2023年九年级中考数学二轮压轴培优 二次函数与直角三角形问题

中考数学二轮压轴培优专题

二次函数与直角三角形问题

L如图，抛物线y=-x,+bx+c经过A(-1,O),B(3,0)两点，与y轴交于点C,直线y=Jx

乙

+1与X轴交于点E,与y轴交于点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q,当Q是OP中点时，求点P的坐标;

(3)M在直线DE上，当aCDM为直角三角形时，求出点M的坐标.

2.如图，抛物线y=∕+2χ-8与X轴交于A,B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.点

D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E.

⑴求直线AC的函数表达式；

(2)求线段DE的最大值；

(3)当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A,C,F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写

出点F的坐标.

备用图

3.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=aχ2+bx+c与X轴交于A(-1,O),B(3,0),与

y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点M是抛物线上B,C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN,当点N

恰好落在y轴上时，求点M,点N的坐标.

(3)如图2,若点E坐标为(2,0),EF_LX轴交直线BC于点F,将ABEF沿直线BC平移得到4

B'E'F',在aB'E'F'移动过程中，是否存在使aACE'为直角三角形的情况？若存在，请直接写

出所有符合条件的点E'的坐标；若不存在，请说明理由.

4.抛物线y∣=ax°-2ax+c(a<2且a≠0)与X轴交于A(-1,0),B两点，抛物线的对称轴与X

轴交于点D,点M(m,n)在该抛物线上，点P是抛物线的最低点.

(1)若m=2,n=-3,求a的值；

⑵记aPMB面积为S,证明：当l<m<3时，S<2；

(3)将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2=kx+b(kWO),与y轴交于点C,与抛物线交

于点E,当XV-I时，总有y∣>%∙当-KxVl时，总有y∣Vy2.是否存在t»4,使得ACDE

是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.

5.如图，抛物线y=ax'+bx-交y轴于点A,交X轴于B(-1,O),C(5,0)两点，抛物线

的顶点为D,连接AC,CD.

(1)求直线AC的函数表达式；

(2)求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；

⑶过点D作X轴的垂线交AC于点G,点H为线段CD上一动点，连接GH,将aDGH沿GH翻折

到AGHR(点R,点G分别位于直线CD的两侧)，GR交CD于点K,当AGHK为直角三角形时.

①请直接写出线段HK的长为；

②将此RtaGHK绕点H逆时针旋转，旋转角为α(0°<a<180°),得到AMHN,若直线MN

分别与直线CD,直线DG交于点P,Q,当ADPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P

的纵坐标为.

备用图

6.已知二次函数y=x'+bx+c经过A、B两点，BC垂直X轴于点C,且A(-l,O),C(4,0),

AC=BC.

(1)求抛物线的解析式；

⑵请画出抛物线的图象；

(3)点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P,使三角形ABP为直角三角形？若

24

7.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-鼻x'+ax+2与X轴交于A、B两点(点A在点B

əə

的左侧)，与y轴交于点C,点P为直线BC上方抛物线上一动点.

⑴求直线BC的解析式；

⑵过点A作AD〃BC交抛物线于D,连接CA,CD,PC,PB,记四边形ACPB的面积为S”ΔBCD

的面积为S2,当SLSZ的值最大时，求P点的坐标和S「，的最大值；

(3)如图2,将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O,G为平移后的抛物线的对

称轴直线1上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A,C'(线段A,C,始终

在直线1左侧)，是否存在以A',C',G为顶点的等腰直角aA'C'G?若存在，请写出满足要求

的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由.

8.已知抛物线y=ax2+bx+c与X轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的表达式；

⑵点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M,当里最大时，求点P的坐标及更

AMAM

的最大值；

(3)在(2)的条件下，过点P作X轴的垂线1,在1上是否存在点D,使ABCD是直角三角形,

若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

9.如图，直线y=x-3与X轴，y轴分别交于B、C两点.抛物线y=x°+bx+c经过点B、C,

与X轴另一交点为A,顶点为D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动.设运动的时间为

t秒.

①点P在运动过程中，若NCBP=I5°,求t的值；

②当t为何值时，以P,A,C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值.

10.如图，抛物线y=x'+bx+12(b<0)与X轴交于A,B两点(A点在B点左侧)，且0B=30A.

⑴请直接写出b=,A点的坐标是，B点的坐标是

⑵如图(1),D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物

线于点E,若BE=5DE,求D点运动时间；

⑶如图(2),F点是抛物线顶点，过点F作X轴平行线MN,点C是对称轴右侧的抛物线上的一

定点，P点在直线MN上运动.若恰好存在3个P点使得aPAC为直角三角形,请求出C点坐标，

并直接写出P点的坐标.

答案

L解:⑴∙.∙抛物线y=-χ2+bx+c经过A(-l,O),B(3,0)两点,

...,-l-b+c=0,解得：(b=2,

-9+3b+c=0∖c=3

.∙.抛物线的解析式是y=-X2+2X+3;

(2)令X=0,则y=[x+l=l,

ΛOD=1,

如图，作PHLOB,垂足为H,交ED于F,

则NCOA=NPHO=90°,

.∙.PH"OC,

ΛZ0PF=ZD0Q,ZPFQ=ZODQ,

又Q是OP中点，

ΛPQ=OQ,

ΛΔPFQ^ΔODQ(AAS),

/.PF=OD=I

设P点横坐标为X,则-x'+2x+3-(；x+l)=1,解得：xl=2,x2=-ɪ,

17

-叱y_-

当x=2时，y=3,当X=2一4

17

1\

.∙.点P的坐标是(2,3)或(-2-4-7

(3)令x=0,贝IJy=-X'+2x+3=3,

.∙.0C=3,

ΛCD=OC-0D=2,

设M(a,ɪa+1),

ΛCM2=a2+(3-ɪa-1)2=⅛'-2a÷4,DM2=a2+(^a÷l-l)2=­a2,

zZ

Ziι乙i

①当NCMD=90。时，

/.CD2=CM2+DM2,

554

Λ22=τa2-2a÷4+τa2,解得：a2=0(舍去)，

445

41747

当a=工时，^a+I=F∙β∙M(-,-)；

Oɔɔ

②当NDCM=90。时，

55

.e.22+^a2-2a÷4="a2,解得：a=4,

当a=4时,Ja+1=3,

乙

ΛM(4,3)；

47

综上所述：点M的坐标为(mE)或(4,3).

55

2.解：(1)在y=x'+2x-8中，令x=0,得y=-8,

ΛC(0,-8),

令y=0,得χ'+2x-8=0,

解得：Xi=-4,x2=2,

.∙.A(-4,0),B(2,0),

设直线AC的解析式为y=kx+b,

则「4k+b=O,解得：Ik=-2,

lb=-8lb=-8

.∙.直线AC的解析式为y=-2x-8；

⑵设D(m,m2+2m-8),则E(m,-2m-8),

Y点D在点E的下方，

.*.DE=-2m-8-(∏τ+2m-8)=-Dr-4m=-(m+2)^+4,

∙.∙-KO,

.∙.当m=-2时，线段DE最大值为4；

(3)∙.∙y=x-+2x-8=(x+l)--9,

.∙.抛物线的对称轴为直线x=-l,

设F(-1,n),又A(-4,O),C(0,-8),

ΛAF2=32+n2=n2+9,AC2=42+82=80,CF2=I2+(n+8)2=n2+16n+65,

①当NAFC=90。时，

VAF2+CF2=AC2,

22

Λn+9+n+16n+65=80,解得：nl=-4-√19,n2=-4+√19,

.∙.F(-1,-4-标)或(-1,-4+√19);

②当NCAF=90。时，

VAF2+AC2=CF2,

3

Λnj+9÷80=nj+16n÷65,解得：n=->

.∙.F(-1,|)；

③当NACF=90°时，

VCF2+AC2=AF2,

17

Λn2+16n+65÷80=nj÷9,解得：n=-

F(-1,-ɪ)；

综上所述，点F的坐标为(-1,-4-4B)或(-1,-4+，丽或(-1,也或(-1,-ɪ).

3解:⑴将A(-l,0),B(3,0),C(0,-3)代入y=a∕+bx+c,

a-b+c=0,

∙'∙,9a+3b+c=0>∙'∙]aɪ，

_Qlb=-2

c-d

Λy=x2-2x-3；

⑵过点M作HG〃y轴，交X轴于点H,过点N作NG，HG交于点G,

ΛZAMH+ZNMG=90°,

VZAMH+ZMAH=90°,

：.ZNMG=ZMAH,

VAM=MN,

Λ∆ΛMH^∆MNG(AAS),

ΛAH=MG,HM=NG,

设M(t,t2-2t-3),

ΛHM=-t2+2t+3,NG=t,

.∙.-t"+2t+3=t,

•,ɪ,vɪɜ

∙∙t-2i2'

Y点M是抛物线上B,C之间，

Λ0<t<3,

V133√13

ΛAH=1÷~

乙222

W+呼+舁芈=2+√Ti

ΛN(O,-2-√13)；

(3)存在使AACE'为直角三角形，理由如下:

VOB=OC,

/.ZOBC=45°,

设aBEF沿X轴方向平移t个单位长，则沿y轴方向平移t个单位长,

VE(2,O),

ΛE,(2+t,t),

①如图2,当NACE'=90°时，过点E'作E'H_Ly轴交于点H,

ΛZACO+ZE,CH=90o,

VZAC0+ZCA0=90o,

：.ZE,CH=ZCAO,

ΛΔACO^∆CE,H,

•_AQ=CQ

"CHE7-H)

VAO=1,C0=3,CH=-3-t,E'H=-2-t,

•••1------3------,

-3-t-2-t

737

解得t=-/,ΛE,(---)；

②如图3,当NCAE'=90°时,

过点A作MN_LX轴，过点C作CN_LMN交于N点，过点E'作E'MLMN交于M点,

ΛZMAE,+ZNAC=90°,

TNMAE'+NME'A=90°,

：.NNAC=NME'A,

ΛΔAME,SACNA,

•AM=ME':

*'NCAN

VNC=1,AN=3,AM=t,ME'=3+t,

.」=入,

13

373

解得t=-,.,.E,(-,-)；

当E'点与N重合时，AACE'为直角三角形，

.∙.E'(-1,-3)；

③如图3,当NAE'C=90°时,

过点E'作STlx轴交于S点，过点C作CTlST交于T点，

ΛZAE,S+ZCE,T=90o,

VZΛE,S+ZE,AS=90o,

：.ZCE,T=ZE,AS,

ΛΔASE,SAE'TC,

•AS=SE':

''E,TCT

VAS=3+t,SE'=-t,CT=2+t,E,T=t+3,

.∙.3Lt=二L,解得t=-l,

3+t2+t

ΛE,(1,-1)；

ɜ77ɜ

综上所述：E'的坐标为(-*-5)或$或(1,-1)或(-1,-3).

乙乙乙乙

/.a+2a+c—0,

・・c=一3a,

J抛物线yι=ax"-2ax-3a.

当m=2,n=-3时，M(2,-3),

.∙.4a-4a-3az=-3,角不得a=l；

⑵证明：过点M作X轴的垂线，交直线BP于点Q,

2

。点P为yl=ax-2ax-3a的最低点,

.∙.P(a,-4a),

令y∣=ax2-2ax-3a=0,解得X=-1或x=3,

ΛB(3,0),

二直线BP的解析式为：y=2ax-6a,

设M(m,am2-2am-3a),

.∙.Q(m,2am-6a),

ΛQM=2am-6a-(amJ-2am-3a)=-am'+4am-3a,

.,.S=/IXB-XpI∙QM=-am'+4am-3a=-a(m-2)+a,

∙.∙-a<0,开口向下，

.∙.当m=2时，S的最大值为a,

Va<2,

当IVmV3时，S=a<2.

⑶解：Y当XV-I时，总有y<yz,

.∙.直线1必经过点A(-l,0),

将点A代入直线1：y2=kx÷b,

.∙.-k÷b=O,

Y直线1：yz=kx+b由直线PB:y=2ax-6a向上平移t个单位长度得至!],

Λk=b=2a,b=-6a÷t=2a,

Λt=8a,

.∙.y2=2ax+2a,点C(0,2a),

令2ax+2a=ax2-2ax-3a,解得x=-1或x=5,

ΛE(5,12a).

①当NECD=90°时，过点E作y轴的垂线交y轴于点F,

ΛEF:OC=CF:0D,即5：2a=10a:LΛa=⅛a=-∣(⅛);

乙乙

∙'∙t=8a=424,符合题意；

②当NCDE=90。口寸，过点E作X轴的垂线于点F,

.*.EF：OD=DF:OC,即12a：1=4：2a,解得a=*或a=-骼（舍）,

.∙.t=8a=生/苣＜型∙=4,不符合题意；

33

③当NCED=90°时，显然不存在.

综上，存在，且t的值为;.

5.解：（D设直线AC的函数表达式为：y=kx+c,

2020

∙.∙抛物线y=ax'+bx-豆，交y轴于点A,，A（0,-ɪ）,

将A(0,-当，C(5,0)分别代入y=kx+c,

,(4

得：c9，解得：,，

Lʌ20

5k+c=0c=-ξ-

420

，直线AC的函数表达式为：y=ξx-—,

20

⑵抛物线y=ax'+bx-过B(-1,0),C(5,0)两点,

--⅛-=o4

aba节

CC,解得：

20,16

25a+5b-詈=0b=

yT

••・抛物线的解析式为y=宗一拳卷

4,1620£、2

'∙∙y=gχ--豆X-g=](χ-2)--4,

，顶点D的坐标为(2,-4)；

⑶①如图1,•；AGHK为直角三角形，且点R,点G分别位于直线CD的两侧,

ΛZGHK=90°或NHGK=90°或NGKH=90°，

当NGHK=90°时，NGHD=90°,点R落在直线DC上，不符合题意，

当NHGK=90°时，NDGH=∕HGK=90°,点R,点G位于直线CD的同侧，不符合题意,

当NGKH=90°时，点R,点G分别位于直线CD的两侧，符合题意，

.,.ZGKH=90o,ZDGH=ZRGH,

过点H作HL±DG于点L,则HL=HK,

VD(2,-4),DGLX轴，

4

ΛG(2,--),F(2,0),

O

4/、8

ΛDG=---(-4)=-,CF=5-2=3,DF=4,

OO

ΛCD=5,

VZDFC=ZGKH=90o,ZGDK=ZCDF,

ΛΔGDK^∆CDF,

8,

•GK-DK-DGg∏GK-DK-T

CFDFDC345

ΛGK=ɪ,DK=32,

515

•S∆GKH+SΔGWI=SAGDK，

ΛA×J.XHK+A×.S×HL=A×-§.x-22j

25232515

4

故答案为：ð;

②∙.∙^DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，

.∙.PQ=DQ或PQ=DP,

当PQ=DQ时，如图2,由旋转知：点H到PQ、DQ的距离相等,

ΛQH±DP,DH=HP,

4

由①知HL=HK=-,

5

VHL√CF,

ʌ

.".DL=坦.，即旦±

DFCF43

.∙.DL=K,

15

.∙.L的纵坐标为西-4=-11,即H的纵坐标为-丝，

151515

∙.∙H为D、P的中点，

.∙.P的纵坐标为-毁，

15

当PQ=DP时，如图3,点P为DQ的垂直平分线与CD的交点，

∙.∙H（旦-丝），

55

44

,经过点H平行MN的直线为y=-QX÷7,

ðO

4

Y点H到直线MN的距离为一

5

48

.*•直线MN的解析ι式为y=--χ-—,

Olɔ

420

・・・直线CD的解析式为y=.x-丁，

əO

.∙.P(23,-lɛ);

105

综上所述，点P的纵坐标为-殁或-28.

515

6.解:(1);点A(-L0),C(4,0),

ΛΛC=5,0C=4,

VAC=BC=5,

ΛB(4,5),

把A(-l,0)和B(4,5)代入二次函数y=∕+bx+c中得:

广b+c=0,解得户=-2,

I16+4b+c=5(c=-3

二次函数的解析式为：y=x2-2x-3；

⑵由函数的表达式，取值列表如下：

-10124

y5-34-35

根据表格数据，绘制函数图象如下:

⑶存在，y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

二设P(Lm),

分三种情况：

①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2=PA2,

Λ(4-1)2+(m-5)+(4+1)~+52=(1+1)^+m2,解得：m=8,

.∙.P(1,8)；

②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2=PB2,

Λ(l+l)2+m2+(4+1)2+52=(4-I)2+(m-5)2,解得：m=-2,

.∙.P(1,-2)；

③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2=BA2,

(l+l)2+m2+(4-I)2+(m-5)2=(4+l)2+52>解得：m=6或T,

.∙.P(1,6)或(1,-1)；

综上，点P的坐标为(1,8)或(1,-2)或(1,6)或(1,-1).

24

7.解：(D对抛物线y=-`χ2+^χ+2,

əə

当X=O时，y=2,

ΛC(0,2),

24

当y=0时,--X2÷TX÷2=0,解得：Xi=-Lx=3,

əO2

ΛA(-1,0),B(3,0),

设直线BC的解析式为：y=kx+b(k≠0),

把点C(0,2),B(3,0)代入得：

产2,解得」k二卷

自+b=。|b=2

2

・•・直线BC的解析式为：y=--χ+2.

ɔ

2

(2”・・AD〃BC,直线BC的解析式为：y=--χ+2.

ə

2

设AD的解析式为，y=--χ+m,

ɔ

9

把点A(-1,0)代入得：解得：m=

O

22

JAD的解析式为：y=-∙∑x-

OO

y=~∣√壹+2解得一XI=-I×2=4

由10'

22Yi=Oy2=~

∙,.D(4,-岁,

4

.∙.直线CD的解析式为：y=--χ+2,

O

43

当y=0时，-鼻x+2=0,解得：X=-,

oZ

记直线CD与X轴交于点N,则:

33

N(-0),BN=3--=1.5,

乙乙

24

过点P作PM_LAB交Be于点M,设P(a,--a2+-a+2),

əO

,2、

.∙.M(a,-τ^a÷2),

ɔ

22.

.∖PM=-τ,a-+2a,

O

2

・・Si=SZ^ABC+SZ∖PCM+SaPBM=-a+3a+4,

Sz=SaBNc+SABND=4,

39

22

.∙.S]-S2=-a÷3a÷4-4=-a÷3a=-(a-

39

・•・当a=］时,S「S2的最大值为%,

此时，点P的坐标为（05）.

94

⑶抛物线产-甘+3+2的对称轴为：x=l,

ɔɔ

∙.∙抛物线向右平移后经过点0,即：抛物线向右平移1个单位，

...直线1为：x=2,

（。当等腰三角形以/八'（；飞|=90°,8（；'=（：飞|时，如图，过点C'作C'HLl于点H,过点A'

作A'Q_LC'H于点Q,

VZHC5Gι+ZQC,A,=90°，NQC'A'+NQA'C'=90°,

ΛZHCG1=ZQAC,

又YNA'QC'=/C'HG产90°，A'C'=C'G∣,

ΛΔA,QC,^ΔC,HG,

,

.∙.QA'=C'H,HGl=QC,

224

-a+-a+^

∙.∙AC"A'C',设点A'(a,3-(a30

.∙.CH=2-a,A'Q=2,HG1=CQ=I,

.∙.2-(a+1)=2,解得:a=-1,

.∙.C'(0,2),H(2,2),

ΛG1(2,1),

(ii)当等腰三角形以NC'A'Gz=90°,A'C'=A'0时，

如图，过点A'作A'FLl于点F,过点C'作C'E,A'F于点E,

,,,

同(i)理可证：∆CAE^∆AG2F,

2224

设点A'(a,--a-,C,(a÷1,-τa+-)，

ɔəəɔ

1,

ΛG2F=AE=I,FA=2-a=2,Ja=O,

,2、/2、/5、

.∙.A'z(0,--),ΛF(2,--),.'B⑵-鼻)，

ɔəO

(打。当等腰三角形以/06次'=90°,C'Gs=A'Gs时,如图，过点A'作A'QJ_1于点Q,过点

C'作C'P_LI于点P,

,,

同(i)理可证：ΔCPG3^ΔG3AQ,

2224

设点A'(a,-ɔa-,C,(a+1,-ra+-),

əəəO

.∙.A'Q=GF=2-a,CP=QG3=I-a,PQ=2,

.*.2-a+1-a=2,

解得：a=0.5,

.∙.C'(1.5,1),G3P=2-0.5=1.5,

ΛG3(2,-0.5),

5

综上所述：存在点&(2,1),G(2,--),G(2,-0.5),

2ɔ3

使得以A',C),G为顶点的等腰直角4A'C'G.

1

∙'∙y=ɪχ^2-X-3；

⑵如图1,过点A作AE_LX轴交直线BC于点E,过P作PF_LX轴交直线BC于点F,

ΛPF½zΛE,

•••MP=PF,

AMAE

设直线BC的解析式为y=kx+d,

6k+d=0K

d=-3

d=-3

1

Λy=-χ-3,

设P(t,ɪt`-t-3),则F(t,ɪt-3),

11,,,1.,,3

ΛPF=-t-3-7f÷t÷3=-7t^÷77t,

2442

VA(-2,O),

ΛE(-2,-4),

ΛAE=4,

ΛMP=PF=⅛!⅛=_J_V+3t=_J_(t_3)%J_,

AMAE41681616

.∙.当t=3时，里有最大值_L,

AM16

ΛP(3,-γ);

(3)VP(3,-γ),D点在1上,

如图2,当NCBD=90°时，

过点B作GHLX轴，过点D作DGLy轴，DG与GH交于点G,过点C作CH_Ly轴，CH与GH交

于点H,

ΛZDBG+ZGDB=90o,ZDBG+ZCBH=90o,

ΛZGDB=ZCBH,

ΛΔDBG^ΔBCH,

ʌDG=BG即3=毁，

BHCH36

ΛBG=6,

ΛD(3,6)；

如图3,当NBCD=90°时，

过点D作DK±y轴交于点K,

VZKCD+ZOCB=90o,ZKCD+ZCDK=90°,

ZCDK=ZOCB,

Λ∆OBC^∆KCD,

.*.ɔ⅛.=ɔɑ,即且=3,

KCKDKC3

.∙.KC=6,

ΛD(3,-9)；

如图4,当NBDC=90°时,

3

线段BC的中点T(3,--),BC=3√5,设D(3,m),

乙

VDT=∣BC,Λ∣m+∣∣=∣√5,

3

或m=

2,

∙∙.D(3,∣√^-∣)或D(3,-∣√5-1)；

综上所述：ABCD是直角三角形时,

D点坐标为(3,6)或(3,-9)或(3,-∣√^-∣)或(3

9.解：(1)令y=x-3=0,x=3,

.∙.B的坐标为(3,0),

令x=0,y=0-3=-3,

,C的坐标为(0,-3),

将B、C代入y=x°+bx+c,

得：1=C，解得：Qi,

I0=9+3b+cIc=-3

抛物线的解析式为：y=x2-2x-3；

⑵由⑴知,0B=0C=3,

ΛZOBC=Z0CB=45o,

记抛物线对称轴交X轴于E,

Vy=x2-2x-3=(x-D2-4,

.∙.抛物线对称轴为直线x=l,

ΛEB=2,

.∙.顶点D的坐标为(1,-4),

若NCBP=I5°,则分两种情况,

①如图，当P在直线BC下方时,

ΛtanZEBP=ʌ∕3,

ΛEP=2√3,

ΛDP=4-2√3,

Λt=4-2√3,

tanNEBP=里=返，

EB3

.W=零.∙.DP=4一平,.∙.t=4-学,

综上，t=4-2Λ∕5或4-

②设P的坐标为(1,n),令y=χ2-2x-3=0,x=3或-1,

ΛA的坐标为(-1,0),

此时PC2=1+(n+3)2=n2+6n+10,

PA2=(1÷1)2÷n2=4÷n2,

AC2=1+32=1O,

当NPCA=90°时,PC2+AC2=AP2,

8

n2+6n+10+10=4÷n2,解得：n=-^,

O

；.P的坐标为(1,-¾,DP=4-

ɔəə

4

∙'t=3,

当NAPC=90°时，AP2+PC2=AC2,

4÷n2÷n2÷6n÷10=10,解得：n=-1或-2,

.∙.P的坐标为(1,-1)或(1,-2),

DP=4-1=3或DP=4-2=2,

Λt=3或2,

当NPAC=90°时，PA2+AC2=CP2,

2

n2+4÷10=n2÷6n÷10,解得：n=~,

O

2

・・・P的坐标为(L-),

ɔ

,21414

DP=4÷ɔ~=ɔ-O»ʌt=-,

414

综上，t=g或3或2或∙γ.

10.解:(1)根据题意，设A(m,0),B(3m,0),

y=(x-m)(x-3m)=x'-4mx+3m',

Λ3m2=12,

解得：m=±2,

Vm>0,

Λm=2,3m=6,

Λb=-4m=-8,A(2,O),B(6,O),

故答案为：-8,(2,0),(6,0)；

(2)由(1)知，抛物线解析式为y=χ2-8x+12,0B=6,

令x=0,得y=12,

ΛC(O,12),

Λ0C=12,

设D点运动时间为t秒，则OD=2t,

①当t≤6时，点D在线段OC上，如图(1),过点E作EK〃x轴交y轴于点K,

VEK√OB,

ʌDK=EK=DE,

,ODOBBD,

VBE=5DE,

ΛBD=DE+BE=6DE,

.-.DK=EK=I,

OD66

Λ0D=6DK,EK=L

1

:∙DK=τt,

ɔ

15

ΛOK=OD-DK=2t-τt=τt,

OO

/5、

.,.E(1,-t),

ə

5,

.∖-t=l2-8X1+12,

ɔ

.∙.t=3,

②当t>6时，点D在线段OC的延长线上，如图(1'),

过点E作EK〃OB交y轴于点K,

VBE=5DE,

.,.BD=BE-DE=4DE,

VEK√OB,

λEK=DK=DE,即至=眸辿L=L

OBODBD62t4DE4

31

EK=-,DK=~t,

,,15

0K=0D÷DK=2t+-t=~t,

,35、

∙,.E(--乙,-乙t),

.,.∣t=(-|)2-8×(-1)+12,解得：t=∙y,

21

综上所述，D点运动时间为3秒或5秒；

(3)*.*y=x2-8x+12=(x-4)2-4,

.∙.顶点F(4,-4),

•；MN〃x轴且经过点F(4,-4),

二直线MN为y=