甘肃省武威市三校2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年甘肃省武威市三校九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.将分别标有“文”“明”“宁“安”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的概率是(

)A.18 B.16 C.143.如图，平行四边形ABCD中，EF/​/BC，AE：EB=2：3，EF=4，则AD的长为(

)A.163 B.8 C.10 D.4.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于mm．(

)A.4

B.6

C.7

D.85.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于两点(1,0)，(3,0)，则x为时，y>0．A.1<x<3 B.x>3或x<1 C.x≥3或x≤1 D.x>36.小明同学用一把直尺和一个直角三角板(有一个锐角为60°)测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是60°角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得AB=3，则此光盘的直径为(

)

A.3 B.23 C.37.已知反比例函数y=-2x，则下列结论正确的是(

)A.点(1,2)在它的图象上

B.其图象分别位于第一、三象限

C.y随x的增大而减小

D.若点P(m,n)在它的图象上，则点Q(n,m)也在其图象上8.半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为

(

)A.1:2:3 B.39.函数y=ax2-a与y=aA. B. C. D.10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为(12,1)，下列结论：①ac<0；②a+b=0；③4ac-b

A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为______．

12.一个圆锥的底面半径是3cm，母线长是6cm，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是______．13.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是

．

14.如图是反比例函数y=kx在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC的面积为4，则k等于______．

15.如图，以边长为2cm的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的莱洛三角形(图中阴影部分)的面积是______cm2.(圆周率用π表示)

16.三边长分别是5cm，12cm，13cm的三角形的内切圆半径为______cm．17.如图，要使△ABC与△ADE相似，则需添加一个适当的条件是______(只添一个即可)．

18.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=-15x2+3.5的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是

三、计算题：本大题共1小题，共6分。19.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2-1=0有两个不相等的实数根．

(1)求实数k的取值范围；

(2)四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题8分)

解下列方程：

(1)x2-6x+3=0

21.(本小题7分)

如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．

(1)请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；

(2)写出点A1，C1的坐标；

(3)求出(1)中C22.(本小题7分)

如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例y=kx(k为常数，且k≠0)的图象交于A(1,a)，B两点．

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求PA+PB23.(本小题6分)

为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动.学生根据自己的喜好选择一门艺术项目(A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸)，张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图(如图所示)．

(1)张老师调查的学生人数是______名.

(2)补全条形图．

(3)现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．24.(本小题10分)

某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．销售单价x(元)3.55.5销售量y(袋)280120(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？

(3)设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？25.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．

(1)求证：△BGD∽△DMA；

(2)求证：直线MN是⊙O的切线．26.(本小题12分)

如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-1,0)，B(2,0)两点，交y轴于点C，直线x=m(0<m<2)交BC于点D，交x轴于点E，交抛物线于点F，连接OD．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求线段DF长度的最大值；

(3)过点F作FP⊥BC于点P，当OD⊥BC时，求PF

答案和解析1.答案：D

解析：解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：D．

根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.答案：B

解析：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的结果数为2，

所以两次摸出的球上的汉字组成“长垣”的概率=212=16．

故选：B．

画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上的汉字组成“宁安3.答案：C

解析：解：∵EF/​/BC

∴△AEF∽△ABC，

∴EF：BC=AE：AB，

∵AE：EB=2：3，

∴AE：AB=2：5，

∵EF=4，

∴4：BC=2：5，

∴BC=10，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=10．

故选C．

根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明△AEF∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在▱ABCD中，AD=BC，问题得解．

本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，以及平行四边形的性质，注意对应边的比不要弄错是解题的关键．4.答案：D

解析：解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，

∵钢珠的直径是10mm，

∴钢珠的半径是5mm，

∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，

∴OD=3mm，

在Rt△AOD中，

∵AD=OA2-OD2=52-32=4(mm)，

∴AB=2AD=2×4=8(mm)．

故选：D．

先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作5.答案：B

解析：解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于两点(1,0)，(3,0)，

∴y=(x-1)(x-3)，

∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3

抛物线如图所示：

∴当x<1或x>3时，y>0．

故选：B．

首先利用待定系数法中交点式求函数解析式，然后利用已知两点坐标，再结合函数图象得出x6.答案：D

解析：解：设直角三角板的斜边与光盘相切于点C，连接OC、OA、OB，

则OC⊥AC，OB⊥AB，

∴∠OCA=∠OBA=90°，

由题意得：∠CAB=180°-60°=120°，

∴∠OAB=60°，

∴OB=AB⋅tan60°=33，

∴此光盘的直径为63，

故选：D．

连接OC、OA、OB7.答案：D

解析：解：A、把(1,2)代入y=-2x得：左边=1，右边=-1，故本选项错误，不符合题意；

B、k=-2<0，其图象位于第二、四象限，故本选项错误，不符合题意；

C、k=-2<0，在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，不符合题意；

D、∵mn=-2，

∴点P(m,n)在它的图象上，则点Q(n,m)也在其图象上，

故本选项正确，符合题意；

故选：D．

把(1,2)代入y=-2x即可判断A；根据反比例函数的性质即可判断B、C、8.答案：B

解析：【分析】

本题考查正多边形与圆的关系.正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．

从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．

【解答】

解：设圆的半径是r，则多边形的外接圆半径是r，

则内接正三角形的边长是2rsin60°=3r，

内接正方形的边长是2rsin45°=2r，

正六边形的边长是r，

因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为3：9.答案：A

解析：解：当a>0时，函数y=ax2-a的图象开口向上，但当x=0时，y=-a<0，故B不可能；

当a<0时，函数y=ax2-a的图象开口向下，但当x=0时，y=-a>0，故C、D不可能．

可能的是A．

故选：A．

本题只有一个待定系数a，且a≠0，根据a>0和a<0分类讨论．也可以采用“特值法”，逐一排除．10.答案：C

解析：解：根据图象可知：

①a<0，c>0

∴ac<0，正确；

②∵顶点坐标横坐标等于12，

∴-b2a=12，

∴a+b=0正确；

③∵顶点坐标纵坐标为1，

∴4ac-b24a=1；

∴4ac-b2=4a，正确；

④当x=1时，11.答案：9cm解析：解：在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE/​/BC，且ADAB=12，

∴△ADE∽△ABC，

∴△ADE的面积：△ABC的面积=1：4，

∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积=1：3，

∵△ADE的面积是3cm2，

∴四边形BDEC的面积是9cm2，

故答案为：9cm2．

由DE都是中点，可得DE是△ABC的中位线，则DE/​/BC，则△ADE∽△ABC，且相似比是1：2，则△ADE的面积和△ABC的面积比是1：4，则12.答案：180°

解析：解：设圆锥侧面积展开图的扇形圆心角为n°，

圆锥的底面圆的周长为：2π×3=6π(cm)，

∴圆锥侧面积展开图的扇形弧长为6πcm，

则nπ×6180=6π，

解得：n=180，

则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角为180°，

故答案为：180°．

根据圆的周长公式求出圆锥的底面圆的周长，得到圆锥侧面积展开图的扇形弧长，根据扇形弧长公式计算，得到答案．13.答案：65°

解析：解：根据旋转的性质可知∠DCE=∠ACB=20°，AC=EC，

∵∠ACE=90°，

∴∠E=45°．

∴∠ADC=∠DCE+∠E=20°+45°=65°．

故答案为65°．

根据旋转的性质求出∠E和∠DCE度数，利用三角形外角的性质∠ADC=∠DCE+∠E即可．

本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题关键是找准旋转角，利用旋转的性质等量转化角或线段．14.答案：-4

解析：解：因为反比例函数y=kx，且矩形OABC的面积为4，

所以|k|=4，即k=±4，

又反比例函数的图象y=kx在第二象限内，k<0，

所以k=-4．

故答案为：-4．

过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值|k|，再由反比例的函数图象所在象限确定出k的值．

本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx的图象中任取一点，过这一个点向15.答案：(2π-2解析：解：过A作AD⊥BC于D，

∵△ABC是边长为2cm的对边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC=2cm，

∵AD⊥BC，

∴AD=CD=1cm，

∴AD=AB2-BD2=22-12=3(cm)，

∴△ABC的面积=12AD⋅BC=12×3×2=3(cm16.答案：2

解析：解：∵52+122=132，

∴此三角形为直角三角形，

∴这个三角形的内切圆半径=5+12-132=2(cm)．

故答案为2．

先利用勾股定理的逆定理证明此三角形为直角三角形，然后利用直角三角形内切圆的半径r=a+b-c2(其中a、b为直角边，c为斜边17.答案：∠B=∠ADE(答案不唯一)

解析：解：要使△ABC与△ADE相似，则需添加一个适当的条件是：∠B=∠ADE(答案不唯一)，

故答案为：∠B=∠ADE(答案不唯一)．

根据相似三角形的判定定理即可求解．

本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．18.答案：4.5

解析：解：如图，把C点纵坐标y=3.05代入y=15x2+3.5中得：

x=±1.5(舍去负值)，

即OB=1.5，

所以l=AB=2.5+1.5=4．

令解：把y=3.05代入y=-15x2+3.5中得：

x1=1.5，x2=-1.5(舍去)，

∴L=3+1.5=4.5米．

故答案为：4.5．

如图，实际是求AB的距离，而19.答案：解：(1)由题意知，a=1，b=2k+1，c=k2-1，△>0，

∴b2-4ac=(2k+1)2-4×1×(k2-1)=4k+5>0，

解得：k>-54；

(2)∵k>-54且k为负整数，

∴k=-1，

则方程为x2-x=0，解析：本题考查了根的判别式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：(1)根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4k+5>0；(2)将k=-1代入原方程，利用因式分解法解一元二次方程．

(1)由方程有两个不相等的实数根知△>0，据此列出关于k的不等式，解之可得；

(2)由所得k的范围，结合k为负整数得出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解．20.答案：解：(1)∵x2-6x=-3，

∴x2-6x+9=-3+9，即(x-3)2=6，

则x-3=±6，

∴x=3±6；

(2)∵2x(x-1)=-3(x-1)，

∴2x(x-1)+3(x-1)=0，

则(x-1)(2x+3)=0解析：(1)利用配方法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.答案：解：(1)如图，△A1B1C1为所作，

(2)A1、B1、C1三点的坐标分别为(-4,2)，(-1,1)，(-3,4)；

(3)OC=解析：(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，

(2)写出它们的坐标；

(3)先计算出OC的长，然后根据弧长公式计算C点旋转到C22.答案：解：(1)把点A(1,a)代入一次函数y=-x+4，

得a=-1+4，

解得a=3，

∴A(1,3)，

点A(1,3)代入反比例函数y=kx，

得k=3，

∴反比例函数的表达式y=3x，

两个函数解析式联立列方程组得y=-x+4y=3x，

解得x1=1，x2=3，

∴点B坐标(3,1)；

(2)作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小，

∴D(3,-1)，

∵A(1,3)解析：(1)把点A(1,a)代入一次函数y=-x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=kx，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；

(2)作点B作关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小，然后根据勾股定理即可求得．

本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；轴对称23.答案：50

解析：解：(1)张老师调查的学生人数为：10÷20%=50(名)，

故答案为：50名；

(2)泥塑的人数=50-10-6-14-8=12(名)，

(3)把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D，

画树状图如图：

共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，

∴所选2人都是选修书法的概率为212=16．

(1)由A的人数除以所占百分比即可；

(2)用总人数减去其它项目的人数求得泥塑人数，补全统计图即可；

(3)画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，再由概率公式求解即可．

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率24.答案：解：(1)y与x之间的函数关系式为y=-80x+560(3.5≤x≤5.5)；

(2)由题意，得(x-3)(-80x+560)-80=160，

整理，得x2-10x+24=0，

解得x1=4，x2=6．

∵3.5≤x≤5.5，

∴x=4．

答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；

(3)由题意得：w=(x-3)(-80x+560)-80

=-80x2+800x-1760

=-80(x-5)2+240，

∵3.5≤x≤5.5，

∴当解析：本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量关系列出关系式是解题的关键．

(1)设y=kx+b，

将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120分别代入，

得3.5k+b=280,5.5k+b=120,解得k=-80,b=560,

则y与x之间的函数关系式为y=-80x+560(3.5≤x≤5.5)；

(2)(3)见答案．

(1)根据每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，可设y=kx+b，再将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入，利用待定系数法即可求解；

(2)根据每天获得160元的利润列出方程(x-3)(-80x+560)-80=160，解方程并结合3.5≤x≤5.5即可求解；

(3)根据每天的利润=每天每袋的利润×销售量-每天还需支付的其他费用，列出w关于25.答案：证明：(1)∵MN⊥AC，BG⊥MN，

∴∠BGD=∠DMA=90°，

∴∠BDG+∠DBG=90°，

∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，

∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，

∴∠BDG+∠ADM=90°，

∴∠DBG=∠ADM，且∠BGD=∠DMA=90°，

∴△BGD∽△DMA；

(2)连结OD．

∴BO=OA，BD=DC，

∵OD是△ABC的中位线，

∴OD/​/AC，

又∵MN