2023届高三数学二轮复习练习9：空间几何体（含答案）

微专题强化练9空间几何体

一、单项选择题

1.（2022・唐山模拟）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比

值为（）

A.1：1B.1：2

C.2：1D.2：3

2.（2021.新高考全国I）已知圆锥的底面半径为√L其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的

母线长为（）

A.2B.2√2C.4D.4√2

3.某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物,

用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字.该正方体纸盒

水平放置的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如图是该正方体

的展开图.若图中“致”在正方体的后面，那么在正方体前面的字是（）

A.最B.美C.逆D.行

4.已知正方体ABC£>—4BlcQl的棱长为2,则三棱锥4一5CA的体积为（）

a4c8

ʌɜB3

C.4D.6

5.（2022.河南联考）小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上

底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为5回〃，垃圾篓上底面直径为244,下

底面直径为18”，母线长为134,则该篮球的表面积为（）

A.154πa2B.^^πa2

C.308πo2D.616πa2

6.（2022.湖北联考）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨（<10

mm）,中雨（IOmm〜25mm）,大雨（25mm〜50mm）,暴雨（5Omm〜IOOmm）,小明用一个圆

锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）

H—200mmT

A.小雨

C.大雨D.暴雨

7.（2022.八省八校联考）如图，已知正四面体ABCD的棱长为1,过点B作截面a分别交侧棱

AC,AO于EF两点,且四面体ABEF的体积为四面体ABa）体积的点则EF的最小值为（）

8.（2022.新高考全国I）己知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体

积为36π,且3<∕W3√5,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A∙[18,y]B._%⅛

Γ2764^1

C匕,yjD.118,27J

二、多项选择题

9.（2022.武汉模拟）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，

下列结论正确的是（）

A.圆柱的侧面积为4兀审

B.圆锥的侧面积为2τrR2

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.球的体积是圆锥体积的两倍

10.设一空心球是在一个大球（称为外球）的内部挖去一个有相同球心的小球（称为内球），已知

内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1,若某正方体的所有顶点均在外球面上且所有

面均与内球相切，则（）

A.该正方体的棱长为2

B.该正方体的体对角线长为3+小

c.空心球的内球半径为√5-ι

D.空心球的外球表面积为（12+&\/5）兀

11.如图，已知四棱台ABC。一AlBlGQ的上、下底面均为正方形，其中48=2也，Alβ,=√2.

AA∖-BB∖-CC∖-DD∖-2,则下列叙述正确的是（）

A.该四棱台的高为小

B.AA∖LCC∖

C.该四棱台的表面积为26

D.该四棱台外接球的体积为竽

12.（2022・聊城模拟）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状,

则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱.这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之

间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等于长半轴长与短

半轴长乘积的兀倍，已知某圆柱的底面半径为2,用与母线成45。角的两个平行平面去截该圆

柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（）

A.底面椭圆的离心率喏

B.侧面积为24√5π

C.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π

D.底面积为4也π

三、填空题

13.（2022.湘潭模拟）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫做陀罗.陀螺的形状结构如图所示,

由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为

hy,hι,r,且hi=hι=r,设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S,则自=.

14.（2022.福州质检）在正三棱柱ABC-AiBiCi中，AB=M1=2,F是线段AIBl上的动点，

则AF+FG的最小值为.

15.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）.该工艺品可以

看成是一个球体被一个棱长为4的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重

合），其中一个截面圆的周长为3π,则该球的半径为：现给出定义：球面被平面所截

得的一部分叫做球冠.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的

高.如果球面的半径是R,球冠的高是"，那么球冠的表面积计算公式是S=2兀/如由此可知,

该实心工艺品的表面积是.

16∙（2022∙开封模拟）如图，将一块直径为2小的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正四棱

柱的体枳取最大值时，切割掉的废弃石材的体积为.

参考答案

1.A2.B3.B4.B5.D6.B

7.D

8.C［方法一如图，设该球的球心为。，半径为R,正四棱锥的底面边长为m高为儿

依题意，得36兀=∣πR3

解得R=3.

Z2=A2+

由题意及图可得，

R2=(h~R)2+

2R^"6'

解得，

4

出=2"∙⅛Z,

1ð

所以正四棱锥的体积V=^a2h

=K2^^⅛)∙6

=勤O(3W/W3®

所以H=AU科

令V,=0,得∕=2√6,

所以当3忘/<2加时，V,>0；

当2√^<∕W3√5时，V,<0,

A9一点）（3W∕W3√5）在［3,2√d）上单调递增，在（2&,3小］上单调递减,

所以函数V—

又当/=3时，V=y；

当/=2加时，V=y；

号,fl

所以该正四棱锥的体积的取值范围是

方法二如图，设该球的球心为0,半径为上正四棱锥的底面边长为4,高为力，依题意,

,φ

4

得36τt=1πR3,

解得R=3.

卜=后+停z),

由题意及图可得《

)一

R2=(LR)2+净

CPP

h1

=2R=6'r.

解得1产又3W∕W3√5

∖a^2P--,

I1o

所以该正四棱锥的体积V=^a2h

=K2Z2-⅞)∙6=TK2-⅛)

=72×⅛⅜(2^⅛)

≤72×[⅜+⅜+(2-⅛))=⅜

.3J3

(当且仅当£=2一卷，即/=2玳时取等号)，

64

所以正四棱锥的体积的最大值为半，排除A,B,D.

方法三如图，设该球的半径为七球心为0,正四棱锥的底面边长为4,高为/1,正四棱

锥的侧棱与高所成的角为仇

P

依题意，得36π=%R3,

解得R=3,所以正四棱锥的底面边长“=√^∕sina高∕ι=∕cos”

在aOPC中，OELPC,垂足为E,

2

则可得CoSe=1=公坐］,

所以∕=6cosθ,

所以正四棱锥的体积

V=^a2h=∣(∙∖∕2∕sin0)2∙∕cosθ

=3(6cos0)3Sin2。COSθ

=144(sin0cos20)2.

设SinO=。易得/Cɪ,坐］,

则y=sin⅛os20=t(∖-i2)-t-t3,

则y'=1—3P.令y'=0,得t=坐,

所以当;<r<当时，y'>0；

当日<7普时，_/<0,

所以函数y=r-f3在弓，叫上单调递增，在停，里)上单调递减.

又当/=当时，y=芈；当f=T时，y=|；当f=坐时，y=坐，

所以坐WyW挈，所以日WVW竽

所以该正四棱锥的体积的取值范围是圉y］.］

9.ACD10.BD

11.AD［将四棱台补为如图所示的四棱锥P—ABCD,分别取8C,Blel的中点E,E1,

记四棱台ABCO—4BlGd的上、下底面中心分别为0∣,0,

连接AC,AιC∣,BD↑,B∣D∣,A↑O,0E,OP,PE,

由条件知5分别为四棱锥的侧棱∕¾,尸。的中点，

Ai,Bi,C1,PB,PC,

则PA=2AAι=4,

OA=坐AB=巾AIBI=2,

所以OOl=-^PO=^∖JPA2-OA2=y∣3,

故该四棱台的高为√5,故A正确；

由用=PC=4,AC=A,得为正三角形，则AAl与CCl所成角为60。，故B错误;

四棱台的斜高/∕'=^PE

-2∖∣PO2+OE2

=#2小）2+（何=卑

所以该四棱台的表面积为（2吸）2+（√5）2+4X吟生X芈=10+6√j,故C错误;

由△雨C为正三角形，易知。Ai=OA=OC=OCi,OBI=ODl=OB=OD,

4TT

所以。为四棱台外接球的球心，且外接球的半径为2,所以该四棱台外接球的体积为苧X23

=号，故D正确.]

12.ABD[不妨过斜圆柱的最高点。和最低点B作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之

间的几何体是圆柱，如图，矩形A8C。是圆柱的轴截面，平行四边形BEDE是斜圆柱的过

底面椭圆的长轴的截面，

由圆柱的性质知∕ABF=45>

则BF=巾AB,

设椭圆的长轴长为射，短轴长为2仇

则2π=√2∙2⅛,即α=√2⅛,

c=y∣a2-b2=7a1一吟心=坐a，

所以离心率为e=A坐，A正确；

作EGlBF,垂足为G,则EG=6,

易知NEBG=45。，则BE=M,

又CE=AF=AB=4,

所以斜圆柱侧面积为S=2π×2×(4+6√2)-2π×2×4=24√2π,B正确；

由于斜圆柱的两个底面的距离为6,而圆柱的底面直径为4,所以斜圆柱内半径最大的球的

半径为2,球的表面积为4τιX22=16π,C错误；易知28=4,则6=2,α=2√2,所以椭圆

面积为πah=4y∣2π,D正确.]

13也

1ɔ•2

14.√6+√2

解析依题意，把正三棱柱4BC—48IG的上底面4AιB∣G与侧面矩形4B8∣A∣放在同一平

面内，连接AG,设AG交A山I于点F,如图，

此时点尸可使AF+FG取最小值，大小为AG,而NAAlG=I50。，

则AC∣=y∣AA↑-∖-A∖C]—2AΛ∣∙ΛιC∣coSz×AAιCι

=√22+22-23cos150°

=、8+4小-y∣6+y∣2,

所以AF+尸G的最小值为优+