第10讲 条件概率（五大题型）（原卷版）

第10讲条件概率【题型归纳目录】【知识点梳理】1、条件概率的概念条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．2、概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．3、条件概率的性质设，则（1）（2）如果与是两个互布事件，则；（3）设和互为对立事件，则．4、全概率公式在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．5、贝叶斯公式设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有6、在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率．【典型例题】题型一：利用定义求条件概率【例1】（2024·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）甲、乙和另外5位同学站成两排拍照，前排3人，后排4人.若每个人都随机站队，且前后排不认为相邻，则在甲、乙站在同一排的条件下，两人不相邻的概率为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）太行山脉有很多优美的旅游景点．现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从C、D、E、F，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“甲和乙至少一人选择C”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率（

）A． B． C． D．题型二：条件概率的性质及应用【例2】（2024·高二课时练习）已知，则.【变式2-1】（2024·辽宁鞍山·高二统考期末）已知，且．若，，则．【变式2-2】（2024·江西吉安·高二永丰县永丰中学校考期末）记为事件的对立事件，且，则.题型三：全概率公式【例3】（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）某商店成箱出售玻璃杯，每箱装有10只．假设在各箱中有0，1，2只残次品的概率依次为0.6，0.25，0.15，顾客随机取出一箱，并从中取出4只查看，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．则顾客买下该箱玻璃杯的概率为．【变式3-1】（2024·全国·高二随堂练习）某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为．【变式3-2】（2024·全国·高二随堂练习）已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去广西桂林旅游的概率分别为0.1，0.2，0.15，且该地居民青少年、中年人、老年人的人数比例为4:3:3，若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，则此人暑期去桂林旅游的概率为．题型四：贝叶斯公式【例4】（2024·高二课时练习）某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%，当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%，某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（精确到0.1%）.【变式4-1】（2024·福建龙岩·高二统考期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为．【变式4-2】（2024·广东广州·高二统考期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送给信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是.题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例5】（2024·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考阶段练习）三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件．(1)求这件产品是次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．【变式5-1】（2024·全国·高二课堂例题）某品牌锄草机由甲、乙、丙三个工厂生产，其中甲厂占，乙厂占，丙厂占，且各厂的次品率分别为，，.如果某人已经买到一台次品锄草机，问：该次品锄草机由哪个厂出产的可能性较大？【变式5-2】（2024·云南昆明·高二校考阶段练习）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，，现从这三个地区任选一个地区抽取一个人．(1)求此人感染此病的概率；（结果保留分数）(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留分数）【过关测试】一、单选题1．（2024·山东济宁·高二济宁一中校考阶段练习）甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（

）A． B． C． D．2．（2024·黑龙江·高二校联考期末）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数的值为（

）A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.753．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）一枚硬币掷三次，已知一次正面朝上，那么另外两次都是反面朝上的概率为（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·高二随堂练习）为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（

）A． B． C． D．5．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）已知为两个随机事件，，若，，，则（

）A． B． C． D．6．（2024·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）下列各式中不能判断事件与事件独立的是（

）A．B．C．D．7．（2024·全国·高二随堂练习）随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（

）A．0.24 B．0.14 C．0.067 D．0.0778．（2024·全国·高二随堂练习）已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（

）A．事件与相互独立 B．C． D．10．（2024·江苏宿迁·高二统考期末）某气象台统计，该地区不下雨的概率为；刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则（

）A． B．C． D．11．（2024·江西吉安·高二校考阶段练习）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件，事件“为奇数”，事件，则下列结论正确的是（

）A．A与B互斥 B．A与B对立C． D．A与C相互独立12．（2024·江西鹰潭·高二贵溪市第一中学校考阶段练习）有两个书架，第一个书架上有4本语文书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分别以和表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，以表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（

）A．事件与事件相互独立 B．C． D．三、填空题13．（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）甲同学和乙同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若甲同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在甲先胜一局的条件下，甲最终能获胜的概率是.14．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）有6道不同的数学题，其中有4道函数题，2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是．15．（2024·四川攀枝花·高二统考期末）某公司为提高产品的竞争力、开拓市场，决定成立甲乙两个小组进行新产品研发，已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为．则在新产品研发成功的情况下，新产品是由甲小组研发成功的概率是．16．（2024·全国·高二随堂练习）某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手5人，三级射手2人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为；若一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为．四、解答题17．（2024·吉林·高二校联考期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺了”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.18．（2024·上海黄浦·高二统考期末）掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子，观察朝上的点数，A表示事件“两颗骰子的点数和为7”，B表示事件“白色骰子的点数是1”，C表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，分别验证事件A与事件B、事件A与事件C是否独立，请说明理由．19．（2024·山东济宁·高二济宁一中校考阶段练习）一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.求：(1)这名学生只在第一个交通岗遇到红灯的概率；(2)这名学生首次停车出