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文档简介
备战2022年高考数学核心考点专题训练
专题14平面向量的线性运算及其坐标表示
一、单选题(本大题共12小题,共60分)
I.在AABC中,OA=α-OB=K.OP=p>若万=喘+1),t6R,则点P在()
A.乙4OB平分线所在的直线上B.线段AB垂直平分线上
C∙AB边所在直线上D∙AB边的中线上
【答案】A
【解析】解:•••科=五,OB=b›OP=万,
期=嚅+部,
T7』和「富是AOAB中边。4、。8上的单位向量,
IalIbI
•埸+给在〃。B平分线上,
幅+给在B平分线上,
・••则点P一定在NAoB平分线上,
故选A.
2.已知点A,8,C在圆O上6?+而I=|初一面|,4成一〃加=历,则M+“2=()
ʌ-iB∙lC.∣D.2
【答案】B
【解析】解:点4,B,C在圆。上,设圆。半径为r,PJiJ∣0^∣=∣0F∣=∖θC∖=r,
又|函+函=∖OA-OB∖l
.∙.(OA+OB")2=(OA-OBy)2
于是2N+2OAOB=2r2-2OA∙OB>
.∙.0AOB=O^从而a1而.
因此,可以。为原点,直线。4,OB分别为X,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示:
则圆。的方程为/+y2=r2(r>0),力(r,0),β(O,r),设C(X,y),
于是由A万?一〃而=沆f,得:λ(r,0)-μ(0,r)=(x,y),
∙∙∙(rA,-λμ~)=(x,y),从而~
Xx2+y2=r2,
・•・(Ar)2÷(―μr)2=r2,
因此M+〃2=1.
故选8.
3.如图,在△?!BC中,4。14B,而一All.;Hι,|而|=2,月.而=12,
贝!∣2X+y=()
A.1B.--C.-ɪD.--
334
【答案】C
【解析】解:因为前=X荏+y旅,
所以同一四=xAB+yAC
则同=(x+l)AB+y½C.AD-AD=AD-[(x+ly)AB+yAC]
一”•一,”―♦一・,
=(‹x+1)AD-AB+yAD-AC,
因为I而|=2,且而•而=12,ADLAB,
所以4=12y,所以y=1,
又B,D,C共线,
则x+l+y=l,X=—
所以2x+y=-ɪ.
故选C
4.已知所在的平面内一点P(点P与点A,8,C不重合),且寿=5而+2诟+3旅,
则△力CP与ABCP的面积之比为()
A.2/1B.31C.3∙-2D.43
【答案】A
【解析】解:因为而=5而+2而+3近r=2而+3瓦f=2(存一而)+3(而一扉),
整理得而=9荏+T尼,如图:
D
其中。为AC中点,AE=^AB,
则SMCP=ACBfSMBP=GSWB,
Ill
SdBCP=S&ACB~WSMCB一QS&ACB=NSXACB,
故F
3阳TP
故选人
5.如图所示,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,对角线AC、8。交于点。,点E是线段
A。的中点,点尸是线段8C的中点,则而=()
A.iDE-ɪCOB.-DE-COC.-DE--COD,-DE--CO
2433324
【答案】A
【解析】解:以南,而为基底,
CO=--AC=--AB--AD,
222
DE=AE-AD=-AC-AD=-(AD+AB}-AD=-AB--AD,
44kj44
AF=AB+BF=AB-^--AD.
2
设而=%DE+y而,
则荏+g而=%(:松-;而)+y(-海后同).
11.1
-X——y=1,x=P
所以42J
311解得∙7
一—X——V
42z7y=_Z
即而=癖
故选A.
6.将函数/(x)=4SinG-IX)和直线g(x)=x-l的所有交点从左到右依次记为A2,
…,A"若尸点坐标为(0,百),贝IJl两+两+…+艰I=()
A.0B.2C.6D.10
【答案】D
【解析】解:f(x)=4sin;X)=4cosC与g(x)=X-1的所有交点从左往右依次记
为A]、A2、注3、人4和45,
旦必和4,&和4,都关于点&对称,显然在3(1,。),
.∙.两=(l,-√3),
如图所示:
贝炉历+两+...+砒=5引=5(l,-√3).
所以I两+两+...+限I=10.
故选:D.
7.。是平面上一定点,AB,C是平面上不共线的三个点,动点P满足(⅛=θλ+〃(黑τ+
∖AB∖
儡),μ∈[0,+∞),则P点的轨迹一定经过△4BC的()
A.外心B.内心C.重心D.垂心
【答案】B
【解析】解:∙∙∙7⅛∖禀分别表示向量而、正方向上的单位向量,
篇+篇的方向与/B4C的角平分线一致,
又「而=耐+"⅛⅛+⅛⅛b
∙∙∙EMR=崂i+窗
.响量而的方向与NBAC的角平分线一致,
.∙.P点的轨迹一定经过AZBC的内心.
故选B.
8.定理:点P是Λ4BC内任一点,则SwribL,.SΛ,1..,√VI'其中
SZBPC,SMPC,S/4PB分别是/BPC,ΔAPC,44PB的面积).该定理的几何图形类似于奔驰
车标,也被戏称为平面向量的'‘奔驰定理已知44BC内一点0,满足SBOC=l,‰c=7,
且2函+3而+m元=6,则m=()
A.9B.5C.2D.7
【答案】4
【解析】解:因为。是WJ「内一点,满足SZMMh.Sxuw7,
所以若“ITxʃiʃ>()),则S,»/阳-6X,
因此由“奔驰定理'知:OA+xOB+(6-x)0C=0<
即37=-X丽+0-6)元.
又因为265+3赤+小元=6,
所以2[-x而+(x-6)西+3而+m元=6,
即(3-2x)0B+(2x-12+m)0C=0.
又因为方与云不共线,
所以£—2::0解得m=9.
故选A.
9.已知在RtAABC中,4BAC=90°,4B=IMC=2,力是△ABC内一点,且NfMB=60°,
设近=4近+〃而(2,〃∈R),则5=()
A.巫B.3C.3D.2√3
33
【答案】A
【解析】解:由题意可建立坐标系并作出如下图形:
∙∙.4(0,0),B(l,0),C(0,2),
设。点坐标为(α,b),・・・4IM8=6O。,.∙∙b=√5α,
・•.D[a,√3α),而=(α,√3α)^
•:=λAβ+μ~AC(λ,μWR),
ʌ(α,√3α)=λ(lzO)+"(0,2)=(Λ,2μ),
∙L,解稣号
故选A.
10.在等腰梯形中,AB//CD,AB=2,AD=1,=泉点尸是线段AB上的一点,M
为直线BC上的动点,若元=3在,AF=λAB,且荏.前=-1,则而•丽的最大
值为()
A.ɪB.-⅛C.-1D.-g
46464
【答案】B
【解析】解:因为4B〃C。,AB=2,AD=1,/-DAD,BC=3CE,AF=λAB,
贝∣L4C=BC=I,由荏.丽=一1,
得到(泰-BA)-(AF-AD)=(∣BC+Aβ)■(AAB-AD)
=-A-2r(ι∙,"ɪ÷A∙2^-<∙<ιβɪ—2COR-=—1,
33333
解得
Zl=4
设48的中点为0,C。的中点为H,
以AB的中点0为坐标原点,AB为X轴,。”为y轴建立直角坐标系,
则B(l,0),CG净,“心净,F(-∣,0),
直线BC的方程为y=(X—1)即y=-y∕3x+V3>
2~1
设M(X,一百x+√5),所以而•丽=(-i-x,√3x-√3)∙(x+∣,-√3x+y)
=---X2-X-3X2+-X--=—4X2+-X--,
42224
当X=——2—=工时赤"两取最大值,
2X(-4)16
最大值为-4X(ɪ)2+:XW=一玛
故选民
11.在平面直角坐标系XOy中,A和8是圆(;:0-1)2+丫2=1上的两点,且AB=点、
P(2,l),则|2同一而I的取值范围是()
A.[√5-√2,√5+√2]B.[√5-l,√ςΓ5+1]
C.[6-2√5,6+2√5]D.[7-2√10,7+2√Tθ]
【答案】A
【解析】解:AB=√2.取AB中点为M,CM=-,且CMlAB,
2
延长MA至。,使得MQ=3MA=乎,
所以2同一而=同+万一而=丽+讨+丽=丽+3丽=丽+丽=丽,
因为22
QC=y]MC+MQ=√5,
所以。的轨迹是以C为圆心,花为半径的圆,
因为PC=√(2-I)2+(1-0)2=√2,
所以IPQl∈[V5—√2,√5+√2].
故选:A.
12.设MBl=I0,若平面上点P满足对任意的;I6R.,恒有|2万一;!而I》8,则一定正确
的是()
A.∖PA∖≥5B.∖^PA+^PB∖≥10
C.^PA^PB≥-ciD.4APB≤90°
【答案】C
【解析】解:由|29一4四∣≥8,得到Im一:耳同≥4可知点P到直线AB的距离为4,
∙∙∙∣m∣≥4,所以选项A不正确,
设线段48的中点为M,则IPMlmm=4,
.∙.∖^PA+^PB∖=∖2^PM∖≥8,所以选项B不正确,
当IPMImm=4时,乙4PB>90",;.选项。不正确,PA-TB=(PM-AM)■(PM+AM~)=
∣PΛf∣2-∖MA∖2≥16-25=-9•••万•丽≥-9,故选C.
二、单空题(本大题共6小题,共3。分)
13.如图,在AABC中,己知4B=10,AC=5,-AAL-J,点M是边AB的中点,点
N在直线4C上,且前=3前,直线CM与BN相交于点P,则线段4P的长为.
【答案】√21
【解析】解:因为B,P,N三点共线,
所以存在实数X满足Q=xAB+(1-x)AN=xAB+等旅,
因为C,P,M三点共线,
所以存在实数y满足而=y宿+(l-y)前=9而+(l—y)前f,
(TG=Z
又荏,而不共线,贝IJhr
y-=1~y(y=i
所以方=|荏+:而,
所以府|2=±(4∣AB∣2+4Aβ∙AC+∣AC∣2)
=⅛×(4×10^4×10×5×i+5≡)=21,
所以I彳同=√21.
故答案为√∑τ.
14.在梯形A8CZ)中,己知48//CD,AB=2CD,^DM=MC,CN=2NB,若万7=λAC+
μ^AN,贝!M+μ=-
【答案以
【解析】如图示:梯形ABCD中,4B//CD,AB=2CD,DM=MC,CN=2NB.ʌAM=
>,,,1,一一>....♦1..>•■,”,...11..•..J1.,1....
AC+CM=AC-{--BA=AC+-(BNNA)=∕1C+1(i∕VC+NA)=AC-NC-NA=
vjJ
444、284
AC-^-AC--AN--AN
884
=1AC-^AN.又祠+,前,∙∙∙A='4=_|.故/+〃='+(_?)=:.故答
OOOOOO⅛
案为:
4
15.如图,在等腰三角形ABC中,已知IABl=∣AC∣=L乙4=120°,瓦F分别是边AB,AC上
的点,且AE=AAB,AF=〃AS其中九〃W(0,1)且入+4〃=1,若线段EF,BC的中点分别
为M,N,则IMM的最小值是.
【答案】,
7
【解析】解:连接AM、AN,
.•等腰三角形ABC中,∣ΛB∣=∖AC∖=1,A=120o,.∙.AB-AC=∖AB∖■∖AC∖cosl20°=-ɪ
∙∙AM是AAEF的中线,
.∙.AM=∣(AEf+AF)=∣(ΛAB+μ½C),
同理,可得而=X超+前),
由此可得丽=而一宿="l-∕l)而+“1-〃)前二而2=[1(1_2)AS+l(i-
=
[i)AC]^^(1-a)?AB+~(1—λ)(l-QAB■AC+—(1—i4C=Z(I—--(1-
λ)(l-μ)+J(I-M)2.
∙∙'λ+4μ=1,可得1—A=4μ,;.代入上式得MM之=1×(4μ)z—ɪ×4μ(l—μ)+(1—μ)?=
γμ2-∣μ+ɪ=γ(μ-ɪ)2+1Vλ,〃€(0,1),;.当“=决寸,而2的最小值为此时|丽|
的最小值为叱.
7
故答案为:包.
7
16.如图,在△ABC中,BD=:BC,点E在线段AQ上移动(不含端点),若荏=U超+〃正,
则;的取值范围是.
【答案】(g,+8)
【解析】解:因为点E在线段4〃上移动(不含端点),
所以设荏=k^AD(Q<fc<1).
又因为前=;反t,
所以前=∣BC=∣(^c-½β),
因此荏=kAD=k-(AB+JD)=k∙(∆B+-AC--AB)=k-(-ΛB+-AC)=-AB+
k
_
3
又因为荏=λAB+μAC^
r,_2/c
所以=3因此打;
设的="鸿。+3(0<%<1),
JKO∖K/
而由对勾函数的单调性知:函数y=k+(在(0,1)上单调递减,
所以函数f(k)=g+j在(0,1)上单调递减,
因此f(k)>/(D=7.
所以打押取值范围是小,+8).
故答案为(T,+8).
17.己知正方形48CZ)的边长为1.当Aa=I,2,3,4,5,6)每个取遍±1时,荏+友元+
λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6^BD∖的最大值是.
【答案】2√5
【解析】解:如图,
正方形ABCZ)的边长为1,可得超+而=而,JD=AD-AB,ABAD=0,∖λ1AB+
入2BC+&CD+4+入54。+26BD∣=IalAB+%BC+CD+DA+λct(^AB+
AD')+λ6(AD-AB)∖=∖(λ1-λ3+λ5-λ6)AB+(λ2-λ4+λ5+λ6)AD\=
J氏--zU)2+(42-羽+色+及产,
由于40=1,2,3,4,5,6)取遍±1,
IA1-力3+,5—46∣,1,2—,4++%6∣的最大值都为%
但是①当原+⅞=2或一2时,λ5-λ6=0,
&—,4+,5+%6∣可取最大值4,|%1—∙λ∙3+,5—46∣最大值只能取2;
②当心+及=。时,25-26=2或-2,
∣λi-λ3+λs-欠|可取最大值4,∣λ2-λ4+λs+及|最大值只能取2.
可得所求最大值为√42+22=2√5.
故答案为:2√5∙
18.如图,在△4BC中,AB=4,AC=2,.∣1,∖('-()11已知点E,F分别是边AB,AC
的中点,点。在边BC上.若三•前=及,则线段BO的长为_.
4
D
【答案】立
2
【解析】解:以A为坐标原点,48为X轴,过A点的AB的垂线为y轴建立坐标系,如下图:
由题意得A(0,0),B(4,0),C(l,√3),E(2,0),FM),
设O(%,y)(l≤%≤4,0≤y≤√3),
则笳=(2-x,-y),DF=(∣-x,y-y)-FC=(-3,√3).BD=(x-4,y).
则屁.而=(2-X)G-X)-y倍-y)=g①,
又B、D、C三点共线,则有就与前共线,
**•-3y—√3(x—4)>(2)»
由①②联立解得
.∙.BD=(-j,γ).
工国=J(可+(功=导
故答案为当
三'解答题(本大题共2小题,共30分)
19.设两个非零向量α与b不共线,
(1)若AB=α+6,BC=2α+勖,CD=3(d-h),求证:4B,〃三点共线;
(2)试确定实数A,使3+b和α+Q共线.
【答案】(1)证明见解析;(2)
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