2023人教版新教材A版高中数学必修第二册同步练习-全书综合测评(一)

全书综合测评（一）

（全卷满分150分,考试用时120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

1.等差数列｛4｝的前〃项和记为S,若α+4021=6,贝IJWO22=（）

A.3033B.4044C.6066D.8088

2.已知函数f（x）=alnx+2,F'（e）=2,则a的值为（）

A.2eB.1C.0D.e2

3.对于如图所示的数阵,它的第11行中所有数的和为（）

ɪ

-23

-45-6

7-89-10

A.-60B.-58C.-61D.63

4.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知

环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为（）

A.y=^x^x~λcx

C.y=^-xD.

5.已知数列｛a｝的各项为互异正数,且其倒数构成公差为3的等差数列，则当〃三2

时,___________()

+。2。3+∙∙∙+α∏∙-IaTI

A-B」C.3D.6

63

6.如图，已知最底层正方体的棱长为a,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方

体上底面各边的中点，若图中的正方体有无数个，则所有这些正方体的体积之和

将趋近于()

∣<L_____∣2>∣

A.aB.2a3C.(2+√2)aD.

7

7.已知函数f(x)=a(x+l)e'-χ,若存在唯一的正整数吊,使得F(ΛO)<O,则实数a的

取值范围是()

8.设函数/'(上)=-才(『3)2(才£区)，当力3时,不等式/'(-4-5SΘ-V)≥∕(A∙2-sin^。)

对任意的k≡[-1,0]恒成立,则θ的可能取值是()

A.--B.-C.--D.-

3326

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9.若数列EJ满足a=2,a,,+a*3M启1,A∈N*),其前〃项和为S,则下列结论正确

的有()

A.32022=3031B.a2g=3∕τ-1C.3,rn~3∕t-lD.£尸3万

10.关于函数AX),+lnX,下列说法正确的是()

X

A.f(l)是F(X)的极大值B.函数尸f(x)-X有且只有1个零点

C.f(x)在(0,1)上单调递减D.设g(x)=xf(x),则，,。(便)

11.已知数列｛aj满足31=1,a+?+…+为嘿去,令4=烹(为一1),则()

2n2(n+l)2021∖n/

A.句。=IOOB.数列｛或是等差数列

C./%必为整数D.数列｛%+2COS2(：%)｝的前2022项和为4044

12.定义:在区间/上,若函数尸F(X)是减函数,且产Xf(X)是增函数,则称尸F(X)

在区间/上是“弱减函数”.根据定义可得()

A.f(x)=⅛E(0,+8)上是"弱减函数"

X

B.F(X)噎在(1,2)上是“弱减函数”

C.若f(x)=处在5,+8)上是"弱减函数"，则∕ff≥e

X

D.若F(X)=CoSx+加在(0,1)上是"弱减函数"，则AWAWl

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知数列｛4｝满足句=1,且‰l=⅛,-p则a2ι=.

14.若∕≥a2+21n±(a>0)恒成立，则a=.

a--------

15.已知F(X)=XAC有极小值点-1,设Λ≈-,若对于任意的"∈N*,都有ANzZl

n

成立,则实数C的取值范围是.

16.“雪花”是非常美丽的图案，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花

的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究

的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程:从一个正三角形开始,把

每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉

底边,重复进行这一过程,若第1个图形中的三角形的周长为1,则第〃个图形的周

长为;若第1个图形中的三角形的面积为1,则第n个图形的面积

为.(第一个空2分,第二个空3分)

①②③④

四、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）在①S=20,②$=2a,③34-国=金这三个条件中任选一个,补充在下面问

题中，并作答.

已知等差数列｛4｝的前n项和为S,｛儿｝是各项均为正数的等比数

歹U,a=A,,勿=8"「3&=4,是否存在正整数A,使得数列｛己的前k项和

。》白若存在,求出A的最小值;若不存在,请说明理由.

注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.

18.（12分）已知函数f（x）=x+lnx.

⑴求曲线F（X）在点（1,1）处的切线方程；

⑵若曲线M在点（1,D处的切线与曲线尸a*+（2a+3）x+1只有一个公共点,求a

的值.

19.(12分)已知函数f(x)=⅛-⅛A2+(a-l)Λ+1,a为实数.

⑴当a≤2时,讨论HX)的单调性；

(2)若f(x)在区间［1,5］上是减函数,求a的取值范围.

20.（12分）疫情期间,某地一些蔬菜中转厂通过向农场购买蔬菜并储存,再送至当

地各个小区，为当地居民提供了蔬菜来源.某蔬菜中转厂每日蔬菜的进货量最多

不超过20吨，由于蔬菜采购、运输、管理等因素,蔬菜的日浪费率夕与日进货量

（*1≤%≤9,xCN*,

χ（吨）之间近似地满足关系式P=ɪtɪ日浪费率

,10≤X≤20,%∈N*

=詈鲁义100%〔已知售出一吨蔬菜可赢利2千元,而浪费一吨蔬菜则亏损1千

日进货重

元.

（蔬菜中转厂的日利润户日售出赢利额-日浪费亏损额）

⑴将该蔬菜中转厂的日利润y（千元）表示成日进货量χ（吨）的函数；

⑵当该蔬菜中转厂的日进货量为多少吨时，日利润最大?最大日利润是几千元？

21.(12分)已知等差数列｛4｝的前n项和S^n+an+b,ai=3,数列㈤的前n项和

T,ι=-^-bn,8ι=2.

(D求数列｛4｝和仇｝的通项公式;

⑵令G=(T)令求数列匕｝的前n项和Pn.

bn

22.(12分)已知函数∕ω=e2-2(e+l)e'+2ex

(1)若函数g(x)=f(x)-a有三个零点,求a的取值范围;

⑵若f(X)"(生)"(才3)(X1<X2<X3),证明：Xl+X2>0.

答案全解全析

1.C由题意矢口a2+a202i=a∣+a2022=6,所以So22=^^^≡^=l011X6=

6066,故选C.

2.A易知F'(x)=±,所以F'(e)=吼2,故a=2e.故选A.

Xe

3.C前10行的数共有l+2+3+∙∙∙+10=ι°";i叽55(个)，

所以第11行第一个数为-56,最后一个数为-66,

则第H行所有数的和为-56+(T)×5=-61.

故选C.

4.D由题中函数图象知，此三次函数图象在点(0,0)处与直线厂r相切，在点

⑵0)处与直线尸3尸6相切.

A中2,/|久_C=-2,与此三次函数图象在点(0,0)处的切线斜率为T矛

4—0

盾，故A不符合题意；

B中，/=|/+『3,/1.。=-3,与此三次函数图象在点(0,0)处的切线斜率为-1矛盾,

故B不符合题意；

C中,∕=∣∕τ,∕k=一1,PL=?=2,与此三次函数图象在点⑵0)处的切线斜率

为3矛盾，故C不符合题意;

D中，∕=∣χ2-χT,/1户0=-1,y]χ=2=3,故D符合题意.

故选D.

5.C由已知得±-'=3(〃与2,∕7∈N*),

ɑnɑn-1

贝I」a,r-ra,F3arlan,所以五所叫一尸，,

所以当时,__________αι_Q∏___________"]一%!___________aι~an^θ

α1α2+α2α3+→αn.1αn~^+^+→^=^α1-g7l

故选C.

6.D由题意可知，最底层正方体上面第一个正方体的棱长为日a,其体积为

3

上面第二个正方体的棱长为三,其体积为Ga),

上面第三个正方体的棱长为壶a,其体积为(壶a)：

所以这些正方体的体积构成首项为才,公比为：⅛的等比数列，

2√2

设其前〃项和为S,贝IJS=上卑-a3=4-W⅛aJ学£,一真_

FF1^Ξ√57281

当〃一+8时空一-0,

2√2-l

所以所有这些正方体的体积之和将趋近于世卢并故选D-

x

7.C由F(XO)<0,即a(xo+De°-Λb<O,得a<-~~x■,

(x0+l)eθ

令g(x)=小(61)，则屋⑸二—蔡舒〈°，

所以g(x)在［1,+8)上单调递减，

又g(l)=,g(2)q⅛故若存在唯一的正整数沏使得fU`)<0,则亮Wa<*,故选

2e3ez3ez2e

C.

8.D由F(X)=-χ(jτ^a)2,得。'(x)=-(3χ-a)(χ-a),

令F'(x)=0,得产5或A=a,当a>3时,∣<<a,

所以Hx)在(-8身，[a,+8)上单调递减,在信ɑ)上单调递增，

又当a>3时,21,所以F(X)在(-8,1]上为减函数.

又〃Q[T,0],sin夕£[T,1],所以-2W-hsin<9-l≤l,-l≤A2-sin2^≤1,

由不等式f(-A-sin。-1)ef(4-sirr'。)对任意的〃£[T,0]恒成立，得

2

SinSin(9-l≤^2+A=^∕c+θ-[对任意的A£[-1,0]恒成立，

所以SitTie-Sin9TW」恒成立，

4

解得-[Wsin9W∣,即4≤sin^≤1,

结合选项知，θ的可能取值是当故选D.

9.ABD因为名+a*3MD,所以当〃与2,∕7∈N*时，有⅛∏+a.=3(d)②,①-②，得

dn+[~dn-ι-3.

因为a=2,⅛÷½^3,所以a=1,

由‰l-⅛,=3可知该数列奇数项是以2为首项,3为公差的等差数列，

该数列偶数项是以1为首项,3为公差的等差数列.

故⅛022~⅛×ιOII=ɪ1+(1011-1)×3=3031,故A正确；

4,一二2+(初翌-l)x3=3kl,故B正确；

a2-al=~l,故C不正确；

n∖2+2+(-1]×3]n[1+1+(^-1)×3],..

7j921

瓯=J——?)二」——γ=3∕7,故D正确.

故选ABD.

10.BCD函数F(X)=ɪ+InX的定义域为(0,+8),fYX)=-2+工=01,

当O<x<l时，f'(x)<0,则函数F(X)在(O,D上单调递减,

当x>l时，f'(x)>0,则函数f(x)在(1,+8)上单调递增，

所以当Λ=1时，函数f(x)取得极小值,为F(I)=I,故A错误,C正确；

对于B,函数尸F(x)-i+Inx~x,其定义域为(O,+°o),

X

则y--⅛ι=Ξ⅛l<0,

X1XX2

故函数产/'O)-X在(0,+8)上单调递减，

又当户1时，/(I)-I=O,

所以函数产/1(x)-X有且只有1个零点,故B正确；

对于D,g(x)=xf(x)=l+xlnx,其定义域为(O,+∞),

则g'(x)=lnx+l,令g'(x)=O,得一，

e

当(KXq时,g'(x)<0,则函数g(x)在(0,，)上单调递减，

当联时,g'(x)>O,则函数g(x)在&+8)上单调递增，

所以当"时，函数g(x)取得极小值,也是最小值,为4}),

所以«》<g(粕)，故D正确.

故选BCD.

ILABD因为吟+..•+詈.

所以当上1时,a尸等1,故⅛=4.

4

ψαn-」(n-l)α

当.时,由呜+…玲分,得泻+…n

n-12n

71

月斤以01九a九+1_(九~^l)α?!壬里彳导αrι+ι所:以a?i+i--S+l)2

22>2

n2(n+l)2n'(n+l)nann

所以当〃22时，也∙会•…

ɑl。2W⅛χ∣›∙∙χ吕

i

所以当∕7≥2时一，an=n,又a1=l满足an=∕i,所以a,rrτ,所以aι0=100,A正确;

ɪvznzi,所以“好―-黑冷⅛所以⑸为等差数列,B

/2021

正确;

2x2

bO,=^θ^~-2--⅛-,不是整数,C错误；

22乙Vz乙ɪ乙U乙ɪ

22n2

Zjπ+2cosf-bn∖=bn+l+cos-Z>n=-+l+cos21Ξ12Ξ,

∖4nJ220212021

2

设数列｛生+2cosCbn)｝的前n项和为S,

则S022==一(0+1+2+…+2021)+2022+cosʤeos…+cos上竺1=4

2021202120212021

.0×π,π2021π

0r4λ4λ+icos------+cos------+∙∙∙+cos

202120212021

因为cosα+cos(π-α)=0,

0×ππ

所以cos+cos-ɪ-+-+cos2Rj=O,故S022=4044,D正确.

2021乙U乙JL乙UCΛɪ

故选ABD.

12.BCD对于A,y)在(O,+8)上单调递减,片"(x)=l不单调,故A错误；

X

对于B,F(X)吟则/(X)=A,易知当x∈(1,2)时，F'(x)<0,.∙.函数AX)在(1,2)

exex

上单调递减，

尸x∕'(x)=W,则/=旦F=出/，易知当(1,2)时，/=出尹>0,.•.产"(x)在

exexexex

(1,2)上单调递增，故B正确；

对于C,易知f(x)=g在(%,+8)上单调递减，f'(χ)=l:乎，令fYX)=O,得

XXz

Λ=e,勿与e,又尸Xf(X)=InX在(e,+8)上单调递增，满足题意，故C正确;

对于D,由已知得f{x)=Cosx+kx在(O,])上单调递减，

:.f'(x)=-sinx+2AXWo在X£(0弓)上恒成立，即2〃.号”在(O,])上恒成立，即

min'z/

令力(X)=^ɪɪ,贝!jh,(Λ)=XC°SXSΙNX,令Φ(X)=XCOSʃ-sinx,

XXΔ

贝!)"(X)=COSχ-xsinX-COSΛ=-Λsinx<0,x£(0,1

.,.0(x)在(0弓)上单调递减，.∙.0(x)<O(O)=O,

.∙"'(x)<0,.∙"(x)在(0,9上单调递减，.∙"(x)》碓/

Λ2A≤⅛：.k^~,

ππ

令g(x)=xf(x)=XCOSx+kx,则g(x)在(0,9上单调递增，

.∙.g'(x)=cosX-XSinx+34*2o在X£(0,/)上恒成立，

即3届空W产在(0,习上恒成立，

即37,/XSinx-CosxX,χ∈(θ,E),

'x×max12)

，2

令6(X)=XSin皆*则F^^%cosx+2cosχ^易知当在(。弓)时,U(X)>(),

.,.F(Λ)在(0,5上单调递增，.∙.F(6

.∙.3A≥-,

π3π

综上,k的取值范围是导,3故D正确.

故选BCD.

13.答案-69

解析当启2时,½-⅛=-∣,a3-a2=-∣,a-a3=-∣,.......,an-an-ι=~^,

累力口可得当旭=」3…-Ui+n-D(n7=-3,

33366

所以&『「中=1-中，〃》2,

66

经检验,上式对上1也成立.

.∙.a=l-^Λa2-i-Ξ^=-69.

66

故答案为-69.

14.答案1

解析令/(ʃ)=∕-a2-21nx>0,a>0,则f'(x)=2(%—：),且x>0,

当x∈(0,1)时,F'(x)<0,F(X)单调递减;当χG(1,+8)时,f'(x)>0,F(X)单

调递增,所以F(X)≥∕(1)=l-a2+21na,即1-才+2Ina≥0在a∈(0,+8)上恒成立,

令^(a)=l-a+21na,则g'(a)=2(5-α),

当a∈(0,1)时,g'(a)〉0,g(a)单调递增；当(1,+8)时,g，(&)<0,g(a)单调递

减，

所以g(a)≤g⑴=OnI-，+2ina≤0.

综上，l-,+21na=0=a=l.

故答案为L

15.答案[12,20]

ð

解析

为

所

解得

以

因1

--X

2A=

22

nCCX

令

当≤-

--g-=C

nn+2,XNX2-

时,g'(x)20,函数g(x)在[1,+8)上单调递增,此时｛切是递增数列，不满足题意,

故故L当l<x<√Ξ时,g'(x)<0,当x>√Ξ时,g'(x)>0,即函数g(x)在(1,√Ξ)上单调

递减,在(五,+8)上单调递增，即数列｛4｝先减后增，因为对于任意的A∈N*,都有

CC

,U56

+->+-

i3-4

C<C

6026q成ΔΔ,所以八需’且Z>∣≤Z⅛,即6+7解得12≤c≤20.

--+-

\45

故答案为[12,20].

n1

16.答案Q)^

解析记第n个图形为Pm其三角形边长为⅛,边数为bn,周长为L11,面积为S∙

若第1个图形中的三角形的周长为1,则⅛=∣,bi=3,

则M有6ι=3条边,边长为国三;R有金=4右条边,边长为&=];月有A=4%∣条边,

边长为a3=0aɪ；.......,

zrlΛ

则a尸(])句=6),btrb↑∙4=3×4*.

所以LkanbIkOX3X4'IU.

由题意可知只是在2∣的每条边上生成一个小三角形，即S=SH+8"xfW,n>2,

故S,-S尸，X嫌Xbn-x,Sfr-Sr2-×an-1×b,r2,.......,S-S=，X避X瓦

444

累加可得S-S=W(W∙Ari+α⅛-ι∙3+…+a”b).

4

因为数列｛4｝是以]为公比的等比数列，数列｛4｝是以4为公比的等比数列，故

｛aI∙是以看为公比的等比数列，

若第1个图形中的三角形的面积为1,则S=I,即f/=1,此时a"=则谓=§,又

4327

6尸3,

n1

一aj∙b1∖l-（^）]4√3×[l-（i）

所以成∙b,,-↑+an-1・A2+…+避∙A=---------4-----=------ʒ—

1—95

所以S-SwX1-Q）n^1,所以s，d><（｛fT.

17.解析设等比数列｛4｝的公比为g,q>O,

b=16,b=

Bk解得11-12,

则1或2（舍去）,（3分）

=2c^=~3

/1\Tl-l

所以b1r16×J,则aι=∆ι=2.（4分）

设等差数列｛4｝的公差为a

若选①,存在.由S=4a∣+等於8+6加20,得≠2,所以a=2%（5分）

1111

则S,=号Xg7（∕7+l）,所以（

,7分）

Snn（n+l）nn+l

+++1

则⅛⅛∙∙∙⅛=（-（9分）

A>3,由k为正整数,得k的最小值为4.（10分）

若选②,存在.由W=2的,即3a+等加2但+2办可得≠⅛=2,

所以a72n.（5分）

以下同①.（10分）

右选③,存在.由3a-可得3（4+2中-（a+3中=8,即3打4,解得*所以

5尸2加"3X-=^/7（加2）,（5分）

233

则三二×-J-=2×（1-J_\

Sn2n（n÷2）4∖nn+2∕

Λ+,+

所以⅛⅛∙*⅛4×[（1-9+（鸿）+…+C⅛）]

=-×（l+ɪ---------（ɪ+ɪ）,（7分）

4k2n+1n+2∕84∖n+ln+2√

（）

令Wɪ++>*即必+4〉0,解得H（9分）

又k为正整数,所以〃的最小值为3.（10分）

18.解析（I）F'（x）=l+3因此有F'（l）=l+j=2,（3分）

X1

所以曲线F(X)在点(1,1)处的切线方程为『l=2(xT),即2『『1=0.(5分)

⑵当a=O时，曲线产a*+(2a+3)x+l的方程为片3x+l,

由一32］；二得「二］；：故直线2『广1=0与直线尸3户1只有一个交点，符

合题意；(8分)

当a≠0时，由g=aχ2t(2：+3)%+L得a*+(2a+ι)χ+2=o,

要想曲线Hx)在点(1,1)处的切线与曲线尸a*+(2A3)x+l只有一个公共点，

只需∕=(2a+l)"8a=0,所以吟(11分)

综上所述,a的值为。或点(12分)

19.解析(l)f'(X)=X2-aχ+a~I=(D［-)］,(1分)

当a-l=l,即a=2时，f'(X)=(XTD0,F(X)在R上单调递增，(3分)

当a-l<l,即水2时,令f'(X)>0,得x>∖或Xa-I,令f'(x)<0,得a-l<Ar<l,'.f{x}

在(-8,a-l),(1,+8)上单调递增,在(年1,1)上单调递减，(5分)

综上所述,当a=2时，F(X)在R上单调递增;当水2时,F(X)在(-8,a~ι),(1,+8)

上单调递增,在(a-l,l)上单调递减.(6分)

(2)由已知得f,(%)=∕-aʃ+a-l≤0在区间［1,5］上恒成立，

.∙.a(xT)≥∕-l在区间［1,5］上恒成立，(8分)

当A=I时，a∈R;

当kxW5时，a2x+l在区间(1,5］上恒成立.(10分)

而尸x+1在x∈(1,5］上单调递增，.∙.Λ=5时，‰x=6,则a≥6.

综上，a≥6.(12分)

24X-2XL2*Y,*

------，1≤%≤9,%∈NΚΤ,

5x

√-3(4分)

{∣x-^,10≤x≤20,x∈N*.

⑵令尸F(X).由⑴知当1≤^≤9,x∈N*时，f{x)=24ζ~2χ2›

1ι5-x

则f'(x)=2-77∖,(5分)

令f'(x)=0,得产15-3班或产15+36(舍去)，

.∙.当1Wx<15-3√^时，广’(X)>0,函数Mx)单调递增；

当15-3√^<x≤9时，F'(x)<0,函数F(x)单调递减，

.,・当产15-3西时，F(X)取得极大值,也是最大值，(7分)

又x∈N*,f(8)=^,F(9)=9,.∙.此时F(X)的最大值为当.(8分)

当IoWXW20,x∈N*时，/'(x)=j『总，

则F'(X)=UMW0,.•・F(X)单调递减，(9分)

60

当产10时，f{x)取得最大值,为哼.(10分)

9

•••警〉号，.•.当该蔬菜中转厂的日进货量为10吨时，日利润最大,最大日利润是丹

979

千元.(12分)

21.解析（1）设等差数列｛4｝的公差为d

贝!15尸〃句+n（n7OEg4+（3—^∖π=ι∕+an+b,

22\2/

l~=1d=

22,

所以《3_≤-Q所以α=2,（2分）

ɔ—LI

21b=0,

所以数列｛2｝的通项公式为4=3+2（77-1）=277+1.（3分）

+

因为TF：+-bn,所以当〃与2时，Tn-∖~~^-bn-∖,

所以bhTlrTn-i=-^-b,l--^-bn-ι,

所以∖⅛=W⅛r,即｝=*.(5分)

33hn-1n-1

所以b=-×-×-×-