专题10列联表与独立性检验（2个知识点2个拓展1个突破2种题型2个易错点）（原卷版）

专题10列联表与独立性检验（2个知识点2个拓展1个突破2种题型2个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.分类变量与列联表知识点2.独立性检验拓展1.判断两个分类变量是否有关联的三种方法拓展2.独立性检验的应用突破.独立性检验、统计、概率的综合问题【方法二】实例探索法题型1.分类变量与列联表的理解题型2.独立性检验的理解与应用【方法三】差异对比法易错点1.不理解独立性检验的基本思想易错点2.对独立性检验的结果判断错误【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.分类变量与列联表一、分类变量为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．二、2×2列联表1．2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．2．定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d像这种形式的数据统计表称为2×2列联表．例1．单选题（2023下·高二课时练习）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下：优秀非优秀总计甲班乙班总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是()A．列联表中c的值为30，b的值为35B．列联表中c的值为15，b的值为50C．列联表中c的值为20，b的值为50D．由列联表可看出成绩与班级有关系知识点2.独立性检验独立性检验1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验．2．χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.3．独立性检验解决实际问题的主要环节(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．(3)根据检验规则得出推断结论．(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．思考独立性检验与反证法的思想类似，那么独立性检验是反证法吗？答案不是．因为反证法不会出错，而独立性检验依据的是小概率事件几乎不发生．例2．（2024上·四川绵阳·高三统考阶段练习）绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长.绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：喜欢旅游不喜欢旅游总计男性203050女性302050总计5050100(1)能否有的把握认为喜欢旅游与性别有关？(2)在以上所调查的喜欢旅游的市民中，按性别进行分层抽样随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这两人是不同性别的概率.附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828拓展1.判断两个分类变量是否有关联的三种方法1．（河北省唐山市2024届高三上学期期末数学试题）目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来测量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是．中国成人的BMI数值标如下表所示：BMI＜18.5≥28体重情况过轻正常超重肥胖为了解某单位职工的身体情况，研究人员从单位职工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男职工、50名女职工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，并进行分类统计，如右表所示：性别BMI合计过轻正常超重肥胖男106011990女15255550合计25851614140(1)参照附表，对小概率值a逐一进行独立性检验，依据检验，指出能认为职工体重是否正常与性别有关联的a的一个值；(2)在该单位随机抽取一位职工的BMI值，发现其BMI值不低于28．由上表可知男女职工的肥胖率都为0.1，视频率为概率，能否认为该职工的性别是男还是女的可能性相同？若认为相同则说明理由，若认为不相同，则需要比较可能性的大小．a0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：拓展2.独立性检验的应用2．（2023上·江西·高三吉安一中校联考期末）为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区300天的空气质量等级与当天空气中的浓度（单位：），整理数据得到下表：的浓度空气质量等级1（优）841862（良）1521243（轻度污染）924274（中度污染）33633若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.附：；0.0500.0100.0013.8416.63510.828(1)完成下面的列联表：的浓度空气质量合计空气质量好空气质量不好合计(2)根据（1）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天的空气质量与当天的浓度有关？突破.独立性检验、统计、概率的综合问题1．（2024·陕西宝鸡·统考一模）随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间，，……统计）(1)根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关？是否使用扫地机器人年龄是否(2)若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在的人中随机抽取3人做深度采访，求这3人中年龄在人数X的分布列与数学期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【方法二】实例探索法题型1.分类变量与列联表的理解1．填空题（2023上·高二课时练习）下面是列联表：总计总计则．题型2.独立性检验的理解与应用2．（2024·全国·高三专题练习）为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免．据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的2×2列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联（结果精确到0.01）？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率，求X的分布列和数学期望．参考公式及数据：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【方法三】差异对比法易错点1.不理解独立性检验的基本思想1．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）某高校《线性代数》课程的老师随机调查了该课程学生的专业情况，调查数据如下：单位：人数学专业非数学专业总计男生ef120女生60g80总计160h200(1)求e，f，g，h的值，并估计男生中是非数学专业的概率；(2)能否有90%的把握认为选数学专业与性别有关？附：，其中．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828易错点2.对独立性检验的结果判断错误2．（2023上·全国·高三专题练习）为落实“节能减排”的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分布直方图：参考公式：，.参考数据：0.050.010.0013.8416.63510.828(1)将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：超过2500小时不超过2500小时合计A型B型合计根据上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？(2)用比例分配的分层随机抽样的方法从不超过2500小时的A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和均值；(3)已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度．只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022下·广西玉林·高二校联考期中）通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，爱好不爱好合计男生20525女生101525合计3020500.0100.0050.0016.6357.87910.828经计算得，参照附表，得到的正确结论是（

）A．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”2．（2022·高二课时练习）有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，a其中a，均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为（

）A．8 B．9 C．8或9 D．6或83．（2021下·广东广州·高二统考期末）为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：患病未患病总计服用药104050没服用药203050总计3070100附：，其中（）0.050.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（

）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“服药与患病无关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“服药与患病有关”C．有95%以上的把握认为“服药与患病有关”D．有95%以上的把握认为“服药与患病无关”4．（2023下·河南开封·高二统考期末）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，依据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（

）A．变量与独立B．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C．变量与不独立D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.055．（2022下·山西太原·高二统考期中）下列关于独立性检验的说法正确的是（

）A．用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误B．用独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误C．独立性检验的方法适用普查数据D．对于不同的小概率值，用独立性检验推断的结论相同6．（2022上·高二课时练习）春节期间，“履行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女3015附：，其中为样本容量．α0.100.050.025xα2.7063.8415.024参照附表，得到的正确结论是（

）A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”7．（2021·江西抚州·校考模拟预测）下列说法中错误的个数是①某校共有女生2021人，用简单随机抽样的方法先剔除21人，再按系统抽样的方法抽取为200人，则每个女生被抽到的概率为；②由样本数据得到的回归直线方程必经过样本中心点；③如果落在回归直线上的样本点越多，则回归直线方程的拟合效果就越好；④在一个2×2列联表中，由计算得出，而，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量之间有相关关系.（

）A．1 B．2 C．3 D．48．近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生，按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计，通过整理得如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人.根据上述数据和频率分布直方图，判断下列说法正确的是参考数据与参考公式：A．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C．样本数据的中位数约为1750元D．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关二、多选题9．（2022·高二单元测试）晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，河北衡水某高中的高三年级学生晚上10点10分必须休息，另一所同类高中的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息．有关人员分别对这两所高中的高三年级学习总成绩前50名学生的学习效率进行问卷调查，其中衡水某高中有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4，则（

）附：，0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828A．衡水某高中的前50名学生中有60%的学生学习效率高B．另一所同类高中的前50名学生中有40%的学生学习效率高C．有99.9%的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”D．认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”的犯错概率超过0.0510．（2022·高二单元测试）为预防近视，某校对“学生性别和喜欢躺着看书是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢躺着看书的人数占男生人数的，女生喜欢躺着看书的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢躺着看书和性别有关，则调查人数中男生人数不可能是（

）参考公式及数据：，其中．0.050.0103.8416.635A．13 B．14 C．15 D．1611．（2023·云南红河·统考一模）某校高三一名数学教师从该校高三学生中随机抽取男、女生各50名进行了身高统计，得到男、女身高分别近似服从正态分布和，并对其是否喜欢体育锻炼进行数据统计，得到如下2×2列联表：喜欢不喜欢合计男生37m50女生n3250合计5545100参考公式：α0.010.0050.0016.6357.87910.828则下列说法正确的是（

）A．，B．男生身高的平均数约为173，女生身高的平均数约为164C．男生身高的标准差约为11，女生身高的标准差约为9D．依据的独立性检验，认为喜欢体育锻炼与性别有关联12．（2023上·高二单元测试）(多选)下列说法中错误的是（

）A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变B．设有一个线性回归方程，变量增加个单位时，平均增加个单位C．设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越强D．在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大三、填空题13．（2023上·高二课时练习）某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以在犯错误的概率不超过的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系．身高体重超重不超重总计偏高415不偏高31215总计71320附表：0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.87914．（2022·高二课时练习）某高中学校实施线上教学，为了解教学效果，随机抽取了100名学生对线上教学效果进行评分（满分100分），记低于80分的评分为“效果一般”，不低于80分为“效果较好”．请补充完整2×2列联表；通过计算判断，（填“有”或“没有”）99%把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关效果一般效果较好合计男20女1555合计15．（2023·全国·高二专题练习）某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出零假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知.则下列结论中，正确结论的序号是.①认为“这种血清能起到预防感冒的作用”犯错误的概率不超过0.05；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.16．（2022下·甘肃张掖·高二甘肃省民乐县第一中学校考阶段练习）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了该选修课的一些学生情况，具体数据如下表：非统计专业统计专业男1310女720为了检验主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到．因为，所以断定主修统计专业与性别有关系．这种判断出错的可能性为．0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828四、解答题17．（2022上·福建漳州·高三校考期中）年卡塔尔世界杯即将于月日开幕．某球迷协会欲了解会员是否前往现场观看比赛，按性别进行分层随机抽样，已知男女会员人数之比为，统计得到如下列联表：前往现场观看不前往现场观看合计女性男性合计(1)求，的值，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否前往现场观看比赛与性别有关？(2)用频率估计概率，假设会员是否前往现场观看互不影响，若从拟前往现场观看的会员中随机抽取人进行访谈，求在访谈者中，女性不少于人的概率．附：，其中．18．（2023上·高二单元测试）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学随机抽取了80名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下列联表：性别锻炼合计不经常经常男生202040女生241640合计443680(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生锻炼的经常性；(2)若列联表中的所有样本观测数据都变为原来的10倍，再做第（1）问，得到的结论还一样吗？请说明理由；附：①，其中.②临界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．（2024·陕西安康·校联考模拟预测）随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400附：．0.100.050.0102.7063.8416.635(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女性的概率．20．（2024上·广东汕头·高三统考期末）《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要依据.为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息：①男生所占比例为；②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为；③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人.(1)完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？性别体育锻炼合计喜欢不喜欢男女合计(2)（ⅰ）从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”.请计算和的值.（ⅱ）对于随机