cosA.由定义，知COSA=2,cotA=—；因为a<c,所以COtA>cosA.

a

③若0°VAV45。，则cosA>sinA,cotA>tanA;

若45°<AV90°,则cosA<sinA,cotA<tanA0

5.解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在RtAABC中，ZC=90o,ZA,ZB,/C所对的边分别为a、b、c,则有：

①三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.

②锐角之间的关系：ZA+ZB=90°.

③边角之间的关系：

.a.6,.a

Slni4=-，cos√4=—>tan/=一，

ccb

._b_αɪ_⅛

sin8=-，CoSH=-，tanE=-.

cca

④W∙c=1必=LCa，h为斜边上的高∙

SC22

知识要点：

（1）直角三角形中有一个元素为定值（直角为90。），是已知的值.

（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系（如不等关系）.

（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解

6.解直角三角形的常见类型及解法

和解法

三角形类铲已知条件解法步骤

由tanA—2求NA,

b

两直角边（a,b）ZB=90o-ZA,

C—JJ+g

两

边由$in4=3求NA,

C

Rt∆ABC

斜边,一直角边（如c,a）ZB=90o-ZA,

B

」b=√c3-ai

ZB=90o-ZA,

锐角、邻边

AN--------7----------1Cb

b（如∕A,b）

α=⅛tan-∣4,cos√!

一直角边

边

和一锐角ZB=90o-ZA,

锐角、对边

角a.a

（如∕A,a）c=——b=--------

sin√4,tanA

斜边、锐角（如c,NA）________NB=9(Γ-NA,________________

α=csin√4,⅛≡ccos√4

知识要点：

1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是

己知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.

2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.

一、单选题

3

1.（2021•云南•中考真题）在ABC中，NABC=90。，若AC=IOO,sinA=1,则的长是（）

A.迎B.迎C.60D.80

35

【答案】D

【分析】

根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC,然后利用勾股定理即可求解.

【解析】

Rr3

解：VZABC=90o,S加NA=算=一，AC=IOO,

AC5

BC=100x3+5=60,

AB=yjAC1-BC-=80,

故选D.

【点睛】

本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键.

2.（2021.广西玉林.中考真题）如图，ABC底边BC上的高为",/QR底边。R上的高为生，则有

D

"<∙<?R

A.h∖=h2B.hi<h2C.hλ>h2D.以上都有可能

【答案】A

【分析】

分别过点A作AELBC于点E,PFLQR于点、F,然后根据图形及三角函数可直接进行排除选项.

【解析】

解：分别过点A作AELBC于点E,PFLQR于点F,如图所示：

二NPRF=55°,

NC=NPRF=55°,

oo

：.AE=hy=ACsinZC=5-sin55,PF=h2=PR-sinNPRF=5∙sin55,

/.hλ=h2∙

故选A.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，熟练掌握利用三角函数求解问题是解题的关键.

3.（202卜广西桂林♦中考真题）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3,4）,连接。P,则OP与X轴正方

向所夹锐角α的正弦值是（）

【答案】D

【分析】

作PM_LX轴于点M,构造直角三角形，根据三角函数的定义求解.

【解析】

解：作PM,X轴于点M,

VP（3,4）,

.∙.PM=4,OM=3,

由勾股定理得：0P=5,

【点睛】

本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比.

4.（2020.湖北荆门•中考真题）.ABC中，AB=AC,ZBAC=120o,BC=2√3,。为BC的中点，AE=^AB,

则AEBO的面积为（）

A

A.—B.—C.立D.—

4848

【答案】B

【分析】

连接AD,用等腰三角形的“三线合一”，得到ZfiW的度数，及RtAABO,由KE=1A8得BE=mAB,得

44

3

S△皿：=-SAABD，计算AABD的面积即可•

【解析】

连接AD,如图所示:

AB=AC,NBAC=120o,BC=2√3,且D为BC中点

ΛADLBC,且NBAD=NCAo=LNBAC=60∖BD=DC=6

2

.∙.Rt∆Λ3。中，AB=2,AD=X

,.・AE=-AB

4

3

・・・BE=-AB

4

•c_3c_3I1n_36

∙∙5ΔBDE=T5ΛBD=TxO×,×√3=-

44，O

故选：B.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关键.

5.（2020・四川凉山•中考真题）如图所示，AABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan4的值为（）

b∙Tc∙2D.2√2

【答案】A

【分析】

如图，取格点E,连接BE,构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可;

【解析】

由题意得：ZAEB=90a,BE=e，AE=M+方=2也，

.∙.tan∕=丝=，=L

AE2√22

故答案选A.

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键.

6.（2021•山东淄博・中考真题）如图，在Rt..ABC中，ZACB=90o,CE是斜边AB上的中线，过点E作ETUHB

交AC于点F.若BC=4,∆AEF的面积为5,贝IJSinNCM的值为（)

ʌ-1

β∙T

【答案】A

【分析】

W,然后可

由题意易得AEF^,ACB,设CE=BE=AE=x,则有A8=2x,则有AC=J4x?-16，EF=

X

4√4Λ2-16

得而=一；一，过点C作CH，AB于点H,进而根据三角函数及勾股定理可求解问题.

X

【解析】

解：VEFYAB,ZAeB=90°,

ZAEF=ZAC3=90。，

Λ_AEF^ACB,

=CE是斜边AB上的中线，

.∙.CE=BE=AE=LAB,

2

^CE=BE=AE=x,则有AB=2x,

,.∙BC=4,

二由勾股定理可得AC=yjAB2-BC2=√4X2-16，

•.二AEF的面积为5,

...E”F=一io,

X

♦；&AEFSRACB,

RCΛ(-`4_∖∕4x2—16

ΛT⅛=⅛*即而=—%--化简得：√-25X2+1∞=0,

EFAE_

X

解得：丁=5或/=20,

当f=5时，则AC=2,与题意矛盾，舍去；

当f=20时，即x=2逐，过点C作CHLAB于点H,如图所示：

C

：.AS=4√5,ΛC=8,CE=2√5,EFHCH,

：.NCEF=NECH,sinZB=-寿

AB5

oR

：・CH=BCsinNB=U-,

5

.,.HE=yjCE2-CH2=述

HE3

.∙.sin/CEF=sinZECH=——=-

CE5

故选A.

【点睛】

本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与

判定及勾股定理是解题的关键.

7.（2020・河南•中考真题）如图，在ΔABC中，ZAC6=90。.边BC在X轴上，顶点A8的坐标分别为（-2,6）

和（7,0）.将正方形OCZ）E沿X轴向右平移当点E落在AB边上时，点Z）的坐标为（）

C.卜D.(4,2)

【答案】B

【分析】

先画出E落在A8上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解O'B的长度，结合正方形的性质，从而可得答

案.

【解析】

解：由题意知:C（-2,0）,

,四边形COED为正方形,

.-.CO=CD=OE,ZOCO=90°,

.∙.D(-2,2),E(0,2),

如图，当E落在AB上时,

A(-2,6),B(7,0),

.∙.ΛC=6,BC=9,

ACEO,

由tanN48C=----=------,

BCO'B

62

..一=---,

9O,B

.∙.O'B=3,

.∙.Oo'=7-3=4,OC'=2,

.∙.D(2,2).

故选B.

【点睛】

本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识

是解题的关键.

8.（2021・广东深圳•中考真题）在正方形ABcD中，AB=2,点E是BC边的中点，连接。E,延长EC至点

F,使得EF=DE,过点B作FGLDE,分别交C。、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN,下列正确

-

的是：®tanZGFB=-；@MN=NC;④S四边形GBfM=£；（

@—ɪɪ)

2EG2

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】

解：①中由/GL。E即可得到NGF5=ZEOC,再由正切等于对边比邻边即可求解;

②中先证明△£>8竺Z∖FEM得到EM=EC,DM=FC,再证明四∙Δ"N即可求解；

③中先证明GE//CM,得至IJ必=O=与1="史即可求解；

EGEF√55

④中由tanNF=tanZEDC=铛=［得到GB=LB/=垦1,再由S四娜GBEM=25ΔCM即可求解.

BF222

【解析】

解：①；FG_L£)E,

二/DW尸=90°=NNC/，且对顶角NMND=/CNF,

.∙.NGFB=NEDC,

∙.∙ABC。为正方形，E是BC的中点，

：.BC=CD,

PC1

,tanNGFB=tanZEDC=—=一，①正确；

CD2

②由①知AMDN=ZCFN,

又NECD=NEMF=90,已知砂=ED,

,4DE84FEM(SAS),

二EM=EC,

：.DM=FC,

VZMDN=ZCFN,ΛMND=ΛCNF,DM=FC,

：.ADMNm∕∖FCN(AAS),

.∙.MN=NC,故②正确；

③•：BE=EC,ME=EC,

：.BE=ME,

且∕8=∕GME=9(Γ,GE为RtGBE和RrGME的公共边，

/.Rt∕∖GBE9RtAGME(HL),

NBEG=NMEG,

'：ME=EC,

：.ZEMC=ZECM,

由三角形外角定理可知：ZEMC+ZECM=NBED=NBEG+NMEG,

：.NGEB=NMCE,

.∙.MCHGE,

.CMCF

•∙=,

EGEF

;EF=DE=力EC?+CD2=石，CF=EF-EC=非-I,

.CMCF√5-l5-√5

故③错误:

,,^EG-EF-√5-5

④由上述可知：BE=EC=∖,CF=√5-I,

BF=√5+1,

∙.∙tanZF=tanNEDC=-=-,

BF2

∙∙∙GB=/F=号

.∙∙S四边形C=^CBE=2-BEBG=浮ɪ，故④正确.

故选B.

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题.

二、填空题

9.(2021・湖北荆门・中考真题)计算：∣l-√2∣+(i)-'+2cos45o+(-l)°=

【答案】2√2+2

【分析】

根据绝对值的意义，负整数指数'幕，锐角三角函数，零指数基的概念分别化简，然后进行计算.

【解析】

解：|1-&|+(；尸+28$45。+(-1)°

=√2-l+2+2×-+1

2

=√2-l+2+√2+l

=2√2+2∙

故答案为：20+2.

【点睛】

本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键.

10.(2021•辽宁朝阳•中考真题)已知。。的半径是7,A8是。O的弦，且AB的长为7√5,则弦AB所对的

圆周角的度数为.

【答案】60。或120°

【分析】

/AC8和N4O8为弦A8所对的圆周角，连接04、OB,如图，过。点作OHLAB于，，根据垂径定理得

到AH=BH=拽，则利用余弦的定义可求出NOAH=30。，所以NAO8=12(Γ,然后根据圆周角定理得到

2

NACB=60。，根据圆内接四边形的性质得到/408=120。.

【解析】

解：NACB和/AQB为弦AB所对的圆周角，

连接。A、OB,如图，

过。点作OHJ_A8于”，则4H=8"=;AB=地，

22

,„1退/7

在RtXOAH中，'JcosZOAH^--ɪ=—,

7

：.ZOAH=30°,

"：OA=OB,

：.NOBH=NoAH=30。,

：.ZAOB=120°,

：.ZACB=ɪNAoB=60。，

,.∙NAoB+NACB=180。，

二NAf)B=I80°-60°=120°,

即弦AB所对的圆周角的度数为60。或120°.

故答案为60。或120°.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂

径定理∙

II.（2021海南.中考真题）如图，AfiC的顶点8、C的坐标分别是（1,0）、（0,6）,且ZABC=90。,ZA=30。,

则顶点A的坐标是.

【答案】（4,外）

【分析】

根据8、C的坐标求得BC的长度,NCBO=60。，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC的长

度，即点A的横坐标，易得AC∕∕x轴，则C的纵坐标即A的纵坐标.

【解析】

B、C的坐标分别是（1,0）、（0,石）

.∙.BC=Jl2+（回=2

.∙.tanNCBoɪ-=√3

OB

.•."80=60。

ZABC=90°,ZA=30°

.∙.ZACB=60o,AC=2BC=4

.∙.AC7∕x轴

.∙.A（4,√3）.

故答案为：（4,退）.

【点睛】

本题考查了含30。角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直

角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键.

4

12.（2021•湖南邵阳•中考真题）如图，在矩形ABCD中，DElAC,垂足为点E.ΛADE=~,AD=4,

则AB的长为.

D

【分析】

在必AADE中，由正弦定义解得AE=当，再由勾股定理解得。E的长，根据同角的余角相等，得到

SinZADE=SinZECD,最后根据正弦定义解得CO的长即可解题.

【解析】

解：在拓△4£)E中，

./SLAE4

sinZADE=----=—

AD5

AD=4

A“E=—16

5

.∙.DE=yjAD2-AE2=∣42-(y)2=y

DElAC

:.ZADE+ZEDC=ZEDC+ZECD=90°

.∖ZADE=ZECD

Γ)E4

.∙.sinZADE=sinZECD=——=-

CD5

:.CD=DE3=3

4

在矩形ABC。中，

AB=CD=3

故答案为：3.

【点睛】

本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

13.(2021•山东滨州•中考真题)如图，在..ABC中，NACe=90。，ABAC=30°,Aβ=2.若点P是一ABC

内一点，则PA+PB+PC的最小值为.

B

【答案】√7

【分析】

根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转aAPB到AAPE,旋转角是60。，作出图形，然后根据旋

转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得至∣J∕¾+PB+PC=P户+PB+PC,再根据两点之间

线段最短，可以得到∕¾+P8+PC的最小值就是CZr的值，然后根据勾股定理可以求得CB，的值，从而可以解

答本题.

【解析】

解：以点4为旋转中心，顺时针旋转AAPB到AAPE,旋转角是60。，连接BB，、PP',CB',如图所示，

••.△4Pp是等边三角形，

；・AP=PP,

/.*PB+PC=PP+PE+PC,

<PP'+P'B'+PC≥CB',

∙∙∙PP+Pb+PC的最小值就是C6的值,

即必+P8+PC的最小值就是。夕的值，

o,

VZBAC=30,NBAB'=600,AB=AB=29

ΛZCAB'=90o,AB'=2,AC=AB∙cosZBAC=2×cos300=2×-=√3,

2

22

∙^∙CB'=y∣AC+AB'=√7，

故答案为：不.

【点睛】

本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助

线，得出Λ4+PB+PC的最小值就是CQ的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想.

14.（2021•江苏镇江・中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=6,cosZABC=^,点P在边

AC上运动（可与点A,C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120。，得到线段。P,连接BD,则8。长的

最大值为一.

【答案】9√3

【分析】

由旋转知ABPD是顶角为120。的等腰三角形，可求得BD=KBP,当BP最大时，8。取最大值，即点P与

点A重合时，BP=BA最大，求出AB的长即可解决问题.

【解析】

解：；将线段BP绕点尸逆时针旋转120。，得到线段DP,

：.BP=PD,

...△8P。是等腰三角形，

：.ZPBD=30°,

过点P作尸HLBD于点”,

D

∖BH=DHf

・Q∏OBH√3

.COSM=-----=——

BP2

/7

∖BH=BP,

2

∙.BD=退BP,

・•・当BP最大时，8。取最大值，即点P与点A重合时，BP=BA最大,

过点A作AGJ_8C于点G,

:AB=ACAG.LBCf

；・BG=；BC=3,

VcosZABC=-,

3

,BG_\

*'AB-3,

•MB=%

.∙.2O最大值为：√3BP=9√3.

故答案为：9日

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出BO=G8尸是解题的关键.

15.（2021.辽宁丹东•中考真题）已知I：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果

,ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足NAPB=NBPC=NCpA=I20。.（例

如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）.若AB=AC=近,BC=26P为“ABC的费马点，贝IJ

PA+PB+PC=；若AB=25BC=2,AC=4,P为ABC的费马点，则Λ4+PB+PC=.

【答案】52√7

【分析】

①作出图形，过B,C分别作NO8P=Nr)CP=30。,勾股定理解直角三角形即可

②作出图形，将AAPC绕点A逆时针旋转60。，P为_A8C的费马点则8,P,RC'四点共线，即

A4+P3+PC=BC',再用勾股定理求得即可

【解析】

①如图,过A作AO_L8C,垂足为£),

过B,C分别作ZDBP=ZZ)CP=30。，则P3=PC,P为ABC的费马点

AB=AC=币,fiC=2√3

BD=DC=LBC=6

2

PD

tan30。=——

BD

.∙.PD=1

PD

:.PB==2

sin30°

AD=^AB2-BD2=√7≡3=2

∙∙PA+PB+PC=5

②如图：

A

AB=2y∣3,BC=2,AC=4.

:.AB2+BC2=16,BC2=16

.∙.AB2+BC2=AC2

ZABC=90°

sinZBAC=里^=L=Sin30o

AC2

.∙.NBAC=30°

将AAPC绕点A逆时针旋转60o

由旋转可得：ΔAPC^∆AP'C,

AP,=AP,PC=P,C,AC=AC,ZCAC=NPA产=60°

.∙.APP'是等边三角形，

•••ZBAC=90°

P为，AfiC的费马点

即B,P,P',C四点共线时候，PA+PB+PC=BC

：-PA+PB+PC=BP+PP,+P,C=BC

1222

=4AB+AC=λ∕(2√3)+4=2√7

故答案为：①5,②2√7

【点睛】

本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键.本

题旋转4P4B,Z∖PBC也可，但必须绕顶点旋转.

三、解答题

16.（2021.浙江杭州.中考真题）如图，在，ABC中，ZABC的平分线8。交AC边于点Q,AE_LBC于点E∙已

知ZABC=60°,ZC=45°.

（1）求证：AB=BD.

（2）若AE=3,求43C的面积

【答案】（1）见解析；（2）&M

2

【分析】

（I）根据题意证明NRAC=NAr>3即可；

（2）根据特殊角的锐角三角函数求得BE、EC的长，用三角形面积公式计算即可.

【解析】

解：（1）因为8。平分NABC,

所以ZDBC=-ZABC=30°.

2

所以ZADB=ZDBC+ZC=75o,

又因为NBAC=180。一ZABC-NC=75。，

所以/RAC=ZADB,

所以AB=E）.

Apr-ΔΓ

（2）由题意,得=R=k=3,

所以BC=3+g,

所以Age的面积为∙⅛C∙AE=9+36.

22

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定，根据特殊角的三角函数求边长，正确记忆特殊角的锐角三角函数值是解

题关键∙

17.(2021.广东•中考真题)如图，在RABC中，ZA=90°,作BC的垂直平分线交AC于点O,延长AC至

点、E,使CE=4B.

(1)若A£=1,求aA5D的周长；

(2)若AO=gBO,求tanZABC的值.

【答案】(1)1；(2)√2

【分析】

(1)作出BC的垂直平分线，连接Bn由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到力B=DC,由

此即可求出△ABO的周长；

⑵设AD=X,BD=3x,进而求出AC=45+CD=4x,在Rt△ABD中使用勾股定理求得AB=2&X，由

此即可求出tanNABC的值.

【解析】

：。尸为BC垂直平分线,

BD=CD,

CAKD=AB+AD+BD

=AB+AD+DC=AB+AC

,/AB=CE,

：.C

ARDAC+CE=AE=i.

(2)设Ar)=x,ΛBD=3x,

XVBD=CD,ΛAC=AD+CD=4x,

2222

在Rt∆AB。中，AB=>JBD-AD=5∕(3x)-x=2√2x.

AC4rI—

'.tanZ.ABC=-----=—j=^~=-J2.

AB2√2x

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线

段的两个端点距离相等是解决本题的关键.

18.(2021•北京・中考真题)如图，在四边形ABCD中，ZACB=ZC4D=90。，点E在BC上，AEHDC,EFA.AB,

垂足为F∙

(1)求证：四边形AEa)是平行四边形；

4

(2)若AE平分N8AC,BE=5,CoSB=M,求所和Az)的长.

【答案】(1)见详解；(2)BF=4,A£>=3

【分析】

(1)由题意易得A£>〃CE,然后问题可求证；

4

(2)由(1)及题意易得EF=CE=A。，然后由BE=5,CosB=M可进行求解问题.

【解析】

(1)证明：VZACB≈ZCAD=90°,

J.AD//CE,

'：AEHDC,

：.四边形AEs是平行四边形；

(2)解：由(1)可得四边形AEcO是平行四边形，

二CE=AD,

,/EFLAB,AE平分NBAC,ZACB=90°,

/.EF=CE9

：.EF=CE=ADf

4

∖,BE=5,COSB=M,

4

/.BF=BE∙cosB=5×—=4,

∙∙∙EF=NBE2-BF?=3,

.,.AD=EF=3.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边

形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键.

19.(2021•湖南永州•中考真题)已知锐角.A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,边角总满足关系式:

CIbC

sinAsinBsinC

(1)如图1,若。=6,48=45。,/《=75。，求6的值；

(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CO(如图2所示)，若

sA

COLAB,AC=14米，AS=IO米，sinZACB=-,求景观桥CD的长度.

14

【答案】⑴2√6;(2)8√3

【分析】

(1)过C作CD_LA3于点。，解直角三角形即可；

ARAC

(2)由已知条件可知.八「二=—^，求得sin3,勾股定理求得30,解RJ加。即可求得8的长

sinZACBsinB

【解析】

(1)如图，过。作CCAB于点O

NB=45。

.∙.DC=BD,ZDCB=45o

DC=DB=BCXSinB=αxsin45。=6x——=3>∕2

2

,ZC=75o

ZACD=30°

cosAACD=—

AC

∙∙∙AC=q~=半=2瓜

cosZACD√3

ɪ

ap∕>=2√6

AC

⑵缶AC=14,SinZACB=-,AB=10

sinB14

.5√3

14×-----∕τ

ACxsinZACBM√3

.∙.sinB-=

IO2

.∙.N8=60。

在RlC中，设8f>=x,则CD=GX

..AD=IO-X

在∕⅛.AZ>C中，AD2+CD2=AC2

即：(10-X)2+(√Jx)2=N

x=

解得：∖8,X2=—3（不符题意，舍）

.∙.CD=√3x=8√3

【点睛】

本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键.

20.（2021•辽宁鞍山•中考真题）如图，在.ΛBC中，AB=AC,ZBAC=α（0o<a<180°）,过点A作射线

AM交射线BC于点。，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN,过点C作C尸〃AM交直线AN于点F,在AM

上取点E,使NAEB=ZACB.

(1)当AM与线段BC相交时，

①如图1,当e=6()。时，线段AE,CE和CF之间的数量关系为.

②如图2,当α=90。时，写出线段AE,CE和CF之间的数量关系，并说明理由.

【分析】

(1)①结论：AE=CF+CE.如图1中，作CT〃A尸交AM于7.想办法证明AT=CF,ET=CE,可得

结论.

②结论：EC=而AE-CF).过点C作CQ^AE于Q.想办法证明B=A。，CE=近EQ,可得结论.

(2)分两种情形：如图3—1中，当NCr)E=90。时，过点B作AC于J,过点尸作FKLAE于K.利

用勾股定理以及面积法求出CD,再证明FK=CD,可得结论.如图3—2中，当NECZ)=90。时，ΛDAB=^0o,

解直角三角形求出AK,可得结论.

【解析】

解：(1)①结论：AE=CF+CE.

图1

QAB=AC,ZBAC=60o,

.•・一ABC是等边三角形，

.∙.C4=CB,ZACB=60。，

.AFHCT1CFHATf

∙∙∙四边形AFCT是平行四边形，

CF=ATf

ZADC=ABDE,ZDEB=ZACD,

:二AC4一BED,

.ADCD

~BD~~ED'

,ADBD

''~DC~~ED'

ZADB=ZCDEf

:…ADBs、CDE,

・,.ZABD=ZCED=60o,

CTIlAF,

NCTE=NFAE=60。,

•・二Cre是等边三角形，

・•.EC=ET,

・∙.AE=AT+ET=CF+CE.

故答案为：AE=CF+CE.

②如图2中，结论：EC=C(AE-CF).

理由：过点C作CQ∙LAE于Q.

CFHAM,

:.ZCE4+ZM47V=180o,

ZMAN=90o,

ZCM=ZMβ==90o,

,ZCQA=90o,

二•四边形AFCQ是矩形，

・•.CF=AQ,

ZADC=ZBDE,/DEB=ZACD,

:.,ACD^∖BED,

.ADCD

'~BD~~EDi

.ADBD

,~DC~^Df

ZADB=ZCDEi

:.ADBS_CDE,

・•・ZABD=ZCED=45。,

NCQE=90。,

CE=>∕2EQ,

AE-CF=AE-AQ=EQ,

.∙.EC=E(AE-CF).

（2）如图3—1中，当NCDE=90。时，过点8作8/，AC于J,过点尸作尸K,Af于K.

@3-1

Rl4

在RtABJ中，tan∕R4J=—=—，AB=5,

AJ3

.∙.AJ=39BJ=4,

AC=AB=S,

.*.CJ=AC-AJ=5—3=2,

.∙.BC=√H∕7+CZ7=√F+4Γ=2√5，

--ACBJ^=-BC-AD,

22

AD=^=2√5,

2√5

2222

CD=y∣AC-AD^y∣5-(2√5)=√5，

FKlAD,

;"CDE=/FKD=90。,

:.CDIIFK,

CFUDK,

.•・四边形CZ)K尸是平行四边形，

4FKD=挈P,

••・四边形CDK尸是矩形，

.∙.FK=CD=后,

4

IanZFAK=IanZCAB=-,

3

.FK4

••—j

AK3

.,.AK=—ʌ/ʒ,

4

.,.AF=∖∕AK2+FK2=J(>/5)2+.

VI4J4

如图3—2中，当NECZ>$0。时，同理可得：

ZZMS=ZEAC+ZC4B=ZEBC+/CEB=90°，

o

ZAKF=ZDAB=90f

CK4

在RlIACK中，ImZCAK=—=一，AC=5,

AK3

/.CK=4,AK=3,

YAMAN=/CAB,

:.NCAN=NDAB=90。，

Oo

ΛZC4B+ZBAF=90,ΛBAF+ZAFK=90f

...ZAFK=NCAB,

:.AF=JAK2+KF?=+2+（；J=—.

综上所述，满足条件的4尸的值为至或F.

【点睛】

此题是几何变换综合题.考查了等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定

及性质，勾股定理，