2021新高考数学新课程一轮复习课时作业第十章第2讲排列与组合

第2讲排列与组合组基础关1．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85B．56C．49D．28答案C解析分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选；甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＝49.2．(2019·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法()A．Aeq\o\al(5,5)种 B．Aeq\o\al(2,2)种C．Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)种 D．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)种答案D解析由红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则红色菊花两边各一盆白色、黄色菊花，故有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)种摆放方法．3．(2020·石家庄摸底)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有()A．150B．126C．90D．54答案B解析根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有Ceq\o\al(1,3)种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有Ceq\o\al(1,3)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)种方法；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)种方法．故满足题意的不同安排方案数共有Ceq\o\al(1,3)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝108＋18＝126.故选B.4．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．168答案B解析解法一：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．安排小品类节目和相声类节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“eq\x()，小品1，歌舞1，小品2，eq\x()，相声，eq\x()”，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝36种安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“eq\x()，小品1，eq\x()，相声，eq\x()，小品2，eq\x()”．有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,4)＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法．解法二：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．5．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会．A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有()A．60种B．48种C．30种D．24种答案B解析B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种坐法，B，C可以交换，有Aeq\o\al(2,2)＝2种坐法，其余三人坐剩余的三把椅子有Aeq\o\al(3,3)＝6种坐法，故共有4×2×6＝48种坐法．故选B.6．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有()A.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)种B．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)·34种C.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))·43种D．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)·43种答案B解析要将12名同学平均分成四组，则有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))种，每个组选一名组长，故有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))·34种，每个组还要研究一个课题，并且只能研究一个课题，所以相当于四个组排列选课题，故有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))Aeq\o\al(4,4)·34＝Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)·34种．7．(2019·湖南衡阳质检)现要给一长、宽、高分别为3,2,1的长方体工艺品各面涂色，有红、橙、黄、蓝、绿五种颜色的涂料可供选择，要求相邻的面不能涂相同的颜色，且橙色跟黄色二选一，红色要涂两个面，则不同的涂色方案有()A．48种B．72种C．96种D．108种答案C解析若蓝绿选一个，由橙黄二选一，共三种颜色涂6个面，每一种颜色只能涂相对的面，故有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝24(种)；若蓝绿选两个，由橙黄二选一，故共有4种颜色，红色只能涂相对的面，还有4个面，故不同的涂色方案有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝72(种)，根据分类加法计数原理，共有24＋72＝96(种)．故选C.8．(2020·柳州模拟)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．答案472解析解法一：从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为Ceq\o\al(3,16)，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)，其中3张卡片颜色相同的不同取法的种数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,4)，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为Ceq\o\al(3,16)－Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)－Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,4)＝472.解法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝64，若2张颜色相同，则不同取法的种数为Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)＝144.若红色卡片有1张，则剩余2张不同色时，不同取法的种数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝192，剩余2张同色时，不同取法的种数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．9．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答)．答案1260解析若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3).综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝720＋540＝1260.10．(2019·郑州三模)12本相同的资料书分配给三个班级，要求每班至少1本且至多6本，则不同的分配方法共有________种．答案25解析12本相同的资料书分配给三个班级，共有6类分配方法：三个班级的资料书的数量分别为1,5,6，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)分配方法；三个班级的资料书的数量分别为2,4,6，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)分配方法；三个班级的资料书的数量分别为2,5,5，有Ceq\o\al(1,3)＝3(种)分配方法；三个班级的资料书的数量分别为3,3,6，有Ceq\o\al(1,3)＝3(种)分配方法；三个班级的资料书的数量分别为3,4,5，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)分配方法；三个班级的资料书的数量分别为4,4,4，有1种分配方法．故共有6＋6＋3＋3＋6＋1＝25(种)分配方法．组能力关1．(2019·长沙模拟)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是()A．72种B．144种C．240种D．288种答案D解析第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6种排法．第二步，假设剩下的两对夫妻是x1，x2和y1，y2，分成三种情况讨论：①x1，x2中间有一个元素，如果是A，则y1，y2在两端，有2种排法，如果是y1，y2中的一个，有12种排法；②x1，x2中间有两个元素，只能是A和y1，y2中的一个，总共有8种排法；③x1，x2中间有三个元素，有2种排法．因为x1，x2有顺序，所以仅有一对夫妻相邻的排法有6×2×(2＋12＋8＋2)＝288(种)．2．(2019·泸州模拟)若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”．试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有________个()A．53B．59C．66D．71答案D解析从0,1,2,3,4,5,6,7中取四位相加和为10的可能组合包括{1,2,3,4}，{0,1,2,7}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}，{0,2,3,5}，用{1,2,3,4}组成的无重复数字的“完美四位数”有Aeq\o\al(4,4)个；因为0不能放在千位上，所以{0,1,2,7}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}，{0,2,3,5}组成的无重复数字的“完美四位数”有4(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))个；因此用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字的“完美四位数”共有Aeq\o\al(4,4)＋4(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＝96个，其中由{1,2,3,4}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}组成的“完美四位数”中小于2017的分别各有Aeq\o\al(3,3)＝6个，由{0,1,2,7}组成的“完美四位数”中小于等于2017的有Aeq\o\al(3,3)＋1＝7个，由{0,2,3,5}组成的“完美四位数”中小于等于2017的有0个，因此大于2017的“完美四位数”共有96－3×6－7－0＝71个．3．(2019·安徽六校教育研究会第一次联考)某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有()A．222种B．253种C．276种D．284种答案A解析每个场馆至少有一个名额的分配方法相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分割符号，则有Ceq\o\al(2,23)＝253(种)，至少有两个场馆的名额相同的分配方法有(1,1,22)，(2,2,20)，(3,3,18)，(4,4,16)，(5,5,14)，(6,6,12)，(7,7,10)，(8,8,8)，(9,9,6)，(10,10,4)，(11,11,2)，再对场馆分配，共有3×10＋1＝31(种)，所以每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有253－31＝222(种)．4．电影院一排有10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左、右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种．答案40解析除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，共可形成6个空，三人从6个空中选3个位置坐上去有Ceq\o\al(3,6)种坐法，因为甲坐在中间，所以乙、丙有Aeq\o\al(2,2)种坐法，所以他们每人左、右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,2)＝40(种)．5．(2020·惠州摸底)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有________种．答案120解析因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论．当A在第一位时，有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝48(种)；当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝36(种)；当A在第三位时，分两种情况：①E，F在A之前，此时应有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种，②E，F在A