2022年全国中考数学真题11：三角形（附答案解析）

2022年全国中考数学真题分类汇编专题11：三角形

一.选择题（共21小题）

1

1.（2022•大连）如图，在aABC中，∕ACB=90°.分别以点A和点C为圆心，大于-AC

2

的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线直线MN与A8相交于点£>,连

接C。，若48=3,则CO的长是（）

A

N

A.6B.3C.1.5D.1

2.（2022•青海）如图，在RtZXABC中，NACB=90°,。是48的中点，延长CB至点E,

使BE=BC,连接DE,F为QE中点，连接BF.若AC=16,BC=12,则BF的长为（）

A.5B.4C.6D.8

3.（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA=2,OB=I,OC=√3,则

△A。B与480C的面积之和为（）

B

A

4.（2022•常州）如图，在AABC中，D、E分别是AB、AC的中点.若DE=2,则BC的

长是（）

A

A.3B.4C.5D.6

5.（2022∙遵义）如图I是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两

个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=8C=1,Z

AO6=30°,则点B到OC的距离为（）

D.2

6.（2022∙大庆）下列说法不正确的是（）

A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形

B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形

C.有两个角互余的三角形是直角三角形

D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形

7.（2022•长沙）如图，在4A8C中，按以下步骤作图：

①分别以点A、8为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、。两点;

②作直线PQ交AB于点。；

③以点。为圆心，AZ）长为半径画弧交尸。于点连接AM、BM.

若AB=2√Σ,则AM的长为（）

C.√3D.√2

8.（2022•海南）如图，直线小〃〃，4ABC是等边三角形，顶点8在直线“上，直线相交

A8于点E,交AC于点F,若/1=140°,则N2的度数是（）

A.80°B.100°C.120oD.140°

9.（2022•梧州）如图，在aABC中，AB=AC,A。是AABC的角平分线，过点。分别作

DELAB,DFLAC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是（）

C.AD=BCD.BD=CD

10.（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（）

A.三角形B.平行四边形C.长方形D.正方形

11.（2022•玉林）请你量一量如图443C中BC边上的高的长度,下列最接近的是（）

A

12.（2022∙贺州）如图，在RtaA8C中，ZC=90o，/8=56°,则NA的度数为（）

B.44°C.124oD.134°

13.（2022•广东）如图，在AABC中，BC=4,点D,E分别为AB,AC的中点，U1∣JDE=

()

14.（2022∙永州）下列多边形具有稳定性的是（）

15.(2022•桂林)如图，在ZXABC中,Zfi=22.5°NC=45°,若Ae=2,则aABC的

面积是（)

A

C.2√2D.2+√2

16.（2022•永州）如图，在RtZ∖ABC中，∕A8C=90°,∕C=60°,点。为边4C的中点,

BD=2,则BC的长为（）

C.2D.4

17.（2022•荆州）如图,直线AB=AC,NBAC=40°,则N1+N2的度数是（）

A.60°B.70oC.80oD.90°

18∙（2022∙十堰）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的

参照线，就能使砌的砖在一条直线上.这样做应用的数学知识是（）

A.两点之间，线段最短

B.两点确定一条直线

C.垂线段最短

D.三角形两边之和大于第三边

19.（2022•宜昌）如图，在AABC中，分别以点8和点C为圆心，大于工BC长为半径画弧，

2

两弧相交于点M,N.作直线MM交AC于点。，交BC于点、E,连接8Zλ若AB=7,

AC=12,BC=G,则AABO的周长为（）

A-

M

D

BC

A.25B.22C.19D.18

20.（2022•岳阳）如图，已知/〃A8,ɑ）JJ于点£>,若NC=40°,则Nl的度数是（）

A.30oB.400C.50oD.60o

21.（2022•台湾）如图，Z∖ABC的重心为G,BC的中点为£>,今以G为圆心，GD长为半

径画一圆，且作A点到圆G的两切线段AE、AF,其中E、F均为切点.根据图中标示的

角与角度，求Nl与N2的度数和为多少？（）

二.填空题（共12小题）

22.（2022•青海）如图，在RtZ∖ABC中，NABC=90°,ED是AC的垂直平分线，交AC

于点。，交BC于点£NBAE=I0°,则NC的度数是

Λ

23.（2022•牡丹江）如图，CA=CD,ZACD=ZBCE,请添加一个条件,使AABC

^∆DEC.

24.（2022•通辽）在RtZXABC中，NC=90°,有一个锐角为60°,AB=6,若点P在直

线AB上（不与点A,B重合）,且NPC8=30°,则4P的长为.

25.（2022•深圳）已知AABC是直角三角形，∕B=90°,A2=3,BC=5,AE=2√5,连

接CE,以CE为底作直角三角形CDE,且CD=DE.尸是AE边上的一点，连接BD和

BF,且∕FBQ=45°,则A尸长为.

26.（2022•贵阳）如图，在四边形ABC。中，对角线AC,80相交于点E,AC=BC=Gcm,

∕AC8=/AoB=90°.若BE=IAD,则AABE的面积是cmz,NAEB=

度.

27.（2022•广安）若（α-3）2+√F≡5=0,则以。、匕为边长的等腰三角形的周长为.

28.（2022•北京）如图，在AABC中，A。平分∕BAC,DELAB.若AC=2,DE=I,则S

∆ACD=

A

29.（2022∙常州）如图，在AABC中，E是中线AD的中点.若AAEC的面积是1,则4ABD

的面积是

30.（2022•常州）如图，将一个边长为20c5的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动

成四边形ABCr>,对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂.若/BAO=

60°,则橡皮筋4C断裂（填“会”或“不会”，参考数据：√3≈1.732）.

31.（2022•常州）如图，在RtZsABC中,ZC=90o,3C=9,BC=12.在Rt△£>£：尸中,

NF=90°,DF=3,EF=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,RtADEF从起始

位置（点。与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边QE始终在线段

ABl.,则RtAABC的外部被染色的区域面积是.

32∙（2022∙内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽

为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图②

由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD,正方

形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4,则51+52+53

33.（2022•哈尔滨）在AABC中，4。为边BC上的高，乙4BC=30°,NCA0=20°,则

NBAC是度.

Ξ.解答题（共9小题）

34.（2022∙青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底

角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图

形.

（1）问题发现：

如图1,若AABC和AAOE是顶角相等的等腰三角形，BC,OE分别是底边.求证：BD

=CE;

（2）解决问题：

如图2,若CB和△£><:£均为等腰直角三角形，N4C8=Nz）CE=90°,点A,D,E

在同一条直线上，CM为aQCE中。E边上的高，连接BE,请判断NAEB的度数及线段

CM,AE,BE之间的数量关系并说明理由.

AB

B

图1

图2

35.（2022•牡丹江）如图，A1ABC和△/）£：£点E,F在直线BC上，AB=DF,ZA=ZD,

NB=NF.如图①，易证：BC+BE—BF.请解答下列问题：

（1）如图②，如图③，请猜想3C,BE,BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；

（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；

o

（3）若AB=6,CE=2,ZF≈60,SΔABC=12√3,则BC=,BF=

36.（2022•广州）如图，点。，E在aABC的边BC上，ZB=ZC,BD=CE,求证：XABD

丝Z∖ACE.

37.（2022•柳州）如图，点4,D,C,尸在同一条直线上，AB=DE,BC=EF.有下列三

个条件：®AC=DF,②NABC=NDEF,③NACB=NDFE.

（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得aABC畛凡

你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定aABC

0△DE户的依据是（填aSSSn或“SAS”或aASA,'或"AAS”）；

（2）利用（1）的结论AABCgzXOEF.求证：AB//DE.

38.（2022•盘锦）在aABC中，AC=BC,点。在线段AB上，连接C。并延长至点E,使

DE=CD,过点E作EELAB,交直线48于点尺

（1）如图1,若NACB=I20°,请用等式表示AC与EF的数量关系：

（2）如图2.若∕AC8=90°,完成以下问题：

①当点。，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC,AD,OF之间的数量关系，并说

明理由;

出发，沿线段AB向终点8运动.过点。作AB的垂线，与AABC的直角边AC（或BC）

相交于点E.设线段AO的长为α（cm）,线段DE的长为刀（cm）.

（1）为了探究变量。与/?之间的关系，对点。在运动过程中不同时刻AD,DE的长度

进行测量，得出以下几组数据：

变量a(Cm)00.511.522.533.54

变量h(Cm)00.511.521.510.50

在平面直角坐标系中，以变量α的值为横坐标，变量〃的值为纵坐标，描点如图2-1；

以变量〃的值为横坐标，变量。的值为纵坐标，描点如图2-2.

图1图2-1图2-2

根据探究的结果，解答下列问题：

①当α=1.5时，A=；当〃=1时，a=.

②将图2-1,图2-2中描出的点顺次连接起来.

③下列说法正确的是.（填“4"或"B"）

A.变量〃是以。为自变量的函数

B.变量。是以人为自变量的函数

（2）如图3,记线段QE与aABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面

积（CTH2）为s.

①分别求出当0WαW2和2<α≤4时，s关于α的函数表达式；

②当S=々时，求。的值.

图3

40.（2022•贵港）已知：点C,。均在直线/的上方，AC与8。都是直线/的垂线段，且

8。在AC的右侧，BD=2AC,AO与BC相交于点。.

AO

（1）如图1,若连接C。，则ABCO的形状为，—的值为；

-------AD---------

（2）若将BO沿直线/平移，并以AZ）为一边在直线/的上方作等边AAOE.

①如图2,当AE与AC重合时，连接OE,若AC=|,求OE的长；

②如图3,当∕AC8=60°时，连接EC并延长交直线/于点凡连接。尸.求证：OFJ_

AB.

41.（2022•潍坊）【情境再现】

甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足

。处.将甲绕点。顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件GeogMm按图②作

出示意图，并连接AG,BH,如图③所示，AB交Ho于E,AC交OG于R通过证明a

OBE注AOAF,可得OE=O厂.

请你证明：AG=BH.

【迁移应用】

延长GA分别交H。，HB所在直线于点P,D,如图④，猜想并证明。G与的位置关

系.

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接

HB,AG,如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与8”的数量关系.

图③

42.(2022•青岛)【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在AABC和aAEC中，AD,4'。分别是BC和Be边上的高线，且AO

=ATA则4ABC和AAHC是等高三角形.

【性质探究】

如图①，用SAABC,SMB■。分别表示2∖A8C和B'C的面积，

,

贝IJSAABC=48C∙AO,SΔABC=∣βC'∙A'D',

,JAD=A'D'

ʌSMBC：SMBC=BC：B,C.

【性质应用】

(1)如图②,。是AABC的边BC上的一点.若BO=3,OC=4,则SAABD：SMDC=

(2)如图③，在AABC中，D,E分别是BC和AB边上的点.若BE：AB=1：2,CD：

(3)如图③，在aABC中，L），E分别是BC和AB边上的点.若BE：AB=Lm,CD：

BC=\：〃，SMBC=a,贝IJS△2fDE—_________∙

AA「二

二」

f

BDcB~^ΓcBD-------cBDC

（图②）（图③）

(图①)

2022年全国中考数学真题分类汇编专题11：三角形

参考答案与试题解析

选择题（共21小题）

1

1.（2022•大连）如图，在aABC中，NACB=90°.分别以点A和点C为圆心，大于-AC

的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线直线MN与AB相交于点O,连

【解答】解：由已知可得，

MN是线段AC的垂直平分线，

设AC与MN的交点为E,

VZACB=90o,MN垂直平分4C,

二NAEQ=NACB=90°,AE=CE,

.∖ED∕∕CB,

：.∕∖AED^∕∖ACB,

.AEAD

""AC—AB'

.1AD

••—―,

2AB

,A。=∣AB,

.∙.点。为AB的中点，

∙.,AB=3,NACB=90°,

1

,CQ=为B=1.5,

故选：C.

M

N

2.（2022•青海）如图，在RtZVlBC中，ZACB=90°,。是48的中点，延长CB至点E,

使BE=BC,连接DE,F为DE中点,连接BF.若AC=16,BC=I2,则BF的长为（）

E

A.5B.4C.6D.8

【解答】解：在RtZ∖ABC中，

VZACB=90°,AC=I6,BC=12,

.∖AB=√∕4C2+BC2=20.

；8为中线，

.".CD=^AB=∖0.

；产为力E中点，BE=BC,即点B是EC的中点，

二8厂是ACDE的中位线，

则BF=Q=5.

故选：A.

3.（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA=2,OB=∖,OC=√3,则

△408与480C的面积之和为（）

【解答】解：将AAOB绕点B顺时针旋转60°得ASB,连接0£）,

ΛOB=BD,ZOBD=GOQ,CD=0A=2,

：・/XBOD是等边三角形，

JOD=OB=L

VOD2÷OC2=12+（√3）2=4,CD2=22=4,

：•ob2+oc2=cb1,

：.ZDOC=90°,

2

Λ∕∖AOB与ABOC的面积之和为SΔBOC+SΔBCD=SΛBOD+SΛCOD=^∙×l+^×1×√3=

3√3

故选：C.

4.（2022•常州）如图，在AABC中，D、E分别是AB、AC的中点.若DE=2,则BC的

长是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：E分别是AB、AC的中点，

二。E是AABC的中位线，

：.BC=IDE,

"JDE=2,

.∙.BC=4,

故选：B.

5.（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（/CME）会徽，在其主体图案中选择两

个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1,Z

405=30°,则点8到OC的距离为（）

D.2

VZAOB=30o,ZA=90o,

OB=2AB=2,

在RtZXOBC中，由勾股定理得，

OC=yjOB2^BC2=√22+I2=√5,

'：ZCBO=ZBHC=90Q,

：・/CBH=/BOC,

：.cosZBOC=cosZCBH,

.OBBH

••~~~~~~~9

OCBC

2_BH

λ√^=τ,

._2√5

••1D5rUi-~~ʒ-,

故选：B.

6.（2022•大庆）下列说法不正确的是（）

A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形

B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形

C.有两个角互余的三角形是直角三角形

D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形

【解答】解：∙.∙有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，宜角或钝角，

有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形；故A不正确,

符合题意；

有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形，故B正确，不符合题意；

有两个角互余的三角形是直角三角形，故C正确，不符合题意；

底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故。正确，不符合题意；

故选：A.

7.（2022•长沙）如图，在44BC中，按以下步骤作图：

1

①分别以点A、8为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于尸、。两点；

②作直线PQ交AB于点。；

③以点。为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点连接AM、BM.

A.4B.2C.√3D.√2

【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，

J.AM=BM,

：以点。为圆心，AQ长为半径画弧交PQ于点M,

.".DA=DM=DB,

：.∕D4M=ZDMA,NDBM=ZDMB,

VZDAM+ZDMA+ZDBM+ZDMB=↑S0a,

2NDMA+2NOMB=I80°,

：.ZDMA+ZDMB=WQ,即NAMB=90°,

：./\AMB是等腰直角三角形，

.,.AM=挈但ɪ×2√2=2,

故选：B.

8.（2022∙海南）如图，直线相〃〃，是等边三角形，顶点B在直线“上，直线加交

A3于点E,交AC于点F,若/1=140°,则/2的度数是（）

A.80oB.IOOoC.120oD.140°

【解答】解：∙.∙Z∖ABC是等边三角形，

ΛZA=60°.

对于AAEF,VZl=ZA+ZAEF=140°，

：.ZAEF=MOo-60°=80°,

ΛZDEB=ZAEF=80o,

'.'m//n,

：.Z2+ZDEB=180o,

.∙.N2=180°-80o=IOOo,

故选：B.

9.（2022•梧州）如图，在AABC中，AB=AC,AQ是aABC的角平分线，过点。分别作

DELAB,DFlAC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是（）

A

C.AD=BCD.BD=CD

【解答】解：：AB=AC,Ao是445C的角平分线,

.∖ADA-BC,BD=CD,NB=NC,

：.ZADC=90o,

在ABOE和ACO/中，

NB=ZC

LBED=∆CFD,

BD=CD

：.ABDEmACDF(A45),

：.DE=DF,

故选：C.

10.（2022∙广东）下列图形中有稳定性的是（）

A.三角形B.平行四边形C.长方形D.正方形

【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，

故选：A.

11.（2022•玉林）请你量一量如图AABC中BC边上的高的长度,下列最接近的是（）

D.Icm

【解答】解：过点A作AOJ_8C于。，

用刻度尺测量A力的长度，更接近2cm,

故选：D.

A

12.（2022∙贺州）如图，⅛Rt∆ABCφ,ZC=90o,/B=56°，则NA的度数为（）

A.34oB.44oC.124oD.134°

【解答】解：在RtZ∖A8C中，NC=90°,

则NB+NA=90°,

VZB=56o,

ΛZA=90o-56°=34°,

故选：A.

13.（2022•广东）如图，在AABC中，BC=A9点O,E分别为A8,AC的中点，则。E=

11

A・-B∙-C.ID.2

42

【解答】解：：点。，E分别为AB,AC的中点，BC=4,

二OE是AABC的中位线，

11

.".DE=^BC=×4=2,

故选：D.

14.（2022•永州）下列多边形具有稳定性的是（）

A.B.

【解答】解：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性,

故选：D.

15.（2022•桂林）如图，在AABC中，NB=22.5°，ZC=45o，若AC=2,∣）1∣J∆ABC0<J

面积是（）

【解答】解：如图，过点4作AoLAC于A,交BC于£）,过点A作A从LBC于E,

•••△AOC是等腰直角三角形,

：.AD=AC=2,NADC=45°,CD=√2AC=2√2,

VZADC=ZB+ZBAD1NB=22.5°,

：.ZDAB=22.5°,

：.ZB=ZDABf

：.AD=BD=I9

AD=AC,AELCD,

JDE=CE,

-1

.ME=5CQ=√2,

Λ∕∖ABCj∙BC∙AE=ɪ×√2×（2+2√2）=2+√2.

故选：D.

16.（2022∙永州）如图，在RtZXABC中，ZABC=90o,ZC=60o,点。为边AC的中点,

C.2D.4

【解答】解：在RtZMBC中，NABC=90°,点。为边AC的中点，BD=2,

.∙.AC=28O=4,

VZC=60o,

ΛZA=30°,

1

/.BC=^AC=2f

故选：C.

17.（2022•荆州）如图,直线“〃/2,AB=AC,ZBΛC=40o,则N1+N2的度数是（）

C.80oD.90°

V/1/7/2,

.∖l∖∕∕l2∕∕CD9

・•・Nl=NBCD,N2=NACD,

・・・Zl+Z2=ZBCD+ZACD=ZACB,

VAB=ACf

.,.ZACB=ZABC,

VZBAC=400,

ΛZACB=ɪ（180°-NBAC）=70。，

二/1+/2=70°.

故选：B.

18.（2022•十堰）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的

参照线，就能使砌的砖在一条直线上.这样做应用的数学知识是（）

A.两点之间，线段最短

B.两点确定一条直线

C.垂线段最短

D.三角形两边之和大于第三边

【解答】解：这样做应用的数学知识是两点确定一条直线,

故选：B.

19.（2022∙宜昌）如图，在BC中，分别以点8和点C为圆心，大于C长为半径画弧，

两弧相交于点例，N.作直线交AC于点。，交BC于点、E,连接8。.若AB=7,

AC=12,BC=6,则AABO的周长为（）

C.19D.18

【解答】解：由题意可得,

MN垂直平分BC,

J.DB=DC,

∙.∙∕∖ABD的周长是AB+BD+AD,

：.AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC,

,∕AB=7,AC=I2,

.".AB+AC=∖9,

...△AB。的周长是19,

故选：C.

20.（2022•岳阳）如图，已知/〃A8,CDL于点。，若∕C=40°,则/1的度数是（）

【解答】解：在Rt△（7£）£：中，ZCDE=90o,/OCE=40°,

则NeED=90°-40°=50°,

∖'l∕∕AB,

ΛZl=ZCED=SOo,

21.（2022∙台湾）如图，ZiABC的重心为G,8C的中点为。，今以G为圆心，Gz）长为半

径画一圆，且作A点到圆G的两切线段AE、AF,其中从产均为切点.根据图中标示的

角与角度，求Nl与N2的度数和为多少？（）

A

【解答】解：连接A。、EG、FG,如图:

ΛDG=∣AG,

∙.∙以G为圆心，G。长为半径画一圆，

：.EG=DG=FG=%G,

'：AE.AF是OG的切线，

ΛΛAEG=ZAFG=W,

ZEAG=ZMG=30o,

ΛZEAF=GOa,

VZB=40o,NC=45°,

ΛZBAC=95o,

N1+/2=NBAC-NE4F=95°-60°=35°,

故选：B.

二.填空题（共12小题）

22.（2022•青海）如图，在RtZiABC中，ZΛBC=90o,EO是AC的垂直平分线，交AC

于点。，交BC于点E,ZBAE=IOo,则/C的度数是40°.

Λ

【解答】解：。是AC的垂直平分线，

J.AE=EC,

，NEAC=NC,

VZAfiC=90°,NBAE=I0°,

ΛZEAC+ZC=180o-NBAE-NABC=80°,

.∙.NE4C=NC=40°,

故答案为：40°.

23.（2022•牡丹江）如图，CA=CD,ZACD=ZBCE,请添加一个条件CB=CE（答案

不唯一），使44BCgZXDfiC

【解答】解：∙.∙∕ACD=∕BCE,

.∙.ZACD+ZACE=NBCE+NACE,

.∖ZDCE=ZACB,

'JCA=CD,CB=CE,

,△ABCg△DEC（SAS）,

故答案为：CB=CE（答案不唯一）.

24.（2022•通辽）在RtZ∖ABC中，ZC=90o,有一个锐角为60°,AB=6,若点P在直

9

线AB上（不与点A,3重合），且NPCB=30°,则AP的长为9或3.

~2--------------

【解答】解：当∕A=30°时,

P

B

VZC=90o,NA=30。,

.∙.∕CB4=60°,BC=^AB=^×6=3,

由勾股定理得，AC=3回

①点。在线段AB上，

VZPCB=30o,ZCBA=60o

.∙.NCP8=90°,

：.ZCPA=90°,

在RtZXACP中，NA=30°，

：.PC=∣AC=ɪ×3√3=∣√3.

，在RtPC中，由勾股定理得AP=/

②点P在线段A5的延长线上，

VZPCB=30o,

ΛZACP=90o+30°=120°,

VZA=30°,

ΛZC∕¾=30o.

VZPCB=30o,

：.ΛPCB=ACPA,

.∙.BP=BC=3,

.∖AP=AB+BP=6+3=9.

当NA3C=30°时,

ΛZA=60o,AC=∣Λβ=∣×6=3,

由勾股定理得，SC=3√3,

①点P在线段AB上，

'.'ZPCB=SOo,

ΛZACP=60o,

ʌ∆ACP是等边三角形

.".AP=AC-3.

②点P在线段48的延长线上，

VZPCB=30o,NABC=30°,

J.CP//AP

这与CP与AP交于点P矛盾，舍去.

9

综上所得，AP的长为一,9或3.

2

9

故答案为：--9或3.

25.（2022•深圳）已知AABC是直角三角形，ZB=90o,AB=3,BC=5,AE=2√5,连

接CE,以CE为底作直角三角形C£»E,且CO=OE.尸是AE边上的一点，连接B。和

3√5

BF,且/∕¾D=45°,则AF长为一.

-4-

【解答】解：将线段8力绕点D顺时针旋转90°,得到线段，力，连接BH,延长”E交

BC于G,

H

是等腰直角三角形，

ΛZHBD=45°,

•；NFBD=45°,

工点、B、F、”共线，

又∙∙∙Z∖EDC是等腰直角三角形，

：.HD=BD,NEDH=NCDB,ED=CDf

：.ΛEDH^ACDB(SAS),

：.EH=CB=5,ZDHE=ZCBDf

：.NBGH=NBDH=90°,

：.HE//AB,

：.AABFsdEHF,

.ABAFAF

∙∙EH-EF-AE-AFi

VAE=2√5,

■1_aF

一5一2√5-ΛF,

・“3店

・・4/=丁

故答案为：ɜvʒ.

4

26.(2022•贵阳)如图，在四边形ABC。中，对角线AC,3。相交于点E,AC=BC=6°〃，

ZACB^ZADB=90°.若BE=2AD,则448E的面积是(36-18√2)cm1,NAEB

=112.5度.

C

D

【解答】解：过E作LAB于H,如图:

设A。=XCnbCE=zycιn,则BE=2无cm,AE=(6-y)an,

∖∙NAOB=NAC3=90°，NAED=NCEB,

：.XNEDSXBEC,

BCBE62x

—=—,BP-=--,

ADAEX6-y

.∙.∕=18-3y①，

⅛Rt∆BCEΦ,BC2+CE2=BE2,

Λ62+γ2=(2x)2②,

由①②得y=6√Σ-6（负值己舍去）,

：.CE=(6√2-6)cm,AE=(12-6√2)cm,

2

∙∖SΔABE=S^ABC-S^BCE=I×6×6-∣×6×(6√2-6)=(36-18√2)czn,

∖ΛAC=BC=6,NACB=90°，

.∖ZCAB=45o,AB=6y[ian,

•••△AE”是等腰直角三角形,

ΛZΛEH=45^AH=^f=^2=(6√2-6)cm,

：.ZCEH=ISOo-∕AEH=135°,BH=AB-AH=6立一(6√2-6)=6cm,

.∙.BH=6cm=BC,

又BE=BE,NBCE=90°=ZBHE9

：.RtΛBCE^Rt∕∖BHE(HL),

ΛZBEH=ZBEC=∣ZCEH=67.5O,

ΛZAEB=ZAEH+ZBEH=45Q+67.5o=112.5°，

故答案为：（36-18√Σ）,112.5.

27.（2022•广安）若（4-3）2+√F^5=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为11

或13.

【解答】解：V（α-3）2+√F^5=O,（α-3）2>0,√F^5≥0,

:∙a-3=0,b-5=0,

・・〃=3,b=5,

设三角形的第三边为。

当az=c=3时，三角形的周长=α+b+c=3+5+3=ll,

当b=c=5时，三角形的周长=3+5+5=13,

故答案为：11或13.

28.（2022•北京）如图，在aABC中，AQ平分NB4C,DELAB.若AC=2,DE=I,则S

∆ACD=]

【解答】解：过。点作Z）HLAC于〃，如图,

TAO平分NRAeDELLAB,DHlAC,

.∖DE=DH=∖f

1

∙*∙S&ACD=2x2义1=1.

故答案为：1.

29.（2022•常州）如图，在AABC中，E是中线AO的中点.若△4比的面积是1,则4ABD

的面积是2

A

【解答】解：∙.∙E是AO的中点,

,CE是AACZ）的中线，

Λ5ΔΛCD=2SΔAEC,

•••△4EC的面积是1,

•∙S∕∖ACD-2,S∕∖AEC-2»

:A。是AABC的中线,

•∙S&ABD=SMCD=2.

故答案为：2.

30.（2022•常州）如图，将一个边长为20c,w的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动

成四边形ABCD对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36c'机时才会断裂.若/BAD=

60°,则橡皮筋AC不会断裂（填“会”或“不会”，参考数据：√3≈1.732）.

【解答】解：设AC与BO相交于点O,

：四边形ABCO是菱形，

1

：.ACLBD,AC=2A0,OD=WBD,AO=4B=20cm,

VZBAD=60°,

是等边三角形，

：.BD=AB=IGcm,

：.DO=^BD=W(cm),

在RtΔADO中，AO=∖∣AD2-DO2=√202-IO2=10√3(cm),

ΛAC=2AO=20√3≈34.64(cm),

:34.64。加V36c利，

.∙∙橡皮筋AC不会断裂,

故答案为：不会.

31.（2022•常州）如图，在RtZSBC中,NC=90°,AC=9,BC=12.在RtZ∖DEF中，

NF=90°,DF=3,EF=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,RtADEF从起始

位置（点。与点8重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边QE始终在线段

AB上，则RtAABC的外部被染色的区域面积是21.

【解答】解：如图，连接C尸交AB于点连接C尸交A8于点M过点尸作尸GLAB

于点H,过点F'作尸'HLAB于点H,连接FF',则四边形FGHF'是矩形，RtAABC

的外部被染色的区域是梯形MFF'N.

在Rt中，OF=3,EF=4,

：.DE=√DF2+EF2=√32+42=5,

在RtZiABC中，AC=9,BC=12,

：.AB=√½C2+BC2=√92+122=15,

11

`:-DF-EF=^∙DE∙GF,

22

♦”12

-FG=可，

BG=∖∣BF2—FG2=J32—（半¥=2，

.*.GE=BE-BG=ɪ,AH=GE=ɪ,

19

：.FH=FG=昔,

.∙.FF'=GH=AB-BG-AH=15-5=10,

∖uBF∕/AC,