第5讲　一元二次不等式及其解法（解析版）

第5讲一元二次不等式及其解法基础知识1.一元二次不等式一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.2.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1,x2(x1<x2)有两个相等实根x1=x2=-b没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集

ax2+bx+c<0(a>0)的解集

3.分式不等式(1)f(x(2)f(x)g(x)>0⇔f(x)·2.{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R{x|x1<x<x2}⌀⌀常用结论1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);绝对值不等式|x|<a(a>0)的解集为(-a,a).2.(1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形;(2)注意区分Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是⌀.分类训练探究点一一元二次不等式的解法例1(1)解不等式组:-1<x2+2x-1≤2.(2)解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.[总结反思](1)解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(a>0);②确定判别式Δ的符号,若Δ≥0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元二次方程无根;③结合二次函数的图像得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集.(2)求解含有参数的不等式时,首先需要对二次项系数进行讨论,再比较(相应方程)根的大小,注意分类讨论思想的应用.例1[思路点拨](1)解两个一元二次不等式x2+2x-1≤2和x2+2x-1>-1,然后求交集;(2)对参数a进行讨论,分类解不等式.解:(1)原不等式组可化为x即x2+2∴x可得原不等式组的解集为{x|-3≤x<-2或0<x≤1}.(2)当a=0时,解得x<2,故不等式的解集为(-∞,2).当a<0时,不等式(x-2)(ax-2)>0可化为(x-2)x-2a<0,解得2a<x<2,故不等式的解集为2a,2.当a>0时,不等式(x-2)(ax-2)>0可化为(x-2)x-2a>0.①当0<a<1时,解得x<2或x>2a,故不等式的解集为(-∞,2)∪2a,+∞;②当a>1时,解得x<2a或x>2,故不等式的解集为-∞,2a∪(2,+∞);③当a=1时,可得(x-2)2>0,解得x≠2,故不等式的解集为(-∞,2)∪(2,+∞).变式题(1)关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 ()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)(2)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).变式题(1)A[解析]∵关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,ba=1,∴关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)>0,∴x<-1或x>3,∴关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是{x|x<-1或x>(2)解:由ax2-(a+1)x+1<0,得(ax-1)(x-1)<0,∵a>0,∴不等式可化为x-1a(x-1)<0,令x-1a(x-1)=0,解得x1=1a,x2=1,∴当0<a<1时,原不等式的解集为x1<x<1a;当a=1时,原不等式的解集为⌀;当a>1时,原不等式的解集为x1a<x<1.探究点二一元二次不等式恒成立问题角度1在实数集R上的恒成立问题例2若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是 ()A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,2] D.(-∞,2][总结反思](1)若不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,则满足a(2)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立,则满足a(3)若不等式ax2+bx+c>0恒成立,则要考虑a=0时是否满足.例2[思路点拨]分情况讨论,当a-2=0时,求出满足条件的a的值;当a-2≠0时,求出满足条件的a的取值范围.取并集即可得出结果.C[解析]由题意,不等式ax2+2ax-4<2x2+4x可化为(a-2)x2+2(a-2)x-4<0.当a-2=0,即a=2时,不等式恒成立,符合题意;当a-2≠0时,要使不等式恒成立,只需a-2<0,Δ=4(a-2)2+4×4(a-2)<0,变式题已知函数f(x)=-mx2+6mx-A.{m|-1≤m≤0}B.{m|-1<m<0}C.{m|m≤0}D.{m|m<-1或m>0}变式题A[解析]∵函数f(x)=-mx2+6mx-m+8的定义域为R,∴-mx2+6mx-m+8≥0在R上恒成立.当m=0时,8>0恒成立,符合题意;当m≠0时,要使-mx2+6mx-m+8≥0在R上恒成立,则-m>0,且(6m)2-4(-m)(-m+8)≤0,即m<0,且m2+m≤0,解得-1≤m<0.综上,实数m角度2在给定区间上的恒成立问题例3设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为 ()A.(-∞,0] B.0,57C.-∞,57 D.(-∞,0)∪0,57

[总结反思](1)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质是将不等式恒成立转化为最大(小)值问题,即f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a,b]).若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式的两端,即变量分离,则可避免分类讨论,直接求出参数范围.例3[思路点拨]利用分离参数法得到m<5x2-x+1,转化为求函数y=C[解析]由f(x)<-m+4,可得m(x2-x+1)<5,当x∈[1,3]时,x2-x+1∈[1,7],∴不等式f(x)<-m+4等价于m<5x2-x+1.∵x∈[1,3],∴当x=3时,5x2-x+1取得最小值57,要使不等式m<5x2-x变式题若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈0,12恒成立,则a的最小值为 ()A.-52 B.C.-2 D.-3变式题A[解析]不等式x2+ax+1≥0对一切x∈0,12恒成立⇔a≥-x-1xmax,x∈0,12.令f(x)=-x-1x,x∈0,12,则f'(x)=-1+1x2=1-x2∴函数f(x)在0,12上单调递增,∴当x=12时,函数f(x)取得最大值,最大值为f12=-12-2=-52∴a≥-52,即a的最小值为-52.角度3给定参数范围的恒成立问题例4已知集合A={t|t2-4≤0},对于满足集合A的所有实数t,使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范围为 ()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)[总结反思]利用变换主元法解决一元二次不等式在给出参数取值范围情况下恒成立问题时,一定要搞清谁是变换后的主元,谁是变换后的参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变换后的主元,求谁的范围,谁就是变换后的参数.例4[思路点拨]由已知条件求出t的取值范围.不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,即不等式(x+t-1)(x-1)>0恒成立,由不等式左边的两个因式同为正或同为负得x的取值范围(或建立关于t的一次函数,利用一次函数的单调性求解).B[解析]方法一:由t2-4≤0得-2≤t≤2.不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,即不等式x2+tx-t-2x+1>0恒成立,即不等式(x+t-1)(x-1)>0恒成立,∴x-1>0,x+t-1>0或x-1<0,x+t-1<0恒成立,∴x>1,x>1-方法二:不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,即不等式(x-1)t+x2-2x+1>0恒成立.设g(t)=(x-1)t+x2-2x+1,由t2-4≤0,得-2≤t≤2,∴原问题等价于函数g(t)在区间[-2,2]上恒大于0,∴g(-2)=x2-4x+3>0,g(2)=变式题若对于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是.

变式题(-1,2)[解析]不等式mx2-mx-1<-m+5可化为(x2-x+1)m-6<0,令f(m)=(x2-x+1)m-6,则对于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立等价于f(m)max<0,m∈[-2,2].因为x2-x+1=x-122+34>0恒成立,所以f(m)为[-2,2]上的增函数,所以f(m)max=f(2)=2(x2-x+1)-6<0,解得-1<x<2,故实数x的取值范围为(-1,2).探究点三一元二次方程根的分布例5已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程的不同两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围;(2)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围.[总结反思](1)关于正根、负根问题,一般有两种解题方法:一是根据根与系数的关系进行判断;二是应用根的分布,从f(0)的符号、对称轴与直线x=0的位置关系、判别式与0的关系进行判断.(2)一元二次方程根的分布问题主要是根据图像并结合开口方向、判别式、特殊值符号、对称轴位置四个方面进行条件限制.具体问题中,如两个根都在直线x=r的两侧,此时结合图像可知只需考虑f(r)的符号即可,而不需要考虑判别式的限制条件,因此对于根的分布限制条件的确定一定要结合图像和二次函数的性质进行合理限定.例5[思路点拨](1)设f(x)=x2+2mx+2m+1,由关于x的方程f(x)=0的不同两根均在区间(0,1)内,构造函数值应该满足的不等式组,解不等式组即可得到实数m的取值范围;(2)由已知条件得,函数f(x)=x2+2mx+2m+1在(-1,0)与(1,2)内各有一个零点,由此构造函数值应该满足的不等式组,解不等式组即可得到实数m的取值范围.解:设f(x)=x2+2mx+2m+1.(1)要使f(x)=0的不同两根均在区间(0,1)内,只需满足Δ>0,0<解得-12<m<1-2故m的取值范围是-12,1-2.(2)易知f(x)的图像为开口向上的抛物线.根据已知条件得,函数f(x)的两个零点x1,x2满足x1∈(-1,0),x2∈(1,2),所以f(-1)>0,f解得-56<m<-1故m的取值范围是-56,-12.变式题设方程x2-mx+2=0的两根为α,β,其中α∈(1,2),则实数m的取值范围是.

变式题[22,3)[解析]∵方程x2-mx+2=0的两根为α,β,∴Δ=m2-8≥0,解得m≥22或m≤-22①.由α·β=2,得β=2α,则m=α+β=α+2α,α∈(1,2),易知m∈[22,3)②.由①②可得m∈[22同步作业1.设集合A={x|x2-6x-7<0},B={x||x-1|>2},则集合A∩B= ()A.{x|3<x<7} B.{x|-7<x<-1}C.{x|-1<x<3} D.{x|-3<x<1}1.A[解析]由x2-6x-7<0,得(x-7)(x+1)<0,解得-1<x<7,∴A={x|-1<x<7}.由|x-1|>2,得x-1<-2或x-1>2,解得x<-1或x>3,∴B={x|x<-1或x>3},∴A∩B={x|3<x<7}.故选A.2.若0<t<1,则关于x的不等式(t-x)x-1t>0的解集为 ()A.xB.xC.xD.x2.D[解析]设f(x)=(t-x)x-1t,则其图像开口向下,令f(x)=0,得x=t或x=1t,因为0<t<1,所以1t>t,所以不等式(t-x)x-1t>0的解集为x|t3.2x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是 ()A.-12<x<3 B.-1<x<C.-12<x<0 D.-3<x<3.B[解析]由2x2-5x-3<0,得-12<x<3.结合选项知2x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是-1<x<6.故选B4.关于x的方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,则实数a的取值范围为 ()A.1<a<53 B.a<1或a>C.-1<a<53 D.-534.A[解析]令f(x)=x2-2ax+1,∵关于x的方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,∴f(0)>0,f(1)<0,f(3)>0,∴1>0,2-5.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是 ()A.[0,1]B.(0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)5.A[解析]当k=0时,8≥0恒成立;当k≠0时,要使关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,只需k>0,Δ=36k2-4k(k+8)6.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},则关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为 ()A.xB.xC.{x|2<x<3}D.x6.A[解析]由关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},可得2+3=-b代入不等式cx2-bx+a>0,可得6ax2+5ax+a>0(a<0),即6x2+5x+1<0,解得-12<x<-13,所以所求不等式的解集为7.若关于x的不等式x2-mx+3<0的解集是(1,3),则实数m的值为.

7.4[解析]因为不等式x2-mx+3<0的解集是(1,3),所以方程x2-mx+3=0的根为1和3,由根与系数的关系知,m=1+3=4.8.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若关于x的不等式f(x)>0的解集为(-1,3),则 ()A.f(4)>f(0)>f(1)B.f(1)>f(0)>f(4)C.f(0)>f(1)>f(4)D.f(1)>f(4)>f(0)8.B[解析]由关于x的不等式f(x)>0的解集为(-1,3),可得a<0,且-1,3为方程ax2+bx+c=0的两根,可得-1+3=-ba,-1×3=ca,即b=-2a,c=-3a,所以f(x)=ax2-2ax-3a(a<0),则f(0)=-3a,f(1)=-4a,f(4)=5a,可得f(4)<f(0)<f9.若不等式x2+ax+1≥0对x∈0,12恒成立,则a的最小值为 ()A.0 B.-2C.-52 D.-9.C[解析]设f(x)=x2+ax+1,则其图像的对称轴方程为x=-a2.当-a2≥12,即a≤-1时,f(x)在0,12上是减函数,应有f12≥0,可得-52≤a≤-1;当-a2≤0,即a≥0时,f(x)在0,12上是增函数,应有f(0)≥0,而f(0)=1>0恒成立,故a≥0;当0<-a2<12,即-1<a<0时,应有f-a2=a24-a22+1=1-a24≥0,可得-1<a<010.使不等式2ax2+ax-3>0对任意的a∈[1,3]恒成立的x的取值集合为A,使不等式mx2+(m-1)x-m>0对任意的x∈[1,3]恒成立的m的取值集合为B,则有 ()A.A⊆∁RBB.A⊆BC.B⊆∁RAD.B⊆A10.D[解析]令f(a)=(2x2+x)a-3,则f(a)在[1,3]上必单调,由题意知f(3)>0,f(1)>0,解得x<-32或x>1,即A=-∞,-32∪(1,+∞).因为不等式mx2+(m-1)x-m>0对任意的x∈[1,3]恒成立,所以m>xx2+x-1对任意的x∈[1,3]恒成立,又y=xx2+x-1=1x-111.(多选题)设[x]表示不小于实数x的最小整数,则满足关于x的不等式[x]2+[x]-12≤0的解可以为 ()A.10 B.3C.-4.5 D.-511.BC[解析]不等式[x]2+[x]-12≤0可化为([x]+4)([x]-3)≤0,解得-4≤[x]≤3.因为[10]=4,[3]=3,[-4.5]=-4,[-5]=-5,故选BC.12.(多选题)已知函数f(x)=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则下列说法正确的是 ()A.a2-b2≤4B.a2+1bC.若关于x的不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0D.若关于x的不等式x2+ax+b<c(c>0)的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=412.ABD[解析]因为f(x)=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,所以Δ=a2-4b=0,即a2=4b>0.对于A,a2-b2≤4等价于b2-4b+4≥0,即(b-2)2≥0,显然成立,故A正确;对于B,a2+1b=4b+1b≥24b·1b=4当且仅当b=12时取等号,故B正确;对于C,因为关于x的不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),所以x1x2=-b<0,故C错误;对于D,因为关于x的不等式x2+ax+b<c(c>0)的解集为(x1,x2),所以方程x2+ax+b-c=0的两根为x1,x2,由|x1-x2|=4,可得(x1+x2)2-4x13.不等式x+5(x13.-12,1∪(1,3][解析]x+5(x-1)2≥2⇔x+5≥2(x-1)2且x≠1⇔2x2-5x-3≤0且x≠1,可得其解集为-114.若关于x的不等式mx2-mx+1<0的解集不是空集,则m的取值范围是.

14.(-∞,0)∪(4,+∞)[解析]若m=0,则原不等式等价于1<0,此时不等式的解集为空集,不符合题意,所以m≠0.要使不等式mx2-mx+1<0的解集不是空集,则①m>0时,有Δ=m2-4m>0,解得m>4;②m<0时,Δ=m2-4m>0恒成立,所以m<0.综上,满足条件的m的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).15.已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0.(1)求证:不论m为何实数,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的一个根大于2,另一个根小于2,求m的取值范围.15.解:(1)证明:Δ=(4m+1)2-4(2m-1)=16m2+5,∵16m2≥0,∴Δ≥5>0,∴不论m为何实数,方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=-(4m+1),x1x2=2m-1,∵方程的一个根大于2,另一个根小于2,∴(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4<0,∴2m-1+2(4m+1)+4<0,解得m<-12,∴m的取值范围是m<-116.设函数f(x)=x2-(m+1)x+m.(1)若m=2,求不等式f(x)<0的解集;(2)求