瓜豆原理 讲义-九年级数学中考复习

瓜豆原理九年级数学中考复习

例题讲解

【弓I例1］如图，P是直线Be上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时,

Q点轨迹是？

【弓I例2】如图，ZXAPQ是等腰直角三角形，ZPAQ=90oJiAP=AQ,当点P在直线BC上

运动时，求Q点轨迹？

【例1】如图，已知AB=I2,点C、Z）在线段ΛB上且AC=3,DB=2；P是线段CQ上的

动点，分别以针、PB为边在线段ΛB的同侧作等边AAEP和等边ΔPFB,连接,设EF

的中点为G.当点P从点C运动到点。时，中点G移动路径的长是.

【例2】（2020•巴南区自主招生）如图，在ΔAβC中，ZC=90o,AC=3,BC=4,点、D

是线段BC上一动点，在直线AD的右侧找一点E,使E4_LAO,且NAr应=30。.当点。

从点8运动到点C时，点E随之运动（点A不动），则点E运动的路径长为.

【例3】（2017•姑苏区校级二模）如图，在等边AABC中，AB=10,BD=4,BE=2,点、

P从点E出发沿E4方向运动，连接PD,以Pz）为边，在PZ）的右侧按如图所示的方式作等

边ADPF,当点P从点E运动到点A时，点尸运动的路径长是

【引例3］如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.当点P在圆

O上运动时，Q点轨迹是？

【引例4］如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作AQLAP且AQ=AP.当

点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【例4】如图，ΔA8O为等边三角形，OA=4,动点C在以点O为圆心，为半径的O

上，点。为BC中点，连接AD,则线段ΛD长的最小值为.

【例5】(2020春•西城区校级月考)如图，抛物线y=χ2-8x+15与X轴交于A、3两点,

对称轴与X轴交于点C,点D(0,-2),点E(0,-6)，点P是平面内一动点,且满足ZDPE=90°,

M是线段PB的中点，连接CM.则线段CM的最大值是.

【例6】如图，线段AB为O的直径，点C在4?的延长线上，Aδ=4,BC=2,点、P是

。上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RtΔPCD,且使NDCP=60。，连接

【例7】（2021春•海淀区校级期末）已知O的半径为2,A为圆内一定点，AO=∖.P为

圆上一动点，以AP为边作等腰ΔAPG,AP=PG,ZAPG=120°,则OG的最大值为

【例8】（2020•无锡一模）如图，在等腰ΔAβC中，AC=BC=5,A8=56,点尸在以43

为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点3时，点M运动的路径

长是.

【中位线转化】

【例9】（2020•连云区二模）在RtΔABC中，Z4Cβ=90o,AC=8,BC=6,点。是以点

A为圆心4为半径的圆上一点，连接3D,点M为皿）中点，线段CM长度的最大值

为

【例10】（2021•深圳模拟）如图，在RiAABC中，ZACB=90o,ZB=30o,BC=3yβ,点、

。是AB的中点，点E是以点3为圆心，皮）长为半径的圆上的一动点，连接ΛE,点F为

AE的中点，则b长度的最大值是

【例1。（2020•郎溪县校级自主招生）如图，点A是双曲线），=-2在第二象限分支上的一

X

个动点，连接Ao并延长交另一分支于点5,以AB为底作等腰AABC,且NAcB=I20。，点

C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=V上运

挑战训练

【挑战训练1】（2020•锡山区一模）如图，已知点A是第一象限内横坐标为√5的一个定点,

AC_Lx轴于点M,交直线y=-x于点N.若点P是线段。V上的一个动点，ZAPB=30°.

BAYPA,则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点尸从点O运动到

点N时，点8运动的路径长是

【挑战训练2】(2021•武汉模拟)已知。的半径为4,A为圆内一定点，AO=2.M为

圆上一动点，以AM为边作等腰ΔAMN,AM=MN，NAAW=Io8。，ON的最大值为()

A.4+2√5B.2>^+2√5C.√2+2√5D.l+2√5

【挑战训练3】(2021•武汉模拟)(1)问题背景：如图1,已知矩形ABC£),E为线段4)

上一点，连接BE,以线段5E为对称轴，将ΔΛSE翻折；A点的对应点为F点.若F点正

好落在线段8上，求证：AEDFSMCB.

(2)尝试应用：如图2,已知直角梯形ABCZ),ZB=NC=ZAEo=90。，

2ZADE+ZCDE=I80°,过点E作团_LAO,若EH=2,A£)=5,求CE的长.

(3)拓展创新：如图3,已知矩形ABC£),AB=I2,AD=9,E在线段4)上运动，连接

BE,以线段BE为对称轴，将AABE翻折，A点的对称点为P点，连接CP并在线段CP上

取一点T,使得fT=2CT,连接Z)T,直接写出”的最小值.

图1图2

答案版

例题讲解

【弓I例1］如图，P是直线Be上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时,

Q点轨迹是？

【弓I例2】如图，ZXAPQ是等腰直角三角形，ZPAQ=90oJiAP=AQ,当点P在直线BC上

运动时，求Q点轨迹？

【例1】【解答】解：如图，分别延长ΛE∖BF交于羔H.

ZA=ZFPB=60°,

.∖AH//PF,

ΛB=ZEPA=ω°,

:.BHHPE,

.∙∙四边形£7方H为平行四边形，

与//P互相平分.

G为砂的中点，

二G也正好为尸H中点，

即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，

所以G的运行轨迹为MCD的中位线M(V.

CD=I2-3-2=7,

MN=3.5,即G的移动路径长为3.5.

故答案为3.5

【解答】解：■在AABC中，ZC=90o,AC=3,BC=4,

.∙.AB=JAe2+BC?=5,

EArAD,

ZZME=90。，

ZAz)E=30。，

/.AE=AD∙tan30°,

3h

当点。在点5时，AE=Aβ∙tan30°=—,

3

当点。运动到点。时，AEr=AC∙tan30o=√3,

所以点E运动的轨迹是与AC平行的一条线段EE的长：

所以EE=√AE<-北=迪.

3

故答案为：---.

【解答】解：如图，ΔABC为等边三角形,

NB=60。，

过。点作。则BE=J80=2,

2

.∙.点E与点E重合,

ZBDE=3U,DE=y∕3BE=2√3,

ΔDPF为等边三角形，

.-.ZPDF=60°,DP=DF,

.∙.ZEDP+ZHDF=90°

AHDF+ZDFH=90°,

.-.ZEDP=ZDFH,

在ADPE和Δ∕ZW中，

ZPED=ZDHF

<NEDP=ZDFH,

DP=FD

.-.ADPEAFDH,

:.FH=DE=2底

.∙.点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2√3,

当点P在E点时，作等边三角形。环，NBDFl=30。+60。=90。，则DFiLBC,

当点P在A点时，作等边三角形DA6，作EQJ.BC于。，则△。乙Q=ΔAf>E,所以

AE=IO-2=8,

.-.FtF2=DQ=S,

：.当点尸从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8.

【引例3］如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.当点P在圆

O上运动时，Q点轨迹是？

【引例4］如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作AQLAP且AQ=AP.当

点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【例4】

取08的中点E,

在AOBC中，Z)E是AOBC的中位线,

.∙.DE=-OC=I,即点。是在以E为圆心，2为半径的圆上,

2

求AD的最小值就是求点A与E上的点的距离的最小值,

当。在线段ΛE上时，AZ)取最小值26-2.

故答案为：26-2.

2

【例5】【解答】解：解方程x-8x+15=0得玉=3,X2=5,则A(3,0),

抛物线的对称轴与X轴交于点C,

.∙.C点为AB的中点,

ZDPf=90°,

二.点P在以Z5E为直径的圆上，圆心Q点的坐标为(0,Y),

A0=√32+42=5,。的半径为2,

延长AQ交。于尸，此时ΛF最大，最大值为2+5=7,

连接AP,

M是线段PB的中点，

:.CM为AABP为中位线,

..CM=-AP,

2

7

.∙.CM的最大值为一.

2

故答案为：工.

【例6】【解答】解：如图，作ACOE,使得NCEo=90。，ZEco=60。，则CO=2CE,

OE=2√3,ZOCP=ZFCD,

NCDP=90。,ZDCP=GOo,

.∙.CP=2CD,

.COCPc

CECD

.∖ACOP^ACED,

•OP_CP”

EDCD

即Eo=IoP=I（定长），

2

点E是定点，DE是定长,

.∙.点。在半径为1的;E上，

OD,,OE+DE=2yβ+},

的最大值为28+1,

故答案为26+1.

【例7】【解答】解：如图，将线段OA绕点。顺时针旋转120。得到线段“，连接AT,GT,

ΔAOT,AAPG都是顶角为120。的等腰三角形，

.∙.ΛOAT=ZPAG=30°,

.^OAP=ΛTAG,丝="=更，

ATAG3

.OAAT

~AP~'AG'

.∖AOAP^ATAG.

OPOA√3

..=—=—，

TGTA3

OP=2,

.∙.ΓG=2√3,

OG,,OT+GT9

:.OG,,I÷2V3,

.∙.OG的最大值为l+2√5,

故答案为：1+26，

【例8】【解答】解：如图，连接AP,PB,取AC的中点G,取03的中点K,连接MG,

MK,GK,取GK的中点O,连接0M∙

AB是直径,

.∙.ZAPB=90o,

CG=GA,CM=MP,CK=KB,

.∙.GM//PA,MK//PB,

:./CMG=NCPA,ZCMK=ZCPBf

.∙.ZCMG+Z.CMK=ZCPA+ZCPB=90o，

CG=GA,CK=KB,

..GK=—AB=，

22

GO=KO,/GMK=90。,

:.OM=-GK=-,

24

∙∙.点M的运动轨迹是以。为圆心，OM为半径的半圆，运动路径的长=有亚=也".

44

故答案为：更兀.

4

【中位线转化】

【例9】

【解答】解：作ΛB的中点E,连接EM、CE.

在直角AABC中，AB=√AC2+BC2=√62+82=10,

E是直角AASC斜边ΛB上的中点，

.∖CE=-Aβ=5.

2

M是比›的中点，E是4?的中点，

.-.ME=-AD=I.

2

5-2羽EM5+2,即琛CM7.

最大值为7,

故答案为：7.

【例10】【解答】解：如图，延长Ae到7,使得CT=AC,连接取，TE,BE.

E

AC=CT9BC.LAT9

.∙.BA=BT,

ZACB=90。，ZABC=30。，BC=3√3,

ΛZBAT=60o,AC=BC∙tan30o=3,

.∖AB=2AC=6,

.∙.A4B7是等边三角形，

.∙.BT=AB=6,

AD=BD=BE,

.∙.BE=3,

ET,,BT+BE,

£7；,9,

.•.£T的最大值为9,

AC=CT,AF=FE,

.∙.CF='ET,

2

.∙.c尸的最大值为2.

2

故答案为：—.

2

【例11】

【解答】解：连接8,过点A作AO_LX轴于点。，过点C作CEJ轴于点E,

•连接AO并延长交另一分支于点5,以4?为底作等腰ΔABC,且NACH=I20。,

.∖CO±ABfNC45=30。，

则ZAOD+NCQE=900,

ZZMO+∠S4C>r>=90o,

.∖ZDAO=ZCOE1

又ZADO=ZCEO=90°,

.∖^AOD^∖OCE,

ADOD

—=tan60o=√3,

~EO~~CEOC

2

Λ⅛^=(√3)=3,

sʌfθɛ

点A是双曲线y=-2在第二象限分支上的一个动点,

X

C19

∙,∙SMOD=QXIʃv1=2,

3I3

：.SyCC=—，BP-XOEXCE=-,

δcoc222

:.k=OExCE=39

故答案为：3.

挑战训练

【挑战训练1Il

【解答】解：如图1所示，当点P运动至QV上的任一点时，设其对应的点3为用，连接

AP,AB.,BBi,

AO±AB1,APLABi,

.∙.NoAP=NB、AB：,

oo

又∙AB1=AO-tan30,AB-=AP-tan30,

.∙.ABl:AO=ABι:AP,

.∙.ΔABlBiSAAOP,

.∙.NABM=NAOP∙

同理得△Ag刍sAAQN,

.∙.NABlBI=ZAOP,

ZAB1B1=ZAB1B2,

点B,在线段βlB,±,即线段B1B2就是点B运动的路径

由图形2可知：RtΔAPB∣中，NAPg=30。，

AB.1

∙'∙kr

Rt△AB?N中,ZANB2=30°,

AB2_I

"ATV-√3'

ABtAB21

"左一俞一耳’

NPABl=ZNAB2=90°,

:.ΛPAN=ABxAB2,

.∖ΔAPN‹^ΛABtB2,

B1B2AB11

"~PN~^∖P~T∕3'

ON的解析式为：y=-x,

AOMN是等腰直角三角形,

.∙.OM=MN=y∣3,

.∙.PN=46,

B1B,=∙J2,

综上所述，点5运动的路径（或轨迹）是线段其长度为夜.

故答案为：∖∣2.

【挑战训练2】【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转108。得到线段“，连

接AT,NT,OM.延长AO到K,使得M=AT,贝IJAo=OT=2,

ZOAT=ZOTA=36°,

.-.ZKOT=ZOAT+ZATO=12o,

180°-NKAT_

ZK=ZATK=一/Z.

2

..NK=∕KOT,

.∙.KΓ=OT=2,

NKOT=NKM=72。，NK=NK,

:NOTSNaA,

KTOKππ2OK

KATKOK+22

：.oλr=√5-ι,

.∙.AT=AK=AO+OK=2+y∕5-]=yf5+∖9

ΔAOT,ΔAM7V都是顶角为108。的等腰三角形，

.∙./ɑAT=NMATV=36。，ZAOT=ZAMN=∖0So,

.∖ΛAOT^ΛAMN,

•AO-AT

,,AM-ÆV,

ΛOAT+ΛTAM=ΛOAM,AMAN+ΛTAM=ZTAN,

.∙.ZOAM=ZTAN9

:.AOAMc^Δ7>W，

AOOMππ=2=4

..-----=------，即-T——

ATTN√5+lTN

/.7N=2√5÷2,

ON,,OT+NT,

∙∙.cw,,2√5÷4,

.∙.QN的最大值为26+4,

故选：A.

【挑战训练3】【解答】（1）证明：如图1,在矩形ABCZ）中，ZA=ND=NC=90。，由

翻折得NEEe=NA=90。.

ZDEF+ZDFE=90°,ZCFB÷ZDΛE=180o-90o=90o,

DEF=/CFB,

.∙.ΔEZ)Fc^ΔFCB.

(2)如图2,过点A作Ab_LC。，交CQ的延长线于点产，设CE=%,CD=χ.

EHLAD,

../EHD=ZAHE=90。,

ZAED=90o,

ZEDH=90。-ZDEH