第五章证券及组合的收益与风险

第五章证券及组合的收益与风险第一节证券的收益与风险收益的各种形式及其计算风险及风险的测度假设一年前你在银行存了10000元，一年期，利率为10%，那么到期后你将得到11000元的现金，收益为1000元，这1000元的收益是否是你的真实收益呢？一、名义利率与实际利率实际利率与名义利率的关系有下式：

Rreal=[(1+Rnom)/(1+h)]-1

也可以近似地写成Rreal≈Rnom—h

Rreal实际购买力增长率Rnom货币增长率

持有期收益率

算术平均收益率时间权重收益率

二、单利与复利

单利复利拥有一种金融资产期间所获得的收益率。它是投资期间收益水平的一个测度，也是收益率的一种基本形式。

HPR=(投资的期末价值—期初价值+此期间所得到的收入)/期初价值例如：1、银行储蓄，投资者期初储蓄5000元，期末获本息5200元，则

(5200—5000+0)/5000=200/5000=0.04=4%2、股票投资,期初20元一股，买500股，其间获4元一股红利，期末19元一股全部卖出，则[(19×500)-(20×500)+(4×500)]/(20×500)=0.15=15%

1、持有期收益率持有期收益率的局限性它计算的是单利，没考虑货币的时间价值不方便不同期限（持有期不同）的投资收益进行比较。年收益率的折算不同期限的折合成年收益率，折算的公式为

年收益率=持有期收益率×[年(或365或12)÷持有期长度]如果上例中，股票投资期限是5年，而银行储蓄的期限是17个月，则股票投资的年收益率为15%×[1/5]=3%银行储蓄的年收益率为4%×[12/17]=2.82%

2、算术平均收益率算术平均收益率R的计算公式为

R=(R1+R2+……+RN)/N

如果投资者一项投资，4年的收益率分别为10%，-5%，0和23%，年算术平均收益率为

(10%-5%+0+23%)/4=28%/4=7%它是计算复利的一种收益率，计算公式为RTW=[(1+R1)(1+R2)……(1+Rn-1)(1+Rn)]-1它是在考虑复利的情况下，投资者能获得的总收益率。3、时间权重收益率三、贴现值的计算贴现值是未来收益的现值，因此它是终值计算的逆运算。譬如8年后孩子要读大学，家长要考虑在利率为5%的情况下，现在要存入银行多少钱，8年后才会有30000元。计算现值PV的公式为PV=1/(1+i)n

这是利率为i，持续期为n时的1元的现值系数，PV=[1/(1+0.05)8]×30000=0.6768×30000=20305.18

即家长现在需要储蓄20305.18元，就可以了。风险(risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。用收益的概率分布来测度风险的程度举例：形势概率期末总价总收益率繁荣0.2513000元30%正常增长0.5011000元10%萧条0.259000元-10%

风险及测度期望收益与方差

期望收益率是指所有情形下预期收益的加权平均值。即

E(r)=∑p(s)r(s)用收益的标准差或方差来度量风险，即σ2=∑p(s)[r(s)-E(r)]2

则上例中E(r)=(0.25×0.30)+(0.50×0.10)+[0.25×(-0.10)]=0.075+0.05-0.25=0.10=10%σ2=0.25×(30-10)2+0.50×(10-10)2+0.25(-10-10)2=200或σ=14.14预期的收益率预期的风险风险厌恶型的投资者：只愿意进行无风险投资。当他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风险报酬，即要求获得相应的超额收益或风险溢价。超额收益或风险溢价（风险收益）：投资的期望收益高于无风险收益的部分或指预期的超额收益。无风险收益指投资者在国库券、货币市场基金或银行存款等无风险资产所获得的收益。风险中性的投资者：按期望收益率来决定是否进行风险投资，风险的高低与其无关。风险爱好者：把风险的乐趣考虑在内，会使期望收益率上调。风险厌恶与投资选择当面临多种具有不同风险溢价的投资组合时又该如何选择呢？一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为E(r)，其收益方差为

2，其效用值为：U=E(r)-0.005A

2此式暗含：效用随着期望收益的增加和风险的减少而增长。其中A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值，A值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。

效用值公式效用值的应用例子：设某资产组合有预期收益为22%，标准差σ=34%，无风险资产--国库券的收益为5%，风险厌恶系数A=3，在该资产组合与无风险资产之间如何做投资选择？计算风险资产的效用价值22-(.005×3×342)=4.66%把风险资产组合的效用价值与无风险收益比较，风险资产组合的效用价值略低于无风险收益。风险厌恶型投资者会拒绝该风险资产组合而选择国库券。如果A=2,如何做出选择，能否接受此风险资产组合投资？

总结：我们可以把风险投资的效用值看成是投资者的确定等价收益率。只有当一个资产组合的确定等价收益大于无风险投资收益时，这个投资才值得。风险厌恶程度不同结果不一样。

补充：风险与风险收益的进一步讨论：一个简单的视角

简单的视角是指一笔财富置于风险状态的投资机会，并仅有两种可能结果。例子。假定初始财富w为$100,000并存在两种概率。在概率p=.6，则有利的结果是，最终财富为w1=$150,000。否则概率为1-p=.4，较为不利的结果为w2=$80,000。我们可用决策树陈述这个简单的视角:W=$100,000P=.6W1=$150,0001-p=.4W2=$80,000平均的或预期的年末财富，可用E(W)表示即10万美元的预期盈利是$22,000:122,000–100,000.盈利方差

2：显然，这是风险生意：盈利的标准差远大于预期盈利。我们假定国库券是对风险资产组合的一种选择。并假定决策时一年期的国库券收益率为5%;$100,000投资可产生有保障的盈利为$5,000.我们现在可绘出决策树：我们现在绘出决策树：$100,000风险投资B.投资于无风险资产P=.6收益=$50,000收益=-$20,000收益=$5,000结论：风险资产组合的预期边际收益或追加收益是$22,000-$5,000=$17,000$17,000就是风险收益。风险收益作为投资风险的补偿。风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着选择资产的均值-方差准则：当满足下列(a)、(b)条件中的任何一个时，投资者将选择资产A作为投资对象：(a)E(RA)≥E(RB)且σ2A<σ2B(b)E(RA)>E(RB)且σ2A≤σ2B均值-方差准则均值-方差准则因为P的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合，而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合，即资产组合P优于在它东南方向(第四象限)的任何资产组合。相应地，对投资者来说，所有第一象限的资产组合都比资产组合P更受欢迎，因为其期望收益等于或大于资产组合P，标准差等于或小于资产组合P，即资产组合P的西北方向的资产组合更受欢迎。均值-方差准则均值-方差准则第二和第三象限的资产组合呢？取决于投资者的风险厌恶程度。高风险高期望收益与低风险低期望收益的资产组合对同一个投资者（A值相等）的吸引力是相同的。即效用值相同。将这些效用值相等的所有的资产组合点由一条曲线连接起来，这条曲线就叫无差异曲线。不同投资者呢？一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线，但它们都通过P点，因为，这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的。一般风险厌恶程度较高（A大）的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低（风险容忍度较高）的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓。另一方面，每一个投资者一旦确定其风险厌恶程度，其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了，除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外，还一定可以有无数条平行它的无差异曲线。且处于较上面的无差异曲线有较高的效用。第二节

证券组合的风险和收益资产组合（portfolio）凡是由一种以上的证券或资产所构成的集合，即可成为资产组合。100万60万基金20万政府公债20万股票马柯维茨的证券组合理论马柯维茨(HarryMarkowitz)1952年发表了论文《投资组合的选择》，证券组合理论首次被提出，标志着现代投资理论发展的开端。该理论为那些想增加个人财富，但又不甘冒风险的投资者指明了一个获得最佳投资决策的方向。马在读研究生期间，其导师《财务学杂志》主编凯彻姆教授要马克维茨去读威廉姆斯的《投资价值理论》一书。马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票，他终于明白投资者不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险，马是第一人。当时主流意见是集中投资。马运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文，1959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。？伞公司股票

雨较多的年份少雨年份

股市的牛市股市的熊市伞需求大减概率0.40.30.3收益率30%12%-20%E(r伞公司)=(0.4×30)+(0.3×12)+[0.3×(-20)]=9.6%σ2(伞公司)=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-9.6)2=431.04σ=431.041/2=20.76或20.76%一、单个资产的计算投资者将其资金的50%投资于伞公司的股票，其余的50%投资于收益率为3%的国库券，因此投资者的整个资产组合的期望收益率为E(r投资者)=0.5E(r伞公司)+0.5E(r国库券)=(0.5×9.6%)+(0.5×3%)=6.3%<9.6%资产组合的期望收益率是每个资产的期望收益率的加权平均值。每个资产在组合中所占的比例是加权的权重。二、资产组合的收益

资产组合的方差为三、资产组合的风险112covsxxjNiNjiijp=åå==

四、两种资产的资产组合收益与风险通常，当组合中只有两种资产或证券（N=2）时上例中：σ投资者=0.5σ伞公司=0.5×20.76%=10.38%相关系数是测度两种资产互补程度与方向的指标；正的意味着资产收益同向变动，负的则是反方向变动；取值范围在－1和+1之间，其绝对值越接近于1，说明相关性越强，负的表示相反方向变动。相关系数1、当ρ=1时，表明两种资产完全正相关（降险效果最差）上式简化为：

P2=(x11+x22)2或

P=x11+x22

组合的标准差恰好等于组合中两种证券标准差的加权平均值。2、当ρ＜1时，组合标准差会小于两种证券标准差的加权平均值。（风险会降低）3、当ρ=-1时，表明两种资产完全负相关（可以完全无风险）上式简化为：

P2=(x11-x22

D)2或

P=|x11-x22|此时如果两种资产的比例恰当(x1

=2/1+2)，组合标准差可以降低到0.

由此可见，当相关系数从-1变化到1时，证券组合的风险逐渐增大。除非相关系数等于1，二元证券投资组合的风险始终小于单独投资这两种证券的风险的加权平均数，即通过证券组合，可以降低投资风险。相关性对资产组合标准差的效应

—为什么通过构建组合可以分散和降低风险？

例题假定投资者选择了A和B两个公司的股票作为组合对象，有关数据如下：

（给定ρ值后变换两种风险资产的投资比例）E(rp)20B（股票）ρ=-1ρ=0.5ρ=-0.5ρ=110A（债券）

03.163.87

不同ρ下标准差与期望收益的几何表达资产组合机会集合线（或叫资产组合可行集）：图中连接两个资产组合的连线。它显示了由两种风险资产构造的所有资产组合的期望收益与标准差。不同的线段显示的是在不同的相关系数下的资产组合的可行集。从图中可以看出：当集合线为直线（ρ=1），表示分散化没有什么益处；当集合线为抛物线（ρ<1），表示可以从分散化中获得更多利益；当ρ=-1，资产组合提供了一个完全对冲的机会，此时可以从分散化中获得最多利益；在进行实际的投资选择时，由于资产之间的相关系数已定，所以投资者只能根据自己的风险厌恶程度，选择这一已确定的集合线上的一个合适点。（要用到无差异曲线）显然，图中东北方向的资产组合适合风险厌恶程度较低的投资者。五、互补组合的收益与风险冷饮公司股票雨较多的年份