2023年高考数学解析几何模型 圆锥曲线压轴小题（解析版）

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关突破圆锥曲线压

轴小题（解析版）突破圆锥曲线压轴小题

思路引导

圆锥曲线的压轴小题往往与圆的方程、平面向量、解析几何等知识交回，与实际生活密切相关，提升

数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素养。

母题呈现

类型一圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题

【例1】（1）（2022・济南联考）已知椭圆C：=l（α>b>O）的左、右焦点分别是R（—c,0）,F2（c,O）,点尸是

椭圆C上一点，满足I*√+PB'|=|PF；—PB若以点尸为圆心，r为半径的圆与圆E：（x+c/+

22

y=4a,圆B:（χ-c）2+y2=/都内切，其中o<r<α,则椭圆C的离心率为（）

C遍

A-2B

∙!4D乎

（2）（2022・广州模拟）已知儿8分别为椭圆C丁片1的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA,PB与直

I

线x=3交于“，N两点，APMN与的外接圆的周长分别为∕ι,I2,贝K的最小值为（）

【方法总结】

高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与

不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题.

【针对训练】（1）（2022•深圳模拟）a，尸2分别为双曲线c：χ2~i^=1的左、右焦点，过凡的直线/与C的左、

右两支曲线分别交于N,B两点,若dF2B,则不∙用等于（）

A.4-2√3B.4+√3C.6f5D.6+2√5

（2）（多选）（2022•德州模拟）已知椭圆C：[+∣=1（O<X3）的左、右焦点分别为E,F2,点尸在椭圆上，点。

是圆χ2+（y—4）2=1关于直线x—y=O对称的曲线E上任意一点，若∣PQ∣一∣PF2∣的最小值为5—2贴，则下列

说法正确的是（）

A.椭圆C的焦距为2

B.曲线E过点B的切线斜率为酉

3

C.若48为椭圆C上关于原点对称的异于顶点和点P的两点，则直线R4与尸8斜率之积为一：

D∙∣PQ∣+∣PB∣的最小值为2

类型2圆锥曲线与三角形“四心”问题

【例2】（1）（2022•苏州联考）已知双曲线C：t-⅛=l（α>0,6>0）的左、右焦点分别是Q,点P是双曲

azb1

线C右支上异于顶点的点，点，在直线x=α上,且满足丽=%（"+萼）"∈R.若5寿+「丽*+3HF；

两国

=0,则双曲线C的离心率为（）

A.3B.4C.5D.6

22

（2）（2022∙江苏百师联盟联考）过抛物线C：x=2勿仍>0）上点M作抛物线。：j=4x的两条切线∕∣,I2,切点

分别为P,Q,若aMPQ的重心为G（Iq）,则P=.

【方法总结】圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题.但“四心”问题进入圆锥曲线后，

让我们更是耳目一新.在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高

数学解题能力.

【针对训练】（1）（2022•南京外国语学校模拟预测）已知Q（—1,0）,尸2（1,0），M是第一象限内的点,且满

足IMal+1M尸2∣=4,若/是的内心，G是尸1凡!的重心，记4/Q尸2与4GBM的面积分别为S，

S2，则（）

A.S∖>SιB.SI=S2

C.Sι<S2D.Sl与S2大小不确定

（2）（2022・湖北•荆州中学模拟预测）在平面直角坐标系OU中，双曲线C∣:弓一M=I（α>0,b>0）的渐近线

azhz

与抛物线。2：/=2々。>0）交于点O,A,B,若4O48的垂心为C2的焦点，则G的离心率为.

类型3圆锥曲线在生活中的应用

【例3】（1）（2022・湛江质检）根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，

反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦

点连线的夹角.请解决下面问题：已知E，B分别是双曲线C：r一记=i的左、右焦点，若从点入发出的

2

光线经双曲线右支上的点/（xo,2）反射后，反射光线为射线/加，则/尸的角平分线所在的直线的斜率为

（）

A.-√3B.一也C爸D.√3

33

（2）（2022•莆田华侨中学模拟预测）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场（鸟

巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场''鸟巢"的钢结构鸟瞰图如图1,内外两圈的钢骨架是

离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点4和短轴一端点8分别向内层椭圆引切线/C,8。（如图2）,

且两切线斜率之积等于一∙⅛,则椭圆的离心率为（）

16

图1图2

【方法总结】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地.研究圆锥曲

线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性.

【针对训练】（1）（2022•德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦

点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲

线C的方程为x2+4y2=4,其左、右焦点分别是尸I,Fi,直线/与椭圆C切于点P,且IPFII=1,过点P且

与直线/垂直的直线与椭圆长轴交于点则IaM:尸M等于（）

A.√2：√3B.1：√2

（2）（2022・东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是产一χ2=ι,y∈[i,ιo],

在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为

)

A.1B.2C.3D.2.5

模拟训练

1.（2023・陕西榆林•陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线C：三-4=l（α>0,b>0）的左、右焦点分

别为£、乙，点P在双曲线C的右支上，且∣PG∣=4IPEI，双曲线C的一条渐近线方程为T=丘，则%的最

大值为（）

4433

A.-B.一一C.-D.一一

3344

2.（2023・河南洛阳・洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线。工-斗=1（八0力>0）的左、右焦点分别为耳，

巴，/是双曲线C的左顶点，以F∖FI为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于尸,。两点,且方•而=-4a2,

则双曲线C的离心率为（）

A.√2B.√3C.√5D.2

3.（2023•河南•洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆C:f+Zi=l的上焦点F且斜率为/的直线/交椭

2

圆C于48两点，O为坐标原点，直线OaoB分别与直线y=2相交于MN两点.若NMoN为锐角，则直线

/的斜率上的取值范围是（）

A.（→o,-l）θ（l,+∞）B.冬］

D.(-∞,-l)u-

2,2

4.（2023•河南•统考模拟预测）已知点尸是抛物线C：苫2=外的焦点，过F的直线/交抛物线C于不同的两

点M,N,设标=2丽，点。为MN的中点，则。到X轴的距离为（）

5.（2023・湖南•模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现："平面内到两个

定点48的距离之比为定值4（Λ≠∣）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波

罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系X伽中，/（T,l）,8（-4,4）,若点P是满足4=；的阿氏圆上

的任意一点，点。为抛物线C:/=I6X上的动点，。在直线x=-4上的射影为R则∣P8∣+2∣PQ∣+2∣QRl的

最小值为（）

A.4√5B.8√5C.叵D.2√65

2

6.（2023•广东梅州•统考一模）由伦敦著名建筑事务所Sfe/S〃面。设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建

筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线工-4=1

a^b^

（a>0,⅛>0）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60"，则该双曲线的离心率为（）

7.（2022・山东聊城•统考三模）2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口

方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台"承天载物"的设计理念正是

来源于此，它的基座沉稳，象征"地载万物"，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊

的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm,上

口直径为岑cm,下口直径为25cm,最小横截面的直径为20cm,则该双曲线的离心率为（）

13

B.2D.

5

8.（2022・四川成都・树德中学校考模拟预测）双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点心发出的光

线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点耳.我国首先研制成功的"双曲线新闻灯”，就是利

用了双曲线的这个光学性质.某"双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为

χ22

］一v方=l（α>O力>0）,耳,g为其左右焦点，若从右焦点鸟发出的光线经双曲线上的点4和点B反射后,

3

满足/R4。=90,tanNZBC=-二，则该双曲线的离心率为（）

图①图②

R而

A.√ioD.----C.√3D.2√3

2

9.（2022•湖北省直辖县级单位•湖北省天门中学校考模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为耳，F2,

记它们其中的一个交点为尸，且/耳尸耳=120。,则该椭圆离心率4与双曲线离心率C?必定满足的关系式为

()

,13,31

A.-CH—β=1B.-C2H—g2=1

41427414-

3113

c∙帚十福-T1D.超+福=I

10.（2022•河北唐山•统考三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当

我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率》与椭圆的长半轴长与短半轴长的

22

乘积，已知椭圆。:与+5=1（。>6>0）的面积为6缶，两个焦点分别为耳,鸟，点P为椭圆。的上顶点.直

ab

Q

线y=丘与椭圆C交于4B两点、,若P4P5的斜率之积为则椭圆C的长轴长为（）

A.3B.6C.2√2D.4√2

11∙（多选题）（2023•浙江嘉兴•统考模拟预测）已知椭圆C:三+仁=1,4，4分别为椭圆C的左右顶点，

43

8为椭圆的上顶点.设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线48与直线4〃交于点P,直线与

直线48交于点。，则（）

A.若直线4例与4加的斜率分别为K，k2,则勺.&=-；

B.直线P。与X轴垂直

C.∖BP∖=∖BQ∖

D.∖MP∖=∖MQ∖

12.（多选题）（2023,山西•校联考模拟预测）过抛物线C:V=4x的焦点厂的直线交该抛物线于4B两点,

。为坐标原点，则下列判断正确的是（）

A.AO/8可能为锐角三角形

B.过点M（O』）且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条

C.若∣47∣=3,则小。8的面积为孚

D.|/日+2忸日最小值为3+2√Σ

13.（多选题）（2023•山东•潍坊一中校联考模拟预测）已知双曲线C/=i和圆尸：/+（y_3>=r{r>0）,

则（）

A.双曲线C的离心率为逅

2

B.双曲线C的渐近线方程为x±2y=0

C.当,■=布时，双曲线C与圆P没有公共点

D.当厂=2&时，双曲线C与圆尸恰有两个公共点

14.（多选题）（2023•安徽蚌埠・统考二模）球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的

底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作一个

球冠.已知该球冠的底半径为60cm,高为20cm.假设地面是平面，太阳光线是平行光束，下列说法正确

的是（）

TT

A.若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为?，则伞在地面的影子是圆

4

B.若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为台Tr,则伞在地面的影子是椭圆

C.若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角:，则伞在地面的影子为椭圆，且该椭圆离心率为3

D.若太阳光线与地面所成角为三，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的

6

最大值为240Cm

15.（多选题）（2023•山东淄博•统考一模）已知曲线C的方程为三+片=1（用<4且〃?WO）,A,8分别为

4tn

C与X轴的左、右交点，P为C上任意一点（不与A,8重合），则（）

A.若",=-1,则C为双曲线，且渐近线方程为V=±2x

B.若尸点坐标为（1,n）,则C为焦点在X轴上的椭圆

c.若点尸的坐标为（C7蔡,o）,线段尸尸与X轴垂直，则∣"7∣=3

D.若直线4，PB的斜率分别为占，k2,则出禹=—?

16.（2023∙河南•洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线cEW=l（α>O,b>O）的左、右焦点分别为耳,与C

a~υ

的离心率为岑，点（4,6）在C上，点P是双曲线C与圆/+『=5的一个交点，则△尸不心的面积

S=.

17.（2023•湖北•统考模拟预测）已知M（l,2）为抛物线C:迷=2px（p>0）上一点,过点T（0,l）的直线与抛物

线C交于/,8两点，且直线与MB的倾斜角互补，贝”〃|卡阴=.

18.（2023•四川•校联考模拟预测）P为椭圆：+]=1上一点，曲线1+M=l与坐标轴的交点为A,B,C,

D,若|P/|+|P8|+|PC|+|P£>|=4#,则P到X轴的距离为.

19.（2023∙吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线/=4x上的动点，P到y轴的距离

为4,到圆C:（x+3『+（尸3）2=4上动点。的距离为&，则4+4的最小值为.

22

20.（2023•云南玉溪•统考一模）已知不入分别是椭圆。：r/+%v=1（。>6〉0）的左、右焦点，A,8是椭

圆C与抛物线尸:N=-二+α的公共点，A,8关于y轴对称且A位于y轴右侧，∣∕8∣≤2g勾，则楠圆C的

a

离心率的最大值为.

突破圆锥曲线压轴小题

思路引导

圆锥曲线的压轴小题往往与圆的方程、平面向量、解析几何等知识交回，与实际生活密切相关，提升

数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素养。

母题呈现

类型一圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题

【例1】(1)(2022・济南联考)已知椭圆C：=l(α>b>0)的左、右焦点分别是R(—c,0),F2(c,O),点尸是

椭圆C上一点，满足I尸尸「+PB'∣=∣PF；—若以点尸为圆心，r为半径的圆与圆E：(x+c/+

22圆B：(χ-c)2+y2=/都内切，其中o<Xα,则椭圆C的离心率为()

y=4af

C遍D乎

ʌɪB

2∙!4

【答案】C

【解析】由IPF；+PF2'|=|PF；-PF2'I两边平方,

可得PF:-PF2'=0,则PF「±PF2',

吗=2α-r,

由已知得即」「II-IPf2∣=4,

Ml=a-r,

呐啜

由IPFlI+1PBI=24,得

『乃1=；，

2

在△尸尸而中，由IPFII2+∖PF2∖=IFIBF

得"+《=4。2,gpe2=^~=~,所以e=

44a284

(2)(2022・广州模拟)已知48分别为椭圆C：亍+炉=1的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA,PB与直

线x=3交于M,N两点，APMN与4Λ48的外接圆的周长分别为∕ι,I,则的最小值为()

2Ii

√5

AC.—

4B?4D∙Z

【答案】A

【解析】由已知得/(-2,0),8(2,0),设椭圆C上动点尸(x,>),

则利用两点连线的斜率公式可知kpλ=~―θ>kpB=~―θ,

x+2χ-2

N

,,,厂02—0V2P2ɪ~~Λ1

∙∙kpA'kpB=^---------------------------="T-=------ɪ=

2

x+2χ-2(x+2)(x-2)X-4χ2.44

设直线RI的方程为y=-X+2),

则直线PB的方程为y=-ɪ(ʃ-2),

4k

根据对称性设辰0,

令X=3,得>M=5左，yr=-ɪ,

即M(3,5机∕√(3,-X),则∖MN∖=5k+~.

4k4k

设APMV与△必8的外接圆的半径分别为门，rz,

∖AB∖

由正弦定理得2门=2r2=

SinZMPNsinZAPB"

VΛMPNZ^P5=180o,XsinNMPN=SinNZPB,

..上=陋=i=则=5/<+匕2小弓=追.

h2π∕*2/2∖AB∖-4^-44'

当且仅当母=上，即无=*时，等号成立，

即)的最小值为害.

/24

【方法总结】

高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与

不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题.

【针对训练】⑴(2022•深圳模拟)Q,巳分别为双曲线C：X2—1=1的左、右焦点，过吊的直线/与C的左、

右两支曲线分别交于4,8两点，若ILFzB,则不•用等于()

A.4-2√3B.4+√3C.6-2√5D.6+2√5

【答案】C

【解析】在双曲线C中，4=1,h=∖ι'2,c=∖∣3,

则F∣(-g,0),F2(√3,0),

因为直线/过点由图知，直线/的斜率存在且不为零，

因为ILFzB,则AF∖BF2为直角三角形，

可得∣/∣∣2+∣∕2∣2=/典2=12,

由双曲线的定义可得∣5FlI-IBF2∣=2,

22

所以4=(∣8FlI-IB尸2产=∣SF,∣+∖BF2∖-2∣BFι∣∣5F2∣=12-2∖BF↑∖-∖BF2∖,

可得任BHBF2∣=4,

∫∣βF∣∣-∣5F∣=2,

联立，2

1∣5FI∣∙∣JBF2∣=4,

解得∣/2∣=3-1,

因此或∙用=(&+∑T)∙疫=疫2+药•疫

=(√5-l)2=6-2√5.

⑵(多选)(2022•德州模拟)已知椭圆C：(+∣=l(0<*3)的左、右焦点分别为H,F2,点P在椭圆上，点。

是圆χ2+g-4)2=l关于直线χ-y=O对称的曲线E上任意一点，若|P。LIPF2∣的最小值为5—2#,则下列

说法正确的是()

A.椭圆C的焦距为2

B.曲线E过点£的切线斜率为Q后

3

C.若48为椭圆C上关于原点对称的异于顶点和点P的两点，则直线以与尸8斜率之积为一:

D.|「0|+『乃|的最小值为2

【答案】BC

【解析】圆/+。-4)2=1关于直线χ-y=O对称的曲线为以C(4,0)为圆心，1为半径的圆，

即曲线E的方程为(χ-4)2+f=1,

由椭圆定义有|丹川+∣PF2∣=2α=2√5,

∖PQ∖-∣PΓ2∣=∖PQ∖-(2√5-IPQI)

=IPOI+IPBI-2道210F1∣-2√5.

由图知Q'（3,0）,

∖Q,F∣∣-2√5=3+c-2√5=5-2√5,

解得c=2,6=1,

丫2

椭圆方程为j+y2=ι.

故焦距IFF2∣=2c=4,A错误;

,

∖PQ∖+∖PF2∖^∖QBl=3-C=1,D错误；

设曲线E过点乃的切线斜率为k,

则切线方程为kx~2k-y-0,

由圆心到切线方程的距离等于半径得附生义=1,

W+F

即％=酉，B正确；

3

设P(X(),yo),A(x↑,ʃi),8(-Xi,-y∖)>

则或局=9・二^=中耳

Xl-XO-X∖-XOXT-XO

又点尸，48都在椭圆上，即H+W=l,

类型2圆锥曲线与三角形“四心”问题

【例2】⑴（2022•苏州联考）已知双曲线C：4~⅛=l（α>0,6>0）的左、右焦点分别是尸ι,点尸是双曲

azD1

线C右支上异于顶点的点，点，在直线x=α上,且满足丽=2（"+萼）"∈R.若5赤+「丽*+3HF；

I困圈

=0,则双曲线C的离心率为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】由丽=々”+丝），λ∈R,

网胸I

则点”在NBP3的角平分线上，

由点，在直线X=α上，则点H是∕∖PF∖Fι的内心,

由5HP+4HFz+3HF\=0,

由奔驰定理(已知产为LABC内一点，则有S^PBC-PA+S^PACPB+S^BPC=0)知,

S△〃4与♦S△HFFSAHFf=5：4：3,

r

即,Fι72∣∙r：^∖PF∖∖-r:^PF2∖τ=5：4：3,

则IFl园：∣PFι∣：∖PF2∖=5：4：3,

设IQF2∣=5九IPFll=4九IPBl=3九

则//2∣=2c=5∕l,

即c=£,∖PF↑∖-∖PF2∖=2a≈λ,

即a=4,则e=9=5.

2a

(2)(2022・江苏百师联盟联考)过抛物线C：x2=20<p>O)上点Λ/作抛物线Df=4x的两条切线∕ι,/2,切点

分别为P，。，若△Λ∕P0的重心为G(1,∙∣),则P=.

【答案】ɪ

【解析】设/(/,、)，Pa1,y∣),。(必㈤,

设过点〃的直线方程为X=Z(K)-土-)+枇，①

与ʃ2=4x联立得歹2=4f(y——2_)+4xo,

即产-4ty+2亚-4xo=0，②

P

由题意知/=2

16∕-4(⅛L-4χ0)O,

、P

即2pt2-xit+2pxo=0，

则力+及=&，，1“2=Xθ(∕∣,亥分别表示/1,，2斜率的倒数),

2p

由于方程②/=0,则其根为y=2b

当E=El时，H=2力,当/=力时，及=21，

•：XMPQ的重心为G(1,∣),

—+ʃɪ+y2=~+2(r∣+?2)

2p2p

=—+2X—③

2p2p2p2

而X]+X2=八(必—∙∣2-)+X0÷/2(8—IiL~)+%。

=2(∕?+ti)-ξ-(∕ι+t2)+2xo

=2[(n+亥)2-2/1/2]-鄂+Z2)+2X0

=2(A--2χ)-y^+2xo=y⅛-2xo.

4p204p2402

.*.X0+Xl+X2=ʒ-XO=3>④

4p~

联立③④得P=,.

【方法总结】圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题.但“四心”问题进入圆锥曲线后,

让我们更是耳目一新.在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高

数学解题能力.

【针对训练】⑴(2022•南京外国语学校模拟预测)已知F1(—1,0),F2(l,0),M是第一象限内的点，且满

足+∣ME2∣=4,若/是的内心，G是国的重心，记与AGF∣Λ∕的面积分别为S,

52,贝弘)

A.S∖>S2B.SI=S2

C.Sl<S2D.Sl与S2大小不确定

【答案】B

【解析】因为应如∣+∣MF2∣=4>F1B∣=2,

所以”的轨迹是椭圆^+迷=1在第一象限内的部分，如图所示.

43

因为/是/IB的内心，设内切圆的半径为八

历以(IMFll+M72∣+I尸∣H∕72b¼/

22'

所以，•=地，所以S尸回皿=处，

323

又因为G是的重心，

所以OG:GM=1：2,

21

所以S2=§SAMOFi=]S4F]MF∖

3.号号所以Slf

(2)(2022•湖北•荆州中学模拟预测)在平面直角坐标系电中，双曲线C∣:三一E=l(α>O,於0)的渐近线

a1b~

与抛物线G：χ2=2py（p>0）交于点O,A,B,若40/18的垂心为C2的焦点，则G的离心率为

【答案】-

2

【解析】设ON所在的直线方程为y=∖,

a

则OB所在的直线方程为y=--χ,

a

'2pb

bɪ=>

y≈-χ,a

*2

解方程组∙a得'2pb

2

∖x=2py,I=必，

所以点4的坐标为（型,蚱），

aa

抛物线的焦点F的坐标为

因为F是AOIB的垂心，所以上次自F=-I,

所以_2（翁if）=7=与二

a'2pb,a-4

所以¢2*=1+q=苫，解得e=j.

a2a242

类型3圆锥曲线在生活中的应用

【例3】（1）（2022•湛江质检）根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，

反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦

点连线的夹角.请解决下面问题：已知H,B分别是双曲线C：/—£=1的左、右焦点，若从点用发出的

光线经双曲线右支上的点/（xo,2）反射后，反射光线为射线ZM,则NFMM的角平分线所在的直线的斜率为

（）

A.-√3B.-亚C.也D.√3

33

【答案】B

【解析】由已知可得Nao,2）在第一象限，

将点力的坐标代入双曲线方程可得与-4=1,

2

解得Xo=咐，所以4（3,2）,

又由双曲线的方程可得“=1,b=∖∣2,

所以C=3，则B（S，0）,

所以MBl=2,且点43都在直线x=√5上，

又IoQl=IOBl=√5,

所以tanZFiAF2===√3,

∖AF2∖2

所以/a/B=60。，

设NBNM的角平分线为AN,

ooo

则NF2AN=(180-60)×^=60,

所以/尸的角平分成所在的直线力N的倾斜角为150°,

所以直线的斜率为tan150°=.

3

(2)(2022・莆田华侨中学模拟预测)第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟

巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1,内外两圈的钢骨架是

离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点/和短轴-端点8分别向内层椭圆引切线/C,Ba如图2),

且两切线斜率之积等于一；¾,则椭圆的离心率为()

16

图1图2

A.3B.—c

44∙⅞2

【答案】B

【解析】若内层椭圆方程为三+E=l(α*O),由离心率相同，可设外层椭圆方程为

a1bz

(ma)2(mb)2

ΛJ(-mafi),8(0,mb),

设切线AC为y=k∖(x+ma),

切线BD为y=kτx+mb,

y=k∖(x+ma),

∙∙∙⅛÷⅛=1,

Vi，2b2

整理得6+b2)x2+2maik{x+m2a4k↑~a2b2=0,

由/=0知

(2ma3lc↑)2-4(/6+⅛2)(m2a4A?-a2b2)=0,

整理得好=《一一,

a-\

y=k2x+mb,

同理卫义

口厂L

A2

可得扃=~（w211）,

a2

・•・（左/）2=4=（-2）2,即4=*

er16。16

故e,L=g

a∖∣a24

【方法总结】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地.研究圆锥曲

线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性.

【针对训练】（1）（2022•德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦

点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲

线C的方程为/+4y2=4,其左、右焦点分别是Q,F2,直线/与椭圆C切于点P,且IPQI=1,过点尸且

与直线/垂直的直线/'与椭圆长轴交于点则IaM:r2M等于（）

1\切级./

A.√2：√3B.1：√2C.1：3D.1：√3

【答案】C

【解析】由椭圆的光学性质得直线厂平分NnPF2,

因为包”=田M

S4PMF1底阳

^PFi∖∖PM∖sinZFiPM叵工

1|PF?|,

^PF2∖∖PM∖smZF2PM11

⅛∣PF∣∣=1,∣PFι∣+∖PF2∖=4得IPF2∣=3,

故IFlM：∖F2M∖=1：3.

（2）（2022•东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是V-X2=1,y∈[l,10],

在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为

()

A.1B.2C.3D.2.5

【答案】A

【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示,

6

4

3

Ol2345X

圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为八圆心为(0,r+l),

圆的方程为x2+(y-r-l)2=r2,

代入双曲线方程产-χ2=ι,

得Z2_&+[»+厂=0，.∙.y=]或y=r,

要使清洁钢球到达底部，即，∙wι.

L(2023∙陕西榆林•陕西省神木中学校考模拟预测)已知双曲线C：T-1=l(a>0,6>0)的左、右焦点分

别为6、J点P在双曲线C的右支上，且ISI=4|”|,双曲线C的一条渐近线方程为y=⅛x,则左的最

大值为()

4433

A.-B.—C.-D.—

3344

【答案】A

【分析】根据三角形两边之和大于第三边，6、玛和尸共线时取等号，列出出C的不等式即可.

【详解】∙∙∙∣P4∣=4∣P∕4,∣P4∣-∣P6∣=2%

中用+明≥WF∙

5

.,.c≤-a

3

,222,16

.,.b=c-a≤—a

9

.∙.b-≤4?即人的最大值为三4

故选：A.

2.（2023・河南洛阳•洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线cE-<=l（α>O力>0）的左、右焦点分别为耳,

a~b

玛，力是双曲线C的左顶点，以耳名为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P,Q两点,且万•通=-4d,

则双曲线C的离心率为（）

A.√2B.√3C.√5D.2

【答案】C

【分析】方法一：根据已知条件分别表示出点/、P、。的坐标，代入万•而=-4/可得。与。的关系式,

再由/+〃=C?及离心率公式可求得结果.

方法二：运用极化恒等式及向量的加法、减法法则计算可得结果.

【详解】方法一：依题意，易得以百用为直径的圆的方程为/+V=c2.

易得双曲线C的渐近线方程为y=±2χ.

a

则。(-∙⅞,-M).

b

y=­XX=4X=-Q

联立a,解得a或,,所以尸他力)，Q(-a,-bY

y=-b

x2+y2,2

又因为/（一。,0）,所以IX轴.

所以万=（24,6）,AQ=（0,-b）.^^APAQ=-h2=-4a2,所以b=2α.

因为/+从=。2,所以5∕=C2.

同理，当y=-^x时，亦可得Sa?=’?.

a

故双曲线C的离心率为e=G=J?.

a

故选：C.

方法二（极化恒等式）：易得坐标原点。为线段尸。的中点，且∣P0∣=2c,

所以存福=；［（万+福）2-（万-而再=；（|2而F-I炉∣2）=∕-C2=T/,所以Sa?.,所以

β=-=∙χ∕5.

a

故选：C.

3.（2023•河南•洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆Uf+片=1的上焦点尸且斜率为上的直线/交椭

2

圆C于48两点，。为坐标原点，直线分别与直线y=2相交于",N两点.若NMoN为锐角，则直线

/的斜率上的取值范围是（）

r√∣√2、

A.（-∞,-l）u（l,+∞）B.

2'27

D.(-.-1)4-ff]

V(1,+8)

【答案】D

【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直线的方程，将直线方程与椭圆

方程联立，再利用韦达定理及两直线相交联立方程组求出交点坐标，结合己知条件、点在直线上及向量的

数量积的坐标运算即可求解.

【详解】由题意可知,a2=2,b2=∖,^c2=a2-b2=l,

所以椭圆C:/+]=ι的上焦点为尸（0,1）,

设直线/的方程为丁=去+1,/（菁,弘）,5伍,外），

y=fcc÷1,

联立,V2,消去几得(2+公卜2+2日-1=0,

X+；=，

-2k

所以%+x2=

由题设知，0所在的直线方程为N=ZLX.

再

因为直线04与直线＞=2相交于点M,

所以M（TL,2）；

因为NMON为锐角,

所以丽・丽＞0，

l4xx4XX

所以丽•丽二^+4=-l2+4=12+N

y^2(Axl+1)(AX2÷1)必xlx2+&$+xj+1

4×

224⅛2-2

2+%÷4=+4=

-2kk