高考数学 导数中的极值和极值点偏移(解析版)

专题08导数中的极值和极值点偏移

一、重点题型目录

【题型】一、求已知函数的极值

【题型】二、根据极值点求参数

【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系

【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系

【题型】五、求已知函数的极值点

【题型】六、函数最值与极值的关系

【题型】七、导数中的极值偏移问题

二、题型讲解总结

【题型】一、求已知函数的极值

例1.(2023•全国•高三专题练习)等比数列｛%｝中的项4,〃5是函数/(x)=l-6∕+9X-2

的极值点，则“53=()

A.3B.±y∣3C.-ʌ/ɜD.G

【答案】D

【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到4∙4κ,然后根据等比中项求得答案.

【详解】由题意，∕,(X)=3X2-12X+9=3(X-1)(X-3),则xw(e,l)时∕<x)>0,函数单

调递增，％«1,3)时/'(力<0,函数单调递减，%«3,例)时/«勾>0,函数单调递增，于

是户1和户3是函数的两个极值点，故为,“心是/'(x)=3f-12x+9=0的两个根，所以

4∙4O5=3,所以⅛=4∙4O5=3,又4+4O5=4>O,所以q>0,al05>0,设公比为9，

a53=a∖cf2>0-所以°55=G.

故选：D.

例2.(2023•全国•高三专题练习)下列函数中存在极值点的是()

A..y=-ICB.y=x-e.

X

C.y=2D.y=χ3

【答案】B

【分析】对每个选项求导，然后判断即可

【详解】对选项A,y=-4<o,故没有极值点；

X"

对选项B,y=∣-e*,则极值点为χ=0,故正确；

对选项c,y=o,故没有极值点；

对选项D,y=3x2>0,故没有极值点;

故选：B

例3.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=2mv-至多有2个不同的零点，则实

数。的最大值为().

A.0B.1C.2D.e

【答案】C

【分析】先将零点问题转化为两函数交点问题，构造函数，研究其单调性，极值，画出函数

图象，从而得到!?=0或∣J≥∖,再次构造关于〃的函数Ma)=I研究其单调性，解出

不等式，求出数。的最大值.

【详解】令"x)=2πe'-e"χ2=o,得到马=4，

e'e

函数/(X)=加1-e"f至多有2个不同的零点，等价Tm=乌至多有两个不同的根，

ee

Y29/7

即函数y与y=今至多有2个不同的交点

ee

2

令g(x)=5,

则

当0<x<2时，g'(x)>O,g(x)单调递增,

当XVO或％>2时,g'(x)<O,g(x)单调递减,

所以X=O与X=2为函数g(x)的极值点，且g(0)=0,g(2)=5,

且g(x)=^≥O在R上恒成立，

其中~~O，解得：q=O

e

设MG=与，则”(4)=生学，

ee

当a<1时，当α>l时，∕f(α)vθ,

所以/?(“)=与在(-∞,ι)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

e

由可得：h(a)≥h(2),所以α≤2,

综上：实数。的最大值为2

故选：C

【点睛】对于函数零点问题，直接求解无法求解时，可以转化为两函数的交点问题，数形结

合进行解决.

例4.(2023•全国•高三专题练习)已知f和£+3是函数/(x)=x3+加+bx+c的零点，且f+3

也是函数f(x)的极小值点，则〃x)的极大值为()

44

A.1B.4C.-D.-

39

【答案】B

【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得/(X)=(XT)(XT-3)2,再借助导数求出

极大值作答.

【详解】因函数f(χ)在t+3处取得极小值0,又，是函数f(χ)的另一零点，因此函数〃X)

只有两个零点，

从而有/(X)=(XT)(XT-3)2,求导得：f'(x)=3(x-f-l)(xT-3),

当x<f+l或x>r+3时，∕,(χ)>0,当t+1vx<r+3时，∕,(χ)<0,

于是，f(x)在χ=∕+3处取得极小值，在x=r+l处取得极大值/(f+l)=4,

所以/(x)的极大值为4.

故选：B

【题型】二、根据极值点求参数

例5.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=χ2+αe*-l(α∈R)有两个极值点，则实数

。的取值范围为()

A∙H。)B∙1；。)C.「什)D.C

【答案】B

【分析】将函数有两个极值点转化为其导数有两个零点进行求解即可.

【详解】对原函数求导得，r(x)=2x+ae"

因为函数〃犬)=£+•一1(4€7?)有两个极值点，

所以/'(X)=O有两个不等实根，即2x+αe'=O有两个不等实根，

亦即F=2x有两个不等实根.

e

令g(x)=/，则g<x)=［>

可知g(χ)在(-∞,1)上单调递增,在(l,+∞)上单调递减,

所以g(x)max=g⑴=J

又因为当XVo时，g(x)<0,当x>0时，g(x)>O,

2

—Ci<—2

所以“e»解得—<cι<01

-a>0e

即〃的范围是卜

故选：B

例6.(2023•全国•高三专题练习)若函数f(x)=sin"+1)在区间［0,%)内有且只有两个极

值点，则正数。的取值范围是()

'581「58)(7131「713、

A.—B.不二C.D.—

_33J|_33)(66J|_66J

【答案】C

【分析】根据极值点的定义，利用整体法，列出关于0的不等关系，即可求得参数范围.

【详解】因为〃X)在［0㈤有2个极值点，也即/(X)在区间［(U)取得一次最大值,一次最

小值；

式冗兀\

又0>0,则当xw［0,乃)，<yx+-∈-,ωπ+-∖,

要使得满足题意，只需∣%<0%+(≤%解得T犹.

故选：C.

例7.(2023・全国•高三专题练习)若x=2是函数f(x)=；Or2-X-21nx的极值点，则函数()

A.有最小值-21n2,无最大值B.有最大值-21n2,无最小值

C.有最小值-21n2,最大值2In2D.无最大值，无最小值

【答案】A

【分析】对/(X)求导，根据极值点求参数“，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.

2

【详解】由题设,f'(x)=0x-W-l且/(2)=0,

X

：.2a-2=0,可得α=l.

.∙.f∖x)=x---l=(81)(上2)且X>O,

XX

当0<x<2时f'(x)<O,/(X)递减：当x>2时/'(x)>0,AX)递增;

∙∙∕(x)有极小值/⑵=-21n2,无极大值.

综上，有最小值-21n2,无最大值.

故选：A

例8.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/。)=?+《(+111力，若X=I是函数f(χ)的唯

一极值点，则实数Z的取值范围是.

【答案】k≥-l

【分析】先求函数/*)的导函数f'(x)=竺华二D,由条件χ=l是函数/(χ)的唯一极值

点，说明1+2=0在XG(O,÷∞)上无解，或有唯一解X=I,求实数人的取值

【详解】/&)=?+&［：+1门］的定义域为(0,+8)

X"X~Xx~

X=I是函数/(χ)的唯一极值点

.∙.χ=l是导函数/'(X)=O的唯一根

(I)e*+A=O在(0,+∞)无变号零点

令g(x)=e*+%,则g'(x)=e'>O,即g(x)在(0,+∞)上单调递增

此时g(x)mm=l+%*O

.*.k≥—1

(Il)当g(x)=e"+Z在(0,+∞)有解％=1时，此时e+A=O,解得Z=-e

此时/(X)在(0,1)和α+∞)上均单调递增，不符合题意

故答案为：k≥-∖

【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系

例9.(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数/(x),其导函数/'(X)的大致图

象如图所示，则下列叙述正确的是()

y.

：!∖dr

ao∖bc∖T∕e^~x

A./(6)>∕(Λ)>∕(C)

B.函数/(x)在X=C处取得最大值，在x=e处取得最小值

C.函数/(χ)在x=c∙处取得极大值，在x=e处取得极小值

D.函数/(χ)的最小值为

【答案】C

【分析】根据导函数的图象确定了(x)的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四

个选项作出判断.

【详解】由题图可知，当χ≤c时，∕,(%)>0,所以函数“X)在(-?,q上单调递增，

又a<h<c,所以"α)<"6)<F(c),故A不正确.

,

因为r(c)=O,∕(e)=O,且当X<c时，f↑x)>O;当ca<e时，f(x)<0i

当x>e时，/(x)>0.所以函数f(x)在X=C处取得极大值，但不一定取得最大值，在x=e

处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确.

由题图可知，当d≤x≤e时，/'(x)≤0,所以函数/(x)在［d,e］上单调递减，从而/(d)>f(e),

所以D不正确.

故选：C.

例10.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)的导函数的图像如图所示，则下列结论正

确的是()

A.-3是〃力的极小值点B.-1是/(x)的极小值点

C./(x)在区间(—,3)上单调递减D.曲线y=∕(x)在X=2处的切线斜率小于零

【答案】D

【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据

导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案.

【详解】由图像知，当x<-3或x>3时，∕<x)>0,/(x)单调递增，

当一3<x<3时，∕,(x)<0,f(x)单调递减，

所以〃力在区间(F,-3),(3,田)内单调递增，在区间(-3,3)内单调递减，

-3是/(x)的极大值点，3是/(x)的极小值点，故ABC错误；

又因为/'(2)<0,所以曲线y=∕(x)在x=2处切线斜率小于零，故D正确.

故选：D.

例11.(2023・全国•高三专题练习)函数/(x)定义域为(“⑼，其导函数尸(X)在(4。)内的图

象如图所示，则函数/(x)在区间(α力)内极小值点的个数是()

【答案】A

【分析】根据导函数的图象可判断出/(x)的单调性，结合极小值点的概念即可得结果.

【详解】由尸(x)的图象可得:

函数F(X)在(a,χ∣)上单调递增，在(%,%)上单调递减，

在(Λ2,Λ4)上单调递增，在(x4,3上单调递减，

故X=W为函数F(X)的极小值点,即F(X)在区间(α,6)内极小值点的个数是1，

故选：A.

例12.(2023•全国♦高三专题练习)已知定义在S,切上的函数y=f(x)的导函数y=,f'(X)的

图象如图所示，给出下列命题：

①函数y=/(χ)在区间卜，匕]上单调递减；

_.f∖tn)+f∖n)./-tn+n-y∖

②若匕<"?<”<%，贝∣Jɪ~ɔ—>fIτh

③函数y=∕(x)在[α,句上有3个极值点；

④若x2<P<()<x3,则[f(p)-f(q)]∙[f'(p)-f'(q)]<0.

其中正确命题的序号是()

D.①④

【答案】B

【分析】根据y=/O)图象判断函数y=/(χ)单调性和极值点情况，并利用单调性比较函数

值的大小，逐一判断四个命题的正误即可.

【详解】①中，看图知，在区间［々，鼻］匕/'(χ)wo,在区间［七，七］上，f(χ)≤θ,故函数

y=f(χ)在区间［々，匕］上先增再减，①错误；

②中，看图知，在区间［%，七］上，y=f(χ)是下凸的，任意连接两点(机"'(㈤)，(〃/(〃))，

中点为M(Wzi线段一定在y=f(X)图象上方，故中点也在图象上方，即

/“'(〃)>/"｝故②正确；

③中，看图知,在区间［α,J⅞］上,/'(χ)≥0,在区间IX,%］上,∕U)≤0)在区间上，同上，

/(x)≥0,所以y=f(x)有一个极大值点£和一个极小值点玉，故③错误；

④中，看图知，在区间［马，£］匕f'(χ)≥o,且/'(X)递减，故y=f(χ)单调递增，故

∕,(P)>∕M∕(P)<∕(√).故"(p)-f(q)l∙"'(p)-f'(<7)］<0,即④正确.

综上，正确命题的序号是②④.

故选：B.

【点睛】方法点睛：

利用导数判断函数/(X)的单调性和极值的方法：

①写定义域，对函数/W求导/(X)；②在定义域内，令r(χ)>o的区间即是增区间，令

r5)<o的区间即是减区间，③根据单调区间，判断极值点即可.

【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系

例13.(2023•全国•高三专题练习)函数√(x)=α√+fcv2+cχ+d的图像如图，则函数y=αr2

+1〃喈的单调递增区间是()

19

A.(-∞,-2JB.L-,+oo)C.[2,3)D.

【答案】D

【分析】由图象知α>0,d=0,不妨取a=l,先对函数/(x)=χ3+∕7χ2+cχ+"进行求导,

根据x=-2,x=3时函数取到极值点知/(-2)=0,/'⑶=。，故可求出b,C的值，再根

据函数单调性和导数正负的关系得到答案.

【详解】解：不妨取。=1,

,f(X)=X3+bx2+ex,:.∕,(x)=3X2+2bx+c

由图可知((-2)=。，八3)=0

.∙.12-4⅛+c=0,27+6fo+c=0,./=-1.5,c=-18

.,.y=x2--x-6,y'=2x--,当x>2时，y,>0

4'48

9O

.∙.y=χ2-9-6的单调递增区间为：[，+8)

48

故选：D.

例14.(2023∙全国•高三专题练习)已知函数/(x)=sin(5+?)(0>O)的最小正周期为万,

将的图象向右平移。个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(-α,α)上存在

唯一极值点，则实数”的取值范围是()

A，[元石Jb-[24,^4^Jc∙D-U,^24^.

【答案】D

【分析】首先求函数f(x)的解析式，再根据平移公式，求解函数g(x)的解析式，结合函数

的图象，列式求实数”的取值范围.

【详解】由题意知“X)的最小正周期T=至=%，∙∙.0=2,"(x)=sin(2x+R,

CDV4√

π

.*.g(x)=sin2+—=sin∣2X--∣∙Λ∙I,作出g(x)的图象如图所示，

4

a>0

数形结合可知a≤----'解得：

24

π

-a<-----

24

π1∖π

•••实数"的取值范围是

24,ΞT'

故选：D

例15.(2023•全国高三专题练习)如图是函数y=∕(x)的导数y=f(x)的图象，则下面判

A.在(一3,1)内f(x)是增函数B.在(4,5)内/(x)是增函数

C.在x=l时〃x)取得极大值D.在χ=2时f(x)取得极小值

【答案】B

【分析】根据y=f(χ)图象判断“χ)的单调性，由此求得“χ)的极值点，进而确定正确

选项.

【详解】由图可知，/(x)在区间［3,-∣),(2,4)上f(χ)<0j(x)递减；在区间.∙∣3,2,(4,5)

2

上/(x)>0j(x)递增.

所以x=l不是的极值点，χ=2是"x)的极大值点.

所以ACD选项错误，B选项正确.

故选：B

例16.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=α*-x"(x>0,a>0且αwl),贝∣J()

A.当"=e时，,f(χ)wθ恒成立

B.当O<α<l时，f(x)有且仅有一个零点

C.当4>e时，f(x)有两个零点

D.存在α>l,使得/(x)存在三个极值点

【答案】ABC

【分析】选项A,不等式变形后求函数的最值进行判断：选项B,确定函数的单调性，利用

零点存在定理判断；选项C,结合选项A中的新函数进行判断；选项D,求导，由导函数

等于0,构造新函数确定导函数的零点个数，得极值点个数，判断D.

【详解】对于A选项，当α=e时，/(x)≥0,即e'≥χe=x≥elnxo处≤L设g(χ)=∙^,

XeX

则g,(x)=，故当XW(O,e)时,g,(x)>0,当xe(e,+∞)时，g,(x)<0,

所以g(x)≤g(e)=处=L故A正确；

ee

对于B选项，当0<“<l时，/(X)=诡一X"单调递减,且当χ→(Γ时，/(x)fl,/⑴=α-l<0,

因此“X)只有一个零点，故B正确；

对于C选项，/(x)=0o优=YoXIna=αlnx,即W=当α>e时，由A选项可知，

0<g(a)<：，

因此g(x)=g(")有两个零点，即/(x)有两个零点，故C正确；

对于D选项，f∖x)^ax∖na-axc,-',令/'(χ)=0,得优-/。=/，两边同时取对数可

得，(X-I)Ina+ln(Ina)=(〃一I)InX,设∕z(x)=(x-l)lnα+In(IrlaIn%,贝IJ

"(x)=lnα-?,令"(x)=0,得》=襦，则R(X)在(。，■］上单调递减，在(芸，+②)

上单调递增，因此MX)最多有两个零点，所以/(x)最多有两个极值点，故D错误.

故选：ABC.

【题型】五、求已知函数的极值点

例17.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(X)=V-x+1,对于以下3个命题：

①函数Ax)有2个极值点

②函数/(χ)有3个零点

③点(O,D是函数F(X)的对称中心

其中正确命题的个数为()

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【分析】利用导数研究f(x)的单调性确定极值情况，结合零点存在性定理判断零点个数，根

据/O)+/(-X)=2判断对称中心.

【详解】令尸(x)=3χ2-l=0,可得χ=±且，

3

所以(一8,-春)、(¥,+8)上/'(x)>O,/(x)递增；(_#,乎)上尸(x)<(),/(X)递减；

所以X=±3是Ax)的极值点,

所以/(x)在(-2,-3)上存在一个零点，

所以/(x)有2个极值点，I个零点，①正确，②错误；

f(χ)+f(-χ)=χ3-χ+l-x3+χ+l=2,故(0,1)是函数f(χ)的对称中心，③正确.

故选：C

例18.(2023•全国♦高三专题练习)已知X。是函数/(x)=gx-2siarcosΛ的一个极值点，则

tan入。的值是()

A.1B.ɪC.—D.—

277

【答案】D

17

【分析】由题知r*°)=0,可得cos2x0=w,由二倍角公式可算得cos2%=w进而有

612

sin2⅞=ɪ*所以taYxo=：

r,2

【详解】∕(x)=ɪ-2cos2x,/.cos2x0=；..2cosx0-1=ɪ,

.27..2125

..COS^Λ⅛J=一,.・sιn-升)=l-cos-xl)=一,

2siπ-XC5

tan"x0=——I

cos^X07

故选：D

例19∙(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=8sin(2x-,,XW(0,4句，则”x)所

有极值点的和为()

22πCIC-…r50乃

A.-----B.13乃C.17ττD.------

33

【答案】D

【分析】根据已知条件，令r(χ)=o,求出方程的根，判断根左右两侧的导函数符号可得

极值点，从而可求解/(χ)所有极值点的和.

【详解】解：/(X)=I6cos(2x-g],令尸(x)=16CoS(2x-g1=0,得X="+g,zeZ,

因为/'(X)在X=S+。,AeZ两侧异号，所以X=£+ZeZ是函数〃x)的极值点,

b"37∕±J»5)4乃117lπ17π∖Qπ23π

又x∈(0,4τr]所以极值点X=W,二,二,丁,丁,丁,丁,丁

36363636

(/E任乃万

所以/r(%)所有极值点的a和d为1彳+5二+4丁π+›∖∖,π丁1π+=Vlπ+丁1°+,234==5°4

363636363

故选：D.

例2。.(2。23・江苏•苏州中学高三阶段练习)已知函数"x)=1⅛,则下列说法中正

确的是()

A./(x+Λ∙)=∕(x)

B."x)的最大值是g

Cf(X)在[上单调递增

D.若函数/(X)在区间[0,。)上恰有2022个极大值点，则。的取值范围为(W万,等)

【答案】ABD

【分析】利用二倍角公式进行化简，再根据函数的的性质分别判断各选项.

sin2x_sin2x_sin2x

【详解】Xl+2cos2x]I2(1+COS2X)2+COS2X,

A选项：/(x+/2：)=Sm2;=〃.),A选项正确；

2+cos(2x+2町2+cos2%

22

B选项：设/(%)=Sin2；=t,plιjsjn2x-tcos2x=2t=∖∣∖-^-tsin(2x+¢9)≤Vl+^，

解得f2≤g,-虫.≤∙≤虫.，即3=也，即/(x)的最大值为也，B选项正确;

-S3333

C选项：因为/(-])=/(])=(),所以/(X)在卜多上不单调，C选项错误；

2cos2x(2+cos2x)-sin2x(-2sin2x)4cos2x+2

D选项:

r(χ)=(2+cos2x)2(2+cos2x)2

I42口

z

⅜∕(x)=0,解得COS2x=-g,x=-+kπ^tx=—+kπ,kwZ,

当Xe(0+6《eZ时，∕,(x)<0,函数单调递减，

(2ττ4τr)

当当xe(？-+br,3→∙J,左eZ时，/^x)>0,函数单调递增，

所以函数/(x)的极大值点为弓，L,→(n-∖)π,

又函数F(X)在区间[O,α)上恰有2022个极大值点，则"仁+202反,。+2022;T,即

(6064万6067万

D选项正确;

故选：ABD.

【题型】六、函数最值与极值的关系

例21.(2022・江苏•高三专题练习)已知函数/(X)=12x-2,则下列结论不正确的是()

e

A.函数/(x)有极小值也有最小值

B.函数/(x)存在两个不同的零点

C.当-5＜忆＜0时，f(x)=∙恰有三个实根

D.若xe[0,r]时，/(x)max=4,则r的最小值为2

e~

【答案】C

【分析】先求导，通过导函数的单调性分析出原函数大致图象，然后画出图象，结合图象来

分析每一个选项即可求出答案.

【详解】由AX)=土苓二，得/(X)=--------------由---------=-T-.

令/(X)=。，则X=-2或x=2,当XV-2或工＞2时，/(x)＜0；当-2vxv2时，F(X)＞0,

所以/(力在(-∞,-2)和(2,+8)上单调递减，在(-2,2)上单调递增，

所以f(X)有极小值/(-2)=上等=-2e2,有极大值/(2)=竺票=4，

eee

当Xf-8时，/(χ)→+∞,当X→∙+∞时，/(x)→0,

故函数的图象如图，

故选：C

例22.(2022.全国•高三专题练习)对函数f(x)=χ2+4ln(y+χ2+ι)(χeR,a^RS.a≠O)

的极值和最值情况进行判断，一定有()

A.既有极大值，也有最大值B.无极大值，但有最大值

C.既有极小值，也有最小值D.无极小值，但有最小值

【答案】C

,l2χ4++χ2++1

【分析】先求出导数，fω=2x+a--⅜⅛=4∖t(D«)-然后

讨论方程X4+Qa+l)x2+0+1=0根的情况,进而判断各选项

【详解】/'(X)=2x+α•，5=2x,/4+囚+1)√+fl+ι),下面讨论方程

X4+X2+]x4+x2+∖v'

X4+(2a+∖)x^+a+∖=O根的情况.令〃=x2∈[0,+∞),g(〃)=u2+(2a+1)M+a+∖,

(1)当g(O)=α+l<0时(即"-1),g(“)仅有••个唯一的正零点，不妨设为翅，此时/(X)

有三个不同零点，分别为-瓜，0,瓜；满足既有极小值，也有最小值；

(2)当g(O)="+l=O时(即。=一1);(X)=F^—(x+l)(x-l):满足既有极小值，也有

X+χ-+}

最小值；

(3)当g(O)=α+l>O时(即a>T且4H()),若〃=-等~l40(即“≥-g且α#0),则仅

有一个唯的极小值点为0,若"=一等l>θ(-l<“<-；),结合

△=(2。+1)2-4(tz+1)=4a2-3分析可知：当-1<α<——^时，g(h)有两个不同的正零点(令

2

为〃I，〃2且/</).此时/(X)在1°0,-如)，卜"，。)，(8,上单调递减，当

--≤a<--^,则/U)仅有一个唯一的极小值点为0.满足既有极小值，也有最小值；综

22

上分析，

故选：C

【点睛】关键点睛：解题的关键在于：求导后讨论方程/+(24+1)/+4+1=0根的情况，

讨论的时候，分情况：(1)当g(O)=α+l<O;(2)当g(O)="+l=O;(3)当g(O)="+l>O,

进而判断各选项，属于难题

例23.(2022・全国•高三专题练习)己知函数/Q)=(f+α)e'有最小值，则函数y=∕'(x)的

零点个数为()

A.0B.1C.2D.不确定

【答案】C

【解析】对函数求导，转化条件为f'(χ)<o有解，再结合二次函数的性质即可得解.

【详解】由题意，/'(X)=(X2+2x+α)/,

因为函数/(x)有最小值，且e，>0，

所以函数存在单调递减区间，即/'(x)<0有解，

所以f+2χ+a=0有两个不等实根，

所以函数y=∕'(χ)的零点个数为2.

故选：C.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题.

例24.(2022•全国•高三专题练习)已知函数y=∕(χ)的导函数y=∕'(χ)的图象如图所示，

则下列结论正确的是()

A./(«)</(/?)</(c)B./(e)</(J)</(c)

C.X=C时，F(X)取得最大值D∙x=d时，/(X)取得最小值

【答案】AB

【分析】由/'(X)图象可确定F(X)的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】由尸(X)图象可知：当xe(ro,c∙)(e,+∞)(⅛,f^x)>0；当x∈(c,e)时，∕,(Λ)<0:

∖f(x)在(-8,c),(e,+∞)上单调递增,在(c,e)上单调递减;

对于A,a<b<c,.-./(«)</(/?)</(c),A正确；

对于B,,∙c<d<e,.∙j(e)<∕(d)<∕(c),B正确;

对于C,由单调性知"c)为极大值，当x>e时，可能存在.f(%)>f(c∙),C错误；

对于D,由单调性知/(e)<“d),D错误.

故选：AB.

【题型】七、导数中的极值偏移问题

例25.(2023•全国・高三专题练习)关于函数/(x)=:+lnx,下列说法错误的是()

A.x=2是/(x)的极小值点

B.函数y=f(χ)-χ有且只有1个零点

C.存在正实数3使得/(x)>云恒成立

D.对任意两个正实数4，才2，且芭>々，若/(%)=/(々)，则X∣+%2>4

【答案】C

【分析】对于A,分析/(χ)导函数可作判断；对于B,考查函数y=f(χ)-χ的单调性可作

判断；对于C,分离参数，再分析函数工区最值情况而作出判断；对于D,构造函数

X

g(x)=∕ω-/(4-X)(O<X<2)讨论其单调性，确定g(x)>O即可判断作答.

【详解】对于A选项：/(X)定义域为(。,+8),/(X)=-4+1=Ξ≠,

XXX

O<X<2时,/'(X)<0,尤>2时f∖x)>O,

x=2是/(x)的极小值点，A正确；

对于B选项：令〃(X)=f(x)-x,h∖x)=~-——学2<0,

X

h(x)在(O,+oo)上递减,〃⑴=1,〃⑵=ln2-l<0,

为x)有唯一零点,B正确;

对于C选项：令9(X)=幺包=2+叱,"(X)=-巫匚

XXTXX'

令F(x)=xlnx-x+4,F∖x)=InX,%∈(0,1)时,F∖x)<0,x∈(l,+∞)时,Ff(x)>O,

F(X)在((U)上递减,在(l,+∞)上递增,则F(X)而„=尸(l)=3>0,

√(x)<O,e(x)在(O,+∞)上递减，e(x)图象恒在X轴上方，

与X轴无限接近，不存在正实数人使得/(x)>H恒成立，C错误；

对于D选项：由A选项知，/(x)在(0,2)上递减，在(2,”)上递增,

因正实数x∣,X2,且芭>々，/(χ)=∕(x2),则0<X2<2<X∣,

0<x<2时,令g(χ)=f(X)-/(4-χ),

/(X)=小)+/(4—x)=*F<O,

即g(x)在(0,2)上递减,

于是有g(x)>g(2)=0,从而有f(xl)=/(⅞)>/(4-x2),

X4—X2>2,所以土>4一%2，即x∣+W>4成立，DlE确.

故选：C.

Inγ

例26.(2023・全国•高三专题练习)已知函数"x)=(,则()

A./(2)>∕(5)

B.若F(X)=An有两个不相等的实根4、x2,则XlX2<e?

D.若2'=3',X,y均为正数，则2x>3y

【答案】AD

【分析】A：代入2,5直接计算比较大小;B：求F(X)的导函数，分析单调性,可得当/(x)=m

有两个不相等实根时4、巧的范围，不妨设公<々，则有0<x∣<e<%,比较/(xjJ

的大小关系，因为〃办)=/(々)，可构造F(X)=/"b/]Fl(O<*<e),求导求单调性，

计算可得尸(x)<()成立，可证占X2>e∖C：用f(x)在(0,e)上单调递增，构造殍<萼可

证明；D：令2*=3>'=f,解出X=具，Y=兽，做差可证明2x>3y.

ɪg2Ig3

【详解】解:对于A：〃2)=竽=ln√Σ"(5)=M=ln班，又(√∑F=25=32,(为『=25,

32>25,所以&>为，则有/(2)>∕(5),A正确；

对于B：若/(x)=m有两个不相等的实根占、巧，则卬c?”?,故B不正确；

证明如下：函数"x)=W,定义域为(0,+纥)，则:(X)=上等，

当用χ)>0时,O<χ<e;当r(x)<0时，x>e；

所以f(X)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减，则“X)心=：且X>e时，有/(x)>0,

所以若/(6=加有两个不相等的实根玉、々，有0<∙<g,

不妨设玉<々，有0<x∣<e<X2,要证占马>/，只需证W>J,且达>3^>e,又

ɪlɪl

所以只需证〃令)

/(XI)=∕(Λ2),XJ<∕[Z],F(X)="X-f[j](O<x<e)

IXIJ∖xJ

则有F'(χ)=r(M+r

当0<x<e时，1—lnx>0,J-5>0,所以有尸(关)>0,即F(X)在(0,e)上单调递增，且

F(e)=O,所以F(X)<0恒成立，即“玉)<,„即/㈤“目，即g”.

对于C：由B可知，/(x)在(0,e)上单调递增，则有"2)<∙f(e),即旨<三，则有

In2<-<J-,故C不正确:

eVe

对于D：令2*=3>∙=r,则f>l,X=Iog2，=兽，y=l0g3f=粤，

Ig2Ig3

21gr31grIg∕(lg9-Ig8)

2x-3y=>0,

Ig2∙lg3

.∙.2x>3y,故D正确；

故选：AD.

【点睛】知识点点睛：(1)给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及

需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；

(2)极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范

围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于

或大于零恒成立，即可证明不等式.

例27.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=-(a≠0)∙

er

(1)若对任意的X