0-过程特性及其数学模型

13三月20240过程特性及其数学模型一个自动控制系统可以概括成两大部分，即工艺过程部分（被控对象）和自动化装置部分。前者指与该自动控制系统有关的部分。后者指为实现自动控制所必需的自动化仪表设备，通常包括测量与变送装置、控制器和执行器等三部分。

对于一个自动控制系统，过渡过程品质的好坏，在很大程度上决定于对象的性质。例如在前所述的温度控制系统中，属于对象性质的主要因素有：换热器的负荷大小，换热器的结构、尺寸、材质等，换热器内的换热情况、散热情况及结垢程度等。不同自动化系统要具体分析。内容提要过程特性的类型过程的描述方法建模目的机理建模实验建模描述对象特性的参数放大系数Κ时间常数Τ滞后时间τ对象特性参数的测定1

过程特性：指被控过程输入量（操纵变量或干扰变量）发生变化时，输出量(被控变量)的变化规律。被控过程常见种类：换热器、锅炉、精馏塔、化学反应器、贮液槽罐、加热炉等

被控变量（输出量）扰动变量（输入量）

操纵变量（输入量）

通道：被控过程的输入量与输出量之间的信号联系

控制通道-----操纵变量至被控变量的信号联系（作用途径）扰动通道-----扰动变量至被控变量的信号联系（作用途径）2.1过程特性的类型

1.自衡的非振荡过程2.无自衡的非振荡过程3.有自衡的振荡过程4.具有反向特性的过程依据阶跃信号下对象的响应特征，多数工业过程的特性可分为下列四种类型：过程特性通常通过在阶跃信号的作用下的表现（响应）获得

1.自衡的非振荡过程在阶跃信号的作用下，被控变量C(t)不经振荡，逐渐向新的稳态值C(∞)靠拢。过程特性的类型C(t)tC(∞)自衡的非振荡过程h

Q1

Q2

tt

hQ1

如图所示的通过阀门阻力排液的液位系统过程特性的类型2.无自衡的非振荡过程

在阶跃信号的作用下，被控变量C(t)会一直上升或下降，直到极限值。C(t)t无自衡的非振荡过程

图2-4：无自衡的的非振荡液位过程过程特性的类型3.有自衡的振荡过程

在阶跃信号的作用下，被控变量C(t)会上下振荡，且振荡的幅值逐渐减小，最终能趋近新的稳态值。有自衡的振荡过程的响应曲线如图所示。在控制过程中，这类过程不多见，它们的控制也比第一类过程困难一些。C(t)

t

有自衡的振荡过程

过程特性的类型

4.具有反向特性的过程在阶跃信号的作用下，被控变量C(t)先升后降或先降后升，（锅炉汽包的虚假水位）即阶跃响应在初始情况与最终情况方向相反。C(t)t

具有反向特性的过程

汽包给水蒸汽加热室

研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。这种对象特性的数学描述就称为对象的数学模型。干扰作用和控制作用都是引起被控变量变化的因素，如下图所示。输出变量输入变量通道控制通道干扰通道？几个概念2图2-1对象的输入输出量2.2过程的数学描述对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型静态数学模型动态数学模型基础特例3一般是在工艺流程和设备尺寸等都确定的情况，研究对象的输入变量是如何影响输出变量的。研究的目的是为了使所设计的控制系统达到更好的控制效果。

在产品规格和产量已确定的情况下，通过模型计算，确定设备的结构、尺寸、工艺流程和某些工艺条件。

（a）（b）（c）用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分析的数学模型（c）不完全相同。4数学模型的表达形式分类51.非参量模型

当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为非参量模型。非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到。特点形象、清晰，比较容易看出其定性的特征

缺点直接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难

表达形式对象在一定形式输入作用下的输出曲线或数据来表示

当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参量模型。对象的参量模型可以用描述对象输入、输出关系的微分方程式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等形式来表示。2.参量模型67对于线性的集中参数对象

通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x（t）表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分方程式来描述在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略输入量的导数项可表示为

（2-1）8举例一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描述其特性（通常称一阶对象），则可表示为或表示成式中（2-2）（2-3）上式中的系数与对象的特性有关，一般需要通过对象的内部机理分析或大量的实验数据处理得到。过程数学模型的建立一、建模目的9（1）控制系统的方案设计

（2）控制系统的调试和控制器参数的确定

（3）制定工业过程操作优化方案（4）新型控制方案及控制算法的确定

（5）计算机仿真与过程培训系统

（6）设计工业过程的故障检测与诊断系统

二、机理建模10

根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有关的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象（或过程）的数学模型，这类模型通常称为机理模型。

二、机理建模对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表达式，或者表达式中的某些系数还难以确定时，不能适用。具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大的适应性，便于对模型参数进行调整。

优点缺点11举例1.一阶对象（1）水槽对象对象物料蓄存量的变化率＝单位时间流入对象的物料－单位时间流出对象的物料依据1213（2-4）若变化量很微小，可以近似认为Q2与h成正比（2-5）将上式代入（2-4）式，移项令则转到22页图2-2水槽对象14（2）RC电路ei若取为输入参数，eo为输出参数，根据基尔霍夫定理

消去i由于或图2-3RC电路2.积分对象当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，称为积分对象。Q2为常数，变化量为0说明，所示贮槽具有积分特性。其中，A为贮槽横截面积15图2-4积分对象163.二阶对象（1）串联水槽对象假定输入、输出量变化很小的情况下，贮槽的液位与输出流量具有线性关系。

假定每只贮槽的截面积都为A，则转到26页图2-5串联水槽对象消去Q12、Q2、h1整理得式中为第一只贮槽的时间常数；为第二只贮槽的时间常数；为整个对象的放大系数。1718（2）RC串联电路根据基尔霍夫定律整理得图2-6RC串联电路2.3过程特性的一般分析一、放大系数K

对于前面介绍的水槽对象，当流入流量Q1有一定的阶跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某一数值上。如果我们将流量Q1的变化ΔQ1看作对象的输入，而液位h的变化Δh看作对象的输出，那么在稳定状态时，对象一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象的静态特性。2425图2-12水槽液位的变化曲线或K在数值上等于对象重新稳定后的输出变化量与输入变化量之比。K越大，就表示对象的输入量有一定变化时，对输出量的影响越大，即被控变量对这个量的变化越灵敏。26举例以合成氨的转换炉为例，说明各个量的变化对被控变量K的影响

生产过程要求一氧化碳的转化率要高，蒸汽消耗量要少，触媒寿命要长。通常用变换炉一段反应温度作为被控变量，来间接地控制转换率和其他指标。图2-13一氧化碳变换过程示意图图2-14不同输入作用时的被控变量变化曲线

影响变换炉一段反应温度的因素主要有冷激流量、蒸汽流量和半水煤气流量。改变阀门1、2、3的开度就可以分别改变冷激量、蒸汽量和半水煤气量的大小。从右上图看出，冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量对温度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相对放大系数最小。27二、时间常数T28

从大量的生产实践中发现，有的对象受到干扰后，被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的对象在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才能达到新的稳态值。

图1-15不同时间常数对象的反应曲线如何定量地表示对象受干扰后的这种特性呢？

在自动化领域中，往往用时间常数T来表示。时间常数越大，表示对象受到干扰作用后，被控变量变化得越慢，到达新的稳定值所需的时间越长。

2930举例简单水槽为例由前面的推导可知：t<0时Q1=0；t>0或t=0时Q1=A，则函数表达式为：（2-33）图2-16反应曲线当t→∞时，上式为：（2-34）将t=T代入得（2-35）（2-36）

当对象受到阶跃输入后，被控变量达到新的稳态值的63.2％所需的时间，就是时间常数T，实际工作中，常用这种方法求取时间常数。显然，时间常数越大，被控变量的变化也越慢，达到新的稳定值所需的时间也越大。图2-17不同时间常数下的反应曲线T1＜T2＜T3＜T4

说明时间常数大的对象（如T4)对输入的反应较慢，一般认为惯性较大。3334在输入作用加入的瞬间，液位h的变化速度是多大呢？将式（2-33）对t求导，得（2-37）当t=0（2-38）当t→∞时，式（2-37）可得（2-39）图2-18时间常数T的求法由左下图所示，式（2-38）代表了曲线在起始点时切线的斜率，这条切线在新的稳定值h（∞）上截得的一段时间正好等于T。由式（2-33），当t=∞时，h=KA。当t=3T时，代入式（2-33）得（2-40）

从加入输入作用后，经过3T时间，液位已经变化了全部变化范围的95％，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。所以，时间常数T是表示在输入作用下，被控变量完成其变化过程所需要的时间的一个重要参数。

结论35三、滞后时间τ定义分类

对象在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。滞后性质传递滞后容量滞后

传递滞后又叫纯滞后，一般用τ0表示。τ0的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。

对象在受到阶跃输入作用x后，被控变量y开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐渐接近稳定值。36371.传递滞后显然，纯滞后时间τ0与皮带输送机的传送速度v和传送距离L有如下关系：（2-41）溶解槽及其反应曲线纯滞后时间举例从测量方面来说，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等原因也会造成传递滞后。蒸汽直接加热器

当加热蒸汽量增大时，槽内温度升高，然而槽内溶液流到管道测温点处还要经过一段时间τ0。所以，相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度T要经过时间τ0后才开始变化。注意：安装成分分析仪器时，取样管线太长，取样点安装离设备太远，都会引起较大的纯滞后时间，工作中要尽量避免。3839图2-21有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线x为输入量，y（t）、yτ（t）分别为无、有纯滞后时的输出量时或若无纯滞后的对象特性可以用下述方程式描述（2-44）则有纯滞后的对象特性可以用下述方程式描述（2-45）40一般是由于物料或能量的传递需要通过一定阻力而引起的。

举例前面介绍过的两个水槽串联的二阶对象将输出量h2用y表示，输入量Q1用x表示，则方程式可写为假定输入作用为阶跃函数，其幅值为A。已知，二阶常系数微分方程式的解是（2-46）（2-47）2.容量滞后由于对应的齐次方程式为其特征方程为求得特征根为故齐次方程式的通解为式中，C1、C2为决定于初始条件的待定系数。（2-48）（2-49）（2-50）4142式（2-46）的一个特解可以认为是稳定解，由于输入x＝A，稳定时将式（2-51）及式（2-50）代入式（2-47）可得用初始条件y(0)=0，y(0)=0代入式（2-52）可分别解得图2-22具有容量滞后对象的反应曲线（2-51）（2-52）（2-53）（2-54）将上述两式代入式（2-52），可得

上式便是串联水槽对象的阶跃反应函数。由此式可知，在t=0时y（t）=0；在t=∞时，y（t）＝KA。y（t）是稳态值KA与两项衰减指数函数的代数和。说明：输入量在作阶跃变化的瞬间，输出量变化的速度等于零，以后随着t的增加，变化速度慢慢增大，但当t大于某一个t1值后，变化速度又慢慢减小，直至t→∞时，变化速度减少为零。

（2-55）43图2-23串联水槽的反应曲线容量滞后时间T二阶对象近似为是有滞后时间τ＝τh，时间常数为T的一阶对象用一阶对象的特性（是有滞后）来近似上述二阶对象的方法

44图2-24滞后时间τ示意图

在容量滞后与纯