2021新高考数学二轮总复习学案2-3热点小专题二导数的应用

2.3热点小专题二、导数的应用必备知识精要梳理1.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f'(x0).2.常用的导数及求导法则(1)(xm)'=mxm-1,(sinx)'=cosx,(cosx)'=sinx,(ex)'=ex,(lnx)'=1x,(ax)'=axlna,(logax(2)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);f(x)g(x)'=f'(x)3.函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.关键能力学案突破热点一利用导数求曲线的切线【例1】(1)(2020福建福州模拟,理7)已知函数f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=x2ln(x),则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为()A.xy=0 B.xy2=0C.x+y2=0 D.3xy2=0(2)(2020全国Ⅲ,理10)若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为(A.y=2x+1 B.y=2x+1C.y=12x+1 D.y=12解题心得求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0,y0)求切线方程,利用k=f'(x0),再由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为k求切线方程,设切点P(x0,y0),通过方程k=f'(x0),解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上非切点的一点(a,b)求切线方程,设切点P(x0,y0),则k=f'(x0)=y0-bx0-a,y0=f(x0【对点训练1】(1)(2020全国Ⅰ,理6)函数f(x)=x42x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为()A.y=2x1 B.y=2x+1C.y=2x3 D.y=2x+1(2)(2020山东德州二模,14)已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=ex3+2ex,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是.

热点二已知曲线的切线方程求参数的值【例2】(2020天津河北区线上测试,17)已知函数f(x)=axlnxbx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3xe,则a=,b=.

解题心得解决已知曲线的切线方程求参数问题的一般思路是:利用方程的思想求解,即设出切点坐标,求出函数在切点的导数得切线的斜率,由斜率相等得一方程,由切点坐标代入函数解析式,又得一方程,联立求解即可.【对点训练2】若函数f(x)=xalnx在点(1,1)处的切线方程为y=2x1,则实数a=.

热点三求参数的取值范围(多维探究)类型一已知函数单调性求参数范围【例3】(1)若函数f(x)=kxlnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是()A.(∞,2] B.(∞,1]C.[2,+∞) D.[1,+∞)(2)若函数f(x)=x24exax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为.

解题心得利用导数求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.已知函数的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.【对点训练3】(1)若函数f(x)=x13sin2x+asinx在区间(∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是(A.[1,1] B.1,13C.13,13 D.1,1(2)设f(x)=ex(lnxa),若函数f(x)在区间1e,e上单调递减,则实数a的取值范围为.

类型二已知极值、最值或恒成立求参数范围【例4】(1)(2020山东青岛5月模拟,8)已知函数f(x)=lnxx2,若f(x)<m1x2在(0,+∞)上恒成立,e为自然对数的底数,则实数A.m>e B.m>e2 C.m>1 D.m>(2)函数f(x)=lnx+12x2ax(x>0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是()A.52,3 B.52,10C.52,103 D.2,10解题心得在有关函数不等式恒成立的情况下求参数的范围问题,通过对问题的转化,一般都变成通过研究函数的极值、最值得到参数的范围;能分离出参数更是直接求最值问题.已知函数的极值点求参数的问题,最终还是通过求最值得到解决.【对点训练4】设函数f(x)=3sinπxm.若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是A.(∞,6)∪(6,+∞) B.(∞,4)∪(4,+∞)C.(∞,2)∪(2,+∞) D.(∞,1)∪(1,+∞)类型三已知函数零点情况求参数值或范围【例5】已知函数f(x)=x2+|xa|,g(x)=(2a1)x+alnx,若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围为.

解题心得1.利用导数研究函数零点问题的思路(1)讨论函数f(x)=g(x)h(x)的零点个数,转化为讨论函数y=g(x)与y=h(x)的交点个数,通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形结合求解.(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,再利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.2.已知函数零点情况求参数值或范围问题,一般思路是通过求函数的导数及对参数分类讨论确定函数的极值,参照函数图象的变化趋势,看参数在什么范围满足零点情况的要求.有时根据题意转化为两个函数图象交点个数,因此解决此类问题要注重数形结合.【对点训练5】已知函数f(x)=x22x-2elnx与g(x)=2elnx+mx的图象有4个不同的交点,A.(4,0) B.12,2C.0,12 D.(0,2)热点四利用导数求实际问题中的最值【例6】(2020江苏,17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=1800b3+6b.已知点B到OO'的距离为40(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低解题心得关于三角函数,几何体的表面积、体积及实际问题中的最值问题,一开始想到的往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.【对点训练6】(1)(2020湖南湘潭三模,理7)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕A.8万斤 B.6万斤C.3万斤 D.5万斤(2)(2020四川三台中学期中,理12)如图所示,四边形ABCD是边长为30cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积最大,则EF的长为cm.

核心素养微专题(二)例析“数学建模”在导数研究函数中的应用【例1】已知f(x)=x+1,g(x)=lnx,若f(x1)=g(x2),则x2x1的最小值为()A.1 B.2+ln2C.2ln2 D.2核心素养分析要求x2x1的最小值,需要建立关于x2x1的函数模型,即用某一个量表示出x2x1,依据已知条件,可设f(x1)=g(x2)=t,从而用t表示出x2和x1,从而得到关于x2x1的函数模型,研究函数模型得出最值.【例2】(2020安徽马鞍山二模,12)已知函数f(x)的定义域为π2,π2,f'(x)是f(x)的导函数,f'(x)cosx+f(x)sinx<0,则关于x的不等式f(x)<2fπ4cosA.-B.-C.πD.-核心素养分析要求不等式f(x)<2fπ4cosx的解集,因题目条件中并没有f(x)的解析式,所以必须要构建一个函数模型,通过该函数模型的单调性解不等式.构建函数模型的依据是条件f'(x)cosx+f(x)sinx<0,由“直观想象”得g(x)=f(x)cosx,但g'(x)=f'(x)cosxf(x)sinx不合题意,能改变符号的是相除求导,所以构建的函数模型是g(x)2.3热点小专题二、导数的应用关键能力·学案突破【例1】(1)A(2)D解析(1)当x>0时,x<0,f(x)=x2lnx,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)=x2lnx,f(1)=1,所以f'(x)=2x1x,f'(1)=1,故切线方程为y1=x1,即y=x.故选A(2)由y=x得y'=12x,设直线l与曲线y=x的切点为(x0,x0),则直线l的方程为yx0=即12x0xy+由直线l与圆x2+y2=15相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=55,即|12x0|14x0+1=55对点训练1(1)B(2)y=ex2e解析(1)对函数f(x)求导可得f'(x)=4x36x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=2.又因为f(1)=1,所以切线方程为y(1)=2(x1),化简得y=2x+1.(2)因为奇函数在关于原点对称的两点处的切线平行,且f'(x)=3ex22ex(x<0),故f'(1)=f'(1)=e,f(1)=f(1)=e,故切线为y+e=e(x1),即y=ex2e.【例2】11解析将点(e,f(e))代入y=3xe得f(e)=3ee=2e,∵f(x)=axlnxbx,则f'(x)=alnx+ab,由题意得f(e对点训练21解析f'(x)=1ax,f'(1)=1ax=1由题意得1a=2,解得a=1.【例3】(1)D(2)(∞,22ln2)解析(1)由f'(x)=k1x,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立即k≥1x在x∈(1,+∞)上恒成立.又当x∈(1,+∞)时,0<1x<1,故k≥1.(2)因为f(x)=x24exax,所以f'(x)=2x4exa.由题意,f'(x)=2x4exa>0,即a<2x4ex有解.令g(x)=2x4ex,则g'(x)=24ex.令g'(x)=0,解得x=ln2.当x∈(∞,ln2)时,函数g(x)=2x4ex单调递增;当x∈(ln2,+∞)时,函数g(x)=2x4ex单调递减.所以当x=ln2时,g(x)=2x4ex取得最大值22ln2,所以a<22ln2.对点训练3(1)C(2)[e1,+∞)解析(1)由题意可知,f'(x)=123cos2x+acos=43cos2x+acosx+因为f(x)在R上单调递增,所以f'(x)=43cos2x+acosx+53≥0在(方法一)则由题意可得,当cosx=1时,f'(x)≥0,当cosx=1时,f'(x)≥0,即-解得13≤(方法二)令t=cosx∈[1,1],当t=0时,53>0恒成立当0<t≤1时,a≥43令h(t)=43t5则h'(t)=43+所以h(t)在(0,1]上单调递增.所以h(t)max=h(1)=1所以a≥1当1≤t<0时,a≤43令g(t)=43t5则g'(t)=43+所以g(t)在[1,0)上单调递增.所以g(t)min=g(1)=13所以a≤13.综上,(2)由题意可得f'(x)=exlnx+1xa≤0在1e,e上恒成立.因为ex>0,所以只需lnx+1xa≤0,即a≥lnx+1x在1e,e上恒成立.令g(x)=lnx+1因为g'(x)=1x-1x2=x-1x2.由g'(x)=0,得x=1.则g(xg1e=ln1e+e=e1,g(e)=1+1e,因为e1>1+1所以g(x)max=g1e=e1.故a的取值范围为[e1,+∞).【例4】(1)B(2)B解析(1)若f(x)<m1x2在(0,+∞)上恒成立,即f(x)+1x2<m在(0,+令g(x)=f(x)+1x2=lnx+1x2,故只需g'(x)=1x·x2-(lnx+1)·2x当0<x<e-12时,g'(x)>0;当x>e-12时,所以g(x)在(0,e-12)上单调递增,在(e-12所以g(x)max=g(e-12)所以实数m的取值范围是m>e2.故选(2)∵f(x)=lnx+12x2ax(x>∴f'(x)=1x+xa(x>0)∵函数f(x)=lnx+12x2ax(x>0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,∴y=f'(x)在区间12,3上只有一个变号零点.令f'(x)=1x+xa=0,得a=1x+x令g(x)=1x+x,x∈12,3,则g(x)在区间12,1上单调递减,在区间(1,3)上单调递增,∴g(x)min=g(1)=2,又g12=52,g(3)=10结合函数g(x)=1x+x,x∈12,3的图象可得,当52≤a<103时,y=f'(x)在区间12,3上只有一个变号零点.∴实数a的取值范围为52,103对点训练4C解析∵x0是f(x)的极值点,∴f'(x0)=0,即πm·3·得πmx0=kπ+π2,k∈Z,即x0=mk+12m,k∴x02+[f(x0)]2mk+12m2+3sinπmmk+12m2<m2,k即k+122m2+3<m2,即k+122<13m要使原问题成立,只需存在k∈Z,使13m2又k+12∴13m2>14,解得m<2或m>【例5】(1,+∞)解析函数g(x)的定义域为(0,+∞),所以只研究这两个函数在x∈(0,+∞)内的图象,当a≤0时,f(x)单调递增,又g(x)单调递减,两者的图象最多只有一个交点,不符合题意.当a>0时,设φ(x)=f(x)g(x),即φ(x)=x2-2ax-alnx所以φ(x)在(0,a)上单调递减,(a,+∞)上单调递增,所以φ(x)min=a2alna+a,因为x→0,x→+∞时,φ(x)→+∞,所以φ(x)有两个零点当且仅当φ(x)min=a2alna+a<0,解得a>1,即a的取值范围为(1,+∞).对点训练5C解析函数f(x)=x22x-2elnx与g(x)=即为mx=x22x-2elnx2elnx,即m=x2x-2elnx设h(x)=x2x-2elnx-2elnx由h'(x)=0,可得x=2elnx或3x=2elnx或x=e(舍去).由y=lnxx的导数为y'=1-lnxx2,当x>e时,函数单调递减;当可得函数y=lnxx在x=e处取得极大值,且为最大值1e,则x=2elnx有两解,3x=2eln当x=2elnx,可得m=0,即为h(x)的最小值,由x→+∞,lnxx→0,可得x2x-2elnx-2elnxx=12-2e·lnxx-2eln【例6】解(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当O'B=40时,BB1=1800×403+6×40=160,则AA1=由140O'A2=160,得O'A=80.所以AB=O'A+O'B=80+40=120(米)(2)以O为原点,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=1800x3+6xEF=160y2=160+1800x36x因为CE=80,所以O'C=80x.设D(x80,y1),则y1=140(80x)2所以CD=160y1=160140(80x)2=140x2+4记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则f(x)=k160+1800x3-6x+32k-140xf'(x)=k3800x2-340x=3k800x(x20),x(0,20)20(20,40)f'(x)0+f(x)↘极小值↗所以当x=20时,f(x)取得最小值.答:(1)桥AB的长度为120米;(2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.对点训练6(1)B(2)10解析(1)设销