几何图形模型胡不归问题训练-中考数学复习题练习（教师版）

专题39几何图形模型胡不归问题专项训练（解析版）

一.选择题

I.（2022•南山区模拟）如图，在RtZVlBC中，ZACB=90o,ZA=30o,则AB=2BC.请在这一结论的

基础上继续思考：若AC=2,点。是AB的中点，尸为边CD上一动点，则AP+4C尸的最小值为（）

A.1B.√2C.√3D.2

思路引领：过C作CE_L4B于E,过点P作P凡LEC于F,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半和等边三角形的性质得出PF=WC尸，再由AP+*CP=AP+PF2AE,结合勾股定理求出AE即可.

解：过C作CE±AB于E,过点P作PF_LEC于F,

∙.∙NAC8=90°,点。是A8的中点，

1

：.CD=^AB=ADf

VZCAB=30o,

ΛZB=60o,

•••△8CD为正三角形，

/.ZDCE=30°,

1

LPF=於「,

：.AP+^CP=AP+PF^AE,

∖∙ZCAB=30o,AC=2,

：.CE=%C=1,

：.AE=>JAC2-CE2=√3,

：.AP+^CP的最小值为√5.

故选：C.

总结提升：本题主要考查了含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半，解决此题的关键是作出垂线CE和PF,将=CP转化为PE

2

2.（2022•平南县二模）如图，在等边Be中,AB=6,点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则CO+^BD

的最小值是（）

思路引领：如图，过点C作CF,AB于点F,过点。作AB于点4,则CO+。4》CF,先解直角三

角形可求出CF,再由直角三角形的性质得。H=进而可得C£）+3BD=CD+DH,从而可得CD+*BD

的最小值.

解：如图，过点C作CFLAB于点F,过点。作AB于点“，则CO+O"2CF,

D

B

「△ABC是等边三角形，A8=6,

.∙.∕A=NABC=60°,AF=BF=3,

：.CF=AFtan60o=3√3,

；点E是AC的中点，

：.ZDBH=60°÷2=30o,

1

在RtZXBDH中，DH=^BD,

.∖CD+^BD=CD+DH≥3√3,

.•.CO+aBD的最小值为：3√3.

故答案为：B.

总结提升：本题主要考查解直角三角形，等边三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是将CD+D

转化成CD+DH.

3.（2022春∙覃塘区期中）如图，在菱形A8C。中，NABC=60°,E是边BC的中点，P是对角线8。上

的一个动点，连接AE,AP,若AP+48P的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（）

A.ABB.AEC.BDD.BE

1Il

思路引领：由菱形的性质可得/08C=WNABC=30°,可得PF=58P,off#AP+^BP=AP+PF,由垂

线段最短，可求解.

解：如图，过点P作PFL8C于点凡

：四边形A8C。是菱形，

ΛZDfiC=∣ZABC=30o,S.PFLBC,

J.PF=^BP,

：.AP+^BP=AP+MP,

.∙.当点4点P,点/三点共线且垂直BC时，AP+P/有最小值,

：.AP+最小值为AE

故选：B.

总结提升：本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，最短路径问题，熟练运用菱形的性质是本题的

关键.

4.（2022春•新罗区校级月考）如图，Z∖ABC中，AB=AC=10,BEJ_AC于点E,BE=IAE,。是线段BE

上的一个动点，则C。+电B。的最小值是（）

A

BC

A.2√5B.4√5C.5√5D.10

思路引领：过点。作。HLA8,垂足为“，过点C作垂足为M,在RtaABE中，利用勾股定

理求出AE,3E的长，再证明。H=络80,从而可得CD+第BO=CZHZ）”,然后再由垂线段最短即可解

答.

解：过点。作垂足为从过点C作CMJ_A8,垂足为M,

A

BC

VBE±AC,

ΛZAEB=90o,

VBE=2AE,AB=IO,

.∖AE1+BE1=AB2,

Λ5AE2=1O(),

.∙.AE=2√5或AE=-2√5（舍去）,

ΛβE=2AE=4√5,

..z..4E2店∙J5

「SmNAdSeE=而=R=耳,

VZA=ZA,NAEB=NAMC=90°,AB^=AC,

：.∆AEB^∆AMCCAAS),

JCM=BEiG

在RtZXBHO中，。”=8£>SinNABE=第80，

.∙.CD+寻BD=CD+DH,

∖'CD+DH^CM,

ΛCD+^BD≥4√5,

.∙.CC+韵。的最小值是：4√5,

故选：B.

总结提升：本题考查了胡不归问题，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅

助线是解题的关键.

5.(2021秋•澄海区期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=∕+3χ-4的图象与X轴交于4、C两

点，与y轴交于点8,若尸是X轴上一动点，点Q(0,2)在〉轴上，连接PQ,则PQ+孝PC的最小值

O

A.6B.2+^√2C.2+3√2D.3√2

思路引领：过p作/WL8C,过。作Q“J_8C.再由PH=孝PC得PQ+孝PC=PQ+PH,根据垂线段最

短可知，PQ+PH的最小值为。"，求出QHl即可.

解：连接BC,过P作PHLBC,过。作QffLBC,

令y=0,即/+3X-4=0,

解得x=-4或1,

ΛA(1,O),C(-4,0),

Q

VOB=OC=A9ZBOC=90,

.∙.NPCH=45°,

・•・尸H=PCSin45°=会C.

,PQ*PC=PQ+PH,

根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH,

9：BQ=OBWQ=4+2=6,ZQBHf=45°,

ΛQH,=sin45o∙3Q=3√Σ,

.∖PQ+^PC的最小值为3√Σ.

故选：D.

总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，

解题的关键是将求P。+乎PC的最小值转化为求PQ+P”的最小值.属于中考选择题中的压轴题.

6.（2022秋•任城区校级期末）如图，ZkABC中，AB=AC=I5,tanA=2,BEj_4C于点E,力是线段BE

上的一个动点，则C。+喀BO的最小值是（）

A.3√5B.6√5C.5√3D.10

思路引领：如图，作DHjLAB于H,CM_LAB于由SnA=器=2,设AE=",BE=2a,利用勾股

定理构建方程求出“，再证明OH=络BO,推出C。+络8。=C。+OH,由垂线段最短即可解决问题.

解：如图，作于"CTWLAZTfM.

,：BElAC,

NAEB=90°,

*tcιτιA=AE=2,

设AE=a,BE=2a,

则有：225=a2+4a2,

.*.a2=45,

.∙.α=3√5或-3花（舍弃）,

.,.BE=2α=6√5,

"：AB=AC,BEYAC,CMlAB,

：,CM=BE=6由（等腰三角形两腰上的高相等）,

•：NDBH=NABE,NBHD=NBEA,

..DHAE√5

..SiW7nBoHu=前=而=可'

：.DH=^-BD,

：.CD+^-BD=CD+DH,

；CD+DH>CM,

当点”与M重合，且C,D,，共线时，CD+。”的值最小,

.∙.CD+杀。的最小值为线段CM的长,

.∙.CC+第BD的最小值为6斯.

故选：B.

总结提升：本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

48

X2

7.（2022•邢江区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=9-3-X轴的正半轴父于点A,B

点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为()

A.24B.25C.30D.36

思路引领：连接OB,过C点作CM，OB于M点，过A点作AN，。B于N点，抛物线的对称轴与X轴

交于点D,先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD.OA.OD,再证明AOBOS△

OBDSAoAN,进而可得3>BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM),当A、C、M三点共线，且三点连线垂

直08时，AC+CM最小，根据蔡=黑求出AMAC+CM最小值即为AM则问题得解.

解：连接0B,过C点作CMJ_。B于M点，过4点作ANLOB于N点，抛物线的对称轴与X轴交于点D,

解得：xι=0,X2=6,

.∙.A点坐标为(6,0),即OA=6,

将y=-^x2+鼠配成顶点式得：y=-3)2+4,

・・・3点坐标为(3,4),

.∙.BD=4,OD=S9

•：CM上OB,ANLOB,

：.ZBMC=ΛANO=90o,

根据抛物线对称轴的性质可知BDLOAf

：.ZBDO=Wo,

在RtZXBQO中，

利用勾股定理得OB=>∕0D2+BD2=√32+42=5,

•：/OBD=NCBM,NBDO=NBMC=90°,

：.40BDSACBM,

同理可证得408QSM

•££_££BD

99MC~ODOA~OBf

BCBO5

.β.一=一=即ππ3BC=5MC,

MCOD3

.β.3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM),

・・,当A、C、M三点共线，且三点连线垂直05时，AC+CM最小，

.∙.AC+CM最小值为AM如图所示，

..ANBD

'OA-OBf

.BDC4,24

∙*λNkt=诙XoAyl=5X6=y,

24

.∖AC+CM最小值g,

即3BC+5AC=5(AC+CΛ∕)=24.

故选：A.

总结提升：本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线

段最短等知识，利用三角形相似得出3BC=5MC,进而得出3BC+5AC=5(AC+CM)是解答本题的关键.

8.(2021•锦州二模)如图所示，菱形ABC。的边长为5,对角线OB的长为4花，P为。B上一动点，则

AP+洛OP的最小值为(

)

A.4B.5C.2√5D.3√5

思路引领：如图，过点A作A”，。C于点”，过点P作PFL。C于点F,连接AC交OB于点J.利用

面积法求出A"，再证明PF=洛0P,利用垂线段最短，可得结论.

解：如图，过点A作C于点儿过点P作PFLOC于点F,连接AC交08于点1/.

：西边形OABC是菱形,

：.ACA-OB,

Λ0y=7B=2√5,CJ=yj0C2-0J2=J52-(2√5)2=√5,

ΛAC=2C7=2√5,

∖'AHLOC,

：.OC'AH=^∙OB-AC,

.4U14√5×2√5.

..AH=2X-----ζ-----=4,

...PFCJ√5

∙∙smz∕Pdz°iFc=而=近=可'

.∖PF=^-OP,

.∖AP+^-OP=AP+PF,

"JAP+PF^AH,

，”+络。PN4,

.∙.AP+韵P的最小值为4,

故选：A.

总结提升：本题考查胡不归问题，菱形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

二.填空题

9.（2022春•广陵区期末）如图，在菱形ABCO中，AB=AC=IO,对角线AC、8。相交于点0,点M在线

段AC上，且AM=2,点尸为线段8。上的一个动点，则MP+*PB的最小值是.

思路引领：过P点作P4,BC于H,过M点作MALLBC于M如图，根据菱形的性质得到AB=BC,BO

平分∕A8C,AOLBD,再判断BC为等边三角形得到∕A8C=/ACB=60°,贝IJNoBC=30°,所以

PH=^BP,则MP+*PB=MP+P”,所以例P+PH的最小值为Λ7N的长，然后利用含30度角的直角三角

形三边的关系求出MN即可.

解：过尸点作∕771∙8C于”，过M点作A/ML8C于N,如图，

：四边形ABCO为菱形，

：.AB=BC,Bo平分NABC,AOYBD,

VΛB=ΛC=lO,

：.AB=AC=BC=XO,

.∖ΛABC为等边三角形，

.∙.∕A8C=N4C8=60°,

.∙.∕OBC=30°,

：*PH=^BP,

J.MP+^PB=MP+PH,

当M、P、”共线时，MP+PH的值最小,

即MP+PH的最小值为MN的长，

,.,AM=2,

ΛCM=10-2=8,

在RtZ∖MNC中，YNMCN=60°,

：.CN=∣CΛ∕=4,

：.MN=√3C7V=4√3,

即MP+B的最小值为4√3.

故答案为：4√3.

总结提升：本题考查了胡不归问题：利用垂线段最短解决最短路径问题，把转化为PH是解决问题

的关键.也考查了菱形的性质和等边三角形的性质.

10.（2022春•武汉期末）如图，团ABCQ中NA=60°,AB=6,AO=2,P为边CD上一点,则√5PQ+2PB

最小值为.

思路引领：由直角三角形的性质可得。4=纱P,HP=用DH=导DP,则当点“，点P,点，三点共线

时，HP+PB有最小值，即√5PC+2PB有最小值，即可求解.

解：如图，过点P作PHLAC,交40的延长线于，，

.∖AB∕∕CD,

.∙.∕A=NCO"=60°,

βφ

.HP.LADf

：.ZDPH=30°,

.".DH=^DP,HP=陋DH=5DP,

.√3

,:痘rPD+2PB=2(―PD+PB)=2(HP+PB),

2

当点H,点P,点”三点共线时，4P+P8有最小值，即√5PD+2P8有最小值，

此时：BHlAH,NA=60°,

ΛZABP=30°,

：.AH=YB=3,BH=√3AW=3√3,

则√^7)+2P8最小值为6√3,

故答案为：6√3.

总结提升：本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，构造直角三角形是解题的

关键.

11.(2022春•江汉区月考)如图，ZXABC中，AB=AC=10,ZA=30°.BQ是aABC的边AC上的高，

√3

点P是BO上动点，则T7BP+CP的最小值是

2--------

思路引领：过点P作PELAB于点E,先在Rt∆ΛBD中求出/ABD及B。，再在Rt∆BPE中利用sin60o

√3

得到三BP+CP=EP+CP,当当C、P、E三点在同一直线上，且CEj时其取得最小值，最小值为

CE,计算即可求出结果.

解：过点P作PELAB于点E,

E

Bc

1

在RtZkABD中,NABD=I80°-90°-30°=60°，BD=^AB=5,

在RtZSBPE中，sin60o=磊=亨，

.".EP=苧8P,

√3

：.—BP+CP=EP+CP,

2

当C、P、E三点在同一直线上，且CELAB时/8P+CP="+CP取得最小值.

VΛB=AC=10,BD±AC,CElAB,

：・CE=BD=5,

/ɜ

.'.-BP+CP=EP+C尸的最〃、值为5.

2

故答案为5.

总结提升：此题是胡不归模型，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质、锐角三角函数等，解题

关键是将3BP+CP转化成EP+CP.

2

12.（2022•江北区开学）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=亭X-H分别交X轴、），轴于A、B两

思路引领：先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点8关于OA的对称点8,可证

是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH=/C,则2BC+4C=2(BC+C”)，即当点8,点C,点”

三点共线时，8'C+C”有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性质可求解.

解：’；一次函数y=∙^x-√5分别交X轴、y轴于4、8两点，

二点A(3,0),点、B(0,-√3),

.∖AO=3,BO=√3,

.,.AB=7AO2+OB2=√9^+3=2√3,

如图，作点B关于OA的对称点B',连接AB,,BC,过点C作CHLA8于H,

又YA0"L88,

ΛBB,=2√3,AB=ΛB'=2√3,BC=B'C,

：.AB=BB'=B'A,

是等边三角形，

'：AOLBB',

ΛZBAO=30o,

"：CHLAB,

：.CH=^AC,

.∖2BC+AC=2(BC+^AO=2(B,C+CH),

当点8,点C,点”三点共线时，8C+C4有最小值，即28C+AC有最小值,

此时，B'HrAB,Z∖ABF是等边三角形，

：.BH=AH=√3,NBBH=30°,

J.B'H=WBH=3,

.∖2BC+AC的最小值为6,

故答案为：6.

总结提升：本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质,

确定点C的位置是解题的关键.

13.(2021秋•缙云县期末)如图，在直角坐标系中，点M的坐标为(0,2),P是直线y=√Ir在第一象限

内的一个动点.

(1)NMoP=.

思路引领：(1)设PC,√3r),过点P作LX轴交于H,由tanN尸。H=百，则NPOH=60°,即可

求∕MOP=30°；

(2)作M点关于直线y=√3x的对称点M,过M作M1NLy轴交于N,连接MM,则有MP+*OP=MP+NP

=MW,此时MPI4。P的值最小.

解：(1)设P(t,√3r),

过点尸作尸”_LX轴交于H,

：.0H=3PH=√3r,

PU

AtanZPOH=⅛⅛=√3,

：.ZPOH=60°,

ΛZMOP=30o,

故答案为：30°:

(2)作M点关于直线产片的对称点M,过Af作MWLy轴交于M连接MΛΓ,

：.MP=M'P,

VZMOP=30o,

INP二9P,

MP+争P=M'P+NP=MN,

此时MP+aO尸的值最小，

VMMlOP,∕MOP=30°

：・MG=^OMt

VM(0,2),

：.MG=\,

ΛMΛ∕,=2,

VZOMG=60o,

.∙.MN=1,

JON=I,

总结提升：本题考查胡不归问题，熟练掌握胡不归问题的解题方法，轴对称求最短距离的方法，直角三

角形的性质是解题的关键.

14.(2022∙马鞍山一模)如图，AC垂直平分线段80,相交于点0,且OB=OCNBAD=I20°.

(1)ZABC=.

1

⑵E为BO边上的一个动点，BC=6,当ZE+”E最小时BE=.

lD

A

二

B------------------------C

思路引领：(1)根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质即可求得NABG

1

(2)作A关于08的对称点W,过A作AG_LA/于G,过点E作EnLA归于R将一BE转化为EK再

2

11

根据4£'+28七=4£：+/石246,设46与。8交于£,BE即为当4E+最小时的8E,求出8£即可.

解：(1)..SC垂直平分线段8D,

.'.AB=AC9

：.ZABD=ZADBf

VZBAD=120°,

.∖ZABD=(180o-120o)÷2=30o,

•：OB=OC,OBLOC,

.u.ZOBC=45o,

ΛZAβC=30o+45°=75°,

故答案为：75°；

(2)作A关于OB的对称点A,,过A作AGl.AtB于G,过点E作EF±A,B于F,

VZABO=30o,

ΛZAtBO=30°,

：.FE=^BE,

1

.'.AE+^BE=AE+FE^AGt

1

设AG与OB交于£,5E即为当4E+”E最小时的

∙.'8C=6,NOBC=45°,

.β.OB=OC=BCcos45o=3√2,

・・∕.^OB3√2√3

∙COS∕AλBd°F=肃=区，

：.BA'=2√6,

VZA'BA=60Q,AB=A'B,

...△A2A'为等边三角形，

：.BG=加=√6,

...,BG4643

•cosz_zΛBozOι===彳，

.∙.BE=2√Σ.

故答案为：2√Σ.

总结提升：本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数解三角形，解决此题

的关键是作出垂线EF和AG,将三BE转化为EF.

2

15.（2021秋•福清市期末）如图，AABC为等边三角形,BO平分/ABC,A4BC的面积为百，点尸为BQ

上动点，连接AP,则AP+*8P的最小值为.

11

思路引领：过A作AF_LC8于E,过点P作PE_LBC于E,故PE=/BP,⅛AP+^BP=AP+PE^AF,求

出AF即可.

解：过A作AF_LCB于E,过点尸作「E_LBe于E,

:△ABC为等边三角形，8。平分N48C,

ΛZDfiC=30°,

：.PE=^BP,

：.AP+^BP=AP+PE^AF,

「△ABC的面积为百，

vɜ-

.∖~AC"7=ʌr/ɜ,

ΛΛC=2,

1L

I-BUAF=√3,

2

ΛΛF=√3,

.,.AP+^BP的最小值为√5.

总结提升：本题主要考查了含30°角的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出垂线尸E,

得至UPE=^BP是解决本题的关键.

16.(2021秋•亭湖区期末)如图，在平面直角坐标系中，ZACB=90Q,∕A=30°,点A(-3,0),B(1,

0).根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt448C中，AB=2BC.请在这一结论

的基础上继续思考：若点。是AB边上的动点，则的最小值为.

思路引领：作射线AG,使得NB4G=30°,过。作DELAG于E,过C作CFLAG于F,故DE=^AD,

1

故^AD=CD+DE^CF,求jCF即可.

CD+H1

解：作射线AG,使得NBAG=30°

过。作DELAG于E,过C作C尸，AG于F,

：.CD+∣AD=CD+DE》CF,

,.M(-3,0),8(1,0).

.∖AB=4,

∙.∙∕AC5=90°,NA=30°,

：.BC=^AB=2,

：.AC=y∕AB2-BC2=2√3,

,.∙ZCAG=ZCAB+ZBAG=60o,

.'.AF=%C=√3>

.∖CF=∖∕AC2-AF2=3,

...CD+/。的最小值为3.

故答案为：3.

总结提升：本题主要考查了含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG,使

得∕A4G=30°是本题的关键.

17.(2021秋•宜兴市期末)如图①，在AABC中，NAC8=90°,NA=30°,点C沿BE折叠与AB上的

BCɪ

点。重合.连接。E,请你探究：—=-;请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在AOPM中，

AB-2一

1

NOPM=90°,ZM=30°,若OM=2,点G是。M边上的动点，则PG+*MG的最小值为.

①②

思路引领：由折叠的性质可得Ao=BD,BC=BD,贝IJ有AB=2BC;作尸点关于。例的对称点P',作PW

11

LPM交于N点,交OM于G，点，PG/MG=P'G'+GN2PW,此时PG+*MG的值最小，求出PN的

长即为所求.

解：VZACB=90σ,ZA=30o,

ΛZABC=60Q,

Y点C沿BE折叠与AB上的点D重合，

；・/DBE=∕CBE=3C,

JZA=ZABE,

∙.∙∕BDE=NC=90°,

IAD=BD,

∙/BC=BD,

,AB=2BC,

.BC1

•∙=一,

AB2

作尸点关于OM的对称点P,作PMLpM交于N点，交OM于G点,

.∙.PG=PG,

VZM=30o,

：.NG=∣G,M,

11

.∙.PG+*MG=P'G+G'N2PN,此时PG+*MG的值最小，

'/OM=I,

1

在RtPM中，OP=去OM=1,

.,.PM=√3,

在RtZ∖PDM中，PD=WM=胃,

：.PP=√3,

VZP'=30o,

：.PN=ɪ,

在RtZ∖PPV中，P'N=ɪ,

13

.∙.PG+*MG的最小值为一,

13

故答案为：

22

总结提升：本题是图形的折叠变换，熟练掌握折叠的性质，直角三角形的勾股定理，正确作出辅助线利

用轴对称求路线最短是解题的关键.

18.（2021秋♦汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=∕-2x+c的图象与X轴交于A、C两点，

与y轴交于点β（0,-3）,若P是X轴上一动点，点。（0,1）在y轴上,连接PD,则C点的坐标是,

√2PD+PC的最小值是.

思路引领:过点尸作PJLBC于J,过点。作£>H_L2C于H.根据PC=近（PD+浮PC）=√2（DP+PJ）,

求出OP+PJ的最小值即可解决问题.

解：过点尸作PJLBC于J,过点。作于H.

；二次函数y=f-2Λ+C的图象与），轴交于点8（0,-3）,

∙'∙c=-3,

.∙.二次函数的解析式为y=∕-2χ-3,令y=0,7-2χ-3=0,

解得X=-1或3,

ΛA(-I,0),C(3,0),

：.OB=OC=3,

VZBOC=90",

：.ZOBC=ZOCB=45o,

,：D(0,1),

ΛOD=LBO=4,

'.'DHl.BC,

：.NDHB=9。°,

ΛD∕7=BD∙sin45o=2√Σ,

"：PJlCB,

：.NPJC=9。°,

.'.PJ=辱PC,

.,.√2PD+PC=√2(尸。+乎PC)=√2(DP+PJ),

∙/DP+PJ^DH,

.∙.DP+Λ∕≥2√2,

.∙.DP+R/的最小值为2√L

：.y[2PD+PC的最小值为4.

故答案为:(3,0),4.

总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，

解题的关键是将求√∑PO+PC得最小值转化为求√Σ(DP+PJ)的最小值.属于中考选择题中的压轴题.

19.(2021秋•南海区期末)如图，AABC中AB=AC,A(0,8),C(6,0),。为射线Ao上一点，一动

点户从A出发，运动路径为AfZ）-C,点尸在Ao上的运动速度是在CD上的I倍，要使整个运动时间

思路引领：过B点作8”，AC交于”点，交A。于。点，连接C£>,设P点的运动时间为/,在CC上

1ADADΔΠ

的运动速度为U,r=t（亏+C。），只需号+CD最小即可，再证明AAOHsAACO,可得£>//=学,

33§

则当8、D、4点三点共线时，此时，有最小值，再由aBQOS△4£>”，求出。。即可求坐标.

解：过B点作BHLAC交于，点，交40于。点，连接CQ,

：AB=AC,

：.BD=CD,

设尸点的运动时间为二,在CO上的运动速度为V,

5

；点P在AD上的运动速度是在CD上的孑倍，

.AD,CD1"。，「c、

..t=-E~+—=-(-5-+CD),

1vvv-

33

VZAHD=ZAOC=90o,

.,.∕∖ADH^∕∖ACO,

.AD_DH

AC~CO1

VA(0,8),C(6,0),

ΛOC=6,04=8,

.∙.AC=10,

ADDH

•e•1=,

106

：.DH=^-,

⅛

.,.t=-(DH+CD),

V

当8、D、H点三点共线时，∕=*XBH,此时f有最小值,

,:ZBDO=ZADH,

：.ZDBO=ZOAC,

:∙4BDOs∕∖ADH,

DOOCDO6

，一=—,即—=

BOAO68

9

・・・。0=/

9

：.D(0,-),

2

总结提升：本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离和胡不归求最短距离的方法，三角

形相似的判定及性质是解题的关键.

20.（2022∙无棣县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-χ+4的图象分别与y轴和X轴交于点A和

1

点、B.若定点P的坐标为（O,6√3）,点Q是y轴上任意一点，则^PQ+Q^的最小值为

思路引领：过点尸作直线尸。与y轴的夹角/。尸。=30°,作B点关于y轴的对称点8,过夕点作8万

11

LPD交于点E、交），轴于点Q,-PQ^-QB=QE+B'Q=B'Ei此时^PQ+QB取最小值，求出BE即可.

解：过点尸作直线尸。与y轴的夹角No尸。=30°,作B点关于y轴的对称点8,过8点作方从LPO交

于点七、交y轴于点

9：B'ELPD,ZOPE=30°,

1

:∙QE=抑2,

YBQ=BQ

1ι

，于。+。8=。石+8。=8£此时万0。+。8取最小值，

VZOPD=30o,NPOo=90°,

.∖PD=2OD,ZODP=GOQ,

。尸的坐标为(O,6√3),

ΛPO=6√3,

：.OD2+(6√3)2=(20。)2,

.∙.0Q=6,

Y直线y=-x+4的图象分别与y轴和X轴交于点4和点B,

：.A(0,4),B(4,0),

.β.08=4,

.β.08=4,

ΛB,D=10,

∖,B'E±PD.NOoP=60°,

ΛZEB,D=30o,

1

：.DE=D=5,

.,.B'E=∖∕B'D2-DE2=√102-52=5√3.

∙"∙^PQ+QB取最小值为5√3,

故答案为：5√3.

总结提升：本题考查胡不归求最短路径，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，通过构造直角三角形及特

殊角，将之PQ+QB的系数2进行转化是解题的关键.

21.（2022春•梁溪区校级期中）如图，团ABCO中，ND4B=30°,AB=8,BC=3,P为边CQ上的一动

思路引领：过点尸作A。的垂线交Ao延长线于点E,根据四边形ABCz）是平行四边形，可得A2〃C£>,

所以NEZ）P=∕D4B=30°,得EP=*P,要求P8+*P。的最小值，即求PB+EP的最小值，当点B、

P、E三点共线时，P8+EP取最小值，最小值为BE的长，根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可

求出PB+*O的最小值.

解：如图过点P作AC的垂线交AC延长线于点E,

E..-

Y四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,

二NEOP=NAM8=30°,

：.EP=^pP,

要求PB+^PD的最小值，即求PB+EP的最小值，

当点8、P、E三点共线时，

PB+EP取最小值，最小值为BE的长，

：在RtZ∖ABE中，NEAB=30°,AB=S,

ΛBE=∣ΛB≈4.

故答案为：4.

总结提升：本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握30度角所对直角边等于斜边的一半.

22.（2022秋•江夏区校级期末）如图在AABC中.N8=45°.A8=4.点P为直线BC上一点.⅛BP+2AP

有最小值时，NBAP的度数为.

BP

11

思路引领：以BC为边,作NCM=30°,过点P作PHLBF于从则BP+2AP=2LBP+AP)=^(PH+AP)f

故当4、P、”三点共线时，P"+AP最小，从而解决问题.

解；如图，以BC为边，作NCBF=30°,过点尸作/V7,B尸于”，

1

.∙.PH=-BP,

11

：.BP+2AP=2(-BP+AP)=⅛<,PH+AP),

22

.∙.当4、P、”三点共线时，PH+AP最小，

过点A作AGj_8/于G,交BC于P,

在RIZ∖ABG中，NABG=30°+45°=75°,

ΛZBAG=15°,

.∙.当B75+2A尸有最小值时,NBAP的度数为15°,

故答案为：15°.

总结提升：本题主要考查了含30。角的直角三角形的性质，胡不归问题，垂线段最短等知识，根据题意，

作辅助线，将BP+2AP的最下值转化为IG的长是解题的关键.

2

23.(2022∙东阳市开学)如图：二次函数产一∣∕+3x+2的图象与X轴交于A、B两点(点4在点8的左侧)

与)，轴交于点C,顶点为点£>.

(1)在抛物线的对称轴上找一点P,使BP-CP的值最大时，则点P的坐标为；

(2)在抛物线的对称轴上找一点P,使PA+^PD的值最小时，则点P的坐标为.

思路引领：(1)设点C关于直线x=l的对称点为C',直线BC'与对称轴的交点即为点P；

(2)如图，连接A。，DB,过点Z作AFLBD于点凡对称轴交X轴于点E,连接4P,过点尸作PHJ_

BD于点、H,设AF交OE于点T.求出点T的之比，证明P"=啜PD,把问题转化为垂线段最短即可解

决问题.

解：(1)Vy=-5(ɪ-I)2+6,

L

・•・抛物线的对称轴为直线x=l,顶点(1,6),

令y=0,-I(X-I)2+6=0,解得X=-I或3,

.∙.A(-1,O),B(3,0),

Q

令X=0,得到尸2,

9

：.C(0,-),

2

9

设点。关于直线x=l的对称点为C',则U(2,一),

2

直线BC'与对称轴的交点即为点P,

9

设直线BC'的解析式为y=fcc+6,则+-

2fc2

-2-

-272

.∙.直线BC1的解析式为)=一%十号,

当x=l时，y=9,

：.P(1,9).

故答案为：(1,9)；

（2）如图，连接AD,DB,过点Z作AFJ_8力于点儿对称轴交X轴于点E,连接4P,过点尸作P，_L

8。于点从设A尸交。E于点7.

VD(1,6),B(3,O),A(-1,0),

：.AD=DB=√22+62=2√iθ,

•：NTAE=NEDB,

1

.".tanZTAE=tan/EDB=ɜ,

.ET1

••=一,

AE3

：,ET=

.∖PH=DP∙sinZEDB=噜PD,

；Λn

PA+^∙PD=AP+PH^AF,

当点P与点T重合时，%+嚅Pn的值最小，此时尸（1,|）.

故答案为：（1,~）.

总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是

学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

24.（2021秋•北陪区校级期末）如图，在菱形4BC。中，NBAD=I20°,CD=4,M,N分别是边AB,

AD的动点，满足AM=OM连接CM、CN,E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连

1

接AE、BE、NF,当ACFN面积最小时，］BE+AE的最小值为.

思路引领：连接MN、AC,由菱形ABCC的性质和NBA。=120°得至IJAB=A。=CZXZBAC=ZDAC

=/AOC=60°,从而得到AAOC和aABC为等边三角形，然后得到AC=OC,然后结合AM=Z)N得

证WC丝ZMWC,得到CM=CN、/DCN=NACM,从而得到∕MCN=60°,得到ACMN为等边三

角形，由点F是CM上靠近点C的四等分点得到SACFN=⅛CMW,所以ACMN的面积最小时，ACFN

的面积也最小，从而有当CN和CM最短，BRCN±AD.CM_LAB时ACFN的面积最小，取BE的中点

为点G,连接MG,由AABC为等边三角形和。WLAB得到点M是AB的中点、AE=BE,进而有MG=

%E=诳,所以%E+AE=∣AE,最后