2矩形的性质与判定

2024/3/132矩形的性质与判定知识点一

矩形的定义和性质

内容应用格式作用定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形在▱ABCD中,∵∠A=90°,∴▱ABCD是矩形判定一个平行四边形是矩形性质1矩形的四个角都是直角∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°①证线段垂直;②连对角线,构造直角三角形性质2矩形的对角线相等∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD证两条线段相等对称性①矩形是轴对称图形,其对称轴是经过对边中点的直线,共有两条;②矩形又是中心对称图形,其对称中心是对角线的交点拓展①矩形是一种特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;②矩形的定义既可当作性质使用,也可当作判定方法使用例1如图1-2-1,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠BOC=120°,

AB=6.求:(1)对角线长;(2)BC的长;(3)矩形的面积.图1-2-1解析(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,∴OA=OB.∵∠BOC=120°,∴∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6,∴BD=AC=2OA=2×6=12.(2)在Rt△ABC中,AB=6,AC=12,由勾股定理,得BC=

=

=

=6

.(3)矩形ABCD的面积=AB·BC=6×6

=36

.温馨提示矩形的对角线相等且互相平分,矩形的对角线将矩形分成了

四个等腰三角形,再由特殊角可以得到特殊的三角形——等边三角形,

利用等边三角形的性质可得出问题的结论.知识点二

直角三角形斜边上的中线的性质名称直角三角形斜边上的中线图示性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

应用格式在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,则CD=

AB=AD=BD重点解读(1)直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论,该性质的前提是直角三角形,对一般的三角形不适用.(2)此性质可以用来解决有关线段倍分的问题.(3)直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题是真命题,即如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形例2如图1-2-2,BD,CE是△ABC的高,G,F分别是BC,DE的中点,求证:FG

⊥DE.

图1-2-2分析根据题意连接EG,DG,利用直角三角形斜边上的中线的性质可得

EG=DG,然后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可解决.证明如图1-2-3,连接EG,DG.

图1-2-3∵CE是AB边上的高,∴CE⊥AB.在Rt△CEB中,G是BC的中点,∴EG=

BC.同理,DG=

BC.∴EG=DG.又∵F是ED的中点,∴FG⊥DE.点拨在直角三角形中,遇到斜边的中点常作斜边的中线,把问题转化为等腰三角形问题,利用等腰三角形的“三线合一”来解决.知识点三

矩形的判定

判定方法符号语言图示矩形的判定角有一个角是直角的平行四边形是矩形在平行四边形ABCD中,∵∠BAD=90°,∴平行四边形ABCD是矩形

有三个角是直角的四边形是矩形在四边形ABCD中,∵∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°,∴四边形ABCD是矩形对角线对角线相等的平行四边形是矩形在平行四边形ABCD中,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形重点解读(1)用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件:一是有一个角是直角;二是平行四边形.也就是说,有一个角是直角的四边形不一定是矩形,必须加上“平行四边形”这个条件,它才是矩形.(2)用对角线判定一个四边形是矩形,也必须满足两个条件:一是对角线相等;二是平行四边形.也就是说,对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上“平行四边形”这个条件,它才是矩形.(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形例3如图1-2-4,在平行四边形ABCD中,E,F为BC上两点,且BE=CF,AF=

DE.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)四边形ABCD是矩形.

图1-2-4分析

(1)根据题中的已知条件不难得出AB=CD,BF=CE,因为AF=DE,

所以可根据“边边边(SSS)”判定两三角形全等.(2)由于四边形ABCD是平行四边形,所以只要证明一个角为直角即可.证明

(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,∴BF=CE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.在△ABF和△DCE中,∵AB=DC,BF=CE,AF=DE,∴△ABF≌△DCE.(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠B=∠C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°.∴四边形ABCD是矩形.题型一

利用矩形的性质进行计算例1如图1-2-5,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,对角线AC、BD相交于

点O,且BE∶ED=1∶3,AD=6cm,求AE的长.图1-2-5解析因为四边形ABCD为矩形,所以BO=OD=

BD=OA,∠BAD=90°.因为BE∶ED=1∶3,ED=OE+OD=OE+OB=OE+BE+OE=BE+2OE,所以

BE∶(BE+2OE)=1∶3,所以BE=OE.因为AE⊥BD,所以AB=AO=BO,所以

∠ABO=60°.因为∠BAD=90°,所以∠ADB=90°-60°=30°.又∠AED=90°,

所以AE=

AD=

×6=3(cm).题型二

矩形的折叠问题例2如图1-2-6,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的

点F处,已知CE=3,AB=8,求图中阴影部分的面积.图1-2-6分析

由折叠知△ADE≌△AFE.已知CE=3,AB=CD=8,故DE=EF=5,再

运用勾股定理即可求出CF及BF的长,则可求出阴影部分的面积.解析∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD=8,AD=BC.又∵CE=3,∴DE=5,由折叠知△ADE≌△AFE,∴AD=AF,DE=EF=5.在Rt△ECF中,由勾股定理,得FC=

=

=4.设BF=x,则BC=AD=AF=x+4.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB2+BF2=AF2,即82+x2=(x+4)2,解得x=6,即

BF=6,故阴影部分的面积为S△ABF+S△ECF=

×6×8+

×3×4=30.题型三

矩形的实际应用例3工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:(1)如图1-2-7①,先截出两对符合规格的铝合金窗料,使AB=CD,EF=GH;(2)摆放成如图1-2-7②的四边形,则这时窗框的形状是

形,根据

的数学原理是

;(3)如图1-2-7③,将直角尺靠紧窗框的一个角,调整窗框的边框,当直角尺

的两条直角边与窗框无缝隙时说明窗框合格,这时窗框是

形,

根据的数学原理是

.图1-2-7解析图②满足两组对边分别相等,所以它的形状是平行四边形,在图

③上使一个角为直角,由矩形的定义可以判定其形状为矩形.答案(2)平行四边;两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)矩;

有一个角是直角的平行四边形是矩形点拨本题体现了平行四边形与矩形之间的关系.题型四

动态探究题例4

(2018河南平顶山实验中学第一次月考)如图1-2-8,在△ABC中,点

O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设∠BCA的平分线交

MN于点E,△BCA的外角∠ACD的平分线交MN于点F.图1-2-8(1)证明:EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?简要说明理由.分析(1)根据条件说明△OEC与△OCF都是等腰三角形,即EO=OC=

FO.(2)由(1)知OE=OC=OF,只要OA=OC,即当点O为AC的中点时,四边形

AECF是矩形.解析(1)证明:∵MN∥BC,∴∠CEO=∠ECB,∠CFO=∠FCD.∵CE,CF分别是∠BCA,∠ACD的平分线,∴∠ECO=∠ECB,∠FCO=∠FCD,∴∠CEO=∠ECO,∠CFO=∠FCO,∴EO=OC,FO=OC,∴EO=FO.(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:由(1)知EO=FO.又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.∵OE=OC,∴EF=AC,∴平行四边形AECF是矩形.点拨求点O运动到何处时四边形AECF是矩形,可以先把矩形当作已知条件,确定出点O与AC的位置关系,然后添加条件,经过推理,证明四边

形AECF是矩形.易错点

混淆判定方法的前提“平行四边形”与“四边形”而出错例下列说法中,正确的是

()A.对角线相等的四边形是矩形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形解析在判定四边形是矩形时,可以先判定四边形是平行四边形,再寻

求一个角是直角或对角线相等的条件,才可作出判定;若先不判定四边

形是平行四边形,则应寻求三个角是直角或对角线互相平分且相等的条件.答案

C易错警示错选A或B或D的原因是没有正确理解和掌握矩形的判定方

法,忽略了“平行四边形”这个前提,应该是有一个角是直角的平行四

边形是矩形或对角线相等的平行四边形是矩形.知识点一

矩形的定义和性质1.如图1-2-1,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添

加的条件是()

图1-2-1A.AB=CD

B.AD=BCC.∠AOB=45°

D.∠ABC=90°答案

D因为四边形ABCD的对角线互相平分,所以四边形ABCD为平

行四边形,A、B两选项为平行四边形具有的性质,C选项添加后也不是

矩形,根据矩形的定义知D正确.故选D.2.(2017广西南宁马山期末)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质

是

()A.对角相等

B.对边相等C.对角线相等

D.对角线互相平分答案

C矩形的对角线相等,而平行四边形的对角线不一定相等.3.(2017甘肃兰州中考)如图1-2-2,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点

O,∠ADB=30°,AB=4,则OC=

()

图1-2-2A.5

B.4

C.3.5

D.3答案

B因为四边形ABCD为矩形,所以∠DAB=90°,AC=BD,OC=

AC.因为∠ADB=30°,AB=4,所以在直角三角形ABD中,BD=2AB=8,所以AC=8,所以OC=

AC=4,故选B.知识点二

直角三角形斜边上的中线的性质4.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,最短边长为5cm,则最长边上的中线

长是

()A.5cmB.15cmC.10cmD.2.5cm答案

A如图,∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴AB=2AC=10cm.∵CD是AB

边上的中线,∴CD=

AB=5cm.故选A.

5.如图1-2-3,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点.若DE

=5,则AB的长为

.

图1-2-3答案10解析∵AD⊥BC,E为AC的中点,∴DE是Rt△ADC斜边上的中线,∴AC=2DE=10.又AB=AC,∴AB=10.知识点三

矩形的判定6.如图1-2-4,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需

要添加的条件是

()

图1-2-4A.AB=CD

B.AD=BC

C.AB=BC

D.AC=BD答案

D可添加AC=BD.∵四边形ABCD的对角线互相平分,∴四边形

ABCD是平行四边形,又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的

平行四边形是矩形),故选D.7.图1-2-5是四根木棒搭成的平行四边形框架,AB=8cm,AD=6cm,使AB

固定,转动AD,当∠DAB=

时,▱ABCD的面积最大,此时▱ABCD

是

形,面积为

.

图1-2-5答案90°;矩;48cm2

解析当AB、CD间的距离最大时,▱ABCD的面积最大,此时它是矩形,

即∠DAB=90°,面积为48cm2.8.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否

分别相等,然后测量两条对角线是否相等,这样做的依据是

.答案两组对边相等的四边形是平行四边形;对角线相等的平行四边形

是矩形解析先测量两组对边是否分别相等,如果分别相等,则四边形为平行

四边形,其根据是:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;然后测量

两条对角线是否相等,如果对角线相等,则平行四边形为矩形,其根据是:

对角线相等的平行四边形是矩形.9.如图1-2-6,已知在△ABC中,∠BAC=90°,DE、DF是△ABC的中位线,连

接EF、AD.求证:EF=AD.

图1-2-6证明∵DE,DF是△ABC的中位线,∴DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形.又∵∠BAC=90°,∴平行四边形AEDF是矩形.∴EF=AD.10.已知:如图1-2-7,▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.

求证:四边形EFGH是矩形.

图1-2-7证明

∵AF、BF分别平分∠BAD、∠ABC,∴∠BAF=

∠BAD,∠ABF=

∠ABC.在▱ABCD中,∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,∴∠BAF+∠ABF=90°,∴∠AFB=90°,∴∠EFG=90°,同理,∠E=∠G=90°,∴四边形EFGH是矩形.1.数学课上,老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某合

作小组的4位同学拟订的方案,其中正确的是

()A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量三个角是否为直角答案

D根据有三个角是直角的四边形是矩形可以判定此四边形门

框是矩形.2.如图,将矩形纸片ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重

叠的四边形EFGH,若EH=12厘米,EF=16厘米,则边AD的长是

()

A.12厘米

B.16厘米

C.20厘米

D.28厘米答案

C根据题意可知2HF=AH+BF+CF+DH=AD+BC.在矩形ABCD

中,AD=BC,故HF=AD.利用勾股定理可以求出HF=20厘米.从而得出AD=

HF=20厘米.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,

若CD=5cm,则EF=

cm.

答案5解析在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,∴AB=2CD=10cm,又E、F分别为BC、AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF=

AB=5cm.4.(2014江苏宿迁中考)如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中

点,AH是BC边上的高.(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;(2)求证:∠DHF=∠DEF.

证明(1)∵点D,E分别是AB,BC的中点,∴DE∥AC,同理,EF∥AB,∴四边形ADEF是平行四边形.(2)∵四边形ADEF是平行四边形,∴∠DAF=∠DEF.∵在Rt△AHB中,D是AB的中点,∴DH=

AB=AD,∴∠DAH=∠DHA,同理,∠FAH=∠FHA,∴∠DAF=∠DHF,∴∠DHF=∠DEF.5.如图,GE∥HF,直线AB与GE交于点A,与HF交于点B,AC、BC、BD、

AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线.求证:四边形

ADBC是矩形.

证明∵EG∥HF,∴∠GAB+∠ABH=180°.∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线,∴∠1=

∠GAB,∠4=

∠ABH,∴∠1+∠4=

(∠GAB+∠ABH)=

×180°=90°,∴∠ADB=180°-(∠1+∠4)=90°.同理可得∠ACB=90°.∵BC平分∠FBA,∴∠2=

∠FBA,又∵∠ABH+∠FBA=180°,∴∠4+∠2=

(∠ABH+∠FBA)=

×180°=90°,即∠DBC=90°,∴四边形ADBC是矩形.1.如图1-2-8,E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边

形EFGH为矩形,四边形ABCD应具备的条件是

()

图1-2-8A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分答案

C因为E、H分别是AB、AD的中点,所以EH是△ABD的中位

线,所以EH∥BD且EH=

BD,同理,FG∥BD且FG=

BD,故EH

FG.由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可知四边形EFGH是平行四

边形.要使四边形EFGH为矩形,只需满足一个角是直角即可.由EH∥BD,HG∥AC知只要满足AC⊥BD就能得到一个角为直角,因此选C.2.(2015贵州铜仁中考)如图1-2-9,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD

沿对角线BD翻折,点C落在点C'处,BC'交AD于点E,则线段DE的长为

()

图1-2-9A.3

B.

C.5

D.

答案

B由翻折知∠CBD=∠DBE,∵AD∥BC,∴∠CBD=∠ADB,∴∠DBE=∠ADB,∴DE=BE.由矩形的性质得AB=CD=3,AD=BC=6.设DE的

长为x,则AE=6-x,在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,即32+(6-x)2=x2,解得x=

,即DE=

.故选B.3.(2018河南平顶山实验中学第一次月考)如图1-2-10,在矩形ABCD中,

AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为

()

图1-2-10A.

B.2

C.

D.1答案

A设AC与BD交于点O.连接OP,∵四边形ABCD是矩形,

∴∠BAD=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∴OA=OD=

BD,S△AOD=S△AOB,∵AB=3,AD=4,∴S矩形ABCD=3×4=12,BD=

=5,∴S△AOD=

S矩形ABCD=3,OA=OC=

,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=

OA·PE+

OD·PF=

×

×PE+

×

×PF=

(PE+PF)=3,∴PE+PF=

.4.如图1-2-11,一根长am的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)

上,设木棍的中点为P,若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行,则木

棍滑动的过程中,点P到点O的距离

(填“发生”或“不发生”)

变化.理由是

.

图1-2-11答案不发生;直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半解析连接OP.∵∠AOB=90°,点P是线段AB的中点,∴OP=

AB.∵木棍(AB)的长度不发生改变,∴滑动过程中,点P到点O的距离不发生变化.5.如图1-2-12,在四边形ABCD中,AD∥BC,E,F在边BC上,AB∥DE,AF∥

DC,且四边形AEFD是平行四边形.(1)AD与BC有何数量关系?请说明理由;(2)当AB=DC时,求证:▱AEFD是矩形.

图1-2-12解析(1)BC=3AD.理由如下:∵AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形,∴AD=BE,AD=FC.又∵四边形AEFD是平行四边形,∴AD=EF,∴AD=BE=EF=FC,∴BC=3AD.(2)证明:∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形,∴DE=AB,AF=DC.又AB=DC,∴DE=AF.又∵四边形AEFD是平行四边形,∴▱AEFD是矩形.6.(2017河南郑州七中第一次月考)如图1-2-13所示,在菱形ABCD中,AB=

2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),

延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.

图1-2-13(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;(2)①当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?②当AM为何值时,四边形AMDN是菱形?解析(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴ND∥AM,∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.又∵点E是AD边的中点,∴DE=AE,∴△NDE≌△MAE,∴ND=MA,∴四边形AMDN是平行四边形.(2)①当AM=1时,四边形AMDN是矩形.理由如下:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=2.连接BD.可知△ABD是等边三角形,∵AM=1=

AB,∴DM⊥AB,∴∠AMD=90°,∴平行四边形AMDN是矩形.②当AM=2时,四边形AMDN是菱形.理由如下:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=2.∵AM=2,∴AM=AD=2,又∠DAM=60°,∴△AMD是等边三角形,∴AM=DM,∴平行四边形AMDN是菱形.1.如图,点P在第一象限,△ABP是边长为2的等边三角形,当点A在x轴的

正半轴上运动时,点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中,点P到原

点的最大距离是

;若将△ABP的PA边的长改为2

,另两边长度不变,则点P到原点的最大距离变为

.

答案1+

;1+

解析取AB的中点M,连接OM,PM,OP.在Rt△ABO中,OM=

=1,在等边三角形ABP中,易求PM=

.无论△ABP如何运动,OM和PM的长度不变,且在△OPM中,OM+PM>OP,当OM,PM在一条直线上时,点P距点O最远,此时OP=OM+PM=1+

.将△ABP的PA边的长改为2

,另两边长度不变,∵22+22=(2

)2,∴∠PBA=90°,在Rt△PBM中,由勾股定理得PM=

=

,此时点P到原点O的最大距离为1+

.2.如图,矩形ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,点P在矩形

ABCD内.若AB=4cm,BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm,四边形

AEPH的面积为5cm2,则四边形PFCG的面积为

cm2.

答案8解析连接AP,CP,

设△AHP中AH边上的高为xcm,△AEP中AE边上的高为ycm,则△CFP

中CF边上的高为(4-x)cm,△CGP中CG边上的高为(6-y)cm.由已知得AH=CF=2cm,又AE=CG=3cm,∴S四边形AEPH=S△AHP+S△AEP=AH·x·

+AE·y·

=2x·

+3y·

=5cm2,∴2x+3y=10,∴S四边形PFCG=S△CFP+S△CGP=

CF·(4-x)+

CG·(6-y)=2(4-x)·

+3(6-y)·

=(26-2x-3y)·

=(26-10)×

=8(cm2).3.(2017山东枣庄四十一中月考)如图,已知AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE,求证:四边形BCED是矩形.

证明在△ADB和△AEC中,

∴△ADB≌△AEC(SAS),∴BD=CE.∵DE=BC,∴四边形BCED是平行四边形.又∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠EAB.在△DAC和△EAB中,

∴△DAC≌△EAB(SAS),∴DC=EB,∴平行四边形BCED是矩形.4.如图,在▱ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接AF,CE.(1)求证:△BEC≌△DFA;(2)连接AC,当AC=BC时,四边形AECF是什么特殊四边形?并说明理由.

解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,BC=AD,AB=CD,又E、F分别是边AB、CD的中点,∴BE=

AB,DF=

CD.∴BE=DF.∴△BEC≌△DFA(SAS).(2)四边形AECF是矩形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.易知AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形.又∵AC=BC,E是AB的中点,∴CE⊥AB,∴∠AEC=90°.∴平行四边形AECF是矩形.5.如图,在△ABC中,AB=AC,若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.(1)试猜想AE与BF有何关系,请说明理由;(2)若△ABC的面积为3cm2,求四边形ABFE的面积;(3)当∠ACB为多少度时,四边形ABFE为矩形?说明理由.

解析(1)AE

BF.理由如下:由旋转可知,AC=FC,BC=EC,∵∠ACE=∠FCB,∴△ACE≌△FCB,∴AE=FB,∠EAC=∠BFC.∴AE∥BF.即AE与BF的关系为AE

BF.(2)由(1)知△ACE≌△FCB,∴S△ACE=S△FCB.又BC=CE,∴S△ABC=S△ACE.同理,S△CEF=S△BCF.∴S△CEF=S△BCF=S△ACE=S△ABC=3cm2,∴S四边形ABFE=3×4=12(cm2).(3)当∠ACB=60°时,四边形ABFE为矩形.理由如下:∵BC=CE,AC=CF,∴四边形ABFE为平行四边形.∵AB=AC,∠ACB=60°,∴△ABC为等边三角形,∴BC=AC,∴AF=BE,∴平行四边形ABFE为矩形,∴当∠ACB=60°时,四边形ABFE为矩形.1.(2017河北保定一模,12,★★☆)如图1-2-14,在△ABC中,点D、E、F分

别在BC、AB、CA上,且DE∥CA,DF∥BA,则下列三种说法:①如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;②如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;③如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中正确的有

()

图1-2-14一、选择题A.3个

B.2个

C.1个

D.0个答案

A∵DE∥CA,DF∥BA,∴四边形AEDF为平行四边形.∵∠BAC

=90°,∴四边形AEDF是矩形,由AD平分∠BAC知∠EAD=∠FAD,又由

DE∥CA知∠ADE=∠DAF,∴∠EAD=∠ADE,则AE=ED,则平行四边形

AEDF为菱形.由AD⊥BC且AB=AC知AD平分∠BAC,由②知正确.故①

②③正确.2.(2017山东德州陵城模拟,7,★★☆)已知:线段AB,BC,∠ABC=90°.求作:

矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业:

对于两人的作业,下列说法正确的是

()A.两人都对

B.两人都不对C.甲对,乙不对

D.甲不对,乙对答案

A由甲的作法可知AD=BC,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形.∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD为矩形,所以甲的作业正确.由乙的作法可知AM=CM,又∵∠ABC=90°,∴MB=AM=CM.∵MD=MB,∴AM=MB=CM=MD,∴四边形ABCD为矩形,乙的作业正确.故选A.二、填空题3.(2017广东广州六中期中,15,★★☆)如图1-2-17,在△ABC中,AB=AC,

点D为BC的中点,AE是∠FAC的平分线,DE∥AB交AE于E,则四边形

ADCE的形状是

.

图1-2-17答案矩形解析∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵点D为BC的中点,∴BD=DC,∠ADC=90°,∵AE是∠FAC的平分线,∴∠FAE=∠EAC,∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC,∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC,∴AE∥CB,又∵DE∥AB,∴四边形AEDB是平行四边形,∴AE

BD,又∵BD=DC,∴AE

DC,故四边形ADCE是平行四边形,又∵∠ADC=90°,∴平行四边形ADCE是矩形.三、解答题4.(2018山西太原期中,17,★★☆)如图1-2-18,已知菱形ABCD的对角线

AC,BD相交于点O,点E是菱形外一点,且DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求

证:OE=CD.

图1-2-18证明∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形ODEC是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠COD=90°,∴▱ODEC是矩形,∴OE=CD.1.(2016山东龙口期末,4,★☆☆)如图,在矩形ABCD中,∠BOC=120°,AB=

5,则BD的长为

()

A.5

B.10

C.12

D.13答案

B∠AOB=180°-∠BOC=180°-120°=60°,因为四边形ABCD是矩

形,所以BD=AC=2OA=2OB,所以△ABO为等边三角形,所以OB=AB=5,因

此BD=2OB=10.2.(2016河南郑州八中期末,20,★★☆)如图,将矩形ABCD沿AE折叠,顶

点D恰好落在BC边上的点F处,如果AB=8,AD=10,那么CE=

.

答案3解析∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC=10,AB=CD=8,∵矩形ABCD沿

直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处,∴AF=AD=10,EF=DE,在

Rt△ABF中,BF=

=6,∴CF=BC-BF=10-6=4,设CE=x,则DE=EF=8-x,在Rt△ECF中,CE2+FC2=EF2,即x2+42=(8-x)2,解得x=3.∴CE=3.3.(2018河南平顶山实验中学第一次月考,19,★★☆)如图,矩形ABCD的

对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.求证:四边形OCED是菱形.

证明∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形,∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD,∴四边形OCED是菱形.4.(2017黑龙江哈尔滨六十九中一模,24,★★☆)如图,已知菱形ABCD的

对角线相交于O,点E、F分别在边AB、BC上,且BE=BF,射线EO、FO分

别交边CD、AD于G、H.(1)求证:四边形EFGH为矩形;(2)若OA=4,OB=3,求EG长的最小值.

解析(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AB∥CD,AD∥BC,∴∠BAO=∠DCO,∠AOE=∠COG,∴△AOE≌△COG(ASA),∴OE=OG,同理,OH=OF.∴四边形EFGH是平行四边形,∵BE=BF,∠ABD=∠CBD,OB=OB,∴△EBO≌△FBO,∴OE=OF,∴OH=OG,∴EG=FH,∴四边形EFGH是矩形.(2)∵垂线段最短,∴当OE⊥AB时,OE最短.∵OA=4,OB=3,∠AOB=90°,∴AB2=OA2+OB2=25,∴AB=5,∵

OA·OB=

AB·OE,即3×4=5·OE,∴OE=

,∵OE=OG,∴EG=

.答:EG长的最小值是

.5.(2016江苏南京梅山二中第一次月考,23,★★☆)已知:如图,BE、BF分

别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线,AE⊥BE,垂足为点E,AF⊥

BF,垂足为点F,EF分别交边AB、AC于点M和N.

(1)求证:四边形AFBE是矩形;(2)求证:MN=

BC.证明

(1)如图,∵BE、BF分别是∠ABC和∠ABD的平分线,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠2+∠3=90°,即∠EBF=90°,∵AE⊥BE,E为垂足,AF⊥BF,F为垂足,∴∠AFB=∠AEB=90°.∴四边形AEBF为矩形.(2)∵四边形AEBF为矩形,∴BM=MA=ME,∴∠2=∠5,∵∠2=∠1,∴∠1=∠5,∴ME∥BC,又M是AB的中点,∴N为AC的中点,∴MN=

BC.6.(2016黑龙江哈尔滨南岗一模,21,★★★)如图①,四边形ABCD中,AC

⊥BD于点O,点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD的中点,连接

EF、FG、GH、EH,BD分别与EF、HG相交于点M、N,AC分别与EH、

FG相交于点S、K.

(1)求证:四边形EFGH为矩形;(2)如图②,连接FH,若FH经过点O,在不添加任何辅助线的情况下,请写

出图中面积相等的矩形.解析(1)证明:∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD的中点,∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线,∴EH∥BD,且EH=

BD,FG∥BD,且FG=

BD,同理EF∥AC∥GH,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴∠FEH=90°,∴四边形EFGH为矩形.(2)由(1)得四边形EFGH是矩形,同理,四边形EFKS、四边形SKGH、四边形EMOS,……都是矩形,∴题图中共有9个矩形,△EFH的面积=△GFH的面积,△OMF的面积=△OFK的面积,△OHS的面积=△OHN的面积,∴矩形EMOS的面积=矩形OKGN的面积,∴矩形EFKS的面积=矩形MFGN的面积,矩形EMNH的面积=矩形GHSK

的面积.一、选择题1.(2017山东临沂中考,12,★★☆)如图1-2-19,在△ABC中,点D是边BC上

的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F

两点,下列说法正确的是

()

图1-2-19A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形答案

D若AD⊥BC,则四边形AEDF是平行四边形,不一定是矩形,选

项A错误;若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是菱形,不一定是矩形,选项

B错误;若BD=CD,则四边形AEDF是平行四边形,不一定是菱形,选项C错

误;若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形,正确.故选D.2.(2017青海西宁中考,7,★★☆)如图1-2-20,点O是矩形ABCD的对角线

AC的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为

()

图1-2-20A.5

B.3

C.

D.

答案

D∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°,∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB,∴OM是△ADC的中位线,∵OM=3,∴DC=6,∵AD=BC=10,∴AC=

=2

,∴BO=

AC=

.故选D.二、填空题3.(2016福建泉州中考,14,★☆☆)如图1-2-21,在Rt△ABC中,E是斜边AB

的中点,若AB=10,则CE=

.

图1-2-21答案5解析根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,得CE=

AB=5.三、解答题4.(2017江苏徐州中考,23,★★☆)如图1-2-22,在▱ABCD中,点O是边BC

的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E,连接BD,EC.(8分)(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°,则当∠BOD=

°时,四边形BECD是矩形.

图1-2-22解析(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∴∠OEB=∠ODC,又∵O为BC的中点,∴BO=CO,在△BOE和△COD中,

∴△BOE≌△COD(AAS).∴OE=OD,∴四边形BECD是平行四边形.(2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时,四边形BECD是矩形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BCD=∠A=50°,∵∠BOD=∠BCD+∠ODC,∴∠ODC=100°-50°=50°=∠BCD,∴OC=OD,∵BO=CO,OD=OE,∴DE=BC,∵四边形BECD是平行四边形,∴四边形BECD是矩形.5.(2017贵州安顺中考,21,★★☆)如图1-2-23,DB∥AC,且DB=

AC,E是AC的中点.(1)求证:BC=DE;(2)连接AD、BE,若要使四边形DBEA是矩形,则需给△ABC添加什么条

件?为什么?

图1-2-23解析(1)证明:∵E是AC的中点,∴EC=

AC.∵DB=

AC,∴DB=EC.又∵DB∥EC,∴四边形DBCE是平行四边形,∴BC=DE.(2)添加AB=BC.理由:∵DB

AE,∴四边形DBEA是平行四边形.∵BC=DE,AB=BC,∴AB=DE,∴▱ADBE是矩形.1.(2017上海中考,6,★★☆)已知平行四边形ABCD中,AC、BD是它的两

条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四边形为矩形的是

()A.∠BAC=∠DCA

B.∠BAC=∠DACC.∠BAC=∠ABD

D.∠BAC=∠ADB答案

C如图,设AC与BD交于点O,∵四边形ABCD为平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,当∠BAC=∠ABD时,OA=OB,∴AC=BD,∴▱ABCD为矩形,故选C.

2.(2015北京中考,6,★☆☆)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M

与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为

(

)

A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km答案

D∵AC⊥BC,M是AB的中点,∴MC=

AB=AM=1.2km.故选D.3.(2016黑龙江龙东中考,3,★☆☆)如图,在平行四边形ABCD中,延长AD

到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,请你添加一个条件:

,使四边

形DBCE是矩形.

答案

EB=DC(答案不唯一)解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴DE∥BC,又∵DE=AD,∴DE=BC,∴四边形DBCE为平行四边形.又∵EB=DC,∴四边形DBCE是矩形.4.(2016浙江衢州中考,18,★★☆)如图,已知BD是矩形AB