ch3-2-微积分基本公式

第3章一元函数积分学及其应用√第1节定积分的概念，存在条件与性质第2节微积分根本公式与根本定理第3节两种根本积分法第4节定积分的应用第5节反常积分第6节几类简单的微分方程2008年12月15日1第2节微积分根本公式与根本定理2.1微积分根本公式2.2微积分根本定理2.3不定积分√2008年12月15日22.1微积分根本公式1引例

在变速直线运动中,位移函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内产生的位移为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.2008年12月15日32、微积分根本公式(Newton–Leibniz公式)(牛顿-莱布尼兹公式)证明将区间[a,b]任意分成n个子区间微积分根本公式2008年12月15日4记作注意:微积分根本公式说明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.2008年12月15日5例1计算解例2

计算正弦曲线的面积.解2008年12月15日6例3

设,求.解2008年12月15日7例4

求

解由图形可知2008年12月15日8例5解2008年12月15日92.2微积分根本定理本节讨论什么样的函数一定存在原函数.为此先介绍变上限的定积分概念.变上限的定积分2微积分根本定理2008年12月15日10１变上限的定积分设f(x)∈R[a,b]，那么对任意f(x)∈R

[a,x]，即－称为变上限的定积分注意2008年12月15日11证2微积分根本定理2008年12月15日12由积分中值定理得2008年12月15日13那么变上限积分1)假设说明2)定理2.2证明了连续函数的原函数是存在的.2008年12月15日14补充证2008年12月15日15例1.

求解:原式例2.确定常数a,b,c的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得2008年12月15日16例3.

证明在内为单调递增函数.证:只要证2008年12月15日172.3不定积分微分法:积分法:互逆运算1原函数与不定积分的概念2根本积分公式3不定积分的性质2008年12月15日181原函数与不定积分的概念定义1假设在区间I(有限或无穷)上定义的两个函数F(x)及f(x)满足那么称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.例2008年12月15日19问题1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.假设原函数存在,是否唯一?3.假设不唯一有多少个?它们之间有什么联系？原函数存在定理对于第1个问题,有(后面证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数.2008年12月15日20问题

1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.假设原函数存在,是否唯一?假设不唯一有多少个?3.它们之间有什么联系？例（为任意常数）对于第2个问题,假设原函数存在,原函数有无穷多!2008年12月15日21问题

1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.假设原函数存在,是否唯一?假设不唯一有多少个?3.它们之间有什么联系？推论4.2由第2章第4节的f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数!2008年12月15日22积分常数积分号被积函数被积表达式积分变量通常简写成(C为任意常数)2008年12月15日23注意2.求不定积分的运算与微分运算是互逆的.由不定积分的定义，可知2008年12月15日24例1求解解例2求2008年12月15日25不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.2008年12月15日26求f(x)的过(x0,y0)的积分曲线:定义:用于确定常数C的条件称为初始条件,带有初始条件的求原函数问题,称为初值问题:2008年12月15日27例3求的初值问题解故初值问题的解为:几何上,在所有切线斜率等于横坐标的两倍的积分曲线中，通过点〔1，2〕的积分曲线为2008年12月15日282根本积分公式利用逆向思维2008年12月15日292008年12月15日30例4求积分解根据积分公式〔2〕2008年12月15日313不定积分的性质假设那么2008年12月15日32例5求积分解2008年12月15日33例6

求积分解2008年12月15日34例7求积分解

原式=EX1

求积分2008年12月15日35例8求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用根本积分表.2008年12月15日36内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•根本积分表(见P186)2.直接积分法:利用恒等变形,及根本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质