平面向量的线性运算及其坐标表示-2022年高考数学训练（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练

专题14平面向量的线性运算及其坐标表示

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

I.在AABC中，OA=α-OB=K.OP=p>若万=喘+1）,t6R,则点P在（）

A.乙4OB平分线所在的直线上B.线段AB垂直平分线上

C∙AB边所在直线上D∙AB边的中线上

【答案】A

【解析】解：•••科=五，OB=b›OP=万，

期=嚅+部，

T7』和「富是AOAB中边。4、。8上的单位向量，

IalIbI

•埸+给在〃。B平分线上，

幅+给在B平分线上，

・••则点P一定在NAoB平分线上，

故选A.

2.已知点A,8,C在圆O上6？+而I=|初一面|,4成一〃加=历,则M+“2=（）

ʌ-iB∙lC.∣D.2

【答案】B

【解析】解：点4，B,C在圆。上，设圆。半径为r,PJiJ∣0^∣=∣0F∣=∖θC∖=r,

又|函+函=∖OA-OB∖l

.∙.（OA+OB"）2=（OA-OBy）2

于是2N+2OAOB=2r2-2OA∙OB>

.∙.0AOB=O^从而a1而.

因此，可以。为原点，直线。4,OB分别为X,y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

则圆。的方程为/+y2=r2(r>0),力(r,0),β(O,r),设C(X,y),

于是由A万？一〃而=沆f,得：λ(r,0)-μ(0,r)=(x,y),

∙∙∙(rA,-λμ~)=(x,y),从而~

Xx2+y2=r2,

・•・(Ar)2÷(―μr)2=r2,

因此M+〃2=1.

故选8.

3.如图，在△?!BC中，4。14B,而一All.；Hι,|而|=2,月.而=12,

贝!∣2X+y=()

A.1B.--C.-ɪD.--

334

【答案】C

【解析】解：因为前=X荏+y旅，

所以同一四=xAB+yAC

则同=(x+l)AB+y½C.AD-AD=AD-[(x+ly)AB+yAC]

一”•一,”―♦一・,

=(‹x+1)AD-AB+yAD-AC,

因为I而|=2，且而•而=12，ADLAB,

所以4=12y,所以y=1,

又B,D,C共线，

则x+l+y=l,X=—

所以2x+y=-ɪ.

故选C

4.已知所在的平面内一点P(点P与点A,8,C不重合),且寿=5而+2诟+3旅,

则△力CP与ABCP的面积之比为()

A.2/1B.31C.3∙-2D.43

【答案】A

【解析】解：因为而=5而+2而+3近r=2而+3瓦f=2(存一而)+3(而一扉)，

整理得而=9荏+T尼，如图：

D

其中。为AC中点，AE=^AB,

则SMCP=ACBfSMBP=GSWB，

Ill

SdBCP=S&ACB~WSMCB一QS&ACB=NSXACB，

故F

3阳TP

故选人

5.如图所示，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,对角线AC、8。交于点。，点E是线段

A。的中点，点尸是线段8C的中点，则而=()

A.iDE-ɪCOB.-DE-COC.-DE--COD,-DE--CO

2433324

【答案】A

【解析】解：以南，而为基底，

CO=--AC=--AB--AD,

222

DE=AE-AD=-AC-AD=-（AD+AB}-AD=-AB--AD,

44kj44

AF=AB+BF=AB-^--AD.

2

设而=%DE+y而，

则荏+g而=%（：松-；而）+y（-海后同）.

11.1

-X——y=1,x=P

所以42J

311解得∙7

一—X——V

42z7y=_Z

即而=癖

故选A.

6.将函数/(x)=4SinG-IX)和直线g(x)=x-l的所有交点从左到右依次记为A2,

…，A"若尸点坐标为(0,百)，贝IJl两+两+…+艰I=()

A.0B.2C.6D.10

【答案】D

【解析】解：f(x)=4sin；X)=4cosC与g(x)=X-1的所有交点从左往右依次记

为A]、A2、注3、人4和45，

旦必和4，&和4，都关于点&对称，显然在3(1，。)，

.∙.两=(l,-√3),

如图所示：

贝炉历+两+...+砒=5引=5(l,-√3).

所以I两+两+...+限I=10.

故选：D.

7.。是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足(⅛=θλ+〃(黑τ+

∖AB∖

儡)，μ∈[0,+∞),则P点的轨迹一定经过△4BC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】解：∙∙∙7⅛∖禀分别表示向量而、正方向上的单位向量，

篇+篇的方向与/B4C的角平分线一致,

又「而=耐+"⅛⅛+⅛⅛b

∙∙∙EMR=崂i+窗

.响量而的方向与NBAC的角平分线一致,

.∙.P点的轨迹一定经过AZBC的内心.

故选B.

8.定理：点P是Λ4BC内任一点，则SwribL，.SΛ,1..,√VI'其中

SZBPC,SMPC,S/4PB分别是/BPC,ΔAPC,44PB的面积).该定理的几何图形类似于奔驰

车标，也被戏称为平面向量的'‘奔驰定理已知44BC内一点0,满足SBOC=l,‰c=7,

且2函+3而+m元=6，则m=()

A.9B.5C.2D.7

【答案】4

【解析】解：因为。是WJ「内一点，满足SZMMh.Sxuw7,

所以若“ITxʃiʃ>()),则S,»/阳-6X,

因此由“奔驰定理'知：OA+xOB+(6-x)0C=0<

即37=-X丽+0-6)元.

又因为265+3赤+小元=6，

所以2[-x而+(x-6)西+3而+m元=6,

即(3-2x)0B+(2x-12+m)0C=0.

又因为方与云不共线，

所以£—2：:0解得m=9.

故选A.

9.已知在RtAABC中，4BAC=90°,4B=IMC=2,力是△ABC内一点，且NfMB=60°,

设近=4近+〃而(2,〃∈R),则5=()

A.巫B.3C.3D.2√3

33

【答案】A

【解析】解：由题意可建立坐标系并作出如下图形：

∙∙.4(0,0),B(l,0),C(0,2),

设。点坐标为(α,b),・・・4IM8=6O。，.∙∙b=√5α,

・•.D[a,√3α),而=(α,√3α)^

•：=λAβ+μ~AC(λ,μWR)，

ʌ(α,√3α)=λ(lzO)+"(0,2)=(Λ,2μ),

∙L,解稣号

故选A.

10.在等腰梯形中，AB//CD,AB=2,AD=1,=泉点尸是线段AB上的一点，M

为直线BC上的动点，若元=3在，AF=λAB,且荏.前=-1，则而•丽的最大

值为()

A.ɪB.-⅛C.-1D.-g

46464

【答案】B

【解析】解：因为4B〃C。，AB=2,AD=1,/-DAD,BC=3CE,AF=λAB,

贝∣L4C=BC=I,由荏.丽=一1，

得到(泰-BA)-(AF-AD)=(∣BC+Aβ)■(AAB-AD)

=-A-2r(ι∙,"ɪ÷A∙2^-<∙<ιβɪ—2COR-=—1,

33333

解得

Zl=4

设48的中点为0,C。的中点为H,

以AB的中点0为坐标原点，AB为X轴，。”为y轴建立直角坐标系，

则B(l,0),CG净,“心净,F(-∣,0),

直线BC的方程为y=(X—1)即y=-y∕3x+V3>

2~1

设M(X,一百x+√5),所以而•丽=(-i-x,√3x-√3)∙(x+∣,-√3x+y)

=---X2-X-3X2+-X--=—4X2+-X--,

42224

当X=——2—=工时赤"两取最大值，

2X(-4)16

最大值为-4X(ɪ)2+：XW=一玛

故选民

11.在平面直角坐标系XOy中，A和8是圆(；：0-1)2+丫2=1上的两点，且AB=点、

P(2,l),则|2同一而I的取值范围是()

A.[√5-√2,√5+√2]B.[√5-l,√ςΓ5+1]

C.[6-2√5,6+2√5]D.[7-2√10,7+2√Tθ]

【答案】A

【解析】解：AB=√2.取AB中点为M,CM=-,且CMlAB,

2

延长MA至。，使得MQ=3MA=乎，

所以2同一而=同+万一而=丽+讨+丽=丽+3丽=丽+丽=丽，

因为22

QC=y]MC+MQ=√5,

所以。的轨迹是以C为圆心，花为半径的圆，

因为PC=√(2-I)2+(1-0)2=√2,

所以IPQl∈[V5—√2,√5+√2].

故选：A.

12.设MBl=I0,若平面上点P满足对任意的；I6R.,恒有|2万一；!而I》8，则一定正确

的是()

A.∖PA∖≥5B.∖^PA+^PB∖≥10

C.^PA^PB≥-ciD.4APB≤90°

【答案】C

【解析】解：由|29一4四∣≥8,得到Im一：耳同≥4可知点P到直线AB的距离为4,

∙∙∙∣m∣≥4,所以选项A不正确，

设线段48的中点为M,则IPMlmm=4,

.∙.∖^PA+^PB∖=∖2^PM∖≥8,所以选项B不正确，

当IPMImm=4时,乙4PB>90",；.选项。不正确,PA-TB=(PM-AM)■(PM+AM~)=

∣PΛf∣2-∖MA∖2≥16-25=-9•••万•丽≥-9，故选C.

二、单空题(本大题共6小题，共3。分)

13.如图，在AABC中，己知4B=10,AC=5,-AAL-J,点M是边AB的中点，点

N在直线4C上，且前=3前，直线CM与BN相交于点P,则线段4P的长为.

【答案】√21

【解析】解：因为B,P,N三点共线，

所以存在实数X满足Q=xAB+(1-x)AN=xAB+等旅,

因为C,P,M三点共线，

所以存在实数y满足而=y宿+(l-y)前=9而+(l—y)前f,

(TG=Z

又荏，而不共线，贝IJhr

y-=1~y(y=i

所以方=|荏+：而，

所以府|2=±(4∣AB∣2+4Aβ∙AC+∣AC∣2)

=⅛×(4×10^4×10×5×i+5≡)=21,

所以I彳同=√21.

故答案为√∑τ.

14.在梯形A8CZ)中，己知48//CD,AB=2CD,^DM=MC,CN=2NB，若万7=λAC+

μ^AN，贝!M+μ=-

【答案以

【解析】如图示：梯形ABCD中，4B//CD,AB=2CD,DM=MC，CN=2NB.ʌAM=

>,，,1，一一>....♦1..>•■，”，...11..•..J1.，1....

AC+CM=AC-{--BA=AC+-(BNNA)=∕1C+1(i∕VC+NA)=AC-NC-NA=

vjJ

444、284

AC-^-AC--AN--AN

884

=1AC-^AN.又祠+,前，∙∙∙A='4=_|.故/+〃='+(_?)=：.故答

OOOOOO⅛

案为：

4

15.如图，在等腰三角形ABC中，已知IABl=∣AC∣=L乙4=120°,瓦F分别是边AB,AC上

的点，且AE=AAB,AF=〃AS其中九〃W(0,1)且入+4〃=1,若线段EF,BC的中点分别

为M,N,则IMM的最小值是.

【答案】,

7

【解析】解：连接AM、AN,

.•等腰三角形ABC中，∣ΛB∣=∖AC∖=1,A=120o,.∙.AB-AC=∖AB∖■∖AC∖cosl20°=-ɪ

∙∙AM是AAEF的中线，

.∙.AM=∣(AEf+AF)=∣(ΛAB+μ½C),

同理，可得而=X超+前)，

由此可得丽=而一宿="l-∕l)而+“1-〃)前二而2=[1(1_2)AS+l(i-

=

[i)AC]^^(1-a)?AB+~(1—λ)(l-QAB■AC+—(1—i4C=Z(I—--(1-

λ)(l-μ)+J(I-M)2.

∙∙'λ+4μ=1,可得1—A=4μ,；.代入上式得MM之=1×(4μ)z—ɪ×4μ(l—μ)+(1—μ)?=

γμ2-∣μ+ɪ=γ(μ-ɪ)2+1Vλ,〃€(0,1),；.当“=决寸，而2的最小值为此时|丽|

的最小值为叱.

7

故答案为：包.

7

16.如图,在△ABC中，BD=：BC,点E在线段AQ上移动(不含端点),若荏=U超+〃正,

则；的取值范围是.

【答案】(g,+8)

【解析】解：因为点E在线段4〃上移动(不含端点)，

所以设荏=k^AD(Q<fc<1).

又因为前=；反t,

所以前=∣BC=∣(^c-½β),

因此荏=kAD=k-(AB+JD)=k∙(∆B+-AC--AB)=k-(-ΛB+-AC)=-AB+

k

_

3

又因为荏=λAB+μAC^

r,_2/c

所以=3因此打;

设的="鸿。+3（0<%<1），

JKO∖K/

而由对勾函数的单调性知：函数y=k+（在（0,1）上单调递减，

所以函数f（k）=g+j在（0,1）上单调递减，

因此f（k）>/（D=7.

所以打押取值范围是小,+8）.

故答案为（T,+8）.

17.己知正方形48CZ）的边长为1.当Aa=I,2,3,4,5,6）每个取遍±1时，荏+友元+

λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6^BD∖的最大值是.

【答案】2√5

【解析】解:如图，

正方形ABCZ)的边长为1,可得超+而=而，JD=AD-AB，ABAD=0,∖λ1AB+

入2BC+&CD+4+入54。+26BD∣=IalAB+%BC+CD+DA+λct(^AB+

AD')+λ6(AD-AB)∖=∖(λ1-λ3+λ5-λ6)AB+(λ2-λ4+λ5+λ6)AD\=

J氏--zU)2+(42-羽+色+及产，

由于40=1,2,3,4,5,6)取遍±1,

IA1-力3+，5—46∣，1，2—，4++%6∣的最大值都为%

但是①当原+⅞=2或一2时，λ5-λ6=0,

&—，4+，5+%6∣可取最大值4,|%1—∙λ∙3+，5—46∣最大值只能取2；

②当心+及=。时，25-26=2或-2,

∣λi-λ3+λs-欠|可取最大值4,∣λ2-λ4+λs+及|最大值只能取2.

可得所求最大值为√42+22=2√5.

故答案为：2√5∙

18.如图，在△4BC中，AB=4,AC=2,.∣1,∖('-()11已知点E,F分别是边AB,AC

的中点，点。在边BC上.若三•前=及，则线段BO的长为_.

4

D

【答案】立

2

【解析】解：以A为坐标原点，48为X轴，过A点的AB的垂线为y轴建立坐标系，如下图:

由题意得A(0,0),B(4,0),C(l,√3),E(2,0),FM)，

设O(%,y)(l≤%≤4,0≤y≤√3),

则笳=(2-x,-y),DF=(∣-x,y-y)-FC=(-3,√3).BD=(x-4,y).

则屁.而=(2-X)G-X)-y倍-y)=g①，

又B、D、C三点共线，则有就与前共线，

**•-3y—√3(x—4)>(2)»

由①②联立解得

.∙.BD=(-j,γ).

工国=J（可+（功=导

故答案为当

三'解答题（本大题共2小题，共30分）

19.设两个非零向量α与b不共线，

（1）若AB=α+6,BC=2α+勖，CD=3（d-h）,求证：4B,〃三点共线;

（2）试确定实数A,使3+b和α+Q共线.

【答案】（1）证明见解析；（2）