结构力学课件第11章影响线2

1.间接荷载（结点荷载）

桥梁结构的纵横梁桥面系统中的主梁受力简图如图所示。主梁横梁（结点）纵梁

计算主梁时通常假定纵梁简支在横梁上，横梁简支在主梁上。荷载直接作用在纵梁上，再通过横梁传到主梁，即主梁承受结点荷载。这种荷载称为间接荷载或结点荷载。

F§11-3间接荷载作用下的影响线2.间接荷载影响线的绘制方法以绘制MC影响线为例F=1（1）首先，将F=1移动到各结点处。F=1其MC与直接荷载作用在主梁上完全相同。MC影响线yDyE（2）其次，当F=1在DE间移动时，

主梁在D、E处分别受到结点荷载及的作用。xd设直接荷载作用下MC影响线在D、E处的竖标为yD、yE

，在上述两结点荷载作用下MC值为y=（直线方程）x=0,y=yDx=d,y=yEyF=1F=1CDABEF=13.结论绘制间接荷载作用下影响线的一般方法：（1）首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线。（2）然后取各结点处的竖标，并将其顶点在每一纵梁范围内连成直线。例题P=1FB影响线MK影响线aFsK影响线（练习）a10K

结点荷载下影响线特点1、在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同.2、相邻结点之间影响线为一直线。

结点荷载下影响线作法1、以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。2、将结点投影到上述影响线上，得到结点处的影响线竖标3、以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。注意：在作结点下左侧截面剪力影响线时，应将结点投影到右直线上，作结点下右侧截面剪力影响线时，应将结点投影到左直线上

静力法和机动法是作影响线的两种基本方法。1.机动法的依据——虚位移原理：虚位移原理刚体体系在力系作用下处于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和等于零。§11-4用机动法作单跨静定梁的影响线2.机动法简介以简支梁为例。作反力FA的影响线，为求反力FA，去掉与其相应的联系即A处的支座，以正向反力代替。FA此时，原结构变成了有一个自由度的几何可变体系，给此体系微小虚位移。

A虚功方程为FA

A+FF=0

FFA=－BA令

A=1FA=－

F此时，虚位移图

F便代表了FA的影响线。F=1AB13.机动法由前面分析可知，欲作某一反力或内力X的影响线，只需将与X相应的联系去掉，并使所得体系沿X的正向发生单位位移，则由此得到的荷载作用点的竖向位移图即代表X的影响线。这种作影响线的方法便称为机动法。机动法的优点在于不必经过具体计算就能迅速绘出影响线的轮廓。例：用机动法绘MC影响线ABCabMCMCABCF=1

A1

F令+=1=aaMC(+)+FF=0解：)()1+令YB影响线求图示梁支座反力影响线F=1lxF=11机动法步骤:解除与所求量对应的约束,得到几何可变体系。令其发生虚位移,并使与该量对应的广义位移为1,方向与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线,基线上部为正。求图示梁k截面弯矩和剪力影响线Fsk影响线F=1lxkabMk1（a+Mk影响线aFsk1b/la/ll/2l/2l/2KF=1A练习:作YA,MA,MK,FsK影响线.YAFsk影响线l/2l/2l/2KF=1A练习:作YA,MA,MK,FsK影响线.YA影响线11MA影响线MkMA）1lMk影响线）1l/2Fsk11练习:作YB,MA,MK,FsKMi,Fsi影响线.l/4l/4kF=1AiBl/4l/4FskYAMi影响线YA影响线1MA影响线）1l/2Mk影响线）1l/411练习:作YB,MA,MK,FsKMi,Fsi影响线.l/4l/4kF=1AiBl/4l/4MAMkl/2Fsk影响线Mi）1FskFsi影响线（1M1YA影响线例：作YA、M1、M2、

Fs2、MB、

Fs3、

YC、

Fs4、

FsC左、

FsC右

影响线11ABCD12342m1m1m1m1m1m1m2m1m1mYAM1影响线M2影响线M2（11（1MBFs2影响线例：作YA、M1、M2、

Fs2、MB、

Fs3、

YC、

Fs4、

FsC左、

FsC右

影响线2ABCD12342m1m1m1m1m1m1m2m1m1mMB影响线Fs3影响线1Fs21Fs31YC影响线例：作YA、M1、M2、

Fs2、MB、

Fs3、

YC、

Fs4、

FsC左、

FsC右

影响线ABCD12342m1m1m1m1m1m1m2m1m1mFs4影响线1YC1Fs41FsC左影响线FsC左FsC右影响线FsC右11.多跨静定梁影响线绘制步骤首先分清多跨静定梁的基本部分和附属部分及其传力关系，再利用单跨静定梁的已知影响线，多跨静定梁的影响线即可绘出。2.举例说明首先分析几何组成并绘层叠图。KaL当F=1在CE段上移动时MK影响线与CE段单独作为一伸臂梁相同。MK影响线当F=1在AC段上移动时MK=0当F=1在EF段上移动时FF此时CE梁相当于在结点E处受到FEy的作用FEy=故MK影响线在EF段为直线。a绘制MK的影响线绘制FsB左的影响线按上述步骤绘出FsB左影响线如图。0FEyF=1101FsB左影响线F=1xE§11-5多跨静定梁的影响线由上可知，多跨静定梁反力及内力影响线的一般作法如下：（1）当F=1在量值本身梁段上移动时，量值的影响线与相应单跨静定梁相同。（2）当F=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁段上移动时，量值影响线的竖标为零。（3）当F=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁段上移动时，量值影响线为直线。根据铰处的竖标为已知和在支座处竖标为零等条件，将其绘出。3.结论①基本梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关的附属梁，在基本梁上与相应单跨静定梁的影响线相同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结点处影响线发生拐折，在滑动联结处左右两支平行。②附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零值，且与相应单跨静定梁的影响线相同。小结MC影响线82000MK影响线FsC左影响线0FsC右影响线1111.500习题11—10MA.I.L2m1m3mFD.I.L111/2FsD右.I.LABCDEFG3m3m2m2m2m4m3m×6=18m1m1m11/21/31/2F=1x§6—6桁架的影响线

1.单跨静定桁架，其支座反力的计算与单跨静定梁相同，故二者反力影响线相同。

2.用静力法作桁架内力影响线，其计算方法与桁架内力的计算方法相同，同样分为结点法和截面法，不同的是作用的是P=1的移动荷载，只需求出P=1在不同位置时内力的影响线方程。

下面以简支桁架为例，说明桁架内力影响线的绘制方法。3.作桁架的影响线解：绘S12影响线用力矩法，作Ⅰ-Ⅰ

截面。当P=1在A－1间移动时ⅠⅠP=1P=1AB取右部为隔离体，由∑M5=0有RARBRB×5d－S12h=0S12=RBS12影响线当P=1在2－B间移动时取左部为隔离体，P=1P=1由∑M5=0有RA×3d－S12h=0S12=RA当P=1在节间（1-2）内移动时，S12的影响线为一直线。前面讨论了影响线的绘制方法。从本节开始研究影响线的应用。首先讨论如何利用影响线求量值。1.集中荷载某量值的影响线已经绘出，有若干个集中荷载作用在已知位置。F1F2Fny1y2yn据叠加原理S=F1y1+F2y2+…+Fnyn=∑Fiyi

(11－1)若集中力作用在影响线某一直线范围内，则有S影响线S影响线y1y2ynox1x2S=F1y1+F2y2+…+Fnyn

=(F1x1+F2x2+…+Fnxn)tg

=tg∑Fixi据合力矩定理∑Fixi=F故有S=Ftg=F(11－2)F§11-7利用影响线求量值2.分布荷载FsxabS影响线将分布荷载沿长度分成许多无穷小的微段，dxy

每一微段dx上的荷载为qxdx，S=当为均布荷载（Fs=常数）（11—3）S=(11—4）FsS影响线式中表示影响线在均布荷载范围内面积的代数和。ab

qdx

则ab区段内分布荷载产生的影响量ω例：利用影响线求k截面弯矩、剪力。kl/2l/2l/2l/2解：Qk影响线1/21/21/21/2Mk影响线l/4l/4l/4§11-8公路和铁路标准荷载制公路上行驶的汽车、拖拉机、以及铁路上行驶的火车机车、车辆等，其规格不一，种类繁多，载运情况也相当复杂。结构设计时，不可能对每种具体情况都进行计算。一般情况下是由主管业务部门经过统计分析，制定出一种统一的标准荷载，作为设计的依据。这种标准荷载，要求既能概括当前各类机车、车辆的情况，又必须考虑到将来的发展需要。我国公路桥涵设计时，所使用的标准荷载，有计算荷载和验算荷载两种。计算荷载以汽车车队表示，有汽车—10级、汽车—15级、汽车—20级和汽车—超20级共四个等级。车队中的汽车有两种，一种是主车，另一种是重车。例如汽车—10级，主车载重为100kN，轮压分别为30kN

和70kN。重车载重为150kN，轮压分别为50kN和100kN1、汽车标准荷载各级汽车车队的纵队排列如图所示，各车辆之间的距离可随计算需要任意变更，但不能小于图示荷载之间的距离。2、中—活载（铁路标准荷载）我国铁路桥涵设计所使用的标准荷载有普通荷载和特种荷载两种。称为“中华人民共和国铁路标准荷载”，简称“中—活载”应当注意：1）铁路桥涵设计时，一般均采用普通荷载计算。在设计跨度小于7m的梁时，才分别计算普通荷载和特种荷载所产生的结构内力，选用其中较大的一组内力作为设计标准。2）考虑到列车可以从桥梁的两端进入，设计时应选取两种进桥方式中产生较大内力作为设计标准。3）图中所示荷载是单线（即一个车道）上的荷载，如果桥梁是由两片主梁组成的单线桥时，则每片主梁只承受图示荷载的一半。4）使用“中—活载”时，可由图示中任意截取，但不能变更轴距。

最不利荷载位置：使某一量值发生最大（或最小）值的荷载位置，即为最不利荷载位置。在移动荷载作用下的结构，各种量值均随荷载位置的变化而变化，设计时必须求出各种量值的最大值（或最小值）。为此，要首先确定最不利荷载位置。下面分几种情况讨论。1.一个集中荷载最不利荷载位置可直观判断。S影响线FSmaxFSmin§11-9最不利荷载位置单个集中荷载的最不利荷载位置，是将荷载作用在影响线的最大竖标或最小竖标处。

2.可以任意布置的均布荷载（如人群、货物等）由式S=q

可知S影响线SmaxSmin可以任意布置的均布荷载的最不利位置，是将荷载布满影响线的正号部分或负号部分

3.行列荷载：

行列荷载的最不利荷载位置难于直观判定。但据最不利荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置时，所求量值S最大，因而荷载由该位置不论向左或向右移动到邻近位置时，S值均将减小。因此，下面从讨论荷载移动时S的增量入手解决这个问题。一系列间距不变的移动集中荷载设某量值S的影响线如图所示xyS影响线

1

2现有一组集中荷载处于图示位置，F1F2Fny1y2yn所产生的影响量S1为S1=F1y1+F2y2+…+Fnyn当整个荷载组向右移动△x时，△x△y1△x△x△y2△yn

n相应的量值为S2S2=F1(y1+△y1)+F2(y2+△y2)+…+Fn(yn+△yn)故S的增量△S=S2－S1=F1△y1+F2△y2+…+Fn△yn=F1△xtg

1+F2△xtg2+…+Fn△xtgn=△x∑Fi

tgi则=∑Fi

tg

i=∑Fi

tg

i当S有极大值时，载荷自该位置左移或右移△x后S将减小，即△S＜0。由于左移时△x＜0,右移时△x＞0,故S有极大值时荷载左移，∑Fitg

i＞0荷载右移，∑Fitg

i＜0(11—5）同理，S有极小值时荷载左移，∑Fitg

i＜0荷载右移，∑Fitgi＞0(11—5`）总之，荷载向左、右移动微小距离后，∑Fi

tg

i变号，S才可能有极值。---临界荷载判别式那末，在什么情况下∑Fi

tg

i才可能变号？式中

tgi是各段影响线的斜率，它是常数，并不随荷载移动而变号。故引起变号就是各段上的合力Fi的数值发生变化，显然只有当某一集中荷载恰好作用在影响线的某一个顶点处时，才有可能。我们把能使∑Fi

tgi变号的集中荷载称为临界荷载，此时的荷载位置称为临界荷载位置。式（11-5）、（11-5`）称为临界荷载位置判别式。确定临界位置一般采用试算法。在一般情况下，临界位置可能不止一个，这就需将与各临界位置相应的S极值均求出，从中选出最大（最小）值，相应的荷载位置就是最不利荷载位置。1)S达极值时，荷载稍向左、右偏移，∑FRitanαi必变号。2)有一集中力Fcr位于影响线顶点上。临界荷载的判断条件按下面原则确定需判别是否为临界力的荷载情况:1.较多荷载居于影响线正号范围内,较多荷载居于影响线较大竖标处;2排列密集、数值较大荷载位于竖标较大的顶点.取荷载组中的某一荷载Fcr位于S影响线的某一顶点，当荷载左、右偏移时都会使量值S的增量

减小（或增大），则Fcr位于影响线顶点时，S取得极大值（或极小值），称Fcr为一临界荷载。相应的荷载位置为临界位置。

为了减小试算次数，可事先大致估计最不利荷载位置，对于常用的三角形影响线，abh

临界位置判别式可进一步简化，设临界荷载Fcr处于三角形影响线的顶点，FaFcrFb临界位置判别式为：荷载左移(FRa+Fcr)tg－FRbtg＞0荷载右移FRatg－(Fcr+FRb)tg＜0将tg=和tg=代入，得（11—6）这就是三角形影响线判别临界位置的公式，可以形象理解为：把Fcr归到顶点哪一边，哪一边的平均荷载就大。对于均布荷载跨过三角形影响线顶点的情况，abh

FRaFRb可由的条件来确定临界位置。此时有∑Fitg

i=得（11—7）即左、右两边的平均荷载相等。

直角三角形影响线上面诸式不适用。量值S的影响线为三角形影响线时，求量值S的最大（小）值的步骤：（1）将数值较大、排列最密集的荷载置于影响线最大竖标附近，并使某一集中荷载位于三角形影响线的顶点，同时，使位于同符号影响线范围内的荷载尽可能多；（2）根据判别式确定位于影响线顶点的荷载是否临界荷载；（3）将临界荷载（Fcr

）置于影响线的顶点，其他荷载依次排列，它即为一个不利荷载位置（临界位置），据此求得S的一个极值；（4）改变荷载位置，继续寻找其它的临界荷载及相应的S极值，直至可以断定不会产生更大的（或更小的）S值为止；（5）比较各S极值的大小，其中与S的最大极值（或最小极值）相对应的荷载位置就是最不利荷载位置。小结

4.例题：求图示简支梁在汽车—10级荷载作用下截面C的最大弯矩。ABC40m15m25m解：作Mc影响线159·38

首先考虑车队右行将重车后轮置于顶点。1003070kN5070306m45415423·756·257·882·250·75按式（11—6)计算有故，这是临界位置其他行驶位置不必考虑。

其次再考虑车队调头向左行驶。将重车后轮置于影响线顶点。有故这又是一临界位置，其它情况也不必考虑。

根据上述两种临界位置，可分别算出相应的

MC值。经比较得右行时MC值大，故：MCmax=70×3.75+30×6.25+100×9.38+50×7.88+70×2.25+30×0.75=1962kN·m例：求图示简支梁C截面弯矩的最不利荷载位置。6mCP4=3P3=7P2=2P1=4.5kN4m4m5m10m解：MC影响线P1P2P2P3P1><P1是临界力.>>P2不是临界力.解：6mCP4=3P3=7P2=2P1=4.5kN4m4m5m10mMC影响线P1P2P2P3P1P3P4P2P1P4P2P3><<P3是临界力P4不是临界力1.251.883.750.38实际计算时，一般并不需验证所有荷载是否为临界力，只考虑那些数值较大、排列密集的荷载。<F1F21m2mC6m若某量S的影响线为直角三角形或竖标有突变，不能用前述方法。F1位于C点：例：求图示简支梁C截面剪力的最大值和最小值。荷载运行方向不变。已知：F1=10kN，F2=20kNF1F2F2F13/4FsC影响线1/4解：F2位于C点：

在移动荷载作用下，求结构上某一量值的最大（最小）值，一般先通过试算确定最不利荷载位置，然后求出相应的量值，计算较为麻烦。在实际工作中，为了简化计算，可利用编制好的换算荷载表。换算荷载表：是指这样一种均布荷载K，它产生的某一量值，与所给移动荷载产生的该量值的最大值Smax相等，即KA

=Smax由此式可求出任何移动荷载的等效荷载。§11-10换算荷载例题：ABC40m15m25m159·38据上题的弯矩MCmax，求汽车—10级的换算荷载。K=MC影响线MCmaxAω=196221×40×9.38=10.5kN·mω换算荷载的数值与移动荷载及影响线的形状有关。但对竖标成固定比例的各影响线，其换算荷载相等。y1y2=ny1证明如下设有两影响线的竖标按同一比例变化，即y2=ny1从而可知

2=n1于是有K2=

长度相同、顶点位置也相同，但最大竖标不同的各三角形影响线是成固定比例的，故用同一换算荷载。换算荷载表（部分）见下页。

1

2汽车—10级的换算荷载（kN/m每列车）跨径或荷载长度（m）影响线顶点位置（标准荷载）端部1/8处1/4处3/8处跨中1200·0200·0200·0200·0200·02100·0100·0100·0100·0100·0366·766·766·766·766·7450·050·050·050·050·0638·937·335·233·333·3831·330·429·227·52501026·025·424·723·622·01321·520·419·919·319·41618·918·016·917·317·02017·116·015·816·115·22514·914·214·114·313·73013·312·712·612·712·33512·511·511·411·411·1几点说明：1）表11-1只适用于量值的影响线为三角形的情况。2）加载长度（荷载长度）l，指的是同符号影响线长度。3）αl是顶点至较近的零点的水平距离，故α的数值在0~0.5之间。4）l

或α值在表列数值之间，K值可按直线内插法求得。5）表列K值按每线（轴重）计算，如果计算每片主梁或主桁架，应将表列各K值乘以1/2。

例利用换算荷载表计算在汽车—10级荷载作用下图示简支梁截面C的最大（小）剪力和弯矩。ABC20m15m5m解：1.作FsC、MC影响线153.75MC影响线110.250.75FsC影响线⊕⊕2.计算MCmaxL=20m5/20=1/4由表查得K=15·8MC影响线面积=1/2×3·75×20=37·5㎡于是MCmax=K

=15·8×37·5=590·5kN·m3.计算FsCmax取正号三角形计算，从表中查得L=4mK=50.0L=5mK=？L=6mK=38.9K=44.5FsCmax=K=44.5×1/2×5×0.25=27.8kN4.计算FsCmin（略）由直线内插法求得关于内插法的说明···abcK1K2Kh1h2hK=K2+h1+h2h2(K1+K2)=h1+h2K1h2+K2h11.绝对最大弯矩：

梁的各截面最大弯矩中的最大者，称为绝对最大弯矩。2.确定绝对最大弯矩的一般方法须解决：（1）绝对最大弯矩发生的截面；（2）该截面发生最大弯矩的荷载位置。应逐个截面计算最大弯矩，然后加以比较。即使取有限个截面计算也是较繁琐的。当梁上作用的荷载是集中荷载时，问题可以简化。在集中荷载作用下，弯矩图的顶点总是在集中荷载作用处，可以断定绝对最大弯矩必定发生在某一集中荷载作用点处截面上。余下的问题只是确定它发生在哪一个荷载作用点处及该点位置。§11-11简支梁的绝对最大弯矩3.集中荷载作用下绝对最大弯矩的确定方法如下：任选一集中荷载，找出该集中荷载作用点处截面在什么位置弯矩有最大值，然后按同样方法计算其它荷载作用处截面的最大弯矩，再加以