直线及直线与圆位置关系2023年高考数学考试（新高考）（解析版）

专题12解析几何

易磊合折

一、使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错

1.求两条平行直线y=3x+5与6x—2y+3=0间的距离.

【错解】直线方程y=3x+5可化为3χ-y+5=0,

则直线3χ-y+5=0与6χ-2y+3=0间的距离d-P一=

√3Γ7F10

【错因】6χ-2y+10=0与6χ-2y+3=0中x、y的系数不对应相等，不能直接用公式。在使用两

条平行直线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且x、y的系数

对应相等，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形.

【正解】经变形得两条平行直线的方程为6χ-2y+10=0和6x—2y+3=0,

故它们之间的距离为」∕io~^3∣=Z叵

√62+2220

二、有关截距相等问题忽略截距为零致错

2、直线/过点P(l,3),且在两坐标轴上的截距相等,则直线I的方程为

【错解】因为直线/过点尸(1,3),且在两坐标轴上的截距相等,设直线/的方程为土+』=1,

aa

3v

则丁广1,所以4=4,故直线/的方程x为；=即x+y-4=0.【答案】x+y-4=0

【错因】错误原因是忽略直线/过原点,截距为零的情况.

【正解】若直线/过原点.满足题意,此时自线/的方程为y=3x；

Yγ1ɜ

若直线/不过原点,设直线/的方程为一+2=1,则一+—=1,所以α=4,

aaab

故直线/的方程为二+2=1,即x+y—4=0.

44

综上，直线/的方程为y=3x或x+y-4=().

3.过点M(—3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为

【错解】设直线方程为“+工-=1,即χ-y=”,代入点(一3,5),得。=一8,

ci—a

即直线方程为r—y+8=0.答案：x—y+8=0

【错因】未考虑直线过原点的情况。

【正解】①当直线过原点时，直线方程为y=-∣x,即5x+3y=0:

γV

②当直线不过原点时，设直线方程为zi+,=l,即Λ-y=α,

a—a

代入点(一3,5),得。=一8,即直线方程为χ-y+8=O.

综上，直线方程为5x+3y=O或x—y+8=O.

三、已知两直线平行求参数的值未验证致错

4.已知直线以+3y+l=0与x+(4—2)y+α=0平行，则”的值为.

【错解】令3Xl=”(α-2),解得。=-1或“=3.答案：-1或3

【错因】未验证α的值会不会使两直线平行。

【正解】令3Xl="(α—2),解得“=-1或〃=3.

当α=-l时，两条直线的方程都为χ-3y—1=0,即两条直线重合，故舍去；

当α=3时，两条直线的方程分别为3x+3y+l=O,x+y+3=0,两条直线平行.

：.a的值为3.

四、未讨论参数的取值致错

5.已知直线∕∣:/?u+γ-1=0,l2∙.(2m+3)x+my-↑=0,m≡R,则“加=一2"是"∕∣_L4''

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

一2加一3

【错解】C,因为则(-m)x----------=-1，即2根+3=—1,解得加=一2,

m

所以"=一2''是"机=0或根=一2”的充要条件.

【错因】未考虑/”=0的情况，

—2m—3

【正解】A,(1)+加≠0时，因为4_L4，则(―m)X----------=-1，即2m+3=—1.解得m=一2.

m

(2)当加=0时,直线一/2的方程分别为=-1=0,3左一1=0.显然4，/2,

山上可知I,??∕lɪ∕2.!Si.m=0<m=-2∙

所以“m=-2"是-W=O或m=一2’的充分不必要条件.

五、误用点线距离公式致错

6.点(1,-1)到直线χ-y+l=O的距离是()

ʌ1R3√23√2

2222

［错解】由点到直线的距离公式知"当（T）Xl+"=W.故选C

√12+I22

【错因】在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=O中，B的取值，B应取T,而

不是取1.

【正解】由点到直线的距离公式知=坐故选D

√ι2+ι22

7.“a=b”是“直线、=丹2与圆（工-〃）2+"+力）2=2相切的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【错解】当α=b时圆心坐标为（a,-。），圆心到直线的距离为任二户=也与半径相等，

√2

故α=b是直线和圆相切的充分条件，同理直线与圆相切时，

圆心（",-b）到y=x+2的距离为正出W=√Σna=Z?,

√2

故α=b是直线y=χ+2与圆（X—a）?+（y+b）2=2相切的充分必要条件.选A。

【错因】在运用点到直线的距离公式时,y=x+2应先变为x-y+2=0再计算.这里y的系数应

为-1而不是未变形前的I.

∣a+a+2∣

【正解】C,'∖a=b∙i'J■圆心（a,-a）到立线x-y+2=0的距离为不一定刚好等于我,

故不是充分条件，当直线与圆相频（…）到直线x-y+2=0的距离应等于半径,

=0、解得。+〃=0或a+〃=T.

lψ故也不是必要条件,

综上可得,a=b是“线y=χ+2I州（Aa）2+（y+bf=2相切的既不充分也不必要条件.

六、忽视切线斜率不存在致错

8.过点P（2,4）作圆。-1）2+。-1）2=1的切线，则切线方程为（）

A.3x+4y-4=0

B.4χ-3y+4=0

C.x=2或4x—3y+4=0

D.y=4或3x+4y-4=0

K-I+4-2川

【错解】选B,设切线方程为.y-4=欧χ-2）,即履一y+4-2A=0,则

y∣∣c+↑

4

解得％=不得切线方程为4χ-3y+4=0.

【错因】没考虑斜率不存在的情况。

【正解】(1)当斜率不存在时，直线x=2与圆相切；

(2)当斜率存在时，设切线方程为y-4=k(x—2),即fcι-y+4-2k=0,

改一1+4—2川4

则=I,解得k=q,得切线方程为4Λ-3y÷4=0.

√∕r+l

综上，得切线方程为X=2或4.r-3y+4=0.

9.已知直线/过点(5,10),且到原点的距离为5,则直线/的方程为.

【错解】设其斜率为左,则所求直线方程为.y-10=&(χ-5),即日一y+10-5L=0,

110—Q

由点到直线的距离公式得I、：=5,解得攵=1.故所求直线方程为3x—4y+25=0.

∙∖∕Zr+14

答案：3χ-4y+25=0

【错因】没考虑斜率不存在的情况。

【正解】(1)当斜率不存在时，所求直线的方程为χ-5=0,满足题意；

(2)当斜率存在时，设其斜率为k,则所求直线方程为y—IO=Mx—5),

即AΛ~y+10—5⅛=0,由点到直线的距离公式得耳;^^=5,解得A=?

λ∕∕r+14

故所求直线方程为3.r-4y+25=0.

综上，得切线方程为x—5=0或3Λ~4y+25=0.

10.若直线过点尸(4,1)且被圆/+产=25截得的弦长是6,则该直线的方程为

I—4k+ll

【错解】设直线的方程为V-I=JIa—4),即fcv-y-4fc+l=0,圆心到直线的距离d=rʒ-；

y∣kz+l

(\—4A+1∣∖15

则252一口2=6,解得Z=一9，所以直线方程为15Λ∙+8J-68=0.

答案：15x+8y-68=0

【错因】没考虑斜率不存在的情况。

【正解】(1)当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x=4,代入圆的方程解得y=±3,

故该直线被圆截得的弦长为6,符合题意.

(2)当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y-1=Mx—4),即kχ-y-4k+∖=0,

∣

4&+]1-4⅛+l∣λ215

-2——-∣=6,解得女=一1,

圆心到直线的距离d=/ɔ则25—2

∖⅛2+l∙√⅛+I

所以直线方程为15x+8y-68=O.

综上所述，所求直线方程为x—4或15x+8.y-68=0.

答案：x=4或I5x+8y-68=θ

七、混淆直线与圆有公共点与直线与圆相交致错

11.若曲线C：d+(y+l)2=l与直线/:x+y+a=O有公共点，则实数α的取值范围为—

【错解】因为曲线C与直线/有公共点，故联立方程得『耳()'+I'='

[x+γ+a=O

消去X,化筒得.2y*+2(a+l)y+a2=0,则A>0=>五-IVaVvΞ+l.

则实数a的取值范围为√2-l<α<√2+l

【错因】忽略了直线与圆相切时的情况。

【止解】因为曲线C与直线/有公共点，故联立方程得*+s+ιγ=ι,

消去x>化简得2y2+2(a+l)y-^t∣=0,则△≥O=JΣ—1≤α≤>∕2+1.

则实数a的取值范围为JΣ-1≤a≤√Σ+1.

八、忽略方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件致错

12、已知圆C的方程为Λ2+y2+办+2y+α2=0,过点A(l,2)作圆的切线有两条,求”的取值范围.

【错解】将圆C的方程配方有(x+32+。+1)2=生三二

.∙.圆心C的坐标为(一/一1),半径/=.4丁[

当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线，

.∙.∖AC∖>r,即J(l+.)2+(2+1)2A*”,

化简得〃+。+9>0∕=1—4x9=—35<0,二α∈R

【错解】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了方程x2+y2+αx+2y+α2=0表示圆的条件.

注意，二元二次方程x2+y2+Dr+Ey+F=0表示圆的条件是D2+E2-4QO.

〃

【正解】将圆C的方程配方有(x+}∩+(y+l)24=—r3-α?∙∙4∙F—^3>2°，①

.∙.圆心C的坐标为(一余一1),半径r=业”

当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线，

：.\AC∣>r,即J(l+∣)2+(2+1)2N.M，化简得a2+a+9>0.②，

由①②得一¥<。<芈,.∙.«的取值范围是一¥<〃<¥.

九、忽视隐含条件致错

13.若点(1,2)在圆(x+α)2+0-α)2=2/的外部，则实数α的取值范围是(

D.(θ,|)

【错解】选A,：点(1,2)在圆的外部，.∙.(l+α)2+(2-a)2>24,即5—2α>0,α<∣,

实数”的取值范围为(一8,习

【错因】忽略了隐含条件"WO,

【正解】选B：点(1,2)在圆的外部，.∙.(i+4)2+(2-α)2>242,5-2a>0,«<1,又24>0,

.∙.4≠0,.∙.实数。的取值范围为(-8,O)LJ(0,ŋ.

14.已知点P(x,y)为圆x2+y2=l上的动点，则W+4y的最大值为.

【错解】因为点尸(x,y)为圆x2+y2=1上的动点，所以x2+4y=1—γ2+4y=-(y—2p+5.

所以当y=2时，/+4y取得最大值为5.答案：5

【错因】忽略了隐含条件)，∈[-Ll],

【正解】因为点尸(尤，y)为圆x2+y2=l上的动点，所以x2+4y=l-y2+4y=-(y—2>+5.

因为yW[-U],所以当y=1时，x2+4y取得最大值为4.答案：4

十、由直线的一般式方程求斜率时忽略符号致错

15.已知过点A(-2,m)和B(M,4)的直线与直线2x+y-l=0平行，则m的值为()

A.0B.-8C.2D.10

【错解】A,两直线平行故斜率相等可得：与土=2.∙.m=0.故选A.

【错因】直线2x+y-l=0的斜率是-2,而不是2,注意移项时要变号。

【正解】B,利用两向线平行斜率相等可得：，上土=-2=,”=-8故选8

—2—m

16.设直线ax+by+c=O的倾斜角为a,且Sina+cosa=0,则a、b满足()

A.a+b=lB.a-b=lC.a+b=OD.a-b=O

O

【错解】C.Vsi∏Λ+cos6/=0=>tan«=-l,Xtan^=Λ=—=-∖.:.a+h=0故选C.

【错因】直线ax+by+c=O的斜率是-巴，而不是巴,注意移项时要变号。

hh

【正自帛】I),∙.∙sin。+cos。=0tana=-∖5Ltnaa=k=--=1。一6=0.

十一、计算不严谨致错

17.已知直线L过点(-2,0),当直线L与圆Y+y2=2χ有两个交点时，其斜率k取值范围是

A.(-2√2,2√2)β.(-√2,√2)

rz√2√2\1

0(-丁，丁)d(-?T

【错解】设此直线为y=&(χ+2).圆心到直线的距离刚好好等于半径(即相切)时,

【错因】计算出并没有开方算出k=±也.

4

【正解】可设直线方程为y"(χ+2)代入圆的方程中,用AVo可得d<L故-叵<k<叵.选C.

844

18、圆心为(1,2)且与直线5x-12r-7=0相切的圆的方程为.

【错解】圆心到直线的距离等于半径，即“X5：2X(-⑵-7∣=r=2...

√52+122

圆的方程为(X-I)2+(y-2)2=2.

【错因】在算出r后,往(X-Xo)2+(y+%)2=J中代入时、忘记后面是F.

【正解】山圆心到直线的距离等了半径得r=2.,∙.∙圆的方程为(x-l)2+(y-2)2=4.

易常感通用

1.若直线x=2的倾斜角为α,则α的值为()

JTJT

A.0BaC，2D.不存在

【答案】C

【解析】因为直线x=2垂直于X轴，所以倾斜角α为当

2.(多选)若直线/过点A(l,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线/的方程可能为()

A.χ-y+1=0B.x÷y-3=0

C.2x~y=0D.χ-y—1=0

【答案】ABC

2—0

【解析】当直线/经过原点时，直线/的斜率Λ=-p^=2,直线/的方程为y=2x,即2χ-y=0;

当直线/不过原点时，设直线/的方程为；r-y=k或x+y=k,把点A(l,2)的坐标代入可得1-2

=A或1+2=&,得K=-1或％=3,故直线/的方程为x—y+1=0或x+y—3=0.故选A、B、

C.

22

3.(多选)直线/1：(a-l)x+a>-1=0,Z2:(a-l)x+(a+a)y+2=0,li//I2,则α的值可能是()

A.-1B.OC.1D.-2

【答案】BCD

【解析】由题意知,d(α-l)=(a2-l)(02+α),整理得Ig-1)(Ο+2)=0,

解得α=0或a=1或a=-2.

当“=0时，/1：x+l=0,/2：X—2=0,/|〃6成立；

当<7=1时，h：y—ɪ=0,/2：y+l=0,八〃，2成立；

当°=一2时，∕ι:3χ-2y-l=0,∕2:3χ-2y—2=0,6〃/2成立.

综上所述，4=0或α=1或〃=—2.

4.已知某圆圆心在X轴上，半径为5,且截y轴所得线段长为8,则该圆的标准方程为()

A.(Λ+3)2+∕=25B.(χ-3)2+y2=25

C.(x±3)2+y2=25D.(x+9)2+y2≈25

【答案】C

【解析】如图,由题设知IAcl=r=5,∣AB∣=8,.∙.∣O4∣=4.在RtZvlOC中,

|0《=4|4。2一|042=、52-42=3.设点。的坐标为(外0),则IOel=Ial=3,

α=±3.故所求圆的标准方程为(x±3)2+)2=25.

5.已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】设圆心为C(x,y),则3)2+(J-4)2=ɪ,

化简得(x—3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,

1为半径的圆，如图.所以I。CI+1NIoM=∙√否不=5,

所以Ioq25—1=4,当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.

6.直线以一>+2=0与圆Λ2+y2=9的位置关系是()

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

【答案】A

【解析】圆x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,直线，nx—y+2=0恒过点A(0,2),

而(P+22=4<9,所以点A在圆的内部，所以直线"tr-y+2=0与圆.r2+y2=9相交.

7.已知直线4：(〃-l)x+2y=O与直线4：x+(a—l)y+4=0垂直，则实数α的值为()

A.α=lB.a=-3C.α=l或a=—3D.不存在

【答案】C

【解析】当a=l时，直线4：y=。，直线，2：X=-4,两直线垂直，符合题意；当a≠l时，由两

直线垂直可得aJl+2(叱l)=0,解得。=-3或1(舍去)，综上所述，a=l或。=一3.

8.直线(2m-l)x+my+2=0和直线"tr+3y+l=0垂直，则实数用的值为()

A.0或一1B.-1

C.3±Λ∕6D.3+#

【答案】A

【解析】因为直线(2/71-I)X+my+2=0和直线∕nr+3y+l=O垂直，所以(2，〃-l)〃?+3m=。，

.∙.机=-1或，”=0.故选A.

9.过点A(l,4),且横、纵截距的绝对值相等的直线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】C

【解析】当直线经过原点时，横、纵截距都为0,符合题意，当直线不经过原点时，设直线方程

141(/•

XV—I—=1,IQ=_3I0=5

为土+；=L由题意得卜b解得、,或,U综上，符合题意的直线共有3条.

“bM=瓦也=3[b=5

10.过点A(l,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.x-γ+l=OB.x+y-3=0

C.2x-y=0或x+y-3=0D.2x-y=。或x-y+l=O

【答案】D

【解析】当直线过原点时，满足题意，方程为y=2x,即2x—y=0；当直线不过原点时，设方

程为2+2=1,•••直线过(1,2),.∙.1-2=1,.∙.”=一1,.∙.方程为x-y+l=0,故选D

a-aaa

lɪ.若点尸(l,l)在圆C：χ2+y2+χ_y+Z=0的外部，则实数Z的取值范围是()

A.(-2,+∞)B.々-J[°，12，；)D.(-2,2)

【答案】C

fl+l÷l-1÷⅛>0ɪ

【解析】由题意得，I八，解得故选c∙

[l+l-4⅛>02

12.经过点41,2)可做圆/+9+m-2〉+4=0的两条切线，则机的范围是()

A.(-∞,-2√3)∪(2√3,+∞)B.(-5,-2√3)(2√3,+x)

C.(-∞,-2√2)u(2√2,+oo)D.(-5,-2√2)(20,+8)

【答案】B

【解析】圆f+y2+∕nr-2y+4=0,即为(X-'+(>-1)?=竺-3,二工-3>On机<一2百或

244

机>:由题意知点4在圆外，.7+4+帆-4+4>O,解得〃?>-5.所以_5<<-2√3或，*>26.

13.已知直线∕∣:依+4y-2=0与直线y2x-5y+b=O互相垂直，垂足为(l,c),则α+∕7+c的

值为()

A.20B.-4C.OD.24

【答案】B

【解析】直线4的斜率为-3,宜线，2的斜率为4,两直线垂直,可知一幺_=-1,。=10,将垂

4545

足坐标代入直线4方程，得到c=-2,代入直线4方程，得到人=一12,所以

α+Z?+C=Io-2-12=-4,

14.若直线∕∣：x+ay+6=04：(a-2)x+3y+Zj=0平行，则∕∣与4间的距离为()

A.√2B.随C.√3D.迪

33

【答案】B

【解析】由题：直线∕∣：%+的+6=0与4：(a-2)x+3y+2a=0平行，

2

则3=α(α-2),KPα-2α-3=0,解得。=3或。=一1，

当α=3时，直线4：x+3y+6=0与4:x+3y+6=0：重:合；

2

当α=-l时，直线4:x-y+6=0与4:x-y+§=0平行，

6_2

两直线之间的距离为_3_=8√2.

√2^3

15.若直线4：以+y-1=0与直线，2：%+故+1=0平行，则两平行线间的距离为()

A.1B.√2C.2D.2√2

【答案】B

【解析】直线4：依+y-l=0与直线4：x+ay+l=O平行，则"一1=0，解得α=±l,

当。=一1时，直线4：x—y+i=o与直线/2"—y+ι=o重合，故舍去.当。=1时，直线

4:x+y-1=0与直线4：x+y+i=0平行，故两平行线间的距离d=号U=&.

16.己知点(α+l,α-l)在圆/+9_23_4=0的外部(不含边界),则实数。的取值范围为()

A.a<∖B.a>∖C.0<α<lD.a>-

5

【答案】B

【解析】圆/+>2-2到-4=0,即X2+(y-q)，=ɑ?+4,圆心(0,4),半径厂=Ja?+4,

因为点(α+l,α-l)在圆V+y2-2αy-4=0的外部，所以点(a+l,α-l)到圆心(0,。)的距离大于半

径，即｛"+I[+(->+4,解得α>l,故选B.

17.过点(1,2)作直线/,满足在两坐标轴上截距相等的直线/有()条.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】若截距都为零，则直线过(0,0),则直线方程为y=2x；若截距都不为零，则设直线方

程为土+2=1,则,+2=1,解得。=3,所以直线方程为：x+y-3=0,故满足在两坐标轴上

aaaa

截距相等的直线/有2条；故选B

18.若方程χ2+y2-2y+,“2-,"+ι=o表示圆，则实数〃?的取值范围为()

A.(-2,1)B.(-1,；)C.(-∞,0)u(l,+∞)D.(0,1)

【答案】D

【解析】由方程f+〉"—2y+〃广—∕w+1=0表不圆，则0~+(—2)—4(〃广一，zι+1)>0,

解得0<m<l.所以实数m的取值范围为(0,1).故选D

19.已知直线，：x+y-2=0与X轴和y轴分别交于A、B两点,动点P在以点A为圆心，2为半

径的圆上，当NABp最大时，AAPB的面积为()

A.√2B.1C.2D.2√2

【答案】C

【详解】由已知A(2,0),WO,2)圆A的方程为(x—2)2+y2=4,当N4BP最大时，

此时直线PB是IMIA(X—2)2+丁=4的切线，即直线PB的方程为：y=2或X=0,

当直线用的方程为y=2时，”总的面积为、？、？=2,

2

当直线PA的方程为X=O时，∆APB的面积为:X2X2=2,

20.当圆/+V=4截直线/:X-阳+机-I=O(Zn∈R)所得的弦长最短时，的值为()

A.-√2B.√2C.-1D.1

【答案】C

【详解】直线/过定点A(Ll),圆f+y2=4的圆心为O(O,()),半径r=2,

当/_LQ4时，圆/+)/=4截直线/:X—my+mT=0(m€R)所得的弦长最短，

由于MOA=1，所以M=T,即一一-=-1,TO=-I.

—m

21.己知直线/：x+y-4=0,圆O：/+y2=2,M是/上一点，MA,MB分别是圆。的切线，

则()

A.直线/与圆。相切B.圆。上的点到直线/的距离的最小值为正

C.存在点使ZAMfi=90。D.存在点M,使AMB为等边三角形

【答案】BD

【详解】对于A选项，圆心到直线的距离d=占$=2√I>√I=r,所以直线和圆相离，故

√lz+lz

A错误：

对于B选项，圆O上的点到直线/的距离的最小值为d-r=夜，故B正确；

X寸于C选项，当。时，NAΛ仍有最大值60。，故C错误；

对于D选项，当OMJj时，AMB为等边三角形，故D正确.

22.下列命题正确的是()

A.已知点42,-3),8(-3,—2),若直线y=A(x-D+l与线段AB有交点，则％≥=或A≤-4

4

B.机=1是直线∕∣:M+y-l=0与直线4：(机-2)尢+/2-2=0垂直的充分不必要条件

C.经过点(1,1)且在X轴和y轴上的截距都相等的直线的方程为x+y-2=0

D.已知直线4：融一y+l=0,4：x+αy+l=0,aeR,和两点A(0,l),8(-1,0),如果∕∣与交

于点M,则∣M4∏M网的最大值是1.

【答案】ABD

【解析】对于A,∙.∙直线y="x-l)+l过定点P(1,1),又点A(2,-3),B(-3,-2),

1+31+23

T≡2T+3-4

3

如图可知若直线(X-I)+1与线段AB有交点，则人≤∕⅛=-4,或k≥M>B=],故A正确;

对于B,由直线∕∣:∕nr+y-l=O与直线4：(加一2)x+啊-2=0垂直得,

m(m-2)+m-0,解得/"=0或机=1,故“=I是直线4：〃认+丫-1=0与直线4：

(〃?-2)x+叼-2=0垂直的充分不必要条件，故B正确；

对于C,当直线过原点时，直线为％=九

当直线不过原点时，可设直线为三+2=1,代入点(1,1),得α=2,所以直线方程为X+y-2=0,

aa

故经过点(U)且在X轴和>轴上的截距都相等的直线的方程为χ+y-2=o或χ=y,故C错误;

对于D,：直线∕∣:Or-y+l=0,I2：x+ay+∖=Q,又αxl-lxα=0,所以两直线垂直，/.

IA例2+12=2,∙∙∙∣M4∣M8∣≤以号城=1,当且仅当IM4∣=∣M8∣时取等号，故D正确.

23.下列说法第堡的是()

A.若直线∕x-y+l=O与直线…"2=0互相垂直，贝IJa=T

B.直线XSina+y+2=0的倾斜角的取值范围是b

C.A(0,l),B(2,l),C(3,4),O(T2)四点不在同一个圆上

D.经过点(1,1)且在X轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+>-2=0

【答案】ACD

【解析】当α=0时，直线∕χ-y+l=O与直线x-冲-2=0也互相垂直，所以选项A不正确；

直线XSina+y+2=0的倾斜角8,可得tane=-sinαw[-1,1],所以。的取值范围是[O,JU呼，乃)；

所以B正确；由题得IABl=2,∣Af)∣=血,|8。|=而,.∙.cosNB4f)=土与3=-也.

4√22

∣CD∣=2√5,∣BC∖=√10,∣BD∣=√10,.∙.cosZBCD=20+/2=正，所以ZBAD+ZBCD=π,

2×2√5×√102

所以A(0,1),8(2,1),C(3,4),£>(—1,2)四点在同一个圆上，所以选项C不正确;

经过点(U)且在X轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0,或y=χ,所以D不正确;

24.若直线(3α+2)x+(l-44)y+8=0与(5〃-2)x+(α+4)y-7=0垂直，则α=.

【答案】O或1

【解析】由两直线垂直的充要条件，得(3"+2)(54-2)+(l-4o)(α+4)=0,解得α=0或¢/=1.

25.若半径为r,圆心为(0,1)的圆和定圆。-1)2+。-2)2=1相切，则r的值等于.

【答案】√2-l或添+1

［解析］依题意，,∖∕(0-1)2÷(1^-2)2=r÷1或｛(O'-［>+(l-2)2=∣L1∣,

解得r=√2-1或r=√2÷1.

26.经过点P(4,l)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为.

【答案】χ-4y=0或x+y-5=0

【解析】设直线I在X轴、y轴上的截距均为。,若α=0,即/过点(0,0)和(4,1),

XV

所以/的方程为y=χx,即χ-4y=0.若。#0,设/的方程为1+"=1,因为/过点(4,1),

41

所以］+'=l,所以〃=5,所以/的方程为x+y—5=0.

综上可知，所求直线的方程为X—4γ=0或x+y-5=0.

27.线2x+2y+l=0,x+y+2=0之间的距离是.

3√2

【答案】4

【解析】先将2x+2y+1=0化为Λ-+V+∣=O,则两平行线间的距离d=~~^~=乎.

28.过点P(-l,l)作圆丁+丁一奴—2y+∕-2=0的切线有两条，则。的取值范围是

【答案】(1,2)

【解析］,1ɪ2÷y2-cιx-2,y+cι~—2=0表小个圆，；.(―a)~+(—2)"—4(tz^—2)>0,—2<a<2,

又由过点P(τ,l)作圆/+y2-αr-2y+a2-2=0的切线有两条，得：P在圆外，所以

(-l)2+l2-α×(-1)-2×l+a2-